精品解析：上海市市北中学2026-2027学年高二上学期10月阶段测试数学试卷

高二数学阶段测试卷 2026.10 注意：1．答卷前，考生务必在试卷上指定位置将班级、姓名、考号写清楚． 2．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分） 1. 已知集合，则__________. 2. 不等式的解集为______． 3. 用集合符号表示直线l在平面上______ 4. 空间不共面的四个点可以确定__________个平面. 5. 正方体的各表面在一个平面上的展开图如图所示，则展开图中的面对角线与在正方体中的位置关系为________．（选填“平行”、“相交”、“异面”）． 6. 如图，在长方体中，，．则直线到平面的距离为________． 7. 已知一个圆柱的轴截面是一个面积为2的正方形，则该圆柱的侧面积为________． 8. 一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为________. 9. 已知平行四边形的四个顶点均在平面的同一侧，若，，三点到平面的距离分别为2、3、4，则点到平面的距离为____. 10. 如图放置的边长为的正方形的顶点A,D分别在轴、轴正半轴（含原点）滑动，则的最大值为__________． 11. 已知函数在区间上为增函数，且图象关于点对称，则的取值集合为________． 12. 已知函数．若，有2个不同的实数根，则实数的取值范围为______． 二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，每题只有一个正确选项） 13. ＂三个平面交于一点＂是＂三个平面两两相交＂的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 是两条不同直线， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15. 已知集合，若对于任意，总存在与之相应的（其中，使得成立，则称集合是“集合”．以下为“集合”的有（ ）个． ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 三、解答题（本大题共有5小题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 如图（图中单位：cm）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱． （1）已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁；（精确到0.01克） （2）要给一批共1000个零件的表面（包含底面）涂油漆，若该零件每平方厘米要用油漆，求总共需要用油漆多少克？（精确到0.01克） 18. 如图，在长方体中，，为上一点． （1）求证：平面平面； （2）若，求与平面所成的角的正弦值． 19. 如图，点是矩形所在平面外的一点，、分别是、的中点． （1）求证：平面； （2）若是等边三角形，求异面直线与所成的角的大小． 20. 在棱长均为2的正三棱柱中，为的中点，过的平面与棱、分别交于点、． （1）证明：； （2）若为的中点，试确定点的位置，说明理由，并画出此时平面与正三棱柱的截面（保留作图痕迹）； （3）设截面的面积为，面积为，面积为，当点在棱上变动时，求的取值范围． 21. 设函数的定义域为，．定义集合． （1）设，求； （2）若，且对任意，都有，求的最小值； （3）设，证明：“函数是偶函数”的充分必要条件是“对任意实数，都有”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学阶段测试卷 2026.10 注意：1．答卷前，考生务必在试卷上指定位置将班级、姓名、考号写清楚． 2．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分） 1. 已知集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的交集运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 2. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】，得， 所以不等式的解集为. 3. 用集合符号表示直线l在平面上______ 【答案】 【解析】 【分析】直线l在平面上，利用集合与集合的关系符合表示即可. 【详解】直线l在平面上，即直线l包含于平面，利用集合与集合的关系表示为. 故答案为： 4. 空间不共面的四个点可以确定__________个平面. 【答案】4 【解析】 【分析】由三点确定一个平面可知共有种情况，由此得到结果. 【详解】不共面的四个点中任意三个点可构成一个平面，则共可确定个平面 故答案为 【点睛】本题考查空间中平面的确定，属于基础题. 5. 正方体的各表面在一个平面上的展开图如图所示，则展开图中的面对角线与在正方体中的位置关系为________．（选填“平行”、“相交”、“异面”）． 【答案】 异面 【解析】 【详解】将题设中的平面展开图还原为正方体， 由展开图的结构特征可知， 位于正方体的上底面， 位于正方体的下底面． 设正方体的上底面为平面 ，下底面为平面 ，则 ． 因为 ，， 所以直线  与  无公共点，即两直线不相交． 若 ，则  与  在平面 （或 ）上的射影应当平行． 由展开图还原可知， 连接上底面的“后右”顶点与“前左”顶点，  连接下底面的“前右”顶点与“后左”顶点．   在底面的射影为底面正方形的一条对角线， 为底面正方形的另一条对角线， 两射影相交且不重合，故  与  不平行． 综上所述， 与  既不平行也不相交， 所以  与  的位置关系为异面． 6. 如图，在长方体中，，．则直线到平面的距离为________． 【答案】## 【解析】 【详解】在长方体中，， 因为平面，平面， 所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离， 过点在平面内作于点， 因为平面，平面，所以， 又，平面，平面， 所以平面，即线段的长度为所求距离， 在矩形中，，， 在中，， 由等面积法可知， 即，解得， 故直线到平面的距离为． 7. 已知一个圆柱的轴截面是一个面积为2的正方形，则该圆柱的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，由题意可知 则该圆柱的侧面积. 8. 一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】将直观图还原回原图形，即找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，可得到平行四边形，即可求出面积. 【详解】还原直观图为原图形如图， ，， 还原回原图形后，, . 故答案为：. 【点睛】本题考查斜二测画法前后图形的关系，属于基础题. 9. 已知平行四边形的四个顶点均在平面的同一侧，若，，三点到平面的距离分别为2、3、4，则点到平面的距离为____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据空间位置关系求得点到平面的距离. 【详解】如图，连接，相交于点，则点为和的中点， 分别作平面，平面，平面，垂足分别为，，， 则四边形为直角梯形，为梯形的中位线，因为，两点到平面的距离分别为2、4，则， 点B到平面的距离也为3，直线在平面的同侧， 所以上有两个点到平面的距离都为3，则直线平面， 故点D到平面的距离为3. 故答案为：3. 10. 如图放置的边长为的正方形的顶点A,D分别在轴、轴正半轴（含原点）滑动，则的最大值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】设,根据三角形的边角关系求得，，利用平面向量的数量积公式以及正弦函数的最值求解即可. 【详解】设 由于，故 又因为，，所以 ， 则 同理可得 当时，的最大值为2. 故本题的正确答案为2. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及正弦型函数的最值，属于中档题. 11. 已知函数在区间上为增函数，且图象关于点对称，则的取值集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦函数的单调性得出，再由对称性得出的取值集合. 【详解】，则. 因为在上单调递增，所以，即; 又图象关于点对称，则， 所以，解得，再结合可得. 故答案为： 12. 已知函数．若，有2个不同的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用有2个不同的实数根转化为有2个根，利用换元法结合函数图象求得的取值范围即可. 【详解】由题意可知有2个不同的实数根， 所以，， 设，则有2个不同的实数根， 所以当时，与的图象有2个不同的交点， 结合函数图象可得， 故答案为： 二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，每题只有一个正确选项） 13. ＂三个平面交于一点＂是＂三个平面两两相交＂的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中平面与平面的位置关系判断即可. 【详解】如图，三个平面交于一点可以推出三个平面两两相交， 三个平面两两相交推不出三个平面交于一点， 故选：A 14. 是两条不同直线， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面位置的判定逐一判断即可. 【详解】若，则与平行，相交或者异面，故A错误； 若，则或者，故B错误； 若，则或者，故C错误； 若，则，故D正确； 故选：D. 15. 已知集合，若对于任意，总存在与之相应的（其中，使得成立，则称集合是“集合”．以下为“集合”的有（ ）个． ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由奇函数的特性及共线向量的性质，结合定义判断①④；举例说明判断②③. 【详解】设，由，得， 则，即三点共线，因此集合要为“集合”， 当且仅当集合上任取一点，直线与曲线有另一个交点， 对于①，函数为奇函数，任意，直线与曲线的另一交点，①是“集合”； 对于②，当时，直线与曲线只有一个交点，②不是“集合”； 对于③，当时，直线与曲线只有一个交点，③不是“集合”； 对于④，函数是上的奇函数，任意，直线与曲线的另一交点，④是“集合”， 因此“集合”的有2个. 16. 如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：分以下两种情况讨论：（1）点到其中两个点的距离相等，到另外两点的距离分别相等，且这两个距离不等，此时点位于正四面体各棱的中点，符合条件的有个点； （2）点到其中三个点的距离相等，到另外一点的距离与它到其它三点的距离不相等，此时点在正四面体各侧面的中心点，符合条件的有个点，故选C. 考点：新定义 三、解答题（本大题共有5小题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 如图（图中单位：cm）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱． （1）已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁；（精确到0.01克） （2）要给一批共1000个零件的表面（包含底面）涂油漆，若该零件每平方厘米要用油漆，求总共需要用油漆多少克？（精确到0.01克） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算圆柱与正四棱柱的体积，求和得到零件总体积，再乘以密度即可； （2）分析零件表面积的组成，计算出单个零件的表面积，乘以零件总数及单位面积油漆用量即可． 【小问1详解】 由图可知，上部圆柱的底面直径为，高为，则底面半径， 下部正四棱柱的底面边长为，高为， 设圆柱的体积为，正四棱柱的体积为，零件的总体积为， 则， ， 所以零件的总体积， 取，则， 因为铁的密度为， 所以生产一件这样的铸铁零件需要铁的质量为， 故生产一件这样的铸铁零件需要铁； 【小问2详解】 设零件的表面积为， 该零件的表面积由圆柱的侧面积、圆柱的上底面积、正四棱柱的侧面积、正四棱柱的下底面积以及正四棱柱的上底面积（扣除圆柱下底面部分）组成， 即， 因为， 所以， ， ， 所以， 取，则， 个零件的总表面积为， 因为每平方厘米要用油漆， 所以总共需要用油漆的质量为，精确到，即， 故总共需要用油漆． 18. 如图，在长方体中，，为上一点． （1）求证：平面平面； （2）若，求与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明：在长方体中，平面， 又平面，所以. 在长方体中，， 所以四边形是正方形，所以. 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由长方体的性质可证，结合，可证平面，进而可证结论； （2）记，连接，由（1）可得为直线与平面所成的角，计算可求得与平面所成的角的正弦值． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 记，连接. 由（1）可知平面，所以为直线与平面所成的角. 因为，所以， 因为四边形是正方形，所以. 在中，，， 所以. 在中，，， 所以. 所以与平面所成的角的正弦值为． 19. 如图，点是矩形所在平面外的一点，、分别是、的中点． （1）求证：平面； （2）若是等边三角形，求异面直线与所成的角的大小． 【答案】（1）设的中点为，连接，， 因为，分别为，的中点，则，且， 又因为是的中点，为矩形，则，且， 可得，且，可知为平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，可证为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）分析可知异面直线与所成的角为（或的补角），进而可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：，且， 可知异面直线与所成的角为（或的补角）， 又因为是等边三角形，为的中点，则， 所以异面直线与所成的角的大小为. 20. 在棱长均为2的正三棱柱中，为的中点，过的平面与棱、分别交于点、． （1）证明：； （2）若为的中点，试确定点的位置，说明理由，并画出此时平面与正三棱柱的截面（保留作图痕迹）； （3）设截面的面积为，面积为，面积为，当点在棱上变动时，求的取值范围． 【答案】（1）设是的中点，连接，则， 由于平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）在平面内延长，相交于点P，则平面，又平面， 则有平面平面，，即A，G，P三点共线． 因为E为的中点，F为的中点，所以，所以， 又因为，所以， 所以，即点G为棱上靠近点的三等分点． （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明线面垂直来证得. （2）延长，相交于点P，证明，可确定点G的位置； （3）由，通过构造函数，利用单调性求取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，则，． 设的面积为S，所以， 又因为，所以，且， 故，令，则， 设， 当时，， ，，，则，即， 所以在上单调递减， 所以，，所以， 所以． 21. 设函数的定义域为，．定义集合． （1）设，求； （2）若，且对任意，都有，求的最小值； （3）设，证明：“函数是偶函数”的充分必要条件是“对任意实数，都有”． 【答案】（1） （2）0 （3） 必要性证明： 若，是偶函数， 则任意，. 则， 故必要性得证； 充分性证明： 若对任意实数，都有，下面用反证法证明是偶函数. 假设不是偶函数，则，使得， 取， ①若，则， 由且， 得，且， 所以，这与矛盾； ②若，则， 则由且， 得，且， 而与同时成立是矛盾的； 故由①②可知，假设错误，即是偶函数， 故充分性得证. 综上所述，“函数是偶函数”的充分必要条件是“对任意实数，都有”． 【解析】 【分析】（1）根据集合新定义可得，结合函数解析式得，解不等式，可得答案； （2）由题意可得所有和所有，有，由函数在上非减，进而分类讨论与两类，结合函数的单调性，即可求解； （3）根据充要条件的要求，结合集合新定义从必要性以及充分性两方面，进行证明.必要性利用偶函数定义可证，充分性利用反证法证明，结合的任意性取特值，从而构造与关系证明即可. 【小问1详解】 由题意知，则， 又，即， 得，解得， 故； 【小问2详解】 由题意知，，且对任意，都有， 对任意和任意，令，则， 即任意，，都有， 故函数在上单调（非严格）递增， ①当时，则， 函数，令，则， 则，由在上单调递增； 则由函数与复合而成， 故由复合函数单调性可知，在上单调递增， 又，对任意，则，所以恒成立， 故； ②当时，，， 函数， 当，令，则， 则，由在上单调递减； 则由函数与复合而成， 故由复合函数单调性可知，在上单调递减， 又，取，则存在正数，使得， 则成立，故，这与任意，都有矛盾， 故时不满足题意； 综合①②可知，的最小值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $