3.1.3第一课时 函数的奇偶性导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

学案导学 编号：qyj-bx1-3-8 3.1.3 函数的奇偶性 第一课时　函数的奇偶性 课堂讲练 学习目标 1、函数奇偶性的概念； 2、奇偶函数的判定、性质及应用。 新知探究 一、函数奇偶性的概念 【探究1】观察右侧函数图象， 你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 【探究2】观察右侧函数图象， 你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 1、奇偶函数的定义及图象特点： 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，则称y=f(x)为偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，则称y=f(x)为奇函数 关于原点对称 2、奇偶函数的性质：　 (1) 定义域： “任意一个x，都有-x∈D”说明定义域必关于原点对称。 (2) 对称性： 偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称. (3) 单调性： 偶函数在对称区间上单调性相反,奇函数在对称区间上单调性相同. (4) 特殊点: 若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)=0. 二、函数奇偶性的判定与证明 例1 判断下列函数的奇偶性: (1) f(x) =3-|x| ; (2) f(x) =+ ; (3) f(x) = ; (4) f(x) = 1-1 判断下列函数的奇偶性: (1) f(x) = x3 + x5; (2) f(x) = |x+1|+|x-1|; (3) f(x) = . 判定奇偶性的方法与步骤： 三、奇、偶函数图象的特征及应用 例2 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时， f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数y=f(x)的图象; (2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间; (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. 2-1 (1)如图①，已给出奇函数y=f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值; (2)如图②，已给出偶函数y=f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小. 四、利用函数奇偶性求参数 例3 若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数，则实数a=　　　　.  3-1已知函数f(x)=为奇函数，则a+b=　　　　.  3-2已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c是定义在[2b-5，2b-3]上的奇函数，则f=　　　　.  课堂达标 1.函数f(x )= - x的图象关于(　　) A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称 2.若函数y=(+x)(m-x)为偶函数，则m=(　　) A.-2 B.2 C.- D. 3.若定义在(-1，1)上的奇函数f(x) = ，则常数m=　　　　，n=　　　　.  4.设奇函数f(x)的定义域为[-6，6]，当x∈[0，6]时f(x)的 图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为　　　　　　.  课后练 1.下列说法中正确的个数为(　　) ①图象关于坐标原点对称的函数是奇函数; ②图象关于y轴对称的函数是偶函数; ③奇函数的图象一定过坐标原点; ④偶函数的图象一定与y轴相交. A.4 B.3 C.2 D.1 2.设f(x)为R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=3x-1，则f(0)+f(4)=(　　) A.11 B.-11 C.13 D.-13 3.已知函数f(x)=4x(x-1)+ax+|x|是偶函数，则a=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.函数f(x)=的图象大致是(　　) 5.(多选)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是(　　) A.g(x)=x+f(x) B.g(x)=xf(x) C.g(x)=x2+f(x) D.g(x)=x2f(x) 6.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，则f(1)+g(1)=　　　　.  7.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a-1，2a]，则a+b=　　　　， 8.已知函数f(x)=x3+2x+-3，若f(t)=4，则f(-t)=　　　　.  9.判断下列函数的奇偶性: (1) f(x)=. （2） 10.若f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=x2+2x+1. (1)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的大致图象; (2)写出函数f(x)的值域和单调区间; (3)若f(x)-m=0有四个不同的实根，求实数m的取值范围. 11、若 是定义在R上的函数，是奇函数，是偶函数，且，求的表达式。 12、定义在[-1，1]上的函数 是减函数，且是奇函数，若， 求实数的范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $学案导学 编号：qyj-bx1-3-8 3.1.3 函数的奇偶性（解析） 第一课时　函数的奇偶性 课堂讲练 新知探究 一、函数奇偶性的概念 【探究1】观察右侧函数图象， 你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 【答案】这两个函数图象都关于y轴对称. 可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等，即∀x∈R，f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，∀x∈R，g(-x)=2-|-x|=2-|x|=g(x). 【探究2】观察右侧函数图象， 你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 【答案】两个函数的图象都关于原点成中心对称. 即∀x∈R，f(x)=(-x)3=-x3=-f(x)，∀x∈(0，+∞)，-x∈(-∞，0)，g(-x)==-=-g(x). 二、函数奇偶性的判定与证明 例1 判断下列函数的奇偶性: (1) f(x) =3-|x| ; (2) f(x) =+ ; (3) f(x) = ; (4) f(x) = 解(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(-x)=3-|-x|=3-|x|=f(x)，∴f(x)为偶函数. (2)函数f(x)的定义域为{-1，1}，关于原点对称，且f(x)=0， 又f(-x)=-f(x)，f(-x)=f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数. (4)f(x)的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称. 当x>0时，-x<0，f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x); 当x<0时，-x>0，f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x). 综上可知，对于x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，都有f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数. 1-1 判断下列函数的奇偶性: (1) f(x) = x3 + x5; (2) f(x) = |x+1|+|x-1|; (3) f(x) = . 解　(1)函数的定义域为R.∵f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x)，∴f(x)是奇函数. (2)f(x)的定义域是R.∵f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x)，∴f(x)是偶函数. (3)函数f(x)的定义域是(-∞，-1)∪(-1，+∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数. 判定奇偶性的方法与步骤： (1)定义法 (2)图象法 三、奇、偶函数图象的特征及应用 例2 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时， f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数y=f(x)的图象; (2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间; (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. 解　(1)由题意作出函数图象如图所示. (2)由图可知，函数y=f(x)的 单调递增区间为(-1，0)，(1，+∞). (3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2<x<2，且x≠0}. 2-1 (1)如图①，已给出奇函数y=f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值; (2)如图②，已给出偶函数y=f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小. 解　(1)奇函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x，f(-x))关于原点的对称点为P'(x，-f(-x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)=-2. (2)偶函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x，f(-x))关于y轴的对称点为P'(x，f(-x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3). 四、利用函数奇偶性求参数 例3 若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数，则实数a=　　　　.  答案　4　 解析　∵f(x)为偶函数，∴f(x)=f(-x)，即(x+a)(x-4)=(-x+a)(-x-4)，整理得2a=8，∴a=4. 3-1已知函数f(x)=为奇函数，则a+b=　　　　.  答案0 解析　由题意知则所以 当a=-1，b=1时，经检验知f(x)为奇函数，故a+b=0. 3-2已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c是定义在[2b-5，2b-3]上的奇函数，则f=　　　　.  答案　 解析　由题意可知2b-5+2b-3=0，即b=2.又f(x)是奇函数，故f(-x)+f(x)=0， ∴2ax2+2c=0对任意x都成立，则a=c=0，∴f=+2×=+1=. 课堂达标 1.函数f(x )= - x的图象关于(　　) A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称 答案　C 解析　∵函数的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，f(-x)=--(-x)=-+x=-f(x)， ∴f(x)=-x是奇函数，∴f(x)=-x的图象关于原点对称. 2.若函数y=(+x)(m-x)为偶函数，则m=(　　) A.-2 B.2 C.- D. 答案　D 解析　由y=(+x)(m-x)=m+(m-)x-x2为偶函数，则m+(m-)·(-x)-(-x)2 =m+(m-)x-x2，所以(-m)x=(m-)x对于x∈R恒成立，即m=. 3.若定义在(-1，1)上的奇函数f(x) = ，则常数m=　　　　，n=　　　　.  答案　0　0 解析　由已知得f(0)=0，故m=0. 由f(x)是奇函数，如f(-x)=-f(x)， 即=-，∴x2-nx+1=x2+nx+1，解得n=0. 4.设奇函数f(x)的定义域为[-6，6]，当x∈[0，6]时f(x)的 图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为　　　　　　.  答案　[-6，-3)∪(0，3)　 解析　由f(x)在[0，6]上的图象知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0，3). 又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，不等式f(x)<0在[-6，0]上的解集为[-6，-3). 综上可知，不等式f(x)<0的解集为[-6，-3)∪(0，3). 课后练 1.下列说法中正确的个数为(　　) ①图象关于坐标原点对称的函数是奇函数; ②图象关于y轴对称的函数是偶函数; ③奇函数的图象一定过坐标原点; ④偶函数的图象一定与y轴相交. A.4 B.3 C.2 D.1 答案　C 解析　由奇函数、偶函数的性质知①②正确; 对于③，如f(x)=，x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，f(x)是奇函数，但f(x)的图象不过原点，所以③错误; 对于④，如f(x)=，x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，f(x)是偶函数，但f(x)的图象不与y轴相交，所以④错误. 2.设f(x)为R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=3x-1，则f(0)+f(4)=(　　) A.11 B.-11 C.13 D.-13 答案　C 解析　因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0，又当x<0时，f(x)=3x-1， 所以f(4)=-f(-4)=-(-4×3-1)=13，所以f(0)+f(4)=0+13=13. 3.已知函数f(x)=4x(x-1)+ax+|x|是偶函数，则a=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　函数f(x)=4x(x-1)+ax+|x|=4x2+(a-4)x+|x|，因为函数f(x)为偶函数， 可得f(-x)=f(x)，即4(-x)2+(a-4)(-x)+|-x|=4x2+(a-4)x+|x|，所以a-4=0，解得a=4. 4.函数f(x)=的图象大致是(　　) 答案　B 解析　函数f(x)=， 可得f(-x)==-=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称， 又由x>0时，f(x)>0，所以函数f(x)图象为B选项. 5.(多选)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是(　　) A.g(x)=x+f(x) B.g(x)=xf(x) C.g(x)=x2+f(x) D.g(x)=x2f(x) 答案　AD 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)， 对于A，g(x)的定义域为R，因为g(-x)=-x+f(-x)=-x-f(x)=-[x+f(x)]=-g(x)，所以A正确; 对于B，g(x)的定义域为R，因为g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x)，所以g(x)=xf(x)为偶函数，所以B错误; 对于C，g(x)的定义域为R，因为g(-x)=(-x)2+f(-x)=x2-f(x)，所以g(-x)≠-g(x)，g(-x)≠g(x)， 所以g(x)=x2+f(x)为非奇非偶函数，所以C错误; 对于D，g(x)的定义域为R，因为g(x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=g(x)，所以g(x)=x2f(x)为奇函数，D正确. 6.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，则f(1)+g(1)=　　　　.  答案　1 解析　在f(x)-g(x)=x3+x2+1中，令x=-1，得f(-1)-g(-1)=1，又f(-1)=f(1)，g(-1)=-g(1)，∴f(1)+g(1)=1. 7.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a-1，2a]，则a+b=　　　　， 答案　　 解析　根据题意，f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a-1，2a]，则有(a-1)+2a=0，解得a=， 8.已知函数f(x)=x3+2x+-3，若f(t)=4，则f(-t)=　　　　.  答案　-10 解析　设g(x)=x3+2x+，则f(t)=g(t)-3=4，则g(t)=7.因为g(-x)=(-x)3+2(-x)+=-g(x)， 所以g(-t)=-g(t)=-7，则f(-t)=g(-t)-3=-7-3=-10. 9.判断下列函数的奇偶性: (1) f(x)=. （2） 解析(1)由得-1≤x<0或0<x≤1，∴f(x)的定义域为[-1，0)∪(0，1]， 关于原点对称，∴f(x)==.又f(-x)==-f(x)，故f(x)为奇函数. (2)由f(x)的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称. 当x>0时，-x<0，f(-x)=; 当x<0时，-x>0，f(-x)=. 综上可知，对于x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，都有f(-x)=-f(x)，则f(x)为奇函数. 10.若f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=x2+2x+1. (1)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的大致图象; (2)写出函数f(x)的值域和单调区间; (3)若f(x)-m=0有四个不同的实根，求实数m的取值范围. 解　(1)因为定义在R上的偶函数f(x)， 当x≤0时，f(x)=x2+2x+1，作出函数图象，如图所示. (2)由图可知，函数的值域为[0，+∞)，单调递减区间 为(-∞，-1)，(0，1)，单调递增区间为(-1，0)，(1，+∞). (3)令g(x)=f(x)-m=0，则f(x)=m，若f(x)-m=0有四个不同的实根， 则函数y=f(x)，y=m两个函数的图象有四个交点.由图可知m∈(0，1). 11、若 是定义在R上的函数，是奇函数，是偶函数，且，求的表达式。 【解析】 解：由题意，得 　……① （①中第二式由将 换成 所得）又 ，，故 　……② ②中两式相减：，∴ 。 ②中两式相加：，∴ 。 12、定义在[-1，1]上的函数 是减函数，且是奇函数，若， 求实数的范围. 【解析】 解：定义域为 ，故 　……① 解得 。　……② 由 ，移项得（ 为奇函数）。 ∵ 在 上递减，故 ，得 。　……③ 由②③取交集，得1 。 1 学科网（北京）股份有限公司 $