精品解析：广东佛山市华英学校 2026-2027学年上学期第一阶段学习反馈 九 年 级 数 学

佛山市华英学校2026-2027学年第一阶段学习反馈 九年级数学 说明：1、全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2、答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列方程中，不是一元二次方程的是（ ） A. B. （b、c为常数） C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程需同时满足四个条件：①是整式方程，②只含个未知数，③未知数的最高次数为，④二次项系数不为，从而快速排查选项． 【详解】解：选项A、D中的方程只含个未知数，最高次数为2，是整式方程，二次项系数不为； 选项B中为常数，方程只含个未知数，最高次数为2，是整式方程，二次项系数不为． 选项A、B、D中的方程均为一元二次方程． 选项C的方程含有两个未知数． 不是一元二次方程． 2. 下列长度的各组线段中，是比例线段的是（ ） A. 3，6，8，9 B. 3，5，6，9 C. 3，6，7，9 D. 3，6，9，18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例线段．分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断． 【详解】解：A、∵，∴3，6，8，9不能构成比例线段，不符合题意； B、∵，∴3，5，6，9不能构成比例线段，不符合题意； C、∵，∴3，6，7，9不能构成比例线段，不符合题意； D、∵，∴3，6，9，18能构成比例线段，符合题意； 故选：D． 3. 如图，分别以点，为圆心，以大于的长a为半径作弧，两弧相交于点，，则四边形是菱形的理由是（ ） A. B. C. D. 是的垂直平分线 【答案】B 【解析】 【分析】利用尺规作图和四边相等的四边形是菱形即可判断． 【详解】解：以点，为圆心，以大于的长a为半径作弧，两弧相交于点，， ， 四边形是菱形． 4. 已知关于的一元二次方程有一个根是，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：设方程的另一个根为， 关于的一元二次方程有一个根是， ， ． 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑它们之间的联系和区别． 根据矩形和菱形的性质判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意； B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意； C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意； D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， ， ，，， ， ． 7. 已知关于x的一元二次方程的两个根为，，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用根与系数的关系将已知等式转化为关于的方程，求解后验证方程有实根． 【详解】解：由根与系数的关系得，，． ， ， 解得． 方程有两个实数根， ． 将代入得，，符合题意． 故选：A． 8. 如图，四边形的对角线分别是各边的中点，则四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形中位线定理得到，再根据，证明，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形中，分别是各边的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴菱形是正方形． 9. 如图，线段上的一点把分割为两条线段、，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．本题由再建立方程即可． 【详解】解：由题意知米，， 而，即， ∴， 故选：A． 10. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为4．小美尝试用此方法解关于x的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为256，则方程的正数解是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为5，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】已知比例关系，利用比例的基本性质变形即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴交叉相乘得， ∵为所求分式的分母，， ∴等式两边同时除以，得． 12. 把方程化成的形式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过移项、配方，将原方程化为要求的形式即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，两边同时加上，得， 整理得． 13. 如图，在中，是斜边上的中线，，则_________°．     【答案】18 【解析】 【分析】先求解，结合直角三角形斜边上的中线可得，进一步可得答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴． 14. 红色的“中国结”是一种喜庆的吉祥物，它是中华民族团结的象征．小宝想求家里“中国结”挂饰的面积，于是利用所学的知识抽象出如图2所示的菱形，测得，，则菱形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质和已知条件，推出等边，从而求出长度，结合勾股定理求出的长度，即可知道长度，最后利用菱形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：为菱形， ，，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ， 菱形的面积为． 15. 如图，在矩形纸片中，，，M是上的点，且，将矩形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在上的点P处，点C落在点处，折痕为，则线段的长是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明，得到，则；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得，，； ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 三、解答题（一）（本大题3小题，每题7分，共21分） 16. 习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程 用公式法解方程： 解：将方程化为一般形式，得， 第一步， ，，， 第二步； ， 第三步； 第四步， 即， 第五步． （1）开始出现错误的步骤是第___________步； （2）请给出此题正确的解答过程． 【答案】（1）一 （2） 解：解方程化为一般形式，得， ，，， ， ， 即，． 【解析】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可； （2）根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可． 【小问1详解】 解：将方程化为一般形式，得 ， ∴第一步开始出现错误． 故答案为：一． 【小问2详解】 略 17. 如图，在中，是上一点，是上一点，且． （1）求证：∽； （2）若求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的对应边成比例列式求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 18. 甲同学家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，甲利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． （1）如图1，当时， 米（用含x的代数式表示）． （2）若围成的养鸡场面积为平方米，求的长． 【答案】（1） （2）的长为米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据图形和条件确定木栏总长米加上2米后是的长度，据此可得的长度； （2）根据长方形面积公式列出方程，解方程即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得米； 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得：，， 当时， ， 即，故舍去， 答：的长为米． 四、解答题（二）（本大题3小题，19题9分，20题9分，21题10分，共28分） 19. 学完矩形的判定后，善于思考的小强、小明和小丽同学有自己独到的见解： 已知：如图，在中，，，垂足为点D，是的外角的平分线，点E在上，连接． 小强说：若，则四边形是矩形； 小明说：若，则四边形是矩形； 小丽说：连接，若，则四边形是矩形． 请对其中两人的说法进行判断并证明． 【答案】三人的说法都是正确的． 证明如下： 小强的说法的证明： ，， , 是的外角的平分线， , , , , 四边形是矩形． 小明的说法的证明： ，， ， 是的外角的平分线， , , , , , 四边形是矩形． 小丽的说法的证明： ，， ， 是的外角的平分线， , , , , 四边形是平行四边形， , , , 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一，矩形的判定定理解答即可． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若线段，的长是一元二次方程的两个根，且． （1）求对角线的长； （2）连结，若点E为x轴正半轴上的点，当与相似时，求点E的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先解方程得到的长，再用勾股定理求得菱形的边长，进而求出的长，再用勾股定理求出的长； （2）利用相似三角形的性质，分两种位置讨论，得到点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，连接， ， ， 解得：或， 线段，的长是一元二次方程的两个根，且， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 四边形是菱形， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：． 【小问2详解】 解：如图，连接， 设点的坐标为， 点E为x轴正半轴上的点， ， ， ， 当与相似时，分两种情况： ①， 可得， ， ， ． ②， 可得， ， ， ． 综上所述：点的坐标为或． 21. 综合与实践：矩形纸片中的内接菱形探究 定义：四个顶点都在矩形的四条边上的菱形，称为矩形的内接菱形．现有一张矩形纸片，，．数学实践小组开展折纸、作图探究活动，请你完成下面任务． 活动一：折纸得菱形如图1，小组同学第一种操作：将矩形纸片先横向对折，再纵向对折，之后沿复合后的直角三角形的斜边剪开，展开得到菱形，四个顶点落在矩形的四边上． 活动二：纸片折叠证菱形如图2，取两张完全相同的矩形纸片，一张固定为矩形，另一张矩形纸片斜放，使得两组对边分别与矩形的两组对边相交，重叠部分为四边形． 活动三：尺规作内接菱形用尺规作图作出以矩形对角线为一条对角线的内接菱形，E在边上，F在边上． 活动四：深度探究，求最大面积①求出活动一、活动二的内接菱形的面积；②作出其它内接菱形，结合计算分析，得出矩形所有内接菱形的面积最大值． （1）图1菱形的面积与矩形的面积之比：________； （2）求证：图2重叠部分四边形是菱形． （3）尺规作图：请你在图3中完成活动三的作图．（保留作图痕迹，不要求写作法） （4）直接写出此矩形的内接菱形的面积最大值． 【答案】（1） （2）证明：如图2 ∵矩形为两个大小一样的矩形纸片， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （3）四边形即为所求： （4）此矩形的内接菱形的面积最大值为15 【解析】 【分析】（1）由矩形和菱形的面积公式计算即可； （2）先推导出四边形是平行四边形，进而证明，得到，则四边形是菱形，即可解答； （3）先连接对角线，以点A为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，以点C为圆心，同样长度为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接M，N两点，所得直线与边交于点E，与边交于点F，则四边形即为所求； （4）方法一：根据（1）中结论，计算出的面积即可得菱形的面积；方法二：根据勾股定理求出菱形的边长，由底乘高计算菱形的面积即可；方法三：由方法二同理可求菱形的面积，比较三种方法菱形的面积即可得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴菱形的面积与矩形的面积之比为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：方法一：如图 在矩形中，，， ∴， 由（1）可知，菱形的面积与矩形的面积之比为， ∴菱形的面积为； 方法二：如图 设菱形边长为x，即， ∵，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴菱形边长为5， ∴菱形的面积为； 方法三：如图 由方法二可知，同理可得菱形的边长为5， ∴菱形的面积为； ∵， ∴此矩形的内接菱形的面积最大值为15． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题13分，共26分） 22. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称为该一元二次方程的衍生点． （1）写出方程的衍生点的坐标为__________； （2）若关于的一元二次方程有衍生点： 求实数的取值范围； 若衍生点的纵坐标和横坐标相差，求的值； 探究衍生点的纵坐标和横坐标之间的等量关系，写出关系式并证明． 【答案】（1）. （2）且. 或. 衍生点的纵坐标和横坐标之间的等量关系：． 证明：∵ 是方程 的两根，由根与系数关系得：， 由 变形，得 ． 又 ，所以 得证． 【解析】 【分析】第问先求方程两根，再按写出衍生点坐标；第问由“有衍生点”即方程有两个不相等的实数根，结合二次项系数不为求参数范围； 第问利用两根差恒等式，结合根与系数关系构造关于的方程；第问利用根与系数关系消去参数，得到的关系式． 【小问1详解】 解方程：，即． 得，，满足． ∴衍生点的坐标为． 【小问2详解】 方程有衍生点，等价于该方程是一元二次方程且有两个实数根． 求的取值范围 由一元二次方程定义，得． 由判别式，得 ，解得 综上，的取值范围是且． ②若，求 设方程两根为，由题意． 由根与系数的关系：，． 由两根差的恒等式： 代入： 两边同乘，整理得： ，即 两个根，，均满足且． 的值为或． ③略 23. 在正方形中，E、F分别是边、上一点，且，连接、交于点G． （1）判断线段、的位置关系并说明理由． （2）连接交于点H，连接，如图②； ①若点E是BC的中点，当时，求线段的长； ②当时，求的值． 【答案】（1）线段、的位置关系：垂直，理由如下： ∵四边形是正方形，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段、的位置关系：垂直； （2）①；②的值为． 【解析】 【分析】（1）垂直．证明，根据全等三角形的性质可得，从而得出，可得结论； （2）①证明，可得，再根据（1）的结论可得； ②设，则，可得，再设，，证明，求得，根据，可得，联立得，据此计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵点是的中点，， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴线段的长为； ②设，则， ∴， 设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， 联立，整理得， 两边同时除以，且设， 则， 解得或（舍去）， ∴的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佛山市华英学校2026-2027学年第一阶段学习反馈 九年级数学 说明：1、全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2、答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列方程中，不是一元二次方程的是（ ） A. B. （b、c为常数） C. D. 2. 下列长度的各组线段中，是比例线段的是（ ） A. 3，6，8，9 B. 3，5，6，9 C. 3，6，7，9 D. 3，6，9，18 3. 如图，分别以点，为圆心，以大于的长a为半径作弧，两弧相交于点，，则四边形是菱形的理由是（ ） A. B. C. D. 是的垂直平分线 4. 已知关于的一元二次方程有一个根是，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 6. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程的两个根为，，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形的对角线分别是各边的中点，则四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 9. 如图，线段上的一点把分割为两条线段、，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为4．小美尝试用此方法解关于x的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为256，则方程的正数解是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则_________． 12. 把方程化成的形式为__________． 13. 如图，在中，是斜边上的中线，，则_________°．     14. 红色的“中国结”是一种喜庆的吉祥物，它是中华民族团结的象征．小宝想求家里“中国结”挂饰的面积，于是利用所学的知识抽象出如图2所示的菱形，测得，，则菱形的面积为________． 15. 如图，在矩形纸片中，，，M是上的点，且，将矩形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在上的点P处，点C落在点处，折痕为，则线段的长是__________________． 三、解答题（一）（本大题3小题，每题7分，共21分） 16. 习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程 用公式法解方程： 解：将方程化为一般形式，得， 第一步， ，，， 第二步； ， 第三步； 第四步， 即， 第五步． （1）开始出现错误的步骤是第___________步； （2）请给出此题正确的解答过程． 17. 如图，在中，是上一点，是上一点，且． （1）求证：∽； （2）若求的长． 18. 甲同学家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，甲利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． （1）如图1，当时， 米（用含x的代数式表示）． （2）若围成的养鸡场面积为平方米，求的长． 四、解答题（二）（本大题3小题，19题9分，20题9分，21题10分，共28分） 19. 学完矩形的判定后，善于思考的小强、小明和小丽同学有自己独到的见解： 已知：如图，在中，，，垂足为点D，是的外角的平分线，点E在上，连接． 小强说：若，则四边形是矩形； 小明说：若，则四边形是矩形； 小丽说：连接，若，则四边形是矩形． 请对其中两人的说法进行判断并证明． 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若线段，的长是一元二次方程的两个根，且． （1）求对角线的长； （2）连结，若点E为x轴正半轴上的点，当与相似时，求点E的坐标． 21. 综合与实践：矩形纸片中的内接菱形探究 定义：四个顶点都在矩形的四条边上的菱形，称为矩形的内接菱形．现有一张矩形纸片，，．数学实践小组开展折纸、作图探究活动，请你完成下面任务． 活动一：折纸得菱形如图1，小组同学第一种操作：将矩形纸片先横向对折，再纵向对折，之后沿复合后的直角三角形的斜边剪开，展开得到菱形，四个顶点落在矩形的四边上． 活动二：纸片折叠证菱形如图2，取两张完全相同的矩形纸片，一张固定为矩形，另一张矩形纸片斜放，使得两组对边分别与矩形的两组对边相交，重叠部分为四边形． 活动三：尺规作内接菱形用尺规作图作出以矩形对角线为一条对角线的内接菱形，E在边上，F在边上． 活动四：深度探究，求最大面积①求出活动一、活动二的内接菱形的面积；②作出其它内接菱形，结合计算分析，得出矩形所有内接菱形的面积最大值． （1）图1菱形的面积与矩形的面积之比：________； （2）求证：图2重叠部分四边形是菱形． （3）尺规作图：请你在图3中完成活动三的作图．（保留作图痕迹，不要求写作法） （4）直接写出此矩形的内接菱形的面积最大值． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题13分，共26分） 22. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称为该一元二次方程的衍生点． （1）写出方程的衍生点的坐标为__________； （2）若关于的一元二次方程有衍生点： 求实数的取值范围； 若衍生点的纵坐标和横坐标相差，求的值； 探究衍生点的纵坐标和横坐标之间的等量关系，写出关系式并证明． 23. 在正方形中，E、F分别是边、上一点，且，连接、交于点G． （1）判断线段、的位置关系并说明理由． （2）连接交于点H，连接，如图②； ①若点E是BC的中点，当时，求线段的长； ②当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $