广东江门市怡福中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

2026-2027学年第一学期九年级数学科10月素养练习 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中一定是关于x的一元二次方程是 A. B. C. D. 2. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如果将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 根据2026年最新数据，长安汽车旗下的深蓝品牌销量继续保持稳健的增长．某专卖店今年七月份深蓝品牌的销售额700万元，预计九月份的销售额将达到1008万元．若设这两个月销售额的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图像与y轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴是y轴 C. 当时，y的值随x值的增大而减小 D. y的最大值为1 8. 元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（ ） A. 12 B. C. D. 9 10. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的常数项是______． 12. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 13. 抛物线与的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是，则该抛物线的函数解析式是_____． 14. 如果三点，和在抛物线的图象上，那，，之间的大小关系是______ ． 15. 在“弘扬科学家精神，共筑科技强国梦”为主题的物地学科节中，格格同学设计制作了“火箭”升空实验装置，已知该“火箭”的升空高度（米）与飞行时间（秒）满足函数表达式，则“火箭”升空的最大高度为______米． 三．解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2）； 17. 已知二次函数． （1）填写表中空格处的数值； （2）根据表格，画出这个二次函数的图象； （3）根据表格图象可知，当时，的取值范围是______． 18. 已知二次函数． （1）若点在二次函数的图象上，求a的值． （2）求证：不论a为何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 东湖公园有一座抛物线形的拱门，如图，以拱门底部所在的直线为x轴、以拱门的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，测得拱门的跨度AB是4m，拱门的最高处离地面4m． （1）求这条抛物线的解析式； （2）一辆宽2m、车顶离地面3.2m的箱式货车沿拱门的正中间通过，能否顺利通过？通过计算作出判断． 20. 如图，在中，，，．点P从点C出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达点B时停止运动，另一点也随之停止，设点P，Q运动的时间是t秒（）．完成问题： （1）______； （2）当时，求的面积？ （3）点P，Q分别在，上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 21. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”______； （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根______，______；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为______，请证明你的结论； （3）已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【问题背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的处有一棵古树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边且恰好用完），设． 【设计方案】设计一个矩形花园，且要将古树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）． 【解决问题】思路：把矩形的面积用含的代数式表示出来． （1）求出与的解析式并确定的取值范围； （2）花园的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由； （3）若要使古树恰好在矩形的对角线上，求及的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2－2x－3与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），直线y=x+m与抛物线交于A、C两点． （1）求点C的坐标； （2）点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交AC于E点，当EP最长时，求此时点P的坐标； （3）抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点坐标；若不存在，请说明理由． 2026-2027学年第一学期九年级数学科10月素养练习 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】且 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】37 三．解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 【16题答案】 【答案】（1）， （2）， 【17题答案】 【答案】（1）， （2） 画图如下： （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明：令，得一元二次方程， 根的判别式 ， ∵， ∴，即. ∴不论为何实数，该方程总有两个不相等的实数根，即二次函数的图象与轴总有两个交点 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 【19题答案】 【答案】（1）这条抛物线的解析式为． （2）宽2m、车顶离地面3.2m的箱式货车沿拱门的正中间通过时，不能顺利通过拱门． 【20题答案】 【答案】（1） （2）1 （3）不能，理由如下： 如图， 点P，Q分别在，上时，设点P，Q运动的时间是t秒，则：，， ∴， ∴，， 当时，，化简得：， ∵， ∴方程无解， ∴点P，Q分别在，上时，的面积不能是面积的一半． 【21题答案】 【答案】（1） （2），（两空顺序可互换）；特殊关系为：一元二次方程（，）的两根与其“友好方程”的两根互为倒数. 证明：设是方程的根. ∵， ∴. 将两边同时除以，得 ， ∴是方程的根. 同理可证，“友好方程”的任意一个根的倒数也是原方程的根. ∴两方程的两根互为倒数. （3）方程的两根为，. 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 【22题答案】 【答案】（1）， （2） （3）的值为，的值为 【23题答案】 【答案】（1）C（4，5）；（2）当点P的坐标为时，EP最长；（3）存在，(，)或(，)或(，) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $