专题03 等式与不等式性质及一元二次不等式13大题型68题（期中专项训练）高一数学上学期沪教版

专题03 等式与不等式性质及一元二次不等式 基础·固本强基 题型一、用不等式表示不等关系 题型二、由已知条件判断所给不等式是否正确（重点） 题型三、作差法比较代数式的大小 题型四、解不含参数的一元二次不等式（重点） 提升·进阶突破 题型五、利用不等式求取值范围 题型六、由不等式的性质证明不等式 题型七、解分式不等式、绝对值不等式 题型八、由一元二次不等式的解确定参数（重点） 题型九、一元二次不等式的实际应用（重点） 拔高·压轴破难 题型十、解含有参数的一元二次不等式（难点） 题型十一、一元二次方程根的分布问题 题型十二、一元二次不等式中的恒成立问题（难点） 题型十三、一元二次不等式中的有解问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、用不等式表示不等关系 【模型】把文字描述的数量大小、多少、限制关系，翻译成数学不等式，实现文字语言向符号语言转化。 【步骤】①读懂题意，找准各个量；②抓住关键词：大于、不小于、至多、至少；③选用不等号列出对应不等式。 【易错】混淆“至多、至少、不大于”等词语，错用不等号；漏看题目隐藏的非负等限制条件。 1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 2．某矿山车队有4辆载重为的甲型卡车和7辆载重为的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，如果设每天派出甲型卡车辆，乙型卡车辆，则满足上述所有不等关系的不等式组为________. 3．配制两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂种药需甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂种药需甲料5毫克，乙料4毫克.今有甲料20毫克，乙料25毫克，若、两种药至少各配一剂，应满足的条件是________. 题型二、由已知条件判断所给不等式是否正确 【模型】依托不等式基本性质，结合已知不等关系，判断变形之后不等式的正误，可举反例排除错误选项。 【步骤】①回忆不等式性质，尤其注意乘除负数变号；②逐条分析选项；③错误选项可举特殊值反例验证。 【易错】不等式两边同乘负数忘记改变不等号方向；默认字母为正数，忽略字母可负的情况。 4．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．若，，，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 6．下列命题中正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．已知、、且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 9．若，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型三、作差法比较代数式的大小 【模型】两式作差，将差值与0比较：差大于0则前者大，差小于0则后者大，差等于0两式相等。 【步骤】①两个代数式相减；②对差式进行因式分解或者配方变形；③判断差与0的大小关系得出结论。 【易错】作差化简不彻底，直接下结论；变形过程计算出错，导致大小关系判断颠倒。 10．设，则（    ） A． B． C． D． 11．若，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 12．由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加40升的燃油；第二种方案：每次加300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（    ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案划算 13．，，，则，，，由大到小的顺序是（     ） A． B． C． D． 14．比较下列各题中两个代数式值的大小. (1) 与 ; (2) 与 (). 题型四、解不含参数的一元二次不等式 【模型】结合一元二次函数图像，先求对应一元二次方程的根，再根据二次项正负写出不等式解集。 【步骤】①化二次项系数为正；②解对应一元二次方程求根；③根据开口方向写解集，大于取两边，小于取中间。 【易错】二次项系数为负没有先变正；分不清“大于取两边、小于取中间”；解集忘记写成集合或区间形式。 15．不等式的解集为（ ） A．     B． C．     D． 16．设集合，，则（     ） A． B． C． D． 17．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．不等式的解集是_____________ ． 提升·进阶突破 题型五、利用不等式求取值范围 【模型】利用不等式的加减性质求范围，不能随意相乘；已知多个变量范围，求代数式整体取值。 【步骤】①明确已知各变量的取值区间；②利用不等式同向可加性运算；③尽量整体代换，避免单独求变量再相乘。 【易错】多次使用不等式放缩，造成范围扩大；直接对不等式两边做乘法，忽略正负条件。 20．已知，，（    ） A． B． C． D． 21．若，，则的取值范围是________． 22．已知，，则的取值范围是________． 23．已知，，则的取值范围是______ 题型六、由不等式的性质证明不等式 【模型】运用不等式的传递性、可加性、乘除符号规则，通过等价变形，由已知条件推导出目标不等式。 【步骤】①观察条件式与目标式差异；②选用合适不等式性质变形；③步步推导，保证每一步变形依据成立。 【易错】变形时随意乘除代数式，不判断正负；使用不等式性质缺少前提条件，推导逻辑不严谨。 24．已知，且，求证： 25．（1）已知，证明：． （2）已知均为正数，证明：． 26．设．注： (1)证明：； (2)若，求的最小值． 27．已知且求证： (1)，； (2)； (3). 题型七、解分式不等式、绝对值不等式 【模型】分式不等式转化为整式不等式（注意分母不为0）；绝对值不等式根据定义去绝对值符号求解。 【步骤】①分式：移项通分，转化为乘积形式，分母≠0；②绝对值：；；③写出解集。 【易错】解分式直接两边乘分母，忽略分母正负；解分式忘记分母不等于0；绝对值不等式去绝对值符号出错。 28．已知集合． (1)求； (2)求． 29．命题：“”是命题：“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 30．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 31．不等式的解集是___________． 32．满足不等式的的取值范围是______. 33．已知集合，则_____________________． 题型八、由一元二次不等式的解确定参数 【模型】已知一元二次不等式解集，反推对应方程的根，利用韦达定理建立等式求解参数。 【步骤】①根据解集写出对应一元二次方程的两根；②使用韦达定理列方程；③求出参数后回代检验原不等式。 【易错】忽略二次项系数正负与开口方向；韦达定理公式记错；求出参数不代入原题验证。 34．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C．或 D．或 35．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 36．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 37．若不等式的解集为，则成立的充要条件是（     ） A． B． C． D． 38．已知关于x的不等式的解集为，则______ 39．已知关于的不等式的解集为或. (1)求、的值； (2)解关于的不等式． 题型九、一元二次不等式的实际应用 【模型】把实际问题抽象成一元二次不等式数学模型，求解之后结合现实意义取舍结果。 【步骤】①设未知数，根据题意列出一元二次不等式；②求解不等式得到解集；③结合实际舍去不符合现实的解。 【易错】只算数学解集，忽略实际约束，如人数、长度大于0；审题不清，不等式列式错误。 40．在如图所示的锐角三角形空地中，要建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：）的取值范围是（   ） A． B． C． D． 41．如图，据监测，目前热带风暴中心位于某码头O的南偏东方向、距码头km的点A处，并以km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心500 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时长为________h. 42．甲，乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费用小于万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险.设，，甲，乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少投入宣传费用，问甲公司应投入______万元宣传费. 43．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？ 44．某电商新售产品，售价每件元，年销售量为万件．为支持新品发售，第一年免征营业税，第二年需征收销售额的营业税（即每销售元征税元）．第二年，电商决定将产品的售价提高元，预计年销售量减少万件．要使第二年产品上交的营业税不少于万元，则的最大值是多少？ 45．某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本、据市场调查，杂志的单价每提高1元，销售量就减少0.2万本，假定杂志的成本是每本10元（不计其他成本）. (1)当杂志以每本30元定价销售时，求销售该杂志所获利润； (2)在每本25元的价格的基础上提高定价，试确定杂志的定价在什么范围内可使得销售利润不低于140万元. 拔高·压轴破难 题型十、解含有参数的一元二次不等式 【模型】对参数分类讨论：讨论二次项系数是否为0，判别式正负，根的大小关系，分段写出解集。 【步骤】①讨论二次项系数是否等于0；②计算判别式，判断有无实根；③比较两根大小，分情况写解集。 【易错】遗漏二次项系数等于0（退化为一次不等式）的讨论；两根大小比较考虑不全；解集书写混乱。 46．关于的不等式的解集中恰有4个整数，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 47．解关于的不等式 48．求关于的不等式的解集. 49．已知不等式的解集为. (1)求的值，并求不等式的解集； (2)当实数时，解关于的不等式. 50．已知函数. (1)当时，求在区间上的最大值； (2)当时，解关于的不等式. 51．已知函数． (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 题型十一、一元二次方程根的分布问题 【模型】借助二次函数图像，从开口方向、判别式、对称轴、端点函数值四个维度列不等式组约束根的位置。 【步骤】①确定二次函数开口方向；②根据根的位置，写出、对称轴、区间端点函数值条件；③解不等式组求参数。 【易错】只看判别式，忽略端点函数值、对称轴条件；漏掉等号，造成参数范围少解或多解。 52．关于的方程的两个实根，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 53．方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 54．已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 55．关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 56．已知关于的方程有两个根，且一个大于1，一个小于1，则实数的可能取值为（     ） A． B． C． D． 57．已知方程的两根分别是和，且满足，则实数a的取值范围是________． 题型十二、一元二次不等式中的恒成立问题 【模型】一元二次在某区间恒成立，分二次项系数为0、不为0，结合判别式、图像端点函数值建立条件。 【步骤】①讨论二次项系数是否为0；②全体实数上恒成立看开口与；③指定区间恒成立看端点、最值。 【易错】不区分“全体实数恒成立”和“某区间上恒成立”；漏掉二次项系数等于0的情况。 58．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 59．不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 60．已知集合，对于满足集合的所有实数，则使得不等式恒成立的的取值可能为（    ） A． B． C． D． 61．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________. 62．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是_________． 题型十三、一元二次不等式中的有解问题 【模型】存在使不等式成立，等价于函数在区间内的最值满足条件，区分有解和恒成立的逻辑差异。 【步骤】①分清题意是“有解”还是“恒成立”；②转化为函数最大值或者最小值满足条件；③求解参数范围。 【易错】混淆有解与恒成立对应的最值条件；把“存在”当成“任意”，列错不等式条件。 63．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 64．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 65．已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 66．存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 67．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为________． 68．若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是____________. $专题03 等式与不等式性质及一元二次不等式 基础·固本强基 题型一、用不等式表示不等关系 题型二、由已知条件判断所给不等式是否正确（重点） 题型三、作差法比较代数式的大小 题型四、解不含参数的一元二次不等式（重点） 提升·进阶突破 题型五、利用不等式求取值范围 题型六、由不等式的性质证明不等式 题型七、解分式不等式、绝对值不等式 题型八、由一元二次不等式的解确定参数（重点） 题型九、一元二次不等式的实际应用（重点） 拔高·压轴破难 题型十、解含有参数的一元二次不等式（难点） 题型十一、一元二次方程根的分布问题 题型十二、一元二次不等式中的恒成立问题（难点） 题型十三、一元二次不等式中的有解问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、用不等式表示不等关系 【模型】把文字描述的数量大小、多少、限制关系，翻译成数学不等式，实现文字语言向符号语言转化。 【步骤】①读懂题意，找准各个量；②抓住关键词：大于、不小于、至多、至少；③选用不等号列出对应不等式。 【易错】混淆“至多、至少、不大于”等词语，错用不等号；漏看题目隐藏的非负等限制条件。 1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，可知，其中， 化简得 2．某矿山车队有4辆载重为的甲型卡车和7辆载重为的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，如果设每天派出甲型卡车辆，乙型卡车辆，则满足上述所有不等关系的不等式组为________. 【答案】 【详解】根据题意得，需要满足如下不等关系：①， ，化简为②， 又③，④,且；⑤ 由①、②、③、④、⑤组成不等式组，即. 3．配制两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂种药需甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂种药需甲料5毫克，乙料4毫克.今有甲料20毫克，乙料25毫克，若、两种药至少各配一剂，应满足的条件是________. 【答案】 【详解】设两种药分别配剂，则. 即. 题型二、由已知条件判断所给不等式是否正确 【模型】依托不等式基本性质，结合已知不等关系，判断变形之后不等式的正误，可举反例排除错误选项。 【步骤】①回忆不等式性质，尤其注意乘除负数变号；②逐条分析选项；③错误选项可举特殊值反例验证。 【易错】不等式两边同乘负数忘记改变不等号方向；默认字母为正数，忽略字母可负的情况。 4．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】选项：由可知分母，根据不等式的基本性质，不等式两边同乘正数， 不等号方向不变，可得，正确； 选项：计算两个分式的差：， 由，可得，因此差为正，即，错误； 选项：取，满足， 此时，即，不满足错误， 选项：取，满足， 此时，即，不满足，错误. 5．若，，，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：当时，故A错误； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为，则，所以， 所以，故C错误； 对于D：因为，所以，，所以，故D正确； 6．下列命题中正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，当时，显然不成立，A错误； 对于B，取，满足，此时不成立，B错误； 对于C，取，满足，此时不成立，C错误； 对于D，因为，可知，故，D正确. 7．已知、、且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A：因为恒成立，且，所以一定成立，所以A正确； 对于B：当时，满足，此时，所以B错误； 对于C：当时，由，得，所以C错误； 对于D：当时，满足，此时，所以D错误. 8．已知，，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，取，易得，故A错误； 对于B，取，易得，故B错误； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，，故D正确. 9．若，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，取，得，B错误； 对于C，，由，得 ， 则 ， ，即，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 题型三、作差法比较代数式的大小 【模型】两式作差，将差值与0比较：差大于0则前者大，差小于0则后者大，差等于0两式相等。 【步骤】①两个代数式相减；②对差式进行因式分解或者配方变形；③判断差与0的大小关系得出结论。 【易错】作差化简不彻底，直接下结论；变形过程计算出错，导致大小关系判断颠倒。 10．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知 ； 又，， 因此，即， 当且仅当且时等号成立. 11．若，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【详解】， 故 12．由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加40升的燃油；第二种方案：每次加300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（    ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案划算 【答案】B 【详解】设第一次油价为元 / 升，第二次油价为元 / 升，， 第一种方案的均价是，第二种方案的均价是， 由，所以第二种方案的均价更低，更划算. 13．，，，则，，，由大到小的顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，. ， 因为，，故，， 因此，即； 又，故. ， 因为，，故，， 因此，即； 又，故. 综上，即. 14．比较下列各题中两个代数式值的大小. (1) 与 ; (2) 与 (). 【答案】(1) （当 时取等号）. (2). 【分析】 【详解】（1）作差：. 因为 恒成立，所以 （当 时取等号）. （2）作差：. 因为 ，所以 ，，，. 因此 ，所以 . 题型四、解不含参数的一元二次不等式 【模型】结合一元二次函数图像，先求对应一元二次方程的根，再根据二次项正负写出不等式解集。 【步骤】①化二次项系数为正；②解对应一元二次方程求根；③根据开口方向写解集，大于取两边，小于取中间。 【易错】二次项系数为负没有先变正；分不清“大于取两边、小于取中间”；解集忘记写成集合或区间形式。 15．不等式的解集为（ ） A．     B． C．     D． 【答案】A 【详解】等价于， 令， 即， 解得，， 所以不等式的解集为， 即原不等式解集为. 16．设集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，解得， 所以， 又， 所以． 17．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因等价于或， 由显然可推出，则“”是“”的充分条件； 当或时，若取显然不满足，则“”不是“”的必要条件. 是的充分不必要条件. 18．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，即， 记其解集为，条件""的解集为， 由于“”是“”的必要不充分条件，则为的真子集， 所以，即的取值范围是. 19．不等式的解集是_____________ ． 【答案】 【详解】不等式可化为， 即或，解得. 所以不等式的解集为. 提升·进阶突破 题型五、利用不等式求取值范围 【模型】利用不等式的加减性质求范围，不能随意相乘；已知多个变量范围，求代数式整体取值。 【步骤】①明确已知各变量的取值区间；②利用不等式同向可加性运算；③尽量整体代换，避免单独求变量再相乘。 【易错】多次使用不等式放缩，造成范围扩大；直接对不等式两边做乘法，忽略正负条件。 20．已知，，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A： ， ， 即，故A错误； 选项B： ， ，又， ， 即，故B错误； 选项C： ， ， ， 异号，， ，故C正确； 选项D： ，，， 又， ， ， 异号，， ，故D错误． 21．若，，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】由，可得， 因为， 所以可得. 22．已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】设， 则， 即，解得：， 所以. 又因为，，且， 所以， 即. 23．已知，，则的取值范围是______ 【答案】 【详解】设（）， 则， 故有 ，解得 ， 因此， 由，得 ①； 由，得 ②； 将①和②相加，得， 即的取值范围为. 题型六、由不等式的性质证明不等式 【模型】运用不等式的传递性、可加性、乘除符号规则，通过等价变形，由已知条件推导出目标不等式。 【步骤】①观察条件式与目标式差异；②选用合适不等式性质变形；③步步推导，保证每一步变形依据成立。 【易错】变形时随意乘除代数式，不判断正负；使用不等式性质缺少前提条件，推导逻辑不严谨。 24．已知，且，求证： 【答案】因为，且，可得，， 所以， 所以，可得， 又因为， 所以， 所以，所以， 因为，由不等式的性质，可得，故． 【详解】略 25．（1）已知，证明：． （2）已知均为正数，证明：． 【答案】（1）证明： 因为，所以. 因为，所以， 所以. （2）证明： 因为，所以，当且仅当时，等号成立. 同理，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当时，等号成立. 【分析】 【详解】（1）略； （2）略. 26．设．注： (1)证明：； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)证明：， ． 均不为0，则， ． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由可知． ， 当且仅当时，取等号，． 的最小值为. 27．已知且求证： (1)，； (2)； (3). 【答案】(1)证明: ，， ，， ，， ，； (2)证明: ， ， ， ， ， . 同理，，则有， ， ， ， 综上； (3)证明: ， ， ， ， ， . 【分析】 【详解】（1）略； （2）略； （3）略. 题型七、解分式不等式、绝对值不等式 【模型】分式不等式转化为整式不等式（注意分母不为0）；绝对值不等式根据定义去绝对值符号求解。 【步骤】①分式：移项通分，转化为乘积形式，分母≠0；②绝对值：；；③写出解集。 【易错】解分式直接两边乘分母，忽略分母正负；解分式忘记分母不等于0；绝对值不等式去绝对值符号出错。 28．已知集合． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得，解得；故； 由可得，解得；故； 解得； （2）由（1）可得，则或; 故． 29．命题：“”是命题：“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由，则，解得； 由，则，解得， 则是的充分不必要条件. 30．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即， 化简得，即，解得或， 所以不等式的解集是． 31．不等式的解集是___________． 【答案】 【详解】原不等式可化为，即 ， 等价于，即。 原不等式的解集为. 32．满足不等式的的取值范围是______. 【答案】 【详解】由得 ， 解得， 所以的取值范围是. 33．已知集合，则_____________________． 【答案】 【详解】由，所以或， 又所以. 题型八、由一元二次不等式的解确定参数 【模型】已知一元二次不等式解集，反推对应方程的根，利用韦达定理建立等式求解参数。 【步骤】①根据解集写出对应一元二次方程的两根；②使用韦达定理列方程；③求出参数后回代检验原不等式。 【易错】忽略二次项系数正负与开口方向；韦达定理公式记错；求出参数不代入原题验证。 34．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为不等式的解集为， 所以且，所以， 所以不等式即为， 即，解得， 所以不等式的解集为. 35．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为不等式的解集为， 所以，且方程的两个实根为，， 根据韦达定理得，所以，即， 则不等式，即为，即， 由于，因此，解得， 即不等式的解集为. 36．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，不等式为不成立，故解集为； 当时，二次不等式大于0解集为空集，即二次函数恒成立； 则，即，解得； 综上， 所以实数的取值范围是. 37．若不等式的解集为，则成立的充要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为不等式的解集为， 所以与是方程的两个根，且， 所以，， 则不等式可化为，解得， 所以成立的充要条件是. 38．已知关于x的不等式的解集为，则______ 【答案】0 【详解】已知不等式：的解集为， 由此可知：一元二次方程的两个根为，，且， 由韦达定理得，解得， 所以. 39．已知关于的不等式的解集为或. (1)求、的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为或， 则，且为方程的根，所以，解得， 由，得到，所以或，故. （2）由（1）知，，则不等式即为， 由，即，解得， 所以原不等式的解集为. 题型九、一元二次不等式的实际应用 【模型】把实际问题抽象成一元二次不等式数学模型，求解之后结合现实意义取舍结果。 【步骤】①设未知数，根据题意列出一元二次不等式；②求解不等式得到解集；③结合实际舍去不符合现实的解。 【易错】只算数学解集，忽略实际约束，如人数、长度大于0；审题不清，不等式列式错误。 40．在如图所示的锐角三角形空地中，要建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：）的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，过作于，交于，则. 因为，所以，因此，即， 得，，所以矩形花园的面积， 又因为矩形的面积不小于，所以， 即，，解得. 因此的取值范围为． 41．如图，据监测，目前热带风暴中心位于某码头O的南偏东方向、距码头km的点A处，并以km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心500 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时长为________h. 【答案】30 【详解】记热带风暴中心t小时后到达点B处，如图，自B向x轴作垂线，垂足为C. 由题意，知km，则km，km. 若在点B处受到热带风暴的影响，则km，即， 可得，解得， 所以该码头将受到热带风暴影响的时长为. 42．甲，乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费用小于万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险.设，，甲，乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少投入宣传费用，问甲公司应投入______万元宣传费. 【答案】24 【详解】设甲公司应投入万元宣传费，乙公司应投入万元宣传费， 则，即， 可得，即， 设，则，可得， 整理可得，解得或（舍去）， 即，可得，此时，符合题意， 所以甲公司应投入24万元宣传费. 故答案为：24. 43．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？ 【答案】花卉带的宽度应大于等于，且小于. 【详解】设花卉带的宽度应为，则， 即，化简得 解得，又因为，所以， 所以花卉带的宽度应大于等于，且小于. 44．某电商新售产品，售价每件元，年销售量为万件．为支持新品发售，第一年免征营业税，第二年需征收销售额的营业税（即每销售元征税元）．第二年，电商决定将产品的售价提高元，预计年销售量减少万件．要使第二年产品上交的营业税不少于万元，则的最大值是多少？ 【答案】 【详解】由题意，第二年产品年销售量为万件，产品的售价为元， 所以，第二年产品年销售额为万元， 则第二年产品上交的营业税为万元． 由题意可得， 化简得，即，解得． 所以的最大值是． 45．某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本、据市场调查，杂志的单价每提高1元，销售量就减少0.2万本，假定杂志的成本是每本10元（不计其他成本）. (1)当杂志以每本30元定价销售时，求销售该杂志所获利润； (2)在每本25元的价格的基础上提高定价，试确定杂志的定价在什么范围内可使得销售利润不低于140万元. 【答案】(1)140万元 (2)每本不低于30元且不高于45元 【分析】 【详解】（1）当杂志以30元定价销售时， 销售该杂志所获利润为：万元. （2）设杂志的定价为每本元， 由题意，得，解得， 所以杂志的定价在每本不低于30元且不高于45元的范围内，可使得销售利润不低于140万元. 拔高·压轴破难 题型十、解含有参数的一元二次不等式 【模型】对参数分类讨论：讨论二次项系数是否为0，判别式正负，根的大小关系，分段写出解集。 【步骤】①讨论二次项系数是否等于0；②计算判别式，判断有无实根；③比较两根大小，分情况写解集。 【易错】遗漏二次项系数等于0（退化为一次不等式）的讨论；两根大小比较考虑不全；解集书写混乱。 46．关于的不等式的解集中恰有4个整数，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】首先将不等式左侧因式分解，可得 分三类讨论： 当时，不等式解集为，若解集中恰有4个整数，则整数为1、2、3、4，因此需满足； 当时，不等式解集为，若解集中恰有4个整数，则整数为、、0、1，因此需满足； 当时，不等式解集为，仅含1个整数，不符合题意； 综合上述情况，实数的取值集合为. 47．解关于的不等式 【答案】 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 【详解】当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 此时，所以不等式的解集为 当时，不等式化为， 当时，，不等式的解集为或； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 48．求关于的不等式的解集. 【答案】 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【详解】不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 当时，解得或； 当时，解得； 当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 49．已知不等式的解集为. (1)求的值，并求不等式的解集； (2)当实数时，解关于的不等式. 【答案】(1)，，不等式解集为 (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【详解】（1）由题意知，和是方程的实数根， 故由韦达定理得：，解得，则， 即的解集为. （2）由（1）得：，又， 当时，，则， 当时，，则不等式无解， 当时，，则， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 50．已知函数. (1)当时，求在区间上的最大值； (2)当时，解关于的不等式. 【答案】(1)6 (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】 【详解】（1）当时，，二次函数开口向上，对称轴为， 则有在上单调递减，在上单调递增， 且有，， 所以在区间上的最大值为6. （2）当时，原不等式等价于， ①当，即时，不等式的解或； ②当，即时，不等式的解为； ③当，即时，不等式的解为或， 综上所述： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 51．已知函数． (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)； (2) 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 【分析】 【详解】（1），不等式恒成立，则，解得， 所以实数的取值范围是. （2）不等式， 当时，，解得或； 当时，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 题型十一、一元二次方程根的分布问题 【模型】借助二次函数图像，从开口方向、判别式、对称轴、端点函数值四个维度列不等式组约束根的位置。 【步骤】①确定二次函数开口方向；②根据根的位置，写出、对称轴、区间端点函数值条件；③解不等式组求参数。 【易错】只看判别式，忽略端点函数值、对称轴条件；漏掉等号，造成参数范围少解或多解。 52．关于的方程的两个实根，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令函数，这是一个开口向上的二次函数， 根据题意可知，方程的两个实根、满足， 所以函数只需满足，即，解得， 所以实数的取值范围为，故C正确. 53．方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法1：因为方程有一正根和一负根， 则，得， 所以条件成立的一个充分不必要条件为． 方法2：设， 因为方程有一正根和一负根， 所以或，解得， 所以条件成立的一个充分不必要条件是． 故选：C． 54．已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，设的两根为， 由都在区间内，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D 55．关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B 56．已知关于的方程有两个根，且一个大于1，一个小于1，则实数的可能取值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】可化为， 解得，， 由题意可知，解得， 57．已知方程的两根分别是和，且满足，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【详解】由题意得，解得或， 又，即，故，解得， 综上，的取值范围是 题型十二、一元二次不等式中的恒成立问题 【模型】一元二次在某区间恒成立，分二次项系数为0、不为0，结合判别式、图像端点函数值建立条件。 【步骤】①讨论二次项系数是否为0；②全体实数上恒成立看开口与；③指定区间恒成立看端点、最值。 【易错】不区分“全体实数恒成立”和“某区间上恒成立”；漏掉二次项系数等于0的情况。 58．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若关于的不等式的解集为， 则，解得：， 所以的取值范围是. 59．不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 60．已知集合，对于满足集合的所有实数，则使得不等式恒成立的的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，解得， 即当时，恒成立，即恒成立， 故或，即或恒成立， 因为，所以， 故或. 61．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】当时，解得，此时，符合题意， 当时，解得， 若不等式的解集为， 可得，解得， 综上可得实数的取值范围为. 62．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是_________． 【答案】 【详解】当时，不等式恒成立，满足题设， 当时，要使不等式恒成立，则，解得， 综上，的取值范围为. 题型十三、一元二次不等式中的有解问题 【模型】存在使不等式成立，等价于函数在区间内的最值满足条件，区分有解和恒成立的逻辑差异。 【步骤】①分清题意是“有解”还是“恒成立”；②转化为函数最大值或者最小值满足条件；③求解参数范围。 【易错】混淆有解与恒成立对应的最值条件；把“存在”当成“任意”，列错不等式条件。 63．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，不等式化为，解得，存在解，符合题意； 当时，二次函数开口向上，必然存在使得，故符合题意； 当时，二次函数开口向下，若不等式有解，则需，解得， 又，所以. 综上，的取值范围为. 64．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，由，可得，则， 因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最大值为，故. 故选：A. 65．已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【详解】令， 当时，抛物线开口向下，对称轴为， 在上单调递减，且当趋向于时，趋向于， 由函数连续性可知，必存在，使得，故满足要求； 当时，不等式可化为，解得， 故存在使得不等式成立，满足要求； 当时，抛物线开口向上，需满足以下条件，，解得， 此时对称轴为， 所以在上，函数最小值为，满足要求， 即当时，存在，使得， 综上，实数的取值范围为. 66．存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 【答案】 【详解】存在，使不等式成立， 则实数，即得， 所以，所以的取值范围是 67．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【详解】因为存在，使得不等式成立， 所以存在，使得不等式成立， 令，因为对称轴为，所以当时，函数取得最小值为，所以． 故答案为：． 68．若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【分析】 【详解】设不等式的解集为， 当时，不等式化为，存在整数使不等式成立，所以此时不满足题意，所以； 当时，原不等式化为， 因为,当且仅当即时取等号， 所以， 要使命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则需， 解得； 当时，原不等式化为， 而，当且仅当即时取等号， 所以,所以存在整数使不等式成立，所以不合题意. 综上可知，实数的取值范围是. 故答案为. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和基本不等式的应用，关键在于对讨论得出一元二次不等式的解的情况，再建立满足题意关于的不等式，属于中档题. $