1.2 空间向量基本定理 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学题型全归纳1.2 空间向量基本定理 1. 知识精讲 （1）空间向量基本定理 定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任意一个向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使得 基底：把 叫做空间的一个基底；基向量： 都叫做基向量. 定理解读 1. 前提条件：不共面； 2. 唯一性：在同一组基底下，向量分解得到的 是唯一的，这是比较系数法的理论依据； 3. 基底不唯一，只要是三个不共面的向量，就可以构成一组基底； 4. 零向量不能作为基向量.若向量组含有零向量，则三个向量一定共面，不能构成基底. （2）共面向量定理 如果两个向量 不共线，那么向量 与向量 共面的充要条件是：存在唯一的一对实数 ，使 . 说明：共面向量定理是平面内向量线性表示的推广，共面向量指向量平移后能落在同一个平面内，不是指向量所在的直线共面. （3）四点共面推论 设 是空间任意一点，则 四点共面的充要条件： 推导 若 四点共面，则向量 共面.由共面向量定理，存在实数 ，使得 整理得 令 ，可得 . 结论：系数和为 ，则四点共面；系数和不等于 ，则四点不共面. （4）基底运算性质 设 为基底，， 1. 2. 3. 数量积满足分配律：；数量积不满足结合律，. 4. 向量模长公式： （5）常用几何向量结论 1. 线段中点： 为 中点，； 2. 三角形重心： 是 重心，. （6）易错警示 1. 两两不共线不能推出不共面.平面内三个向量两两不共线，但它们仍然共面，不能作为空间基底. 2. 四点共面公式 ，必须同时满足 ，仅写出线性组合不能判定四点共面. 3. 基底是集合 ，不是单个向量； 称为基向量，概念不可混淆. 4. 同一向量，选取不同基底，分解系数不同；唯一性只针对同一组基底. 5. 向量共面，指向量平移后可落在同一平面，不代表向量所在直线共面. 练习 判断下列命题是否正确，正确打“√”，错误打“×”. 1. 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；（√） 2. 基底中的向量不能为零向量；（√） 3. 三个向量两两不共线，则这三个向量可以构成空间的一个基底；（×） 解析 1. 由空间向量基本定理，三个不共面向量可构成基底，正确； 2. 零向量与任意两个向量共面，不能作为基向量，正确； 3. 平面内三个向量可以两两不共线，但三向量共面，不能作为空间基底，错误. 2. 题型归纳 题型1：基底的判断 方法：零解判定法（反证法） 解题原理：三个向量能作为空间基底，当且仅当三个向量不共面. 解题步骤 1. 快速判断：含零向量、存在两个向量共线、其中一个向量可以被另外两个向量线性表示，则三向量共面，不能作为基底； 2. 严格证明：设 ，整理为已知基底的线性组合.只有 这一组解（只有零解），则向量不共面，可以作为基底；存在不全为 0 的实数满足等式，则向量共面，不可作为基底； 3. 证明题常用反证法：假设三向量共面，推出矛盾. 例1 已知 是空间的一个基底，求证：向量 可以构成空间的另一个基底. 证明 要证三个向量可以构成基底，只需证明 不共面. 假设 共面，由共面向量定理，存在实数 ，使得 移项整理， 因为 是空间基底， 不共面.根据空间向量基本定理，分解系数唯一，所以各项系数都等于 0，得到方程组： 由 ，得 ；由 ，得 .代入第三个方程：，方程组无解，出现矛盾. 所以假设不成立，即 不共面.因此 可以构成空间的一个基底. 例2已知 是空间的一个基底，判断 能否构成空间的一个基底. 解析 设 ，整理，得 不共面，对应系数等于 0： 解得 ，只有零解.所以 不共面，可以构成基底. 变式1 判断下列向量组能否作为空间向量的一组基底： （1）；（2）. 解析（1）向量组包含零向量.零向量与任意两个向量共面，三个向量共面，不能作为基底. （2）变形：， 可以由 线性表示，三个向量共面，不能作为基底. 变式2 下列向量组中，能作为空间基底的是（　） A. 　　B. 　　C. （ 为基底）　　D. 解析A： 可以由 线性表示，三向量共面，不能作为基底； B： 与 共线，则三个向量共面，不能作为基底； C：设 ，整理得 . 为基底，不共面，对应系数为 0： 解得 ，只有零解，三向量不共面，可以作为基底. D：含有零向量，不能作为基底.综上，答案：C. 变式3 已知 是空间基底，判断向量组 能否构成基底. 解析设 ，整理： 不共面，所以 取 ，则 .得到一组不全为 0 的解 .代入验证：. 存在非零实数使等式成立，三个向量共面，不能构成基底. 变式4 若 不共线，向量 ，判断 能否作为空间基底？ 解析 ，说明 可以由 线性表示， 三个向量共面.三个向量共面，因此不能作为空间基底. 题型2：用基底表示空间向量 方法：向量回路法 核心思路：在几何体中寻找向量回路，利用向量加减法法则，把目标向量拆成选定基向量的线性组合. 解题步骤 1. 根据几何体，选定一组基底 ； 2. 构造向量回路：，优先选择折线表示目标向量； 3. 利用向量减法：，转化向量； 4. 合并同类项，写成标准形式 . 例3在平行六面体 中，，试用基底 表示 . 解析 由向量加法的多边形法则（空间向量加法的首尾相接法则）： 在平行六面体中，，代入得 ，代入： 例4 在平行六面体 中，，用 表示： （1）；（2）；（3）. 解析（1）. （2）. （3）. 例5 在四面体 中，， 是底面 的重心，求证：. 证明 设 为 中点，则 .重心 在中线 上，且 . 故 ，命题得证. 变式5 在平行六面体 中，设 ，用基底 表示 . 解析 构造回路：，， 变式6 四面体 ，， 是 中点，用基底表示 . 解析 变式7 四面体 ， 为 上靠近 的三等分点，用 表示 . 解析 题型3：空间四点共面的判定与参数求解 方法：系数和判定法 判定思路 1. 已知 ， 为空间任意一点： 四点共面，当且仅当 ； 2. 共面向量定理：若 ，且 三点不共线，则向量 共面， 四点共面. 例6已知 四点不共面，若 ，求证： 四点共面. 证明，系数之和 ，根据四点共面充要条件，所以 四点共面. 变式8 已知 是空间任意一点，，判断 四点是否共面. 解析 计算三个系数之和：，满足四点共面充要条件，故 四点共面. 变式9 ，判断四点 是否共面. 解析 系数之和：，不满足四点共面的充要条件，故 四点不共面. 变式10 已知 ，若四点 共面，则 ____. 解析 四点共面，满足系数之和等于 1：，，得 . 答案：. 变式11 若 ，判断 四点是否共面. 解析 由共面向量定理，存在实数 ，使得 ，所以 是共面向量；又三个向量有公共起点 ，因此 四点共面. 题型4：利用基底唯一性求参数 方法：比较系数法（待定系数法） 原理：同一组基底下，任意向量的分解表达式唯一.若两个向量相等，则等式两边对应基向量的系数必须相等. 解题步骤 1. 根据题设条件，列出向量等式； 2. 全部展开整理，写成基底 的线性组合形式； 3. 左右两边对应基向量系数相等，列出方程组； 4. 解方程组，求出参数. 例7 已知 是空间基底，，，若 共面，求实数 的值. 解析 共面，根据共面向量定理，存在实数 ，使得 .将 代入上式： 是基底，不共面，等式两边对应系数相等，列方程组 由 ，代入 ，得 ；代入 ，，.所以 . 变式12 为基底，，，若 共面，则 ____. 解析 共面，存在实数 ，满足 . 比较两边对应系数，列方程组： 由 得 ，所以 .答案：. 变式13 已知 ，，，若 ，求 . 解析 将 代入 ： 为基底，比较对应系数列方程组 三式联立求解：①+② 得 ，即 ；①+③ 得 ，即 ；②+③ 得 ，即 .代入得 . 解得：. 题型5：基底法：数量积、证明垂直、求模长 方法：基底数量积法 解题步骤 1. 选取合适基底，把所有相关向量都用这组基底表示； 2. 写出基向量的模长、两两之间夹角，计算基向量两两之间的数量积； 3. 将目标数量积展开，利用数量积分配律进行运算； 4. 求向量模：，先算模的平方再开方； 5. 证明垂直：只需证明两向量数量积等于 0. 例8 平行六面体 ，，两两夹角均为 .求证：. 证明 设 ，，.由数量积定义： 同理 . ，.计算数量积： 因为 ，所以 . 变式14 平行六面体 ，，两两夹角均为 .求 . 解析 所以 . 变式15 四面体 ， 两两垂直，，求 . 解析 设 . 两两垂直，则任意两个基向量数量积为 0，即 . ，. 变式16 平行六面体 ，，两两夹角均为 .求 . 解析 . 所以 . 3. 高考真题 真题1已知 为空间任意一点，若 ，则（　） A. 四点一定共面　　 B. 四点一定不共面 C. 四点不一定共面　　 D. 无法判断 解析 由四点共面的向量判定公式，计算系数之和：.系数之和等于 1，满足四点共面的充要条件，因此 四点一定共面. 答案：A 真题2（多选题）已知 是空间向量的一组基底，则下列说法正确的有（　） A. 可以作为空间基底 B. 可以作为空间基底 C. 可以作为空间基底 D. 不可以作为空间基底 解析A：设 ，整理得 . 是基底，对应系数全部为 0：，，，解得 .只有零解，三向量不共面，可以作为基底，A 正确. B： 不共面，可以作为基底，B 正确. C：， 可以由另外两个向量线性表示，三向量共面，不能作为基底，C 错误. D：设 ，整理得 ，解得 .只有零解，可以作为基底，D 错误. 答案：AB 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学题型全归纳1.2 空间向量基本定理 1. 知识精讲 （1）空间向量基本定理 定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任意一个向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使得 基底：把 叫做空间的一个基底；基向量： 都叫做基向量. 定理解读 1. 前提条件：不共面； 2. 唯一性：在同一组基底下，向量分解得到的 是唯一的，这是比较系数法的理论依据； 3. 基底不唯一，只要是三个不共面的向量，就可以构成一组基底； 4. 零向量不能作为基向量.若向量组含有零向量，则三个向量一定共面，不能构成基底. （2）共面向量定理 如果两个向量 不共线，那么向量 与向量 共面的充要条件是：存在唯一的一对实数 ，使 . 说明：共面向量定理是平面内向量线性表示的推广，共面向量指向量平移后能落在同一个平面内，不是指向量所在的直线共面. （3）四点共面推论 设 是空间任意一点，则 四点共面的充要条件： 推导 若 四点共面，则向量 共面.由共面向量定理，存在实数 ，使得 整理得 令 ，可得 . 结论：系数和为 ，则四点共面；系数和不等于 ，则四点不共面. （4）基底运算性质 设 为基底，， 1. 2. 3. 数量积满足分配律：；数量积不满足结合律，. 4. 向量模长公式： （5）常用几何向量结论 1. 线段中点： 为 中点，； 2. 三角形重心： 是 重心，. （6）易错警示 1. 两两不共线不能推出不共面.平面内三个向量两两不共线，但它们仍然共面，不能作为空间基底. 2. 四点共面公式 ，必须同时满足 ，仅写出线性组合不能判定四点共面. 3. 基底是集合 ，不是单个向量； 称为基向量，概念不可混淆. 4. 同一向量，选取不同基底，分解系数不同；唯一性只针对同一组基底. 5. 向量共面，指向量平移后可落在同一平面，不代表向量所在直线共面. 练习 判断下列命题是否正确，正确打“√”，错误打“×”. 1. 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；（√） 2. 基底中的向量不能为零向量；（√） 3. 三个向量两两不共线，则这三个向量可以构成空间的一个基底；（×） 解析 1. 由空间向量基本定理，三个不共面向量可构成基底，正确； 2. 零向量与任意两个向量共面，不能作为基向量，正确； 3. 平面内三个向量可以两两不共线，但三向量共面，不能作为空间基底，错误. 2. 题型归纳 题型1：基底的判断 方法：零解判定法（反证法） 解题原理：三个向量能作为空间基底，当且仅当三个向量不共面. 解题步骤 1. 快速判断：含零向量、存在两个向量共线、其中一个向量可以被另外两个向量线性表示，则三向量共面，不能作为基底； 2. 严格证明：设 ，整理为已知基底的线性组合.只有 这一组解（只有零解），则向量不共面，可以作为基底；存在不全为 0 的实数满足等式，则向量共面，不可作为基底； 3. 证明题常用反证法：假设三向量共面，推出矛盾. 例1 已知 是空间的一个基底，求证：向量 可以构成空间的另一个基底. 例2已知 是空间的一个基底，判断 能否构成空间的一个基底. 变式1 判断下列向量组能否作为空间向量的一组基底： （1）；（2）. 变式2 下列向量组中，能作为空间基底的是（　） A. 　　B. 　　C. （ 为基底）　　D. 变式3 已知 是空间基底，判断向量组 能否构成基底. 变式4 若 不共线，向量 ，判断 能否作为空间基底？ 题型2：用基底表示空间向量 方法：向量回路法 核心思路：在几何体中寻找向量回路，利用向量加减法法则，把目标向量拆成选定基向量的线性组合. 解题步骤 1. 根据几何体，选定一组基底 ； 2. 构造向量回路：，优先选择折线表示目标向量； 3. 利用向量减法：，转化向量； 4. 合并同类项，写成标准形式 . 例3在平行六面体 中，，试用基底 表示 . 例4 在平行六面体 中，，用 表示： （1）；（2）；（3）. 例5 在四面体 中，， 是底面 的重心，求证：. 变式5 在平行六面体 中，设 ，用基底 表示 . 变式6 四面体 ，， 是 中点，用基底表示 . 变式7 四面体 ， 为 上靠近 的三等分点，用 表示 . 题型3：空间四点共面的判定与参数求解 方法：系数和判定法 判定思路 1. 已知 ， 为空间任意一点： 四点共面，当且仅当 ； 2. 共面向量定理：若 ，且 三点不共线，则向量 共面， 四点共面. 例6已知 四点不共面，若 ，求证： 四点共面. 变式8 已知 是空间任意一点，，判断 四点是否共面. 变式9 ，判断四点 是否共面. 变式10 已知 ，若四点 共面，则 ____. 变式11 若 ，判断 四点是否共面. 题型4：利用基底唯一性求参数 方法：比较系数法（待定系数法） 原理：同一组基底下，任意向量的分解表达式唯一.若两个向量相等，则等式两边对应基向量的系数必须相等. 解题步骤 1. 根据题设条件，列出向量等式； 2. 全部展开整理，写成基底 的线性组合形式； 3. 左右两边对应基向量系数相等，列出方程组； 4. 解方程组，求出参数. 例7 已知 是空间基底，，，若 共面，求实数 的值. 变式12 为基底，，，若 共面，则 ____. 变式13 已知 ，，，若 ，求 . 题型5：基底法：数量积、证明垂直、求模长 方法：基底数量积法 解题步骤 1. 选取合适基底，把所有相关向量都用这组基底表示； 2. 写出基向量的模长、两两之间夹角，计算基向量两两之间的数量积； 3. 将目标数量积展开，利用数量积分配律进行运算； 4. 求向量模：，先算模的平方再开方； 5. 证明垂直：只需证明两向量数量积等于 0. 例8 平行六面体 ，，两两夹角均为 .求证：. 变式14 平行六面体 ，，两两夹角均为 .求 . 变式15 四面体 ， 两两垂直，，求 . 变式16 平行六面体 ，，两两夹角均为 .求 . 3. 高考真题 真题1已知 为空间任意一点，若 ，则（　） A. 四点一定共面　　 B. 四点一定不共面 C. 四点不一定共面　　 D. 无法判断 真题2（多选题）已知 是空间向量的一组基底，则下列说法正确的有（　） A. 可以作为空间基底 B. 可以作为空间基底 C. 可以作为空间基底 D. 不可以作为空间基底 学科网（北京）股份有限公司 $