3.1.2第二 课时 平均变化率与单调性导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

学案导学 编号：qyj-bx1-3-7 3.1.2 函数的单调性（解析） 第二课时　函数的平均变化率 课堂讲练 新知探究 一、直线的斜率公式及应用 探究1　如图所示，在平面直角坐标系中，在过点 A 的 直线 AB、AC、AD 中，你能找到一个量来描述它们的不同点吗？ 【答案】可以用直线的斜率（即直线相对于 轴的倾斜程度）来描述这三条直线的不同。 4、学以致用 例1 已知直线l过点M(m+1，m-1)，N(2m，1).当m为何值时，直线l的斜率是1？ 【答案】当 时，直线 l 的斜率是 1。 【解析】由斜率公式，直线 l 的斜率。由题意令 ，得 ，即 ，解得 。检验：当 时，，分母不为零， 与 为不同两点，故符合题意。 1-1已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在同一条直线上，求实数a的值. 【答案】实数 a 的值为 或 。 【解析】三点共线 ⇔ 其中任意两点连线的斜率相等。由 ，有 ，即 。交叉相乘：，展开得 ，整理得 ，即 ，解得 或 。检验符合题意。 二、平均变化率的计算 例2 已知函数f(x)=2x2+1. (1)求函数f(x)在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率; (2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率; 【答案】(1) 平均变化率为 ；(2) 平均变化率为 。 【解析】(1) 由 ，得 ，。则平均变化率 ==（其中 ）。 (2) 区间 即取 ，，代入 (1) 的结论：。 直接验算：，，故 ，结果一致。 2-1如图，函数y=f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4] 这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是(　　) A.[x1，x2] B.[x2，x3] C.[x1，x3] D.[x3，x4] 【答案】选 D，即平均变化率最大的区间是 。 【解析】平均变化率即区间两端点连线所在直线的斜率。观察图象（增—减—增）：在 上曲线上升，两端点连线向上倾斜，，但上升较缓，故平均变化率为正的较小值；在 上曲线从峰值下降到谷值，连线向下倾斜，，为负；在 上，虽然经历了上升与下降，但终点 低于起点 ，故，为负； 在 上，曲线从谷底 急速上升到最高点 ，区间内函数值增长量最大且水平跨度最小，连线斜率最大且为正。因此平均变化率最大的一个区间是 ，故选 D。 方法提炼：平均变化率最大的区间 ⇔ 区间两端点连线“最陡”且方向向上。 2-2(多选)下列函数在区间[1，1.3]上的平均变化率是正数的有(　　) A.y=x B.y=x2 C.y=x3 D.y= 【答案】选 A、B、C。 【解析】区间端点 ，，逐一求平均变化率：A. ；B. ；C. ；D. 。 可见 A、B、C 三个函数在 上的平均变化率为正， 的平均变化率为负（因为 在 上是减函数）。故选 A、B、C。 快判技巧：区间上为增函数 ⇔ 平均变化率为正；为减函数 ⇔ 平均变化率为负。、、 在 上都是增函数， 是减函数，故直接选 A、B、C。 三、利用平均变化率证明函数的单调性 探究2 如图所示，观察函数图象上任意两点连线的斜率 的符号与函数单调性之间的关系，并总结出一般规律. 【答案】图(1)中函数递增，任意两点连线的斜率恒为正；图(2)中函数递减，任意两点连线的斜率恒为负。一般规律：函数在区间 I 上为增函数的充要条件是 恒成立；为减函数的充要条件是 恒成立。 3、学以致用 例3求证：函数y= 在区间(-∞，0)和(0，+∞)上都是减函数. 【答案】在 与 上，函数的平均变化率恒为负数，故在这两个区间上都是减函数。 【解析】证明：先证在 上。任取 ，且 ，则平均变化率==。因为 ，所以 ，故 在 上是减函数。 同理，在 上任取 且 ，同样有 。因为 ，故 ，从而 ，所以 在 上也是减函数。综上，函数 在 和 上都是减函数。 3-1已知函数f(x)=x + . (1)求证:f(x)在[1，+∞)上是增函数; (2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值 【答案】(1) 见解析；(2) 最小值是 2（在 处取得），最大值是 （在 处取得）。 【解析】(1) 证明：任取 ，且 ，则===。 因为 且 ，所以 ，故 恒成立，所以 在 上是增函数。 (2) 因为 ，由 (1) 知 在 上单调递增，故最小值在左端点取得：；最大值在右端点取得：。 3-2　证明函数f(x)= (x>0) 在 (0，1]上是增函数，在[1，+∞)上是减函数， 并求这个函数的最值. 【答案】证明见解析；函数的最大值为 （在 处取得），没有最小值（恒有 ，且当 或 时 ，下确界为 0 但不取到）。 【解析】证明：任取 ，且 ，则==。 当 时，，且因 不可能同时等于 1，故 ，于是 ，所以 在 上是增函数。 当 时，，同理因 不可能同时等于 1，故 ，于是 ，所以 在 上是减函数。 求最值：函数在 上递增、在 上递减，故在 处取得最大值，。又恒有 （因 ），且当 或 时 ，故函数值只能无限接近 0 而取不到 0，因此该函数没有最小值（下确界为 0）。 课堂达标 1.直线l经过两点(4，-2)，(-3，4)，则l的斜率为(　　) A.- B. C.- D. 答案　A 解析　由k=，得l的斜率为=-. 2.在曲线f(x)=x2+1的图象上取一点(1，2)及邻近一点(1+Δx，2+Δy)，则=(　　) A.Δx++2 B.2 C.Δx+2 D.Δx-+2 答案　C 解析　由题可得==2+Δx. 3.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率为　　　　.  答案　-1 解析　由函数平均变化率的定义可得，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率为===-1. 4.已知曲线y= -1上两点A，B，当Δx=1时，直线AB的斜率为　　.  答案　- 解析　Δy=-1-=， 所以 = - ， 所以当Δx=1时，直线AB的斜率为 - . 课后练 1.设函数y=f(x)，当自变量x由x0变到x0+Δx时，函数的改变量Δy=(　　) A.f(x0+Δx) B.f(x0)+Δx C.f(x0+Δx)-f(x0) D.都不对 答案　C 解析　由题意知Δy=f(x0+Δx)-f(x0). 2.如果过点P(-2，m)和Q(m，4)的直线的斜率等于1，那么m的值为(　　) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 答案　A 解析　由题意得=1且m≠-2， 解得m=1. 3.已知f(x)=2x+1和g(x)=3x+2在区间[m，n]上的平均变化率分别为a和b，则(　　) A.a>b B.a<b C.a=b D.不确定 答案　B 解析　由题意a= ==2，b===3，故a<b. 4.(多选)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在区间[1，7]上的平均变化率情况是(　　) A.在区间[1，2]上的平均变化率最小 B.在区间[2，3]上的平均变化率大于0 C.在区间[3，4]上的平均变化率比[2，3]上的大 D.在区间[4，7]上的平均变化率最大 答案　BC 解析　函数f(x)在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间[4，7]上，<0，即函数f(x)在区间[4，7]上的平均变化率小于0; 在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]上时，>0，由图象可知函数在区间[3，4]上的最大.故选BC. 5.函数f(x)的定义域为R，且对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)均有<0成立， 若f(1-a)>f(2a-1)，则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞，0)∪ B. C. D. 答案　B 解析　由题意<0(x1≠x2)，不妨假设x1<x2，则f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递减， 又f(1-a)>f(2a-1)，所以1-a<2a-1，解不等式得a>，则实数a的取值范围为. 6.(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)， 则下列结论中正确的是(　　) A.>0 B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 C.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b) D.f(x1)>f(x2) 答案　AB 解析　由函数单调性的定义可知，若y=f(x)在给定的区间上是增函数， 则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号，由此可知A，B正确;对于C，D，因为x1，x2的大小关系无法判断， 所以f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断，故C，D不正确. 7.函数y=x2在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0-Δx，x0]上的平均变化率为k2， 则k1　　　　k2(填“>”“<”或“=”).  答案　> 解析　k1==2x0+Δx， k2==2x0-Δx，又由题意知Δx>0，故k1>k2. 8.若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则+的值为　　　　.  答案　 解析　∵A，B，C三点共线，且A点横坐标与C点横坐标不相等， ∴AB，AC的斜率存在且相等，即=，∴2(a+b)=ab，∴=，∴+=. 9.函数f(x)=满足对任意x1≠x2，都有>0，则a的取值范围是 　　.  答案　[-2，-1] 解析　由>0， 可知函数f(x)在R上单调递增，所以 解得-2≤a≤-1. 10.证明:函数f(x)=+ x 是增函数. 证明　函数f(x)=+x的定义域为[0，+∞)，任取x1，x2∈[0，+∞)且x1≠x2， 则===+1.∵x1，x2∈[0，+∞)，∴>0. ∴函数f(x)=+x是增函数. 11.若函数y=f(x)是其定义域的子集I上的增函数且f(x)>0，求证:g(x)=在I上为减函数. 证明　任取x1，x2∈I且x2>x1，则Δx=x2-x1>0，Δy=f(x2)-f(x1)， ∵函数y=f(x)是其定义域的子集I上的增函数，∴>0，Δy>0， ∴Δg=g(x2)-g(x1)=-=.又∵f(x)>0，∴f(x1)f(x2)>0且f(x1)-f(x2)<0， ∴Δg<0，∴<0，故g(x)=在I上为减函数. 12.已知函数f(x)=，x∈[1，+∞). (1)当a=时，求函数f(x)的最小值; (2)若对任意的x∈[1，+∞)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围. 解　(1)当a=时，f(x)= = x++2. 设任意x1，x2∈[1，+∞)，且x1≠x2， 则==1-=. 因为x1≠x2且x1≥1，x2≥1，所以x1x2>1，2x1x2-1>0， 所以>0，所以>0，即f(x)在[1，+∞)上是增函数. 所以f(x)在[1，+∞)上的最小值为f(1)=1++2=. (2)因为f(x)=>0在[1，+∞)上恒成立，所以x2+2x+a>0在[1，+∞)上恒成立. 记y=x2+2x+a，x∈[1，+∞)， 所以y=(x+1)2+a-1在[1，+∞)上单调递增，故当x=1时，y取得最小值，最小值为3+a. 所以当3+a>0， 即a>-3时，f(x)>0恒成立， 所以实数a的取值范围为(-3，+∞). 1 学科网（北京）股份有限公司 $学案导学 编号：qyj-bx1-3-7 3.1.2 函数的单调性 第二课时　函数的平均变化率 课堂讲练 学习目标 1．了解直线的斜率及意义。 2．了解函数的平均变化率，理解函数单调性与平均变化率的关系。 3．会用函数单调性的充要条件证明简单函数的单调性。 新知探究 一、直线的斜率公式及应用 探究1　如图所示，在平面直角坐标系中，在过点 A 的 直线 AB、AC、AD 中，你能找到一个量来描述它们的不同点吗？ 1、斜率的定义： 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时， 称 为直线AB的斜率;当x1=x2时，称直线AB的斜率不存在. 若记Δx=x2-x1，相应的Δy=y2-y1，则当Δx≠0时，斜率可记为 . 2、斜率公式：k= = = （A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线上任意两点，且 x1≠x2 ）。 3、定义解读： (1)直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度. (2)当直线垂直于x轴时，其斜率不存在;当直线垂直于y轴时，其斜率为0. (3)当点A与点B位置调换时，斜率不变. 4、学以致用 例1 已知直线l过点M(m+1，m-1)，N(2m，1).当m为何值时，直线l的斜率是1？ 1-1已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在同一条直线上，求实数a的值. 二、平均变化率的计算 1、定义：一般地，当x1≠x2时，称 = 为函数y=f(x)在 区间[x1，x2] (x1<x2时) 或[x2，x1](x1>x2时)上的平均变化率. 2、几何意义： (1)平均变化率 的几何意义是函数y=f(x) 图象上的两点A(x1，f(x1))， B(x2，f(x2))连线所在直线的斜率，可正可负，也可为零. (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”。 例2 已知函数f(x)=2x2+1. (1)求函数f(x)在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率; (2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率; 2-1如图，函数y=f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4] 这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是(　　) A.[x1，x2] B.[x2，x3] C.[x1，x3] D.[x3，x4] 2-2(多选)下列函数在区间[1，1.3]上的平均变化率是正数的有(　　) A.y=x B.y=x2 C.y=x3 D.y= 三、利用平均变化率证明函数的单调性 探究2 如图所示，观察函数图象上任意两点连线的斜率 的符号与函数单调性之间的关系，并总结出一般规律. 1、函数递增、递减的充要条件 一般地，若I是函数y=f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2， 记y1=f(x1)，y2=f(x2)，=，则: (1)y=f(x)在I上是增函数的充要条件是 > 0在I上恒成立; (2)y=f(x)在I上是减函数的充要条件是 < 0在I上恒成立. 2、利用平均变化率判证单调性的步骤：取值、做商、定号、判定。 3、学以致用 例3求证：函数y= 在区间(-∞，0)和(0，+∞)上都是减函数. 3-1已知函数f(x)=x + . (1)求证:f(x)在[1，+∞)上是增函数; (2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值 3-2　证明函数f(x)= (x>0) 在 (0，1]上是增函数，在[1，+∞)上是减函数， 并求这个函数的最值. 课堂达标 1.直线l经过两点(4，-2)，(-3，4)，则l的斜率为(　　) A.- B. C.- D. 2.在曲线f(x)=x2+1的图象上取一点(1，2)及邻近一点(1+Δx，2+Δy)，则=(　　) A.Δx++2 B.2 C.Δx+2 D.Δx-+2 3.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率为　　　　.  4.已知曲线y= -1上两点A，B，当Δx=1时，直线AB的斜率为　　.  课后练 1.设函数y=f(x)，当自变量x由x0变到x0+Δx时，函数的改变量Δy=(　　) A.f(x0+Δx) B.f(x0)+Δx C.f(x0+Δx)-f(x0) D.都不对 2.如果过点P(-2，m)和Q(m，4)的直线的斜率等于1，那么m的值为(　　) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 3.已知f(x)=2x+1和g(x)=3x+2在区间[m，n]上的平均变化率分别为a和b，则(　　) A.a>b B.a<b C.a=b D.不确定 4.(多选)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在区间[1，7]上的平均变化率情况是(　　) A.在区间[1，2]上的平均变化率最小 B.在区间[2，3]上的平均变化率大于0 C.在区间[3，4]上的平均变化率比[2，3]上的大 D.在区间[4，7]上的平均变化率最大 5.函数f(x)的定义域为R，且对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)均有<0成立， 若f(1-a)>f(2a-1)，则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞，0)∪ B. C. D. 6.(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)， 则下列结论中正确的是(　　) A.>0 B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 C.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b) D.f(x1)>f(x2) 7.函数y=x2在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0-Δx，x0]上的平均变化率为k2， 则k1　　　　k2(填“>”“<”或“=”).  8.若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则+的值为　　　　.  9.函数f(x)=满足对任意x1≠x2，都有>0，则a的取值范围是 　　.  10.证明:函数f(x)=+ x 是增函数. 11.若函数y=f(x)是其定义域的子集I上的增函数且f(x)>0，求证:g(x)=在I上为减函数. 12.已知函数f(x)=，x∈[1，+∞). (1)当a=时，求函数f(x)的最小值; (2)若对任意的x∈[1，+∞)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $