1.3 空间向量及其运算的坐标表示 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，从空间直角坐标系的建立入手，系统梳理向量坐标的确定方法，包括点与向量坐标的对应关系及特殊点坐标特征，进而阐述向量加减、数乘、数量积的坐标运算规则，最终落脚于平行、垂直判断及夹角、距离计算的应用，构建完整的知识学习支架。 资料以正方体、长方体等实例为载体，帮助学生通过数学眼光建立空间观念，考点分层设计从基础坐标确定到综合运算应用，培养数学思维中的推理能力，坐标表示实现几何问题代数化，体现数学语言的精确表达。课中辅助教师系统授课，课后通过巩固训练助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 目录 知识点一、空间向量的坐标表示 1 知识点二、空间向量运算的坐标规则 2 知识点三、空间向量坐标的应用 2 考点一：确定空间中任意一点的坐标 3 考点二：空间向量平行与垂直的坐标表示 4 考点三：利用空间向量的坐标运算求夹角，距离 5 考点四：利用空间向量的坐标运算求数量积，投影向量 6 巩固训练 9 知识点一、空间向量的坐标表示 1. 空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底（按右手系排列，即右手拇指指向方向，食指指向方向，中指指向方向）。以为原点，分别以的方向为正方向，建立三条数轴：轴、轴、轴，这样就建立了空间直角坐标系。 2. 向量坐标确定：对于空间任意一点，过分别作三个坐标平面的平行平面（或垂直平面），分别与坐标轴交于、、三点。若，当与方向相同时，，反之；同理确定、。点的坐标与向量的坐标相同，即。例如，在棱长为的正方体中，以为原点，分别以为建立坐标系，若点为中点，则点坐标为，向量。 3. 向量坐标与点坐标关系：在空间直角坐标系中，点与位置向量一一对应，实现了空间点与向量的代数化表示。 4. 特殊点的坐标特征： 原点：坐标为（三条坐标轴的交点，位置向量为零向量）； 坐标轴上的点：轴上的点，如；轴上的点，如；轴上的点，如（仅在一条坐标轴上有非零坐标）； 坐标平面上的点：平面上的点，如；平面上的点，如；平面上的点，如（仅在一个坐标平面内，垂直于某条坐标轴）； 对称点：设点，其对称点坐标遵循“关于谁对称，谁不变；关于原点对称，全变号”原则，具体如下： 关于轴对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于轴对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于轴对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于平面对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于平面对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于平面对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于原点对称的点：（坐标全变号）。 示例：点，关于平面对称的点为，关于原点对称的点为。 知识点二、空间向量运算的坐标规则 1. 向量加法：设，，则。 例如，，，那么。 2. 向量减法：。 如，，则。 3. 数乘向量：若为实数，，则。 比如，，。 4. 数量积运算：。假设，，。 知识点三、空间向量坐标的应用 1. 判断向量平行：当时，，，。例如，，，因为，，，即，所以。 2. 判断向量垂直：。比如，，，所以。 3. 求向量夹角：设两向量，，夹角公式为。若，，先求，，，则。 4. 求向量长度：向量的长度公式。例如，。 5. 求空间两点距离：设，，则。若，， 考点一：确定空间中任意一点的坐标 1. 已知点P(2，3，-1)关于Oxy平面的对称点为P1，点P1关于Oyz平面的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则P1，P3的距离为　　　　. 2. 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于（   ） A． B． C． D． 3. 如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4，3，2)，则C1的坐标是(　　) A.(0，3，2) B.(0，4，2) C.(4，0，2) D.(2，3，4) 考点二：空间向量平行与垂直的坐标表示 4. 设向量则（   ） A． B． C． D． 5. 已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设=a=b. (1)设向量c=试判断2a-b与c是否平行？ (2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k的值. 考点三：利用空间向量的坐标运算求夹角，距离 6. 已知a=(1，0，1)，b=(-2，-1，1)，c=(3，1，0)，则|a-b+2c|等于(　　) A.3 B.2 C. D.5 7. 已知，，三点，点在平面内，点是平面外一点，且，则 ． 8. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是棱BC的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？ 考点四：利用空间向量的坐标运算求数量积，投影向量 9. 若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 10. 已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为 11. 已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为 . 12. 已知空间向量，，且在上的投影向量为，则的值为（   ） A．-19 B．-20 C．-22 D．-27 巩固训练 1、(多选)已知空间向量m=(-1，2，5)，n=(2，-4，x)，则下列选项中正确的是(　　) A.当m⊥n时，x=2 B.当m∥n时，x=-10 C.当|m+n|=时，x=-4 D.当x=时，cos〈m，n〉= 2、(多选)已知在空间直角坐标系Oxyz中，A(1，t-4，3)，B(2，4，t)，则(　　) A.若向量的夹角是锐角，则t的取值范围是(2，+∞) B.若向量的夹角是钝角，则t的取值范围是(-∞，2) C.存在t∈R，使得||=2|| D.存在t∈R，使得||=2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 目录 知识点一、空间向量的坐标表示 1 知识点二、空间向量运算的坐标规则 2 知识点三、空间向量坐标的应用 2 考点一：确定空间中任意一点的坐标 3 考点二：空间向量平行与垂直的坐标表示 4 考点三：利用空间向量的坐标运算求夹角，距离 5 考点四：利用空间向量的坐标运算求数量积，投影向量 6 巩固训练 9 知识点一、空间向量的坐标表示 1. 空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底（按右手系排列，即右手拇指指向方向，食指指向方向，中指指向方向）。以为原点，分别以的方向为正方向，建立三条数轴：轴、轴、轴，这样就建立了空间直角坐标系。 2. 向量坐标确定：对于空间任意一点，过分别作三个坐标平面的平行平面（或垂直平面），分别与坐标轴交于、、三点。若，当与方向相同时，，反之；同理确定、。点的坐标与向量的坐标相同，即。例如，在棱长为的正方体中，以为原点，分别以为建立坐标系，若点为中点，则点坐标为，向量。 3. 向量坐标与点坐标关系：在空间直角坐标系中，点与位置向量一一对应，实现了空间点与向量的代数化表示。 4. 特殊点的坐标特征： 原点：坐标为（三条坐标轴的交点，位置向量为零向量）； 坐标轴上的点：轴上的点，如；轴上的点，如；轴上的点，如（仅在一条坐标轴上有非零坐标）； 坐标平面上的点：平面上的点，如；平面上的点，如；平面上的点，如（仅在一个坐标平面内，垂直于某条坐标轴）； 对称点：设点，其对称点坐标遵循“关于谁对称，谁不变；关于原点对称，全变号”原则，具体如下： 关于轴对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于轴对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于轴对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于平面对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于平面对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于平面对称的点：（坐标不变，坐标变号）； 关于原点对称的点：（坐标全变号）。 示例：点，关于平面对称的点为，关于原点对称的点为。 知识点二、空间向量运算的坐标规则 1. 向量加法：设，，则。例如，，，那么。 2. 向量减法：。如，，则。 3. 数乘向量：若为实数，，则。比如，，。 4. 数量积运算：。假设，，。 知识点三、空间向量坐标的应用 1. 判断向量平行：当时，，，。例如，，，因为，，，即，所以。 2. 判断向量垂直：。比如，，，所以。 3. 求向量夹角：设两向量，，夹角公式为。若，，先求，，，则。 4. 求向量长度：向量的长度公式。例如，。 5. 求空间两点距离：设，，则。若，， 考点一：确定空间中任意一点的坐标 1. 已知点P(2，3，-1)关于Oxy平面的对称点为P1，点P1关于Oyz平面的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则P1，P3的距离为　　　　. 【答案】　6 【解析】　点P(2，3，-1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于Oyz平面的对称点P2的坐标为(-2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标为(2，-3，1)，故P1P3=6. 2. 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的坐标运算求解即可； 【详解】由题意可得，， ∴，， ∴． 故选：C. 3. 如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4，3，2)，则C1的坐标是(　　) A.(0，3，2) B.(0，4，2) C.(4，0，2) D.(2，3，4) 【答案】　A 【解析】　∵的坐标为(4，3，2)，D为坐标原点， ∴B1的坐标为(4，3，2)， ∴BC=4，DC=3，CC1=2， ∴C1的坐标为(0，3，2). 考点二：空间向量平行与垂直的坐标表示 4. 设向量则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共线得，解出即可求解. 【详解】 故选：D. 5. 已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设=a=b. (1)设向量c=试判断2a-b与c是否平行？ (2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k的值. 【解析】　(1)因为a==(1，1，0)，b==(-1，0，2)，所以2a-b=(3，2，-2)， 又c=所以2a-b=-2c，所以(2a-b)∥c. (2)由(1)知ka+b=(k-1，k，2)，ka-2b=(k+2，k，-4). 又因为(ka+b)⊥(ka-2b)，所以(ka+b)·(ka-2b)=0， 即(k-1，k，2)·(k+2，k，-4)=2k2+k-10=0. 解得k=2或-. 考点三：利用空间向量的坐标运算求夹角，距离 6. 已知a=(1，0，1)，b=(-2，-1，1)，c=(3，1，0)，则|a-b+2c|等于(　　) A.3 B.2 C. D.5 【答案】　A 【解析】　∵a-b+2c=(9，3，0)， ∴|a-b+2c|==3. 7. 已知，，三点，点在平面内，点是平面外一点，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由空间向量共面的推论可得，再应用空间向量夹角的坐标公式求夹角余弦值. 【详解】因为四点共面，， 所以，则， 所以，，则，， 所以，，， 所以. 故答案为： 8. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是棱BC的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？ 【解析】以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 由题意知A(0，0，0)，B1(1，2)，C(0，2，0)，B(1，0)， M. 又点N在棱CC1上，可设N(0，2，m)(0≤m≤2)， 则=(1，2)= 所以||=2||= ·=2m-1. 若异面直线AB1和MN所成的角等于45°， 则cos 45°=|cos 〈| == 即= 使上式成立的m不存在， 所以在棱CC1上不存在点N， 使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°. 考点四：利用空间向量的坐标运算求数量积，投影向量 9. 若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入投影向量坐标公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量的坐标是. 故选：D 10. 已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为 【答案】 【分析】由向量数量积的几何意义即可求. 【详解】向量量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影的数量为. 故答案为：. 11. 已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】根据模与向量的关系求出的值，再根据在上的投影向量公式求出答案即可. 【详解】， 由题可得： ，可得， 则在上的投影向量为. 故答案为：. 12. 已知空间向量，，且在上的投影向量为，则的值为（   ） A．-19 B．-20 C．-22 D．-27 【答案】C 【分析】根据投影向量的知识列方程，由此求得的值. 【详解】依题意，在上的投影向量为， 所以， 解得. 故选：C 巩固训练 1、(多选)已知空间向量m=(-1，2，5)，n=(2，-4，x)，则下列选项中正确的是(　　) A.当m⊥n时，x=2 B.当m∥n时，x=-10 C.当|m+n|=时，x=-4 D.当x=时，cos〈m，n〉= 【答案】　ABD 【解析】　因为m⊥n，m=(-1，2，5)，n=(2，-4，x)，所以m·n=(-1)×2+2×(-4)+5x=-10+5x=0，解得x=2，故A正确；因为m∥n，所以存在λ∈R，使得m=λn，则(-1，2，5)=λ(2，-4，x)=(2λ，-4λ，λx)，即解得故B正确；因为m+n=(-1+2，2-4，5+x)=(1，-2，5+x)， 所以|m+n|===解得x=-5，故C错误；因为x=则m=(-1，2，5)，n=(2，-4)，所以cos〈m，n〉===故D正确. 2、(多选)已知在空间直角坐标系Oxyz中，A(1，t-4，3)，B(2，4，t)，则(　　) A.若向量的夹角是锐角，则t的取值范围是(2，+∞) B.若向量的夹角是钝角，则t的取值范围是(-∞，2) C.存在t∈R，使得||=2|| D.存在t∈R，使得||=2 【答案】　BC 【解析】　对于A=(1，t-4，3)=(2，4，t)，向量的夹角是锐角， 则·0且不共线， 又·=1×2+4(t-4)+3t=7t-14>0， 解得t>2， 若共线，设=λ(λ>0)， 即解得 所以≠λt≠6，综上所述，若向量的夹角是锐角，则t的取值范围是(2，6)∪(6，+∞)，故A错误； 对于B，若向量的夹角是钝角，则·<0且不共线，即7t-14<0且≠λ (λ∈R)，根据A中结果，有t<2，所以若向量的夹角是钝角，则t的取值范围是(-∞，2)，故B正确； 对于C，||=||=因为||=2||，所以=2整理得3t2-32t+84=0，Δ=(-32)2-4×3×84=16>0，所以存在t∈R，使得||=2||，故C正确； 对于D=(1，8-t，t-3)，因为||=2，即||==2，整理得t2-11t+35=0，Δ=(-11)2-4×1×35=-19<0，所以不存在t∈R，使得||=2，故D错误. 学科网（北京）股份有限公司 $