精品解析：江苏连云港赣榆实验学校2026-2027学年度上学期八年级第一次素养评价数学试卷

2026-2027学年度第一次素养评价 八年级数学试题 （本卷满分：150分，共4页，考试时间：100分钟） 注意：请将所有答案填写在答题卡规定区域，字迹工整，在其他区域答题无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下面不能组成三角形的三条线段是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各式中，错误的是(　　) A. B. C. D. 3. 等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点、在线段上，，，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 6. 校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个边的距离相等，喷泉的位置应选在（ ） A. 花坛三条中线的交点 B. 花坛三条角平分线的交点 C. 花坛三条高所在直线的交点 D. 花坛三边的中垂线的交点 7. 如图，点是内部一点，点关于、的对称点是、，直线交、于点、，若的周长是15，且，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知和是等边三角形，且B、C、D三点共线，连接交于点M，交于点N，交于点G，以下结论正确的个数是（） ①；②；③；④连接是的角平分线． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 的平方根是____． 10. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是___________． 11. 如图，，，，的面积等于6，则的长为______． 12. 如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 13. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是_____________． 14. 如图，在中，、的平分线交于点，过点作交、于点、．当，时，的长为______． 15. 如图，在与中，点、、、在同一条直线上，连接，，，，．若，则的度数为_________． 16. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，点Q的运动速度为________时，与全等． 三、解答题（本大题共10小题，共102分） 17. 求下列各式中的： （1）； （2）． 18. 已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． （1）求的值和这个正数； （2）求的平方根． 19. 如图，、表示两条互相交叉的公路，点处是一个大型货物批发站，现在要在内部建一个货物中转站．要求货物中转站到公路、的距离相等，且，请用尺规作图法找到货物中转站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图，AB∥DE，∠A=∠D，BE=CF．求证：AB=DE． 21. 如图，相交于点．求证：． 22. 如图所示，在中，，点G为的中点， 交的平分线于点D，于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）直接写出的长 ． 23. 如图，在中，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接． （1）求证：． （2）已知，求的度数． 24. 如图，在中，，，D是边上一点（不与A，B重合），以为边作等腰，，且，与交于点F，连接BE． （1）求证：； （2）当时，证明是等腰三角形． 25. 如图，点O是等边内一点，，，也是等边三角形． （1）求证：； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是直角三角形？ 26. 【阅读材料】 在中，，，如何求边上的中线的取值范围呢？某数学兴趣小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，先延长到点，使得，再连接．这样，就把、、全部集中在中，利用三角形的三边关系，就能得到中线的取值范围． （1）上述材料中，的取值范围是____________； （2）【初步运用】 如图，在四边形中，点是的中点，点在上，若，，，求证：平分； （3）【实际应用】 如图，是一条笔直的公路，点是公路两端的两个快递站点，点是中点处的一个住宅区，在的下方有一个仓库，现计划在下方建设两个中转站点、，连接、、、并铺设运输线路，使得，，且，求的度数．（与均为锐角，且公路、运输线路的宽度，住宅区、快递站点、中转站点的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一次素养评价 八年级数学试题 （本卷满分：150分，共4页，考试时间：100分钟） 注意：请将所有答案填写在答题卡规定区域，字迹工整，在其他区域答题无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下面不能组成三角形的三条线段是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴三条长分别为的线段能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴三条长分别为的线段能构成三角形，不符合题意； C、∵， ∴三条长分别为的线段不能构成三角形，符合题意； D、∵， ∴三条长分别为的线段能构成三角形，不符合题意； 故选；C． 2. 下列各式中，错误的是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据求一个数的算术平方根，平方根，立方根逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A． =4，选项说法错误，符合题意； B．，选项说法正确，不符合题意； C．，选项说法正确，不符合题意； D．，选项说法正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，平方根，立方根，正确的计算是解题的关键． 3. 等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】解：①当角为顶角时，底角为； ②当角为底角时，底角为； 综上，底角大小为或. 4. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 5. 如图，点、在线段上，，，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，在与中，，，所以结合全等三角形的判定方法逐项分析，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， A、添加，由，，，不能判定，故本选项符合题意； B、添加，可得到，由，，，可证明，故本选项不合题意； C、添加，由，，，可证明，故本选项不合题意； D、添加，由，，，可证明，故本选项不合题意； 故选：A． 6. 校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个边的距离相等，喷泉的位置应选在（ ） A. 花坛三条中线的交点 B. 花坛三条角平分线的交点 C. 花坛三条高所在直线的交点 D. 花坛三边的中垂线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】由喷泉到三边距离相等的条件，结合角平分线的判定确定点的位置． 【详解】解：喷泉到花坛三边的距离相等， 喷泉在花坛三个内角的平分线上， 该点为花坛三条角平分线的交点． 7. 如图，点是内部一点，点关于、的对称点是、，直线交、于点、，若的周长是15，且，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握基础知识，并能数形结合是关键．由轴对称的性质知：，，，，证明是等边三角形，求解即可． 【详解】解：连接， 由轴对称的性质知：，，，， ∵，即， ∴，， ∴是等边三角形， ∵的周长是15， ∴的长为， 故选：D． 8. 已知和是等边三角形，且B、C、D三点共线，连接交于点M，交于点N，交于点G，以下结论正确的个数是（） ①；②；③；④连接是的角平分线． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的定义．由等边三角形的性质可得出，，，从而推出，即可利用证明，可判断①；由全等的性质可得出，再利用三角形外角的性质即可推出，即可判断②；由和B、C、D三点共线，可求出，即可证明，得出，即可判断③；过点作于点P，于点Q，易证，得出，即又易证，得出，即GC是的角平分线，可判断④． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴，故①正确； ∵， ∴． ∵， ∴，故②正确； ∵，B、C、D三点共线， ∴． ∴在和中， ， ∴， ∴，故③正确； 如图，过点作于点P，于点Q， 在和中， ， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即是的角平分线，不是的角平分线，故④错误． 综上可知正确的个数是3个． 故选C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 10. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．题目给出等腰三角形有两边长为4和8，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：①为腰，为底，此时周长为； ②为底，为腰， ∵， ∴两边之和等于第三边无法构成三角形，故舍去． 综上所述：它的周长是． 故答案为：． 11. 如图，，，，的面积等于6，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】解：过点作于，根据三角形的面积求出长，然后根据角平分线的性质解题即可． 【详解】解：过点作于. ，， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键． 12. 如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用判定，从而得出对应边相等． 【详解】解：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 13. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是_____________． 【答案】6 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，再结合三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长是． 14. 如图，在中，、的平分线交于点，过点作交、于点、．当，时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由角平分线的定义，结合平行线的性质，可得，，可得，，即可得的长． 【详解】解：∵在中，、的平分线交于点， ∴，， ∵过点，交、于点、， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴． 15. 如图，在与中，点、、、在同一条直线上，连接，，，，．若，则的度数为_________． 【答案】125 【解析】 【分析】根据“”说明，从而，计算即可求解． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ． 16. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，点Q的运动速度为________时，与全等． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设点的运动速度是，则有，，，分两种情况：当，时，当，时，分别求解即可得解． 【详解】解：设点的运动速度是，则有，，， ∵， ∴与全等有两种情况： 当，时，， 解得：， ∴， 解得：，即点的运动速度是； 当，时，，， 解得：，，即点的运动速度是； 综上所述，点Q的运动速度为或时，与全等， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共10小题，共102分） 17. 求下列各式中的： （1）； （2）． 【答案】（1） 或 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； ， 解得或； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 18. 已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． （1）求的值和这个正数； （2）求的平方根． 【答案】（1） ，这个正数为 （2） 的平方根为 【解析】 【分析】（1）利用正数的两个平方根互为相反数求，结合立方根定义求及这个正数； （2）代入，的值计算，再求其平方根． 【小问1详解】 解： ∵正数的两个平方根互为相反数， ∴，解得 ， ∴该正数的一个平方根为， ∴这个正数为， ∵的立方根为， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：将，代入，得 ， ∵， ∴的平方根为． 19. 如图，、表示两条互相交叉的公路，点处是一个大型货物批发站，现在要在内部建一个货物中转站．要求货物中转站到公路、的距离相等，且，请用尺规作图法找到货物中转站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，P点即为所求． 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，先作的平分线，然后连接，再作的垂直平分线，与相交于点P，则点P即为建中转站的位置． 【详解】解：由作图可知点在的平分线上， ∴点到公路、的距离相等， 又∵由作图可知点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴P点就是货物中转站的位置． 图略． 20. 如图，AB∥DE，∠A=∠D，BE=CF．求证：AB=DE． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】证明△ABC≌△DEF，即可证明出AB＝DE. 【详解】证明：∵AB∥DE，BE=CF， ∴∠ABC=∠DEF，BC=EF． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， ∴AB=DE． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明，熟知两个三角形全等的判定条件是解题的关键. 21. 如图，相交于点．求证：． 【答案】 证明：如图，连接， 在与中，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定及性质．根据题意可证明，继而利用全等性质即可得到本题答案． 【详解】略 22. 如图所示，在中，，点G为的中点， 交的平分线于点D，于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）直接写出的长 ． 【答案】（1） 证明：连接， ∵点G是的中点，且， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵平分，且， ∴， ∴， ∴； （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质定理， 对于（1），先根据线段垂直平分线的性质定理得出，再根据角平分线性质定理得，然后根据“斜边、直角边”证明，则此题可证； 对于（2），先根据“斜边直角边”证明，可得，进而得出，再代入数值求出，此题可解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：8； ∵， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：8． 23. 如图，在中，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接． （1）求证：． （2）已知，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵为上的中线， ∴， ∴是直角三角形. ∵点F为中点， ∴. ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵点F为中点， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定， 对于（1），根据等腰三角形的性质得，再根据直角三角形的性质得，然后根据直角三角形的性质得，可得答案； 对于（2），先求出，即可得，接下来说明，进而得垂直平分再根据等腰三角形的性质得， 然后根据得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 由（ 1）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在中，，，D是边上一点（不与A，B重合），以为边作等腰，，且，与交于点F，连接BE． （1）求证：； （2）当时，证明是等腰三角形． 【答案】（1） 证明∶∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 证明：∵，， ∴， 同理， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是∶ （1）根据证明即可； （2）根据等边对等角、三角形内角和定理可求出，根据全等三角形的性质可得出，，根据等边对等角和对顶角的性质可得出，根据三角形内角和定理可求出，然后根据等角对等边即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，点O是等边内一点，，，也是等边三角形． （1）求证：； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是直角三角形？ 【答案】（1）证明：∵等边， ∴，， ∵等边， ∴，， ， ∵ ∴． （2）解：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∵等边， ∴， ， ， ， ， , 故是等边三角形． （3）或 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质，结合原理，证明全等即可； （2）根据周角，等边三角形的判定和性质，四边形内角和，解答即可； （3）根据是直角三角形，结合三角形全等的性质，分三种情况求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：∵等边， ∴， 是直角三角形， 当时，根据题意，得， ， ， 故； 当时， ， 故； 当时，根据题意，得， ， ， ∵等边， ∴， ∵， ∴，， ， ， 矛盾， 故此情形不成立， 综上所述，当或时；是直角三角形． 26. 【阅读材料】 在中，，，如何求边上的中线的取值范围呢？某数学兴趣小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，先延长到点，使得，再连接．这样，就把、、全部集中在中，利用三角形的三边关系，就能得到中线的取值范围． （1）上述材料中，的取值范围是____________； （2）【初步运用】 如图，在四边形中，点是的中点，点在上，若，，，求证：平分； （3）【实际应用】 如图，是一条笔直的公路，点是公路两端的两个快递站点，点是中点处的一个住宅区，在的下方有一个仓库，现计划在下方建设两个中转站点、，连接、、、并铺设运输线路，使得，，且，求的度数．（与均为锐角，且公路、运输线路的宽度，住宅区、快递站点、中转站点的大小均忽略不计） 【答案】（1） （2）证明： 延长到点，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，三点共线， ， ， ， ，即， ， ， ，即平分； （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明，得到，进而在中由三角形的三边关系得到的取值范围． （2）延长到点，使，连接，通过证明，得到，通过证明三点共线，得证，进而根据等腰三角形等边对等角得到，进而得证结论． （3）延长到点，使得，连接，，，通过证明，得到，进而证明，得到，再证明，进而得到． 【小问1详解】 解：是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系可得：， ， ， ， ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，延长到点，使得，连接，，， 是的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $