第13章 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

人教版（新教材）数学八年级上册教学课件 第13章 三角形 综合与实践 多边形及其内角和 内角和 计算公式 (n - 2)180° (n≥3 的整数) 外角和 多边形的外角和等于 360° 特别注意：与边数无关 正多 边形 每个内角= ，每个外角= 复习导入 活动任务 由于许多工程用薄板的形状是由常见的简单平面图形组合而成的，所以我们可以先想办法确定一些简单平面图形的重心位置，再探究确定平面组合图形重心位置的方法. 确定简单平面图形的重心位置 活动一 我们已经知道，三角形的重心位于三条中线的交点处，那么其他平面图形的重心在什么位置呢? O 任务1 认识平面图形的重心 通过查资料、做实验、讨论等小组合作活动，探究下列问题. (1)在物理学中，物体的重心指的是什么？匀质薄板的重心位置与薄板的哪些方面有关？ 在物理学中，一个物体的各部分都受到重力的作用，从效果上看，可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫作物体的重心. 匀质薄板的重心位置只跟薄板的几何形状有关. 三角形重心 ■ 定义： 三角形的重心是三条中线的交点 ■ 性质： 用一根手指或一个支架顶住三角形匀质薄板的重心位置，薄板能够保持平衡。这表明重心是三角形在重力场中保持平衡的关键位置。 三角形重心（性质） 1.位置固定性：重心位于每条中线的三分点上，且靠近边的三分点。 —— 顶点到重心的距离是重心到对边中点距离的 2倍。 2.物理平衡点： 如果一个三角形物体（质量均匀）是平板状的，那么它的物理重心就是几何重心。 3.坐标公式（重心坐标）： 在平面直角坐标系中，如果三角形的三个顶点坐标分别为 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)，那么其重心G的坐标为： G ( (x₁ + x₂ + x₃)/3 , (y₁ + y₂ + y₃)/3 ) *这个公式显示了重心是三个顶点坐标的算术平均值。 (2)用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡.此时，薄板与支点接触的点就是薄板的重心.三角形匀质薄板的重心位置与三角形的重心位置有什么关系？ 在薄板上，连接三角形的三条中线，可以发现三角形匀质薄板的重心位置与三角形的重心位置重合. (3)你能仿照三角形的重心，给一般平面图形的重心下一个定义吗？ 一个平面图形形状的匀质薄板的重心所在的位置就是这个平面图形的重心. 规则图形重心 规则图形 常见的规则图形有线段、正方形、长方形、平行四边形等。这些图形具有一定的对称性和规则性，其重心位置也有规律可循。 线段是最简单的几何图形之一，它只有两个端点。正方形和长方形都是四边形，它们的四个角都是直角。平行四边形的对边平行且相等。 重心位置 线段的重心是它的中点。正方形和长方形的重心是对角线的交点。平行四边形的重心也是对角线的交点。这些图形的重心都位于它们的几何中心。 利用这些规律，我们可以快速确定规则图形的重心位置，为解决实际问题提供便利。 重心与中心 ■ 规则图形特点： 形状规则、密度均匀的图形，其重心通常在几何中心。例如，三角形的重心是三条中线的交点，正方形和长方形的重心是对角线的交点，圆形的重心是圆心。 ■ 关系理解： 重心与几何中心的重合，体现了规则图形的对称性和均匀性。通过观察图形的重心位置，可以更好地理解图形的性质和特点。 任务2 了解平面图形重心位置的分布特点 通过查资料、做实验、讨论等小组合作活动，探究下列问题. (1)你能利用物理知识，设计一个发现三角形的重心位置的实验吗? 利用物理中的二力平衡这一知识，可以设计确定物体重心位置的实验方法——悬挂法. 如图，用悬挂法确定三角形匀质薄板重心位置的过程如下： ①在质地均匀的薄纸板上任意画一个三角形△ABC，把△ABC剪下来，并在△ABC的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点. ②用下端系有小重物的细线缠绕在小钉A上，然后把三角形薄板悬挂起来，描出细线的“痕迹”AD; ③对于小钉B(或C)重复②的过程，描出 细线的“痕迹”BE(或CF)，AD与BE(或CF)的 交点G就是三角形薄纸板的重心位置. 由于三角形薄纸板的重心位置与△ABC 的重心位置重合，所以点G就是△ABC的重心. A B C E F D G 发现确定匀质薄板、薄壳(厚度可忽略)重心位置的方法。 活动准备 1.材料用具： 质地均匀的薄纸板、直尺、量角器、剪刀、细线。 2.资料学习： 查阅资料，了解重心的概念以及工程中确定物体重心位置的方法。 活动任务 由于许多工程用薄板的形状是由常见的简单平面图形组合而成的，所以我们可以先想办法确定一些简单平面图形的重心位置，再探究确定平面组合图形重心位置的方法。 活动目标 确定简单平面图形的重心位置。 我们已经知道，三角形的重心位于三条中线的交点处，那么其他平面图形的重心在什么位置呢？ 活动一 (2)怎样确定其他常见的几何图形(如线段、正方形、长方形、平行四边形等)的重心位置？这些图形的重心位置有什么共同特点？你能尝试说明为什么三角形的重心也满足上述特点吗？ 与用悬挂法确定三角形的重心类似，可以用悬挂法确定线段、正方形、长方形和平行四边形的重心(操作过程略). 通过实验，可以发现：线段的重心是线段的中点，正方形、长方形和平行四边形的重心都在两条对角线(不相邻顶点所连线段)的交点处. 总体来说，这些图形的重心都在图形的几何中心. 对于三角形，虽然不容易直接看出它的重心位于几何中心，但将重心与三角形的三个顶点连接后，连线把三角形分为面积相等的三部分，我们可以直观的感受到三角形的重心就是它的几何中心. (2)怎样确定其他常见的几何图形(如线段、正方形、长方形、平行四边形等)的重心位置？这些图形的重心位置有什么共同特点？你能尝试说明为什么三角形的重心也满足上述特点吗？ O A B C （1）：在物理学中，物体的重心指的是什么？匀质薄板的重心位置与薄板的哪些方面有关？ 答： 在物理学中，物体的重心是指物体各部分所受重力的等效作用点。具体来说，重心是这样一个点：如果将物体的所有重力集中在这个点上，物体在重力作用下的平衡状态与实际分布的重力作用效果相同。换句话说，重心是物体在重力场中保持平衡的关键位置。当物体悬挂或支撑在重心处时，物体处于平衡状态，不会发生旋转或倾倒。 那我们可以用什么方法来找到图形的重心呢？ 悬挂法是什么呢？需要怎么做呢？ 接下来我们来了解一下悬挂法吧！ 悬 挂 法 (3)如果有人问你“一个平面图形的重心指的是什么？位于它的什么位置？”，你会怎样回答？ 平面图形的重心指的是这个平面图形形状的匀质薄板的重心，重心位于平面图形的几何中心. 任务3 确定一些平面图形的重心位置 通过查资料、做实验、讨论等小组合作活动，利用前面获得的结论，选择一些平面图形，尝试确定它们的重心位置. (1)你选择的是什么图形？能否根据它的形状确定其重心位置？如果能， 你的依据是什么？如何验证你找到的重心位置的准确性？ 我选择的是圆，它的重心位置是它的圆心. 依据：圆是中心对称图形，对称中心就是圆心. 可以利用悬挂法来验证圆的重心位置. （4）：你能利用物理知识，设计一个发现三角形的重心位置的实验吗? 准备：准备一个三角形硬纸板(确保材质均匀)、细线、和一个可以悬挂细线的支架。 悬挂：在三角形的任意一个顶点(比如点A)用细线悬挂起来，让它自由摆动静止。 画线：用铅笔沿着细线在三角形纸板上画一条直线。这条线就是从A点开始的垂直线。 重复：换一个顶点(比如点B)，重复步骤2和3。 确定重心：两条直线的交点，就是三角形的重心啦! 总结思路：片利用重力竖直向下的原理，找到经过顶点的竖直线，两条线的交点就是重心。 确定平面组合图形的重心位置 活动二 平面组合图形由简单平面图形组成，如果能发现平面组合图形的重心位置与被分成的简单平面图形的重心位置之间的关系，就可以确定平面组合图形的重心位置了. 为了更加明确地表达位置之间的数量关系，可以建立平面直角坐标系，用坐标来研究重心的位置. 任务1 把一个图形分成两部分，确定这个图形的重心位置与它的两部分 的重心位置之间的关系. 通过小组合作活动，选择一个已知重心位置的平面图形，将它分成已知重心位置的两部分，建立平面直角坐标系，探究图形的重心位置与两部分的重心位置坐标之间的关系. （3）：你能仿照三角形的重心，给一般平面图形的重心下一个定义吗? 对称图形：如果图形是对称的，比如长方形、正方形、圆，那重心肯定在它的对称中心上。比如长方形的重心就是两条对角线的交点。 不规则图形：想象一下，你要用一个手指头顶住这个图形，让它不倒下来，那个手指头顶的位置大概就是重心。 （5）：怎样确定其他常见的几何图形(如线段、正方形、长方形、平行四边形等)的重心位置？ 这些图形的重心位置有什么共同特点？你能尝试说明为什三角形的重心也满足上述特点吗？ 线段：线段的重心就是它的中点。正方形、长方形：它们的重心都是对角线的交点。平行四边形：它的重心也是对角线的交点。 共同特点：这些图形都是中心对称图形(可以找到一个点，图形绕这个点旋转180度后能与自身重合)，它们的重心就是它们的对称中心。 解释三角形的重心：虽然三角形不是中心对称图形，但三角形的重心是三条中线的交点，这个点到三个顶点的距离之和是最小的。你可以想象，如果用一根手指顶住三角形的重心，三角形是可以保持平衡的。 知道这些，你能总结出什么吗？ 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2.本节课你还有哪些疑惑？说一说． 一级标题：黑体， 26 分割法：将组合图形分割为简单图形(如长方形、三角形). 坐标法：建立平面直角坐标系，分别计算各部分的面积和重心坐标，利用公式计算整体重心坐标. 线段：线段的中点. 三角形：三条中线的交点. 平行四边形、长方形、正方形：对角线的交点(几何中心). 共同特点：对称图形的重心在其对称中心. 简单平面图形 的重心位置 组合图形重心 的确定方法 综合与实践 确定匀质薄板 的重心位置 谢谢大家聆听 $