精品解析：广东江门市怡福中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

2026-2027学年第一学期九年级数学科10月素养练习 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中一定是关于x的一元二次方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证． 【详解】解：A. 是一元二次方程； B. 是分式方程，故不符合题意； C. a=0时是一元一次方程，故不符合题意； D. 是一元一次方程，故不符合题意. 故选A. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程． 2. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ，即， ， 故选：B． 3. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：令， 得方程，， 由二次函数的图象与轴有交点， ∴， ∴， 解得． 故选：A． 4. 如果将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的新抛物线的解析式为， 故选：A． 5. 根据2026年最新数据，长安汽车旗下的深蓝品牌销量继续保持稳健的增长．某专卖店今年七月份深蓝品牌的销售额700万元，预计九月份的销售额将达到1008万元．若设这两个月销售额的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】明确七月到九月共经历2次月增长，结合平均增长率关系列方程． 【详解】解：∵七月份销售额为700万元，月平均增长率为， ∴八月份销售额为万元， ∴九月份销售额为万元， ∵九月份销售额预计为1008万元， ∴可列方程． 6. 剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线开口向上，与轴交于正半轴，即可判断的符号，即可求解． 【详解】解：∵根据抛物线开口向上，与轴交于正半轴， ∴，则， 故选：C． 7. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图像与y轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴是y轴 C. 当时，y的值随x值的增大而减小 D. y的最大值为1 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数解析式得出图像的基本性质，再逐一判断各选项正误． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为，有最小值. 当时，，即图像与轴的交点坐标为，故A正确； 图像的对称轴是轴，故B正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，的值随值的增大而减小，故C正确； ∵抛物线开口向上，顶点为图像的最低点， ∴有最小值，无最大值，故D错误． 8. 元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 9. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（ ） A. 12 B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 10. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的常数项是______． 【答案】 【解析】 【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，其中为常数项，据此求解即可． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项整理得， ∴该一元二次方程的常数项为． 12. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，由根的判别式得，即可求解；掌握根的判别式：“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有无的实数根．”是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， ， k的取值范围是且， 故答案为：且． 13. 抛物线与的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是，则该抛物线的函数解析式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线与的形状相同，开口方向相反，可得a的值，由顶点坐标可得c的值． 【详解】解：∵抛物线与的形状相同，开口方向相反， ∴， ∵顶点坐标是， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，掌握解析式与系数的关系是解决本题的关键． 14. 如果三点，和在抛物线的图象上，那，，之间的大小关系是______ ． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴是直线， 当时，随的增大而减小，关于称轴是直线的对称点是， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 15. 在“弘扬科学家精神，共筑科技强国梦”为主题的物地学科节中，格格同学设计制作了“火箭”升空实验装置，已知该“火箭”的升空高度（米）与飞行时间（秒）满足函数表达式，则“火箭”升空的最大高度为______米． 【答案】37 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 将二次函数解析式化为顶点式，再根据抛物线的开口方向、顶点坐标即可得出答案． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向下，函数有最大值， 当时，米， 故答案为：37． 三．解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： 或 ，． 17. 已知二次函数． （1）填写表中空格处的数值； （2）根据表格，画出这个二次函数的图象； （3）根据表格图象可知，当时，的取值范围是______． 【答案】（1）， （2） 画图如下： （3） 【解析】 【分析】（）把和代入函数解析式计算即可求解； （）根据表格中的对应值描点、连线即可； （）根据表格和所画图象解答即可求解； 本题考查了画二次函数的图象，根据图象求函数值的取值范围，正确画出图象是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据表格图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． 18. 已知二次函数． （1）若点在二次函数的图象上，求a的值． （2）求证：不论a为何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点． 【答案】（1） （2）证明：令，得一元二次方程， 根的判别式 ， ∵， ∴，即. ∴不论为何实数，该方程总有两个不相等的实数根，即二次函数的图象与轴总有两个交点 【解析】 【分析】（1）将已知点代入函数解析式中求解即可； （2）令，得一元二次方程，求得，进而可得二次函数的图象与轴总有两个交点． 【小问1详解】 解：∵点在二次函数的图象上， ∴ 解得． 【小问2详解】 略 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 东湖公园有一座抛物线形的拱门，如图，以拱门底部所在的直线为x轴、以拱门的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，测得拱门的跨度AB是4m，拱门的最高处离地面4m． （1）求这条抛物线的解析式； （2）一辆宽2m、车顶离地面3.2m的箱式货车沿拱门的正中间通过，能否顺利通过？通过计算作出判断． 【答案】（1）这条抛物线的解析式为． （2）宽2m、车顶离地面3.2m的箱式货车沿拱门的正中间通过时，不能顺利通过拱门． 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，拱门的顶点为，可设这条抛物线的解析式为，代入拱门的顶点解出即可得这条抛物线的解析式． （2）当宽2m、车顶离地面3.2m的箱式货车沿拱门的正中间通过时，车的左边对应的横坐标为，右边对应的横坐标为1，计算出此时拱门的高度，再跟车顶离地面3.2m比较即可判断此箱式货车能不能顺利通过拱门． 【小问1详解】 解：如图， 根据题意得：，，拱门的顶点为， ∴可设这条抛物线的解析式为， ∴，解得：， ∴， ∴这条抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图， 由（1）得：这条抛物线的解析式为， 当宽2m、车顶离地面3.2m的箱式货车沿拱门的正中间通过时，车的左边对应的横坐标为，右边对应的横坐标为1， 当时，， ∴此时拱门的高度为3米， ∵车顶离地面3.2m， ∴宽2m、车顶离地面3.2m的箱式货车沿拱门的正中间通过时，不能顺利通过拱门． 20. 如图，在中，，，．点P从点C出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达点B时停止运动，另一点也随之停止，设点P，Q运动的时间是t秒（）．完成问题： （1）______； （2）当时，求的面积？ （3）点P，Q分别在，上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）1 （3）不能，理由如下： 如图， 点P，Q分别在，上时，设点P，Q运动的时间是t秒，则：，， ∴， ∴，， 当时，，化简得：， ∵， ∴方程无解， ∴点P，Q分别在，上时，的面积不能是面积的一半． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可． （2）当时，根据题意得求出，，进而得，根据三角形面积公式求出即可． （3）点P，Q分别在，上时，设点P，Q运动的时间是t秒，求出，，即可得，再求出，，当时，列出方程，计算，得方程无解，即可得点P，Q分别在，上时，的面积不能是面积的一半． 【小问1详解】 解：如图， 根据勾股定理得：， ∴． 【小问2详解】 解：如图， 当时，根据题意得：，， ∴， ∴， ∴当时，的面积为1． 【小问3详解】 略 21. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”______； （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根______，______；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为______，请证明你的结论； （3）已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 【答案】（1） （2），（两空顺序可互换）；特殊关系为：一元二次方程（，）的两根与其“友好方程”的两根互为倒数. 证明：设是方程的根. ∵， ∴. 将两边同时除以，得 ， ∴是方程的根. 同理可证，“友好方程”的任意一个根的倒数也是原方程的根. ∴两方程的两根互为倒数. （3）方程的两根为，. 【解析】 【分析】（1）根据“友好方程”的定义，互换原方程的二次项系数与常数项，保持一次项系数不变即可得到结果； （2）先求解“友好方程”的两根，对比原方程根的特征得到倒数关系的猜想，再利用方程根的定义证明结论； （3）将待求方程变形为“友好方程”的结构，通过换元结合（2）的倒数关系求解． 【小问1详解】 解：根据“友好方程”的定义，方程中，，， 互换与的值，保持不变，得到其“友好方程”为； 【小问2详解】 解：方程的“友好方程”为， 整理得， 因式分解得， 解得，； 证明部分略； 【小问3详解】 解：整理方程，得 ， 设，则方程变为， 两边乘得， ∵方程的两根为，，且是的“友好方程”， 根据（2）的结论，“友好方程”的两根是原方程两根的倒数， ∴，， 当时，，解得； 当时，， 解得， 综上所述，方程的两根为，． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【问题背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的处有一棵古树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边且恰好用完），设． 【设计方案】设计一个矩形花园，且要将古树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）． 【解决问题】思路：把矩形的面积用含的代数式表示出来． （1）求出与的解析式并确定的取值范围； （2）花园的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由； （3）若要使古树恰好在矩形的对角线上，求及的值． 【答案】（1）， （2） （3）的值为，的值为 【解析】 【分析】（1）根据题意列函数关系式并求出的取值范围即可； （2）令，得到，解方程并根据，即可得到答案； （3）过点作于点，得出，求出，． 【小问1详解】 解：根据题意得，； 古树与墙，的距离分别是和， 解得； 【小问2详解】 解：令，则， 整理得， 解得，或， ， 答：花园的面积能为，此时的值为； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，则，， ， ， ， 整理得， 解得， 此时， 答：的值为，的值为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2－2x－3与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），直线y=x+m与抛物线交于A、C两点． （1）求点C的坐标； （2）点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交AC于E点，当EP最长时，求此时点P的坐标； （3）抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）C（4，5）；（2）当点P的坐标为时，EP最长；（3）存在，(，)或(，)或(，) 【解析】 【分析】（1）先求得抛物线与x轴两个交点A、B的坐标，再求出m=1，解方程组即可求解； （2）设点P(，)，得到PE的长为PE，利用二次函数的性质即可求解； （3）分A M、BM、AB为对角线时三种情况讨论，画出图形，即可求解． 【详解】（1）令，则，即， 解得， 点A的坐标为(，0)，点B的坐标为(，0)， 把A (，0)代入得：， 解得， ∴直线AC的解析式为：， 解方程组得：或， ∴点C的坐标为（4，5）； （2）设点P(，)，则点E(，)， ∴PE=， ∵，当时，PE有最大值为， ∴点P的坐标为(，)； （3）∵， ∴顶点M的坐标为(，)； 设点N的坐标为(，)， ∵AB=3+1=4， 当AM为对角线时，则，∥AB， ∴点的坐标为(，)； 当BM为对角线时，则，∥AB， ∴点的坐标为(，)； 当AB为对角线时，则点与点M关于轴对称， ∴点的坐标为(，)； 综上，存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形， N点坐标为(，)或(，)或(，) ． 【点睛】本题考查了求抛物线与轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，平行四边形的性质，第（3）问要分情况讨论求解，以防遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学科10月素养练习 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中一定是关于x的一元二次方程是 A. B. C. D. 2. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如果将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 根据2026年最新数据，长安汽车旗下的深蓝品牌销量继续保持稳健的增长．某专卖店今年七月份深蓝品牌的销售额700万元，预计九月份的销售额将达到1008万元．若设这两个月销售额的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图像与y轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴是y轴 C. 当时，y的值随x值的增大而减小 D. y的最大值为1 8. 元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（ ） A. 12 B. C. D. 9 10. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的常数项是______． 12. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 13. 抛物线与的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是，则该抛物线的函数解析式是_____． 14. 如果三点，和在抛物线的图象上，那，，之间的大小关系是______ ． 15. 在“弘扬科学家精神，共筑科技强国梦”为主题的物地学科节中，格格同学设计制作了“火箭”升空实验装置，已知该“火箭”的升空高度（米）与飞行时间（秒）满足函数表达式，则“火箭”升空的最大高度为______米． 三．解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2）； 17. 已知二次函数． （1）填写表中空格处的数值； （2）根据表格，画出这个二次函数的图象； （3）根据表格图象可知，当时，的取值范围是______． 18. 已知二次函数． （1）若点在二次函数的图象上，求a的值． （2）求证：不论a为何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 东湖公园有一座抛物线形的拱门，如图，以拱门底部所在的直线为x轴、以拱门的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，测得拱门的跨度AB是4m，拱门的最高处离地面4m． （1）求这条抛物线的解析式； （2）一辆宽2m、车顶离地面3.2m的箱式货车沿拱门的正中间通过，能否顺利通过？通过计算作出判断． 20. 如图，在中，，，．点P从点C出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达点B时停止运动，另一点也随之停止，设点P，Q运动的时间是t秒（）．完成问题： （1）______； （2）当时，求的面积？ （3）点P，Q分别在，上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 21. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”______； （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根______，______；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为______，请证明你的结论； （3）已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【问题背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的处有一棵古树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边且恰好用完），设． 【设计方案】设计一个矩形花园，且要将古树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）． 【解决问题】思路：把矩形的面积用含的代数式表示出来． （1）求出与的解析式并确定的取值范围； （2）花园的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由； （3）若要使古树恰好在矩形的对角线上，求及的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2－2x－3与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），直线y=x+m与抛物线交于A、C两点． （1）求点C的坐标； （2）点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交AC于E点，当EP最长时，求此时点P的坐标； （3）抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $