1.2 空间向量基本定理 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

本讲义聚焦空间向量基本定理这一核心知识点，基于平面向量基本定理，通过投影进行向量分解，系统构建基底、单位正交基底等概念，形成从平面到空间的知识支架，涵盖基底判断、向量表示及垂直平行证明、夹角计算等探究应用。 资料突出数学思维与语言培养，以诊断分析判断题强化概念辨析，探究点例题与变式引导逻辑推理，素养小结提炼方法步骤。课中助力教师分层教学，课后学生可借例题变式巩固，查漏补缺，提升空间观念与应用意识。

1.2　空间向量基本定理 【学习目标】 　　1.在平面向量基本定理的基础上,能借助投影进行向量分解,掌握空间向量基本定理. 　　2.知道基底、单位正交基底,并能在选定基底下进行向量的表示及运算. ◆ 知识点一　空间向量基本定理 1.分向量 如果i,j,k是空间三个　　　　　的向量,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xi+yj+zk.称　　　　　　分别为向量p在i,j,k上的分向量.  2.空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c　　　　,那么对任意一个空间向量p,存在　　　　的有序实数组(x,y,z),使得　　　　　　　　.  我们把{a,b,c}叫作空间的一个　　　　,a,b,c都叫作　　　　.空间任意三个　　　　的向量都可以构成空间的一个基底.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中的任何一个向量都可以用三个给定的向量表示. (　 ) (2)若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c全不是零向量. (　 ) (3)若向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则a与b不一定共线. (　 ) (4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底. (　 ) ◆ 知识点二　空间向量正交分解 1.单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量　　　　,且长度都为　　　　,那么这个基底叫作单位正交基底,常用　　　　表示.  2.空间向量的正交分解 把一个空间向量分解为三个　　　　　　的向量,叫作把空间向量进行正交分解.  ◆ 探究点一　空间向量的基底 例1 (1)已知M,A,B,C为空间的四个点,且任意三点不共线,O为空间中一点,下列可能使,,构成空间的一个基底的关系式是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.=++ B.=+ C.=++ D.=3- (2)已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断,,能否构成空间的一个基底. 变式 (1)已知空间四点O,A,B,C,若{,,}是空间的一个基底,则下列说法不正确的是 (　 ) A.O,A,B,C四点不共线 B.O,A,B,C四点共面,但不共线 C.O,A,B,C四点不共面 D.O,A,B,C四点中任意三点不共线 (2)(多选题)[2026·广东名校高二联考] 已知{a,b,c}是空间的一个基底,d=a+b+2c,则下列选项中不能构成空间的一个基底的是 (　 ) A.a+b,a+c,b+c B.a+c,b+c,d C.a+d,b,a+c D.a+b,a+b+c,d [素养小结] 基底的判断思路:判断给出的三个向量能否构成基底,关键是要判断这三个向量是否共面.首先应考虑三个向量中是否有零向量,其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断,那么可假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程,若方程的解唯一,则三个向量共面;否则,三个向量不共面. ◆ 探究点二　用基底表示空间向量 例2 [2026·四川广安高二期中] 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量: (1); (2); (3). 变式 如图所示,在四面体O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,P,Q是MN的两个三等分点(点P靠近点N,点Q靠近点M). (1)用基底{,,}表示向量; (2)若=x+y+z,求实数x,y,z的值. [素养小结] 用基底表示向量的步骤: (1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. (3)下结论:利用空间的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量. ◆ 探究点三　空间向量基本定理的应用 角度1　垂直平行关系的证明 例3 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2MA1,B1N=2NC1.用空间向量解决如下问题: (1)若∠BAA1=∠CAA1,AB=AC,证明:BC⊥AA1; (2)证明:MN∥平面ACC1A1. 变式 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点,请选择恰当的基底,证明:平面EFG∥平面AB1C. 角度2　求两直线的夹角 例4 [教材P14练习第2题改编] 如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=4,AD=3,AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°,求AA'与A'C所成角的余弦值. 变式 已知正四面体A-BCD的棱长为1,E,F分别是BC,AD的中点. (1)证明:EF⊥BC; (2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值. [素养小结] 用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤:首先根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底,如果存在三个两两垂直的空间向量,那么可以确定一个单位正交基底;然后根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底(或已知基底)表示目标向量;最后把空间向量的运算转化为基向量的运算.涉及异面直线所成的角时,可用已知向量代入公式cos θ=求解,其中a,b用基向量表示. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　空间向量基本定理 【课前预习】 知识点一 1.两两垂直　xi,yj,zk 2.不共面　唯一　p=xa+yb+zc　基底　基向量　不共面 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×　(4)×　[解析] (1)空间中的任何一个向量都可以用其他三个不共面的向量表示. (2)若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c不共面,所以a,b,c全不是零向量. (3)由空间向量基本定理可知,只有不共面的三个向量才可以构成空间的一个基底,若向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则向量a,b与任何向量都共面,故a与b一定共线. (4)空间的一个基底是由三个不共面的向量构成的. 知识点二 1.两两垂直　1　{i,j,k}　2.两两垂直 【课中探究】 探究点一 例1　(1)C　[解析] 对于选项A,由=++,++=1,得M,A,B,C四点共面,则,,共面,故,,不能构成空间的一个基底;对于选项B,D,易知,,一定共面,故,,不能构成空间的一个基底.故选C. (2)解:假设,,共面,则存在实数λ,μ,使得=λ+μ,即e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3)=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3. ∵{e1,e2,e3}是空间的一个基底,∴e1,e2,e3不共面, ∴此方程组无解,∴,,不共面, ∴,,能构成空间的一个基底. 变式　(1)B　(2)BCD　[解析] (1)因为{,,}是空间的一个基底,所以非零向量,,不共面,即O,A,B,C四点不共面,所以A,C,D中说法正确,B中说法不正确.故选B. (2)对于A,假设a+b,a+c,b+c共面,则存在x,y∈R,使得b+c=x(a+b)+y(a+c),则(x+y)a+(x-1)b+(y-1)c=0,因为a,b,c不共面,所以该方程组无解,假设不成立,故a+b,a+c,b+c不共面,可构成空间的一个基底,故A不符合题意;对于B,因为d=a+b+2c=(a+c)+(b+c),所以a+c,b+c,d共面,不能构成空间的一个基底,故B符合题意;对于C,因为a+d=2a+b+2c=b+2(a+c),所以a+d,b,a+c共面,不能构成空间的一个基底,故C符合题意;对于D,因为(a+b)+d=2a+2b+2c=2(a+b+c),所以a+b,a+b+c,d共面,不能构成空间的一个基底,故D符合题意.故选BCD. 探究点二 例2　解:(1)∵P是C1D1的中点, ∴=++=++=++=a+b+c. (2)∵N是BC的中点,∴=++=++=++=-a+b+c. (3)∵M是AA1的中点,∴=+=+=-a+=a+b+c. 变式　解:(1)连接ON,则=+=+=+(-)=+=+×(+)=++. (2)由题意得Q为MP的中点,∴=(+)=+=++,又=x+y+z,∴x=,y=,z=. 探究点三 例3　证明:(1)由题意得=-,且∠BAA1=∠CAA1,AB=AC, 所以·=(-)·=·-·=||·||·cos∠CAA1-||·||·cos∠BAA1=0,所以⊥,即BC⊥AA1. (2)由题意得=++=++=(+)++=++=+,所以,,共面, 又MN⊄平面ACC1A1,AA1∩AC=A,AA1⊂平面ACC1A1,AC⊂平面ACC1A1,所以MN∥平面ACC1A1. 变式　解:以{,,}为空间的一个基底, 则=+=+=--,=+=+=-+,=+=--,=+=-+,所以=,=, 则EF∥B1C,EG∥AC,又EF⊄平面AB1C,B1C⊂平面AB1C,所以EF∥平面AB1C. 同理EG∥平面AB1C,又EF∩EG=E,EF,EG⊂平面EFG,所以平面EFG∥平面AB1C. 例4　解:因为=++=+-, 所以·=(+-)·=·+·-=5×4×+3×5×-5×5=-, ||2=(+-)2=+++2·-2·-2·=42+32+52+0-2×4×5×-2×3×5×=15,所以||=, 所以|cos<,>|===, 所以AA'与A'C所成角的余弦值为. 变式　解:(1)证明:记=a,=b,=c,这三个向量不共面,则{a,b,c}为空间的一个基底,且|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,所以a·b=b·c=c·a=. 因为=-=-(+)=-a+b-c,=-=-a+c, 所以·=·(-a+c)=a2-a·b+a·c-a·c+b·c-c2=-×+×-×+×-=0, 所以⊥,即EF⊥BC. (2)因为=(+)=a+c, 所以||===×=. 又因为=-=b-c,所以·=·(b-c)=a·b+c·b-a·c-c2=×+×-×-=-, 又因为||=1,所以cos<,>===-, 故异面直线AE与CD所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $