2026-2027学年高一上学期数学期中模拟试卷（上海市适用）

2026—2027学年第一学期高一数学期中模拟试卷 (考试时间：120分钟满分：150分) 考生注意： 1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟。 2.请将答案写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。 3.本试卷考查范围：沪教版（上海教育出版社）高中数学必修第一册第1一5章（集 合与逻辑、等式与不等式、幂、指数与对数、幂函数、指数函数与对数函数、函数的 概念性质及应用)。 一、填空题（本大题共12题，第1一6题每题4分，第7一12题每题5分，共 54分) 1.己知全集U=R,集合A={xx2-3x-4≤0，B={x2x≥4}，则A∩B= 2.函数f(x)=V4-x2+lg(x-1)的定义域为 3.命题臼x∈R,x2一x+1≤0的否定为 4.化简：0g2)2+lg2.1g5+lg5= 5.已知奇函数f满足：当x≥0时，f(x)=x2-2x,则f(-1)= 6.已知幂函数f(x)=(m2-m一1)xm在区间(0，+oo)上单调递增，则m= 7.已知集合A={x|-1≤x≤7}，B={xm+2≤x≤2m+1),若AnB=B,则实数 m的取值范围是 8.函数f(x)=x+V2x-1的最小值为 9.函数f(x)=a2x-1十2（a>0,a≠1)的图象恒过定点 10.已知x>0,y>0,且2x+y=2,则+2的最小值为 11.已知函数f满足2f(x)+f(月=3x(x≠0)，则f(x)= 12.设[x]表示不超过x的最大整数，则关于x的方程x2一4[x]+3=0的实根个数为 二、选择题（本大题共4题，第13一14题每题4分，第15一16题每题5分， 共18分) 13.对于任意实数a,b,c,“a>b”是ac2>bc2成立的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必 要条件 14.下列各式中，y是x的函数的是（) A.y2=x B.y=Vx-2+V1-x C.y=vx-1+V1-x D.y2=4 15.已知a>1,函数f(x)=logax-与g(x)=ax在同一坐标系中的图象大致是() A. B. 16.对于函数f(x),若存在xo使f(xo)=xo,则称xo为f的不动点；若f(f(xo)=xo,则 称xo为稳定点。下列说法正确的是() ①不动点一定是稳定点：②稳定点一定是不动点；③若f在R上单调递增，则稳定点 一定是不动点：④若∫在R上单调递减，则稳定点一定是不动点。 A.①② B.①③C.②④ D.③④ 三、解答题（本大题共5题，第17一19题每题14分，第20一21题每题18分， 共78分) 17.已知集合A=[1,2],B={xx2-(a+1)x+a≤0}。 (1)若a=3,求A∩B与CUA:(本问6分) (2)若A∩B=A,求实数a的取值范围：（本问4分） (3)若BcA,求实数a的取值范围。（本问4分） 18.已知函数f(x)=x2+2ax+2。 (1)当a=一1时，求不等式f(x)≥x的解集；（本问4分） (2)若不等式f(x)≥a对一切xER恒成立，求实数a的取值范围：（本问5分） (3)若不等式f(x)≥0对一切x∈[0,2]恒成立，求实数a的取值范围。（本问5分) 19.某文创店销售一种书签。已知书签进价为每个10元，当售价为每个16元时，每 天可售出200个；售价每提高1元，日销量就减少10个。设书签的售价为每个x元， 且售价不低于16元。 (1)写出该店销售这种书签的日利润L(单位：元)关于x的函数解析式，并注明定义 域：（本问4分） (2)当售价为每个多少元时，日利润最大？最大日利润为多少元？（本问5分） (3)若要求日销量不少于150个，则售价应定为每个多少元时，日利润最大？最大日 利润为多少元？（本问5分） 20.已知函数fx)=x+。 (1)求函数f(x)的定义域，并判断其奇偶性；（本问4分） (2)求证：函数f(x)在区间(0,1]上单调递减，在区间[1，+∞)上单调递增：（本问6分） (3)求函数f(x)在区间服，3]上的最大值与最小值：（本问4分） (4)若关于x的方程f(x)=m在区间(0，+oo)上有两个不相等的实根，求实数m的取值 范围。（本问4分） 3 21.定义：若函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,都有f(x)≥x,则称f为恒越 函数”。 (1)判断函数f(x)=x2-x+1是否为恒越函数”，并说明理由；（本问3分） (2)若函数f(x)=x2+ax+1为恒越函数”，求实数a的取值范围；（本问5分) (3)若f,g均为恒越函数”，求证：对任意x∈R,都有f(g(x)≥x;(本问5分) (4)若f为恒越函数”，且对任意x∈R都有f(f(x)=x,求证：f(x)=x。(本问5 分) 2026—2027学年第一学期高一数学期中模拟试卷 参 考 答 案 与 详 细 解 析 （考试时间：120分钟　满分：150分） 考查范围：沪教版（上海教育出版社）高中数学必修第一册第1—5章 （集合与逻辑、等式与不等式、幂、指数与对数、幂函数、指数函数与对数函数、函数的概念性质及应用） 一、填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，共54分） 1．已知全集 U＝ℝ，集合 A＝{x | x²−3x−4 ≤ 0}，B＝{x | 2ˣ ≥ 4}，则 A∩B＝________． 【答案】　 【解析】　先分别化简两个集合，再求交集。 由 ，因式分解得 ，解得 所以 。 由 ，因底数 ，函数 单调递增，故不等号方向不变，得 所以 。 取交集：。 【易错提醒】　① 解一元二次不等式要先求根、再结合开口方向定区间；② 比较同底指数幂时，底数大于 1 不等号方向不变，底数在 (0,1) 内才反向。 2．函数 f(x)＝√(4−x²) ＋ lg(x−1) 的定义域为________． 【答案】　 【解析】　定义域要求每一部分同时有意义，取各部分限制条件的交集。 偶次根式被开方数非负： 即 ，解得 对数真数必须为正：，解得 两者取交集： 与 的公共部分为 所以定义域为 。 【易错提醒】　① 根号下要 ≥ 0，可取等号；② 对数的真数要严格 > 0，不能取等号；③ 多个条件必须取交集，不是并集。 3．命题“∃x∈ℝ，x²−x＋1 ≤ 0”的否定为________． 【答案】　 【解析】　存在量词命题的否定，按“改量词、否结论”两步操作。 第一步改量词：存在量词 改成全称量词 。 第二步否结论：把 否定为 。 所以原命题的否定为：。 验证：因 对一切实数恒成立，故原命题是假命题，其否定是真命题，符合“原命题与否定真假相反”。 【易错提醒】　① 量词必须改写（∃ → ∀）；② 结论要取反面，≤ 的否定是 >，不是 ≥；③ 全称命题的否定才是存在命题，两者不要混。 4．化简：(lg2)² ＋ lg2·lg5 ＋ lg5 ＝________． 【答案】　1 【解析】　观察结构，提取公因式，再用核心恒等式 lg2＋lg5＝1。 原式 前两项提取公因式 ： 由对数运算性质 ，代入： 原式 。 【易错提醒】　① 千万不要把 与 混淆，前者是 ，后者是 ；② 牢记 ，这是本题破题的关键。 5．已知奇函数 f(x) 满足：当 x ≥ 0 时，f(x)＝x²−2x，则 f(−1)＝________． 【答案】　1 【解析】　自变量为负时要用奇偶性把自变量转化到已知区间 [0,＋∞)。 因为 是奇函数，所以对任意 x 都有 ，取 得 。 而 ，可用已知解析式：。 所以 。 【易错提醒】　① 求负自变量处的函数值，不要硬套 x ≥ 0 的解析式；② 注意 中的负号，容易漏掉而错答 −1。 6．已知幂函数 f(x)＝(m²−m−1)xᵐ 在区间 (0,＋∞) 上单调递增，则 m＝________． 【答案】　2 【解析】　两个条件：①系数必须为 1（幂函数定义）；②指数决定单调性。 由幂函数定义，系数为 1： 即 ，因式分解得 ，所以 或 。 用单调性筛选（幂函数 在 上：α＞0 递增，α＜0 递减）： 当 时， 在 上单调递增，符合； 当 时， 在 上单调递减，舍去。 所以 。 【易错提醒】　① 幂函数形如 ，系数必须为 1，这是容易忽略的前提；② 求出的两个根都要代回检验单调性，不能取一个就作答。 7．已知集合 A＝{x | −1 ≤ x ≤ 7}，B＝{x | m+2 ≤ x ≤ 2m+1}，若 A∩B＝B，则实数 m 的取值范围是________． 【答案】　 【解析】　先把条件转化为包含关系，再讨论 B 是否为空集。 由 得 。 情形一：，即左端点大于右端点：，解得 。空集是任何集合的子集，此时自动满足。 情形二：，即 ，得 ，且 B 的两端都要落在 A 内： 且 ，即 且 结合 得 。 两种情况取并集： 或 ，即 ，所以 m 的取值范围是 。 【易错提醒】　① 空集是任何集合的子集，漏讨论 会丢解；② 两种情况最后要取并集，不是取交集；③ 端点能否取等要逐一检验（本题 m＝1 与 m＝3 均可取）。 8．函数 f(x)＝x＋√(2x−1) 的最小值为________． 【答案】　 【解析】　含根号的函数求最值，用换元法把根号整体设为新元，化为二次函数。 定义域由 得 。 令 ，则 ，且 ，解出 。 代入原式： 把 看作自变量，。二次函数 的对称轴为 ，开口向上， 所以在 上单调递增， 时取最小值 。 此时 ，符合定义域。故最小值为 。 【易错提醒】　① 换元后必须写出新元的取值范围 ，否则会把 误当成最值点；② 结果要能指出取最小值时的 x，才算完整。 9．函数 f(x)＝a^(2x−1) ＋ 2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点________． 【答案】　 【解析】　指数型函数过定点，关键是让指数为零——此时 与底数 a 无关。 令指数为零：，解得 。 此时 ，与 a 的取值无关。 代入得 。 所以图象恒过定点 。 【易错提醒】　① 定点与底数无关，核心就是“指数为零”；② 别忘记加上常数项 2，错答成 。 10．已知 x＞0，y＞0，且 2x＋y＝2，则 1/x ＋ 2/y 的最小值为________． 【答案】　4 【解析】　这是“乘 1 法”：把待求式乘以一个恒等于 1 的式子，再展开用基本不等式。 由 两边同除以 2，得 。 用这个“1”去乘待求式（值不变）： 展开： 由基本不等式（两项均为正）： 所以原式 。 取等条件：，即 ；联立 得 ，满足 ，等号可取得。 故最小值为 4。 【易错提醒】　① 必须验证取等条件落在定义域内，否则“最小值”不成立；② 乘 1 法要求所乘式子恰等于 1，本题须先把 化为 。 11．已知函数 f(x) 满足 2f(x)＋f(1/x)＝3x（x≠0），则 f(x)＝________． 【答案】　（） 【解析】　这是“构造方程组”型函数方程，关键是换元再造一个方程。 已知 　……① 把 ① 中的 x 全部换成 （注意 时 也有意义）： 　……② ① ×2 得 　……③ ③ − ② 消去 ： ，即 所以 （）。 【易错提醒】　① 换元得到的新方程必须与原方程联立才能解；② 消元的系数配凑要细心（本题 ①×2 后 的系数变成 4，与 ② 中为 1，相减正好消掉 ）。 12．设 [x] 表示不超过 x 的最大整数，则关于 x 的方程 x²−4[x]＋3＝0 的实根个数为________． 【答案】　3 【解析】　取整函数问题的核心：令 n＝[x]，把方程转化为对整数 n 的讨论，再逐段验证。 设 ，则 n 为整数，且由定义有 。原方程化为 ① 确定 n 的存在范围：由 得 ，即 ；又 n 为整数，故 。 ② 由 知 x 为正，故取 （负根舍去）。 ③ 代入区间条件 ，得 左边：n 与 均非负，两边平方得 ，即 ，因式分解为 ，解得 。 右边：n+1 与 均为正，两边平方得 ，移项展开即 ，配方得 ，对一切 n 恒成立，不产生额外限制。 ④ 所以整数 n 的候选为 ，逐一代回求 x 并验证： n＝1：，满足 ，且 ，代回方程 成立； n＝2：，满足 ，且 ，代回方程 成立； n＝3：，满足 ，且 ，代回方程 成立。 （其余整数段均无解：n≤0 时 ；n≥4 时 ，落不进 。） 故方程恰有 3 个实根：、、，实根个数为 。 【易错提醒】　① [x]=n 对应的区间是左闭右开 ，右端点不能取等（若 则 [x]=n+1，不是 n）；② 含根号的不等式两边平方，必须先确认两边非负；③ 右侧不等式 展开是 （恒成立），切勿误写为 而错误地筛掉 n＝3。 二、选择题（第13—14题每题4分，第15—16题每题5分，共18分） 13．对于任意实数 a，b，c，“a＞b”是“ac²＞bc²”成立的（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 【答案】　B 【解析】　分别检验“⇒”与“⇐”两个方向。 检验充分性（ 能否推出 ）：取 ，则 ，结论不成立，故充分性不成立。 检验必要性（ 能否推出 ）：由 得 。因 ，若 则 ，与已知矛盾，故必有 ，两边同除以 得 ，必要性成立。 综上，“a＞b”推不出“”，但“”能推出“a＞b”，故为必要不充分条件，选 B。 【易错提醒】　① 检验充分性时找一个反例即可，本题反例就是 ；② 注意 “” 是能推出 的关键，不要漏掉对 c 是否为 0 的讨论。 14．下列各式中，y 是 x 的函数的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】　C 【解析】　判断“y 是 x 的函数”，核心是：对定义域内每个 x，y 的值必须唯一。 看 A： 中取 ，则 或 ，y 不唯一，不是函数。 看 B：需 且 ，即 且 ，无解，定义域为空集，不能构成函数。 看 C：需 且 ，即 ，定义域为 ，此时 ，y 的值唯一，是函数。 看 D： 与 x 无关，且 或 ，y 不唯一，不是函数。 故选 C。 【易错提醒】　① 判定函数的两要素是“定义域非空”和“对应关系唯一”，二者缺一不可；② B 的定义域是空集，这一点最容易被忽略；③ 定义域为单元素集 也仍然是函数，不要因“只有一个点”而排除。 15．已知 a＞1，函数 f(x)＝log_a x 与 g(x)＝a^(−x) 在同一坐标系中的图象大致是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D．（见原卷图象） 【答案】　D 【解析】　分别判断两个函数的单调性，再看图象的位置关系。 因为 ，所以 在 上单调递增，且过点 ，图象位于 y 轴右侧。 又 ，因 ，故 是单调递减函数，且过点 ，图象恒在 x 轴上方。 比对四个选项：只有 D 中一条是过 的上升的对数曲线（在 y 轴右侧），另一条是过 的下降的指数曲线，符合上述特征。 【易错提醒】　① 注意 是指数函数 ，不是 ；② 对数函数图象只在 y 轴右侧（定义域 ），指数函数图象恒过 且恒在 x 轴上方，这是排除干扰项的两把“标尺”。 16．对于函数 f(x)，若存在 x₀ 使 f(x₀)＝x₀，则称 x₀ 为 f 的不动点；若 f(f(x₀))＝x₀，则称 x₀ 为稳定点。下列说法正确的是（　　） ①不动点一定是稳定点；②稳定点一定是不动点；③若 f 在 ℝ 上单调递增，则稳定点一定是不动点；④若 f 在 ℝ 上单调递减，则稳定点一定是不动点。 A．①②　　B．①③　　C．②④　　D．③④ 【答案】　B 【解析】　逐条判断，关键在于把握“稳定点”与“不动点”的定义方向。 ① 设 是不动点，即 。则 ，故 也是稳定点。① 正确。 ② 设 是稳定点，即 。记 ，则 ，但由此**不能**断定 。例如 ，取 （非 0），则 ， 是稳定点却满足 ，不是不动点。② 错误。 ③ 设 是 f 的稳定点，即 。用反证法：若 ，由 f 在 ℝ 上单调递增（保序性），得 ；于是 ，自相矛盾。 　若 ，同理得 ，即 ，也矛盾。故必有 ，即稳定点必是不动点。③ 正确。 ④ 取 （在 ℝ 上单调递减），则 ，即**任意**实数都是稳定点；但不动点需满足 ，即 ，只有 。可见存在稳定点（如 ）不是不动点。④ 错误。 正确的有 ①③，故选 B。 【易错提醒】　① 牢记方向：不动点 ⇒ 稳定点（① 对），但反过来不成立（② 错）；② 判断 ③ 用反证加法，靠的是递增函数“保序”；③ 判断 ④ 只需一个反例 ，反证法在此失效——递减函数会“反向保序”，这正是递增与递减结论不同的根源。 三、解答题（第17—19题每题14分，第20—21题每题18分，共78分） 17．（本题14分）已知集合 A＝[1,2]，B＝{x | x²−(a+1)x+a ≤ 0}。 （1）若 a＝3，求 A∩B 与 ∁_U A；（本问6分） （2）若 A∩B＝A，求实数 a 的取值范围；（本问4分） （3）若 B⊆A，求实数 a 的取值范围。（本问4分） 【解析】　先把 B 化简：，所以 B 由 1 与 a 的大小关系决定。 （1）当 a＝3 时，。 又 ，所以 ；（3分） 全集 ，故 。（6分） （2） 等价于 。 因为 非空，所以讨论 B 的形状： 当 时，，要 只需 ； 当 时，，此时 ，不可能有 ，舍去。 所以 ，即 。（4分） （3），仍按 a 的大小讨论。 当 时，，需 ，即 ； 当 时，，因 而 是 A 的元素，但 时 ，故 ，舍去。 所以 。（4分） 【易错提醒】　① 化简 B 时必须讨论 a 与 1 的大小，这决定了 还是 ；② “” 等价于 “”，不要看成 ；③ 端点能否取等（a＝1、a＝2）要代回逐验。 18．（本题14分）已知函数 f(x)＝x²＋2ax＋2。 （1）当 a＝−1 时，求不等式 f(x) ≥ x 的解集；（本问4分） （2）若不等式 f(x) ≥ a 对一切 x∈ℝ 恒成立，求实数 a 的取值范围；（本问5分） （3）若不等式 f(x) ≥ 0 对一切 x∈[0,2] 恒成立，求实数 a 的取值范围。（本问5分） （1）当 a＝−1 时，，不等式为 整理得 ，即 ，解得 或 所以解集为 。（4分） （2） 对一切 恒成立，即 对一切实数恒成立。 因为开口向上，恒成立当且仅当判别式非正： 解得 ，即 。（5分） （3） 对一切 恒成立。 当 时， 恒成立，此点不影响 a。 当 时，把不等式整理为 ，两边同除以正数 ： 要使该式对一切 成立，只需 ，即 。 由基本不等式 ，当且仅当 时取等，故最小值为 。 所以 ，即 。（5分） 【易错提醒】　①（2）问是“对一切实数恒成立”，直接看判别式；（3）问是“对给定区间恒成立”，要转化为求最值，方法不同；②（3）问分离参数时，除的 必须确认是正数（此处 ），否则不等号方向会变；③ 取等点 必须落在区间 内，本题满足，故等号可取。 19．（本题14分）某文创店销售一种书签。进价每个 10 元，售价每个 16 元时每天售出 200 个；售价每提高 1 元，日销量减少 10 个。设售价为每个 x 元，且售价不低于 16 元。 （1）写出日利润 L 关于 x 的函数解析式，并注明定义域；（本问4分） （2）当售价为每个多少元时，日利润最大？最大日利润为多少？（本问5分） （3）若要求日销量不少于 150 个，则售价定为每个多少元时日利润最大？最大日利润为多少？（本问5分） （1）售价为 x 元（x ≥ 16），比 16 元提高了 元，故日销量为 销量必须非负，由 得 ，即 ；又 ，故定义域为 。 日利润 =（单价 − 进价）× 日销量，所以 ，。（4分） （2） 是开口向下的二次函数，对称轴为 所以当 时 L 取最大值： 即售价每个 23 元时日利润最大，最大日利润 1690 元。（5分） （3）日销量不少于 150 个，即 ，解得 ；结合 得 。 因对称轴 在区间 的右侧，二次函数开口向下，故 L 在 上单调递增， 所以当 时 L 最大： 即售价每个 21 元时日利润最大，最大日利润 1650 元。（5分） 【易错提醒】　① 定义域不能只写 ，还要由“销量非负”得到 ；② 二次函数在闭区间上的最值，必须先判断对称轴是否落在该区间内——（2）落在区间内取顶点，（3）落在区间外取端点；③ 别把“利润”写成“销售额”，要减去成本。 20．（本题18分）已知函数 f(x)＝x＋1/x。 （1）求定义域，并判断其奇偶性；（本问4分） （2）求证：f(x) 在区间 (0,1] 上单调递减，在区间 [1,＋∞) 上单调递增；（本问6分） （3）求 f(x) 在区间 [1/2, 3] 上的最大值与最小值；（本问4分） （4）若方程 f(x)＝m 在区间 (0,＋∞) 上有两个不相等的实根，求实数 m 的取值范围。（本问4分） （1）由分母不为零得 ，定义域为 ，关于原点对称。 又 ，所以 是奇函数。（4分） （2）任取 ，作差： 其中 ，，符号由 决定。 当 时，，故 ，于是 ，即 ，所以 f 在 上单调递减； 当 时，，故 ，于是 ，即 ，所以 f 在 上单调递增。（6分） （3）由（2）知，f 在 上递减，在 上递增， 所以最小值在 处取得：。 再比较两个端点：，，而 ， 所以最大值为 ，最小值为 。（4分） （4） 即 ，两边乘 得 要有两个不相等的**正**实根，需要同时满足： ① 判别式为正：，得 或 ； ② 两根之和为正：； ③ 两根之积为正：（恒成立）。 取交集得 ，即 。（4分） （另解：由基本不等式 ，仅 时取等 ，故水平线 与图象在 上有两个交点时必有 。） 【易错提醒】　① 作差后要整理成因式积的形式并逐一判断符号，不能只靠观察；②（4）问除 外，还必须保证两根为正（ 且 ），否则会出现两个负根的情形；③ “两个实根”在本题因 已限定，故必须强调“正根”。 21．（本题18分）定义：若函数 f(x) 的定义域为 ℝ，且对任意 x∈ℝ 都有 f(x) ≥ x，则称 f 为“恒越函数”。 （1）判断 f(x)＝x²−x＋1 是否为“恒越函数”，并说明理由；（本问3分） （2）若 f(x)＝x²＋ax＋1 为“恒越函数”，求实数 a 的取值范围；（本问5分） （3）若 f，g 均为“恒越函数”，求证：对任意 x∈ℝ 都有 f(g(x)) ≥ x；（本问5分） （4）若 f 为“恒越函数”，且对任意 x∈ℝ 都有 f(f(x))＝x，求证：f(x)＝x。（本问5分） （1）计算 所以对任意 都有 ，故 是“恒越函数”。（3分） （2） 即 ，整理得 对一切 恒成立。因二次项系数 （开口向上），恒成立当且仅当判别式非正： 即 ，解得 ，所以 。（5分） （3）因为 是“恒越函数”，对任意 有 　……① 因为 是“恒越函数”，对任意 有 。取 （它也是实数）得 　……② 由不等式传递性，结合 ①② 得 即 对任意 成立。（5分） （4）由 是“恒越函数”知，对任意 有 。用反证法。 假设存在 使 。 记 ，则 ；又因 是实数，由“恒越”性质得 。 于是 ，即 。 这与题设 矛盾。 所以假设不成立，对任意 都有 。（5分） 【易错提醒】　①（1）问的规范写法是作差 并配方，用非负性下结论；②（3）问要用两次“恒越”性质，注意第二次是对 使用，不能跳过；③（4）问的关键是构造 并利用 得到严格不等式，从而与已知等式矛盾。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期高一数学期中模拟试卷 （考试时间：120分钟　满分：150分） 考生注意： 1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟。 2．请将答案写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。 3．本试卷考查范围：沪教版（上海教育出版社）高中数学必修第一册第1—5章（集合与逻辑、等式与不等式、幂、指数与对数、幂函数、指数函数与对数函数、函数的概念性质及应用）。 一、填空题（本大题共12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，共54分） 1．已知全集，集合，，则＝_______。 2．函数的定义域为_______。 3．命题“”的否定为_______。 4．化简：＝_______。 5．已知奇函数满足：当时，，则＝_______。 6．已知幂函数在区间上单调递增，则＝_______。 7．已知集合，，若，则实数的取值范围是_______。 8．函数的最小值为_______。 9．函数（）的图象恒过定点_______。 10．已知，且，则的最小值为_______。 11．已知函数满足（），则＝_______。 12．设表示不超过的最大整数，则关于的方程的实根个数为_______。 二、选择题（本大题共4题，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分，共18分） 13．对于任意实数，“”是“”成立的（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 14．下列各式中，是的函数的是（　　） A． B． C． D． 15．已知，函数与在同一坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 16．对于函数，若存在使，则称为的不动点；若，则称为稳定点。下列说法正确的是（　　） ①不动点一定是稳定点；②稳定点一定是不动点；③若在上单调递增，则稳定点一定是不动点；④若在上单调递减，则稳定点一定是不动点。 A．①②　　B．①③　　C．②④　　D．③④ 三、解答题（本大题共5题，第17—19题每题14分，第20—21题每题18分，共78分） 17．已知集合，。 （1）若，求与；（本问6分） （2）若，求实数的取值范围；（本问4分） （3）若，求实数的取值范围。（本问4分） 18．已知函数。 （1）当时，求不等式的解集；（本问4分） （2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；（本问5分） （3）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围。（本问5分） 19．某文创店销售一种书签。已知书签进价为每个10元，当售价为每个16元时，每天可售出200个；售价每提高1元，日销量就减少10个。设书签的售价为每个元，且售价不低于16元。 （1）写出该店销售这种书签的日利润（单位：元）关于的函数解析式，并注明定义域；（本问4分） （2）当售价为每个多少元时，日利润最大？最大日利润为多少元？（本问5分） （3）若要求日销量不少于150个，则售价应定为每个多少元时，日利润最大？最大日利润为多少元？（本问5分） 20．已知函数。 （1）求函数的定义域，并判断其奇偶性；（本问4分） （2）求证：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；（本问6分） （3）求函数在区间上的最大值与最小值；（本问4分） （4）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围。（本问4分） 21．定义：若函数的定义域为，且对任意，都有，则称为“恒越函数”。 （1）判断函数是否为“恒越函数”，并说明理由；（本问3分） （2）若函数为“恒越函数”，求实数的取值范围；（本问5分） （3）若均为“恒越函数”，求证：对任意，都有；（本问5分） （4）若为“恒越函数”，且对任意都有，求证：。（本问5分） 学科网（北京）股份有限公司 $2026一2027学年第一学期高一数学期中模拟试卷 (考试时间：120分钟满分：150分) 考生注意： 1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟。 2.请将答案写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。 3.本试卷考查范围：沪教版（上海教育出版社)高中数学必修第一册第1一5章（集合与逻辑、等 式与不等式、幂、指数与对数、幂函数、指数函数与对数函数、函数的概念性质及应用)。 一、填空题（本大题共12题，第1一6题每题4分，第7一12题每题5分，共54分） 1.已知全集U=R,集合A={xx2-3x-4≤0}，B={x|2x≥4}，则A∩B= 2.函数f(x)=V4-x2+1g(x-1)的定义域为 3.命题x∈R,x2-x+1≤0的否定为 4.化简：1g2)2+lg2lg5+lg5= 5.已知奇函数f满足：当x≥0时，f(x)=x2-2x,则f(-1)= 6.已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm在区间(0，+oo)上单调递增，则m= 7.已知集合A={x|-1≤x≤7}，B={xm+2≤x≤2m+1},若A∩B=B,则实数m的取值范 围是 8.函数f(x)=x十V2x-1的最小值为 9.函数f(x)=a2x-1+2(a>0,a≠1)的图象恒过定点 10.已知x>0,y>0,且2x+y=2,则+二的最小值为 11.已知函数f满足2f(x)+f(月=3x(x≠0)，则f(x)= 12.设[x]表示不超过x的最大整数，则关于x的方程x2-4[x]+3=0的实根个数为 二、选择题（本大题共4题，第13一14题每题4分，第15一16题每题5分，共18分） 13.对于任意实数a,b,c,“a>b”是“ac2>bc2”成立的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 14.下列各式中，y是x的函数的是() A.y2=x B.y=Vx-2+V1-x C.y=vx-1+v1-x D.y2=4 15.已知a>1,函数f(x)=loga x与g(x)=ax在同一坐标系中的图象大致是() A. B. 16.对于函数f(x),若存在xo使f(x0)=xo,则称x为f的不动点；若f(f(xo)=xo,则称xo为稳定 点。下列说法正确的是() ①不动点一定是稳定点：②稳定点一定是不动点：③若f在R上单调递增，则稳定点一定是不动点： ④若f在R上单调递减，则稳定点一定是不动点。 A.①②B.①③C.②④D.③④ 三、解答题（本大题共5题，第17一19题每题14分，第20一21题每题18分，共78分) 17.已知集合A=[1,2],B={xx2-(a+1)x+a≤0}。 (1)若a=3,求A∩B与CUA:(本问6分) (2)若A∩B=A,求实数a的取值范围：（本问4分) (3)若B二A,求实数a的取值范围。（本问4分） 18.已知函数f(x)=x2+2ax+2。 (1)当a=一1时，求不等式f(x)≥x的解集：（本问4分） 1 (2)若不等式f(x)≥a对一切xeR恒成立，求实数a的取值范围：（本问5分） (3)若不等式f(x)≥0对一切x∈[0,2]恒成立，求实数a的取值范围。（本问5分） 19.某文创店销售一种书签。已知书签进价为每个10元，当售价为每个16元时，每天可售出200 个：售价每提高1元，日销量就减少10个。设书签的售价为每个x元，且售价不低于16元。 (1)写出该店销售这种书签的日利润L(单位：元)关于x的函数解析式，并注明定义域：（本问 4分) (2)当售价为每个多少元时，日利润最大？最大日利润为多少元？（本问5分) (3)若要求日销量不少于150个，则售价应定为每个多少元时，日利润最大？最大日利润为多少 元？（本问5分) 20.已知函数f(x)=x+是。 (1)求函数f(x)的定义域，并判断其奇偶性：（本问4分） (2)求证：函数f(x)在区间(0,1]上单调递减，在区间[1，+o∞)上单调递增：（本问6分） (3)求函数f(x)在区间，3上的最大值与最小值；（本问4分） (4)若关于x的方程f(x)=m在区间(0，+o∞)上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围。（本问 4分) 21.定义：若函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,都有f(x)≥x,则称f为恒越函数。 （1)判断函数f(x)=x2-x+1是否为恒越函数”，并说明理由；（本问3分) (2)若函数f(x)=x2+ax+1为恒越函数”，求实数a的取值范围；（本问5分） (3)若f,g均为恒越函数”，求证：对任意x∈R,都有f(g(x)≥x;（本问5分) (4)若f为恒越函数”，且对任意x∈R都有f(f(x)=x,求证：f(x)=x。（本问5分)2026—2027学年第一学期高一数学期中模拟试卷 答题纸 班级： 姓名： 学号： 座位号： 一、填空题（第1一6题每题4分，第7一12题每题5分，共54分） 1. 7. 2. 8. 3 9. 10. 5 11. 6 12. 二、选择题（第13一14题每题4分，第15一16题每题5分，共18分) 13. Ao Bo Co Do 14. Ao Bo Co Do 15. AO Bo Co Do 16. Ao Bo Co D 第1页共5页 三、解答题（第17一19题每题14分，第20一21题每题18分，共78分） 17.(本题14分) (1)(本问6分) (2)(本问4分) (3)(本问4分) 18.(本题14分) (1)(本问4分) (2)(本问5分) 第2页共5页 (3)(本问5分) 19.(本题14分) (1)(本问4分) (2)(本问5分) (3)(本问5分) 第3页共5页 20.(本题18分) (1)(本问4分) (2)(本问6分) (3)(本问4分) (4)(本问4分) 21.(本题18分) (1)(本问3分) 第4页共5页 (2)(本问5分) (3)(本问5分) (4)(本问5分) 第5页共5页2026一2027学年第一学期高一数学期中模拟试卷 参考答案与详细解析 (考试时间：120分钟满分：150分) 考查范围：沪教版（上海教育出版社）高中数学必修第一册第1一5章 (集合与逻辑、等式与不等式、幂、指数与对数、幂函数、指数函数与对数函数、函数的概念性质及应 用) 填空题（第1一6题每题4分，第7一12题每题5分，共54分) 1.已知全集U=R,集合A={x|x2-3x-4≤0}，B={x|2≥4}，则A∩B= 【答案】[2,4] 【解析】先分别化简两个集合，再求交集。 由x2-3x-4≤0，因式分解得(x-4)(x+1)≤0，解得-1≤x≤4 所以A=[-1,4]。 由2x≥4=22，因底数2>1，函数y=2x单调递增，故不等号方向不变，得x≥ 2 所以B=[2,+o)。 取交集：A∩B=[-1,4]n[2,+∞)=[2,4]。 【易错提醒】①解一元二次不等式要先求根、再结合开口方向定区间；②比较同底指数 幂时，底数大于1不等号方向不变，底数在(0,1)内才反向。 2.函数fx)=V(4-x)+lgx-1)的定义域为 【答案】 (1,2] 【解析】定义域要求每一部分同时有意义，取各部分限制条件的交集。 偶次根式被开方数非负：4-x2≥0 即x2≤4，解得-2≤x≤2 对数真数必须为正：x-1>0,解得x>1 两者取交集：-2≤x≤2与x>1的公共部分为1<x≤2 所以定义域为(1,2]。 【易错提醒】①根号下要≥0，可取等号：②对数的真数要严格>0，不能取等号：③多 个条件必须取交集，不是并集。 3.命题“3xER,x2-x十1≤0”的否定为 【答案】Hx∈R,x2-x+1>0 第1页共13页 【解析】存在量词命题的否定，按“改量词、否结论”两步操作。 第一步改量词：存在量词子改成全称量词V。 第二步否结论：把x2-x+1≤0否定为x2-x+1>0。 所以原命题的否定为：Hx∈R,x2-x+1>0。 验证：因x2-x+1=(x-)2+>0对一切实数恒成立，故原命题是假命题，其 否定是真命题，符合“原命题与否定真假相反。 【易错提醒】①量词必须改写（行→H):②结论要取反面，≤的否定是>，不是≥：③ 全称命题的否定才是存在命题，两者不要混。 4.化简：Qg2)2+lg2lg5+lg5= 【答案】1 【解析】观察结构，提取公因式，再用核心恒等式lg2十lg5=1。 原式=g2)2+lg2.lg5+lg5 前两项提取公因式lg2:=lg21g2+lg5)+1g5 由对数运算性质lg2+lg5=lg(2×5)=1g10=1,代入： 原式=lg2×1+lg5=lg2+lg5=1。 【易错提醒】①千万不要把(1g2)2与1g22混淆，前者是Qg2)(1g2),后者是2lg2:②牢 记1g2+lg5=1,这是本题破题的关键。 5.已知奇函数fx)满足：当x≥0时，fx)=x2-2x,则f(-1)= 【答案】 1 【解析】自变量为负时要用奇偶性把自变量转化到已知区间0，十)。 因为f(x)是奇函数，所以对任意x都有f(-x=-f(8,取x=1得f(-1)=-f(1)。 而1≥0，可用已知解析式：f(1)=12-2×1=-1。 所以f(-1)=-f(1)=-(-1)=1。 【易错提醒】①求负自变量处的函数值，不要硬套x≥0的解析式；②注意f(-1)=-f(1) 中的负号，容易漏掉而错答-1。 6.已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm在区间(0，十o)上单调递增，则m= 【答案】2 【解析】两个条件：①系数必须为1（幂函数定义）；②指数决定单调性。 由幂函数定义，系数为1：m2-m-1=1 即m2-m-2=0,因式分解得(m-2)(m+1)=0,所以m=2或m=-1。 第2页共13页 用单调性筛选（幂函数y=x在(0，+oo)上：α>0递增，u<0递减）： 当m=2时，fx)=x2在(0，+oo)上单调递增，符合； 当m=-1时，f(x)=x1=上在(0，+oo)上单调递减，舍去。 所以m=2。 【易错提醒】①幂函数形如y=x,系数必须为1，这是容易忽略的前提；②求出的两个 根都要代回检验单调性，不能取一个就作答。 7.已知集合A={x|-1≤x≤7乃，B={x|m+2≤x≤2m+1},若A∩B=B,则实数m的取值 范围是 【答案】(-0,3] 【解析】先把条件转化为包含关系，再讨论B是否为空集。 由A∩B=B得B≤A。 情形一：B=0,即左端点大于右端点：m+2>2m+1,解得m<1。空集是任何 集合的子集，此时自动满足。 情形二：B≠0，即m+2≤2m+1,得m≥1，且B的两端都要落在A内： m+2≥-1且2m+1≤7，即m≥-3且m≤3 结合m≥1得1≤m≤3。 两种情况取并集：m<1或1≤m≤3，即m≤3，所以m的取值范围是(-oo,3]。 【易错提醒】①空集是任何集合的子集，漏讨论B=D会丢解：②两种情况最后要取并 集，不是取交集；③端点能否取等要逐一检验（本题m=1与m=3均可取）。 8.函数fx)=x十V(2x-1)的最小值为 【答案】 【解析】含根号的函数求最值，用换元法把根号整体设为新元，化为二次函数。 定义域由2x-1≥0得x≥ 令t=V2x-1,则t≥0，且t2=2x-1,解出x=+。 2。 代入原式：f=生+t=t2+2t+1)=t+1)2 把t看作自变量，tE[0,+∞)。二次函数y=(t+1)2的对称轴为t=-1,开口向 上， 所以在[0，+∞)上单调递增，t=0时取最小值(0+1)2=2 此时x=学=克符合定义域。故最小值为子 第3页共13页 【易错提醒】①换元后必须写出新元的取值范围t≥0，否则会把t=-1误当成最值点； ②结果要能指出取最小值时的x,才算完整。 9.函数fx)=a(2x-1)+2（a>0,a≠1)的图象恒过定点 【答案】(G,3) 【解析】指数型函数过定点，关键是让指数为零一此时a=1与底数a无关。 令指数为零：2x-1=0,解得x=。 此时a2x-1=a°=1，与a的取值无关。 代入得f)=1+2=3。 所以图象恒过定点(，3)。 【易错提醒】 ①定点与底数无关，核心就是指数为零”；②别忘记加上常数项2，错答成 ,10. 10.已知x>0,y>0,且2x+y=2,则1k+2y的最小值为 【答案】4 【解析】这是“乘1法”：把待求式乘以一个恒等于1的式子，再展开用基本不等式。 由2x+y=2两边同除以2，得x+号=1。 用这个1去乘待求式（值不变)： 是+号+3 1,2 展开：=1+签+头+1=2+(+安) 2x 由基本不等式（两项均为正）： +头≥2 y 2x.y=2 2x 2x 所以原式≥2+2=4。 取等条件：=长，即2x=y;联立2x+y=2得x=,y=1,满足x>0,y>0, v 2x 等号可取得。 故最小值为4。 【易错提醒】①必须验证取等条件落在定义域内，否则最小值不成立；②乘1法要求所 乘式子恰等于1，本题须先把2x+y=2化为x+兰=1。 第4页共13页 11.己知函数fx)满足2fx)+f(1/x)=3x（x≠0)，则fx)= 【答案】 fx)=2x-是(x≠0) 【解析】这是“构造方程组”型函数方程，关键是换元再造一个方程。 已知2f()+f3=3x.① 把①中的x全部换成（注意x≠0时也有意义）： 2f哈+f0x)=② ①×2得4fx)+2f白)=6x.③ ③-②消去f白： 4fx)-f)=6x-是即3fx)=6x-是 所以f凶=2x-(x≠0)。 【易错提醒】①换元得到的新方程必须与原方程联立才能解；②消元的系数配凑要细心 (本题①×2后f(x)的系数变成4，与②中为1，相减正好消掉f白)。 12.设[x]表示不超过x的最大整数，则关于x的方程x2-4[x+3=0的实根个数为 【答案】3 【解析】取整函数问题的核心：令=x,把方程转化为对整数n的讨论，再逐段验 证。 设n=x,则n为整数，且由定义有n≤x<n+1。原方程化为 x2=4n-3 ①确定n的存在范围：由x2≥0得4n-3≥0，即n≥：又n为整数，故n≥1。 ②由x≥n≥1>0知x为正，故取x=V4n-3(负根舍去)。 ③代入区间条件n≤x<n+1,得 n≤V4n-3<n+1 左边：n与V4n-3均非负，两边平方得n2≤4n-3,即n2-4n+3≤0，因式 分解为m-1)m-3)≤0，解得1≤n≤3。 右边：n+1与V4n-3均为正，两边平方得4n-3<(n+1)2,移项展开即n2 2n+4>0,配方得(n-1)2+3>0,对一切n恒成立，不产生额外限制。 ④所以整数n的候选为n=1,2,3,逐一代回求x并验证： n=1:x=V1=1,满足1≤1<2，且[1]=1，代回方程1-4+3=0成立： 第5页共13页 n=2:x=V5≈2.24，满足2≤V5<3,且[V51=2,代回方程5-8+3=0 成立 n=3:x=V9=3,满足3≤3<4，且[3]=3，代回方程9-12+3=0成立。 (其余整数段均无解：n≤0时4n-3<0:≥4时V4n-3<n,落不进[n,n+1)。) 故方程恰有3个实根：x=1、x=√5、x=3,实根个数为3。 【易错提醒】①[xm对应的区间是左闭右开[n,n+1),右端点不能取等（若x=n+1则 [x]+1,不是n)；②含根号的不等式两边平方，必须先确认两边非负；③右侧不等式 4n-3<(n+1)2展开是n2-2n+4>0(恒成立)，切勿误写为n2-2n-4>0而错误 地筛掉n=3。 二、选择题（第13一-14题每题4分，第15一16题每题5分，共18分) 13.对于任意实数a,b,c,“a>b”是“ac2>bc2"成立的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必 要条件 【答案】B 【解析】分别检验“→”与“←”两个方向。 检验充分性(a>b能否推出ac2>bc2)：取c=0,则ac2=bc2=0,结论不成 立，故充分性不成立。 检验必要性(ac2>bc2能否推出a>b):由ac2>bc2得c2(a-b)>0。因c2≥ 0,若c=0则ac2=bc2,与已知矛盾，故必有c2>0,两边同除以c2得a>b, 必要性成立。 综上，“a>b推不出ac2>bc2”,但ac2>bc2”能推出a>b,故为必要不充分条 件，选B。 【易错提醒】①检验充分性时找一个反例即可，本题反例就是c=0:②注意c2>0”是 能推出a>b的关键，不要漏掉对c是否为0的讨论。 14.下列各式中，y是x的函数的是() A.y2=x B.y=Vx-2+V1-x C.y=Vx-1+V1-x D.y2=4 【答案】C 【解析】判断“y是x的函数”，核心是：对定义域内每个x,y的值必须唯一。 看A:y2=x中取x=4,则y=2或y=-2,y不唯一，不是函数。 第6页共13页 看B:需x-2≥0且1-x≥0，即x≥2且x≤1，无解，定义域为空集，不能 构成函数。 看C:需x-1≥0且1-x≥0，即x=1,定义域为{1}，此时y=0,y的值唯一， 是函数。 看D:y2=4与x无关，且y=2或y=-2,y不唯一，不是函数。 故选C。 【易错提醒】 ①判定函数的两要素是定义域非空”和对应关系唯一”，二者缺一不可；② B的定义域是空集，这一点最容易被忽略；③定义域为单元素集{1)也仍然是函数，不要 因“只有一个点而排除。 15.已知a>1,函数fx)=log_ax与gx)=a(-x)在同一坐标系中的图象大致是（) A. B. C. D.(见原卷图象) 【答案】 D 【解析】分别判断两个函数的单调性，再看图象的位置关系。 因为a>1,所以fx)=l1ogax在(0，+o)上单调递增，且过点(1,0)，图象位于y轴 右侧。 又g()=a×=令，因0<<1，故g9是单调递减函数，且过点(0,1)，图象 恒在x轴上方。 比对四个选项：只有D中一条是过(1,0)的上升的对数曲线（在y轴右侧），另一 条是过(0,1)的下降的指数曲线，符合上述特征。 【易错提醒】①注意g(x)=ax是指数函数（白×，不是a；②对数函数图象只在y轴右 侧（定义域x>0),指数函数图象恒过(0,1）且恒在x轴上方，这是排除干扰项的两把标 尺”。 16.对于函数f(x),若存在xo使fxo=xo,则称xo为f的不动点：若ff(xo)=xo,则称xo 为稳定点。下列说法正确的是() ①不动点一定是稳定点；②稳定点一定是不动点；③若f在R上单调递增，则稳定点 一定是不动点：④若f在R上单调递减，则稳定点一定是不动点。 A.①②B.①③ C.②④ D.③④ 【答案】B 【解析】逐条判断，关键在于把握“稳定点”与“不动点”的定义方向。 ①设x是不动点，即f(xo)=xo。则f(f(xo)=f(xo)=o,故xo也是稳定点。① 正确。 第7页共13页 ②设xo是稳定点，即f(f(xo)=Xo。记t=f(xo),则f(t)=Xo,但由此*不能*断 定f(xo)=x。例如f(x=-x,取x=1(非0)，则f(f(1)=f(-1)=1,x是稳 定点却满足f(1)=-1≠1，不是不动点。②错误。 ③设x是f的稳定点，即f(f(xo)=Xo。用反证法：若f(xo)>xo,由f在R上单 调递增（保序性），得f(f(xo)>f(xo):于是x=f(f(xo)>f(xo)>x,自相矛盾。 若f〔x)<xo,同理得f(f(xo)<f(xo),即=f(f(xo)<fxo)<x,也矛盾。 故必有f(xo)=xo,即稳定点必是不动点。③正确。 ④取f(x)=一x(在R上单调递减)，则ffx)=f(-x)=X,即*任意*实数都是 稳定点：但不动点需满足f(x)=x,即-x=x,只有0=0。可见存在稳定点（如 0=1)不是不动点。④错误。 正确的有①③，故选B。 【易错提醒】①牢记方向：不动点→稳定点（①对），但反过来不成立（②错）；② 判断③用反证加法，靠的是递增函数保序”：③判断④只需一个反例f(x)=一x,反证法 在此失效一递减函数会“反向保序”，这正是递增与递减结论不同的根源。 三、解答题（第17一19题每题14分，第20一21题每题18分，共78分） 17.(本题14分)已知集合A=[1,2],B={x|x2-(a+1)x+a≤0}。 (1)若a=3,求A∩B与CUA;(本问6分) (2)若A∩B=A,求实数a的取值范围：（本问4分） (3)若BcA,求实数a的取值范围。（本问4分） 【解析】先把B化简：x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a)≤0，所以B由1与a的大 小关系决定。 (1)当a=3时，B={x|(x-1)(x-3)≤0}=[1,3]。 又A=[1,2],所以A∩B=[1,2]n[1,3]=[1,2]:(3分) 全集U=R,故CuA=(-o,1)U(2,+o)。(6分) (2)A∩B=A等价于A≤B。 因为A=[1,2]非空，所以讨论B的形状： 当a≥1时，B=[1,a],要A∈B只需a≥2： 当a<1时，B=[a,1],此时2度B,不可能有A∈B,舍去。 所以a≥2，即a∈[2，+∞)。(4分) (3)B三A,仍按a的大小讨论。 当a≥1时，B=[1,a]∈[1,2]，需a≤2，即1≤a≤2： 第8页共13页 当a<1时，B=[a,1],因a<1而1是A的元素，但a<1时a￠[1,2]，故 B￠A,舍去。 所以a∈[1,2]。(4分) 【易错提醒】①化简B时必须讨论a与1的大小，这决定了B=[1,a]还是B=[a,1]:② “A∩B=A”等价于“A∈B,不要看成B∈A;③端点能否取等(a=1、a=2)要代回逐 验。 18.(本题14分)已知函数fx)=x2+2ax+2。 (1)当a=-1时，求不等式fx)≥x的解集；（本问4分) (2)若不等式fx)≥a对一切xER恒成立，求实数a的取值范围；（本问5分） (3)若不等式fx)≥0对一切x∈[0,2]恒成立，求实数a的取值范围。（本问5分） (1)当a=-1时，f(x=x2-2x+2,不等式为x2-2x+2≥x 整理得x2-3x+2≥0，即(x-1)(x-2)≥0，解得x≤1或x≥2 所以解集为(-∞，1]U[2,+o)。(4分) (2)f(x)≥a对一切xeR恒成立，即x2+2ax+2-a≥0对一切实数恒成立。 因为开口向上，恒成立当且仅当判别式非正： △=(2a)2-4(2-a)=4a2+4a-8=4(a+2)(a-1)≤0 解得-2≤a≤1，即a∈[-2,1]。(5分) (3)f(x)≥0对一切xE[0,2]恒成立。 当x=0时，f(0)=2≥0恒成立，此点不影响a。 当xE(0,2]时，把不等式整理为2x≥-x2-2,两边同除以正数2x: a、 x2+21 2 2x=2x+ 要使该式对一切x∈(0,2]成立，只需a之max-x+3》,即a≥-子mimx+孕。 由基本不等式x+≥2x,是-2V2,当且仅当x=V2E(0,2]时取等，故最小值 为2√2。 所以a≥-2×2V=-V2,即ae[-V2,+∞)。(5分) 【易错提醒】①(2)问是对一切实数恒成立”，直接看判别式；(3)问是对给定区间恒 成立”，要转化为求最值，方法不同：②(3)问分离参数时，除的2x必须确认是正数（此 处x>0),否则不等号方向会变：③取等点x=V2必须落在区间(0,2]内，本题满足， 故等号可取。 第9页共13页 19.（本题14分)某文创店销售一种书签。进价每个10元，售价每个16元时每天售出 200个；售价每提高1元，日销量减少10个。设售价为每个x元，且售价不低于16元。 (1)写出日利润L关于x的函数解析式，并注明定义域：（本问4分） (2)当售价为每个多少元时，日利润最大？最大日利润为多少？（本问5分） (3)若要求日销量不少于150个，测售价定为每个多少元时日利润最大？最大日利润 为多少？（本问5分） (1)售价为x元(x≥16)，比16元提高了(x-16)元，故日销量为 q=200-10(x-16)=360-10x 销量必须非负，由q≥0得360-10x≥0，即x≤36：又x≥16，故定义域为 [16,36]。 日利润=（单价一进价）×日销量，所以 L=(x-10)(360-10x)=-10x2+460x-3600,x∈[16,36]。(4分) (2)L=-10x2+460x-3600是开口向下的二次函数，对称轴为 460 2×(-10=23∈16,36] 所以当x=23时L取最大值： Lmax=L(23)=(23-10)(360-230)=13×130=1690 即售价每个23元时日利润最大，最大日利润1690元。(5分) (3)日销量不少于150个，即360-10x≥150，解得x≤21：结合x≥16得x∈ [16,21] 因对称轴x=23在区间[16,21]的右侧，二次函数开口向下，故L在「16,21]上单调 递增， 所以当x=21时L最大： Lmax=L(21)=(21-10)(360-210)=11×150=1650 即售价每个21元时日利润最大，最大日利润1650元。(5分) 【易错提醒】①定义域不能只写x≥16，还要由销量非负得到x≤36：②二次函数在 闭区间上的最值，必须先判断对称轴是否落在该区间内一(2)落在区间内取顶点，(3) 落在区间外取端点：③别把利润写成销售额”，要减去成本。 20.(本题18分)已知函数fx)=x+1/x。 (1)求定义域，并判断其奇偶性；（本问4分) (2)求证：fx)在区间(0,1]上单调递减，在区间[1，十o)上单调递增：（本问6分） 第10页共13页 (3)求fx)在区间[1/2,3]上的最大值与最小值：（本问4分） (4)若方程fx)=m在区间(0，十o)上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围。 (本问4分) (1)由分母不为零得x≠0，定义域为(-∞，0)U(0,+o),关于原点对称。 又f(-8)=-x+=-(x+月=一f凶，所以f(凶)是奇函数。(4分) (2)任取0<X1<X2,作差： f&1)-fx2)=(&1+)-(&2+) X1 =x-x)+安网 3=K1-)+94 X1X2 =(&1-x2)(1- )= (x1-x2)(X1x2-1) X1X2 X1X2 其中x1-2<0,1X2>0,符号由x1x2-1决定。 当0<X1<X2≤1时，x1X2<1,故x1x2-1<0,于是fx1)-f(x2)>0,即 f(&1)>f(x2),所以f在(0,1]上单调递减： 当1≤为1<X2时，1X2>1,故X1x2-1>0,于是f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)< f(x2),所以f在[1，+o)上单调递增。(6分) (3)由(2)知，f在，1]上递减，在[1,3]上递增， 所以最小值在x=1处取得：f(1)=1+1=2。 再比较两个端点：f咱=+2=3f〔3)=3+日=号而号> 所以最大值为9，最小值为2。(4分) (4)f=m即x+=m,两边乘x>0得 x2-mx+1=0 要有两个不相等的**正**实根，需要同时满足： ①判别式为正：△=m2-4>0,得m>2或m<-2: ②两根之和为正：x1+x2=m>0: ③两根之积为正：x1x2=1>0(恒成立)。 取交集得m>2,即m∈(2，+o)。(4分) (另解：由基本不等式x+之≥2，仅x=1时取等2，故水平线y=m与图象在 (0,+o)上有两个交点时必有m>2。) 第11页共13页 【易错提醒】①作差后要整理成因式积的形式并逐一判断符号，不能只靠观察；②(4) 问除△>0外，还必须保证两根为正(x1+x2>0且x1x2>0)，否则会出现两个负根的情 形；③“两个实根在本题因x>0已限定，故必须强调正根。 21.（本题18分)定义：若函数fx)的定义域为R,且对任意xER都有fx)≥x,则称f为 “恒越函数”。 (1)判断fx)=x2-x十1是否为恒越函数”，并说明理由：（本问3分） (2)若fx)=x2十ax+1为恒越函数，求实数a的取值范围；（本问5分） (3)若f,g均为恒越函数”，求证：对任意xER都有fg(x)≥x;（本问5分) (4)若f为恒越函数”，且对任意xER都有ffx)=x,求证：fx)=x。(本问5分) (1)计算fx)-x=x2-x+1-x=x2-2x+1=(x-1)2≥0 所以对任意xER都有f(x)≥x,故f(x)=x2-x+1是恒越函数”。(3分) (2)f(x)≥x即x2+ax+1≥x,整理得 x2+(a-1)x+1≥0 对一切x∈R恒成立。因二次项系数1>0（开口向上)，恒成立当且仅当判别式非 正： △=(a-1)2-4≤0 即(a-1)2≤4，解得-2≤a-1≤2，所以a∈[-1,3]。(5分) (3)因为g是恒越函数，对任意x∈R有 g(x)≥x.① 因为f是恒越函数，对任意tER有f(t)≥t。取t=g(x)(它也是实数)得 f(g(X)≥g(x)..② 由不等式传递性，结合①②得 f(g(X)≥g(X)≥x 即f(g(x)≥x对任意x∈R成立。(5分) (4)由f是恒越函数知，对任意x∈R有f(x)≥x。用反证法。 假设存在xER使f(xo)>X 记u=fxo),则u>xo:又因u是实数，由恒越性质得f(u)≥u。 于是f(f(xo)=f(u)≥u=f(xo)>x,即ff(xo)>xo。 这与题设f(f(x)=xo矛盾。 所以假设不成立，对任意x∈R都有f(x)=x。（5分) 第12页共13页 【易错提醒】①(1)问的规范写法是作差f(☒一x并配方，用非负性下结论：②(3)问 要用两次恒越性质，注意第二次是对t=g(x使用，不能跳过；③（4)问的关键是构造 f(fx)并利用f(u≥u得到严格不等式，从而与已知等式矛盾。 第13页共13页 2026—2027学年第一学期高一数学期中模拟试卷 （考试时间：120分钟　满分：150分） 考生注意： 1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟。 2．请将答案写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。 3．本试卷考查范围：沪教版（上海教育出版社）高中数学必修第一册第1—5章（集合与逻辑、等式与不等式、幂、指数与对数、幂函数、指数函数与对数函数、函数的概念性质及应用）。 一、填空题（本大题共12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，共54分） 1．已知全集，集合，，则＝_______。 2．函数的定义域为_______。 3．命题“”的否定为_______。 4．化简：＝_______。 5．已知奇函数满足：当时，，则＝_______。 6．已知幂函数在区间上单调递增，则＝_______。 7．已知集合，，若，则实数的取值范围是_______。 8．函数的最小值为_______。 9．函数（）的图象恒过定点_______。 10．已知，且，则的最小值为_______。 11．已知函数满足（），则＝_______。 12．设表示不超过的最大整数，则关于的方程的实根个数为_______。 二、选择题（本大题共4题，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分，共18分） 13．对于任意实数，“”是“”成立的（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 14．下列各式中，是的函数的是（　　） A． B． C． D． 15．已知，函数与在同一坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 16．对于函数，若存在使，则称为的不动点；若，则称为稳定点。下列说法正确的是（　　） ①不动点一定是稳定点；②稳定点一定是不动点；③若在上单调递增，则稳定点一定是不动点；④若在上单调递减，则稳定点一定是不动点。 A．①②　　B．①③　　C．②④　　D．③④ 三、解答题（本大题共5题，第17—19题每题14分，第20—21题每题18分，共78分） 17．已知集合，。 （1）若，求与；（本问6分） （2）若，求实数的取值范围；（本问4分） （3）若，求实数的取值范围。（本问4分） 18．已知函数。 （1）当时，求不等式的解集；（本问4分） （2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；（本问5分） （3）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围。（本问5分） 19．某文创店销售一种书签。已知书签进价为每个10元，当售价为每个16元时，每天可售出200个；售价每提高1元，日销量就减少10个。设书签的售价为每个元，且售价不低于16元。 （1）写出该店销售这种书签的日利润（单位：元）关于的函数解析式，并注明定义域；（本问4分） （2）当售价为每个多少元时，日利润最大？最大日利润为多少元？（本问5分） （3）若要求日销量不少于150个，则售价应定为每个多少元时，日利润最大？最大日利润为多少元？（本问5分） 20．已知函数。 （1）求函数的定义域，并判断其奇偶性；（本问4分） （2）求证：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；（本问6分） （3）求函数在区间上的最大值与最小值；（本问4分） （4）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围。（本问4分） 21．定义：若函数的定义域为，且对任意，都有，则称为“恒越函数”。 （1）判断函数是否为“恒越函数”，并说明理由；（本问3分） （2）若函数为“恒越函数”，求实数的取值范围；（本问5分） （3）若均为“恒越函数”，求证：对任意，都有；（本问5分） （4）若为“恒越函数”，且对任意都有，求证：。（本问5分） 学科网（北京）股份有限公司 $2026一2027学年第一学期高一数学期中模拟试卷 答题纸 班级： 姓名： 学号： 座位号： 一、填空题（第1一6题每题4分，第7一12题每题5分，共54分) 1. 7. 8. 9 4 10. 6 12. 二、 选择题（第13一14题每题4分，第15一16题每题5分，共18分） 13. Bo Co Do 14. Ao Bo Co Do 15. Ao Bo Co Do 16. Ao Bo Co Do 第1页共5页 三、解答题（第17一19题每题14分，第20一21题每题18分，共78分） 17.（本题14分) (1)(本问6分) (2)(本问4分) (3)(本问4分) 18.(本题14分) (1)(本问4分) (2)(本问5分) 第2页共5页 (3)(本问5分) 19.(本题14分) (1)(本问4分) (2)(本问5分) (3)(本问5分) 第3页共5页 20.(本题18分) (1)(本问4分) (2)(本问6分) (3)(本问4分) (4)(本问4分) 第4页共5页 21.(本题18分) (1)(本问3分) (2)(本问5分) (3)(本问5分) (4)(本问5分) 第5页共5页