第29章 圆 单元复习过关卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年九上单元复习过关卷—圆 数 学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（共30分） 1．下列命题是真命题的是（     ） A．顶点在圆上的角叫圆周角 B．三点确定一个圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．半径相等的半圆是等弧 【答案】D 【分析】结合圆相关概念的适用前提，逐一判断各命题的真假． 【详解】解：A、 圆周角需两边都与圆相交，该命题缺少此条件，是假命题． B、 共线的三点无法确定圆，是假命题． C、缺少同圆或等圆的前提，相等圆心角所对的弧不一定相等，是假命题． D、半径相等的半圆能够完全重合，是等弧，是真命题． 2．如图，A，B，C是上的三个点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理，得，结合，得． 【详解】解：根据圆周角定理，得， 又， 故． 3．已知的半径为3，若，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．无法判断 【答案】C 【详解】解：∵的半径为3，，， ∴点在外. 4．下列各选项中的是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】顶点在圆心的角叫作圆心角． 【详解】解：A、顶点不在圆心，故不是圆心角，不符合题意； B、顶点不在圆心，故不是圆心角，不符合题意； C、顶点不在圆心，故不是圆心角，不符合题意； D、顶点在圆心，故是圆心角，符合题意． 5．如图，内接于圆，点D在上，连接，，BD交于点P，则弦所对的圆周角可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②两边都与圆相交．二者缺一不可． 【详解】解：根据图形，可知弦所对的圆周角可能是． 6．如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用圆周角定理得出，根据直径所对圆周角为直角得出，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与都是所对的圆周角， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 7．如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】连接，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，最后根据即可求出． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵是的弦，半径， ∴， ∴， ∴． 8．如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆周角定理得到，利用勾股定理求得，设该圆锥底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长，结合弧长公式列方程求解r值即可． 【详解】解：由图可知为的直径， ∴， 由题意，，， 由得， 设该圆锥底面圆的半径为r， 则，解得，即该圆锥底面圆的半径为． 9．如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为的直径得，即得，由平行线的性质得，，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． 10．如图，是的直径，弦垂直平分半径，C为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理得的长，再根据已知平分得，解直角三角形求解．求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接． ∵直径，， ， ． 平分， ． ， ， ． 在中，． 的半径为． 在中， ， ． ． ， ，， ， ． 二、填空题（共24分） 11．如图，点，，在上，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．根据图形可知是弧所对的圆周角，（即）是弧所对的圆心角，利用定理直接计算即可． 【详解】解：是中弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ． ， ．即． 12．如图，是的直径，是上的两点，已知，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等、三角形内角和是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角得到，根据圆周角定理求出，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是_____． 【答案】 【分析】利用周长公式先求出底面周长，再用这个圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为， ∴底面周长为， ∴这个圆锥的侧面积． 14．用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】 【分析】扇形作圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，利用该等量关系列方程即可求解． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为， ∵用扇形作圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴代入圆心角，扇形半径， 得方程， 解得， ∴这个圆锥的底面圆的半径为． 15．如图，，，，，五点在上，连接，，，．若，，则的度数是______． 【答案】/63度 【分析】首先根据求出，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 16．如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的直径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为___________． 【答案】 【分析】根据直径求出半径，利用垂径定理确定半径与弦垂直，构建直角三角形，结合勾股定理求解弦长的一半，进而得出弦长． 【详解】解：设圆心为，连接， 球形部分的直径为， 半径， 为瓶内液体的最大深度， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 故截面圆中弦的长为． 17．如图，是圆内接三角形，，点E是上一点，将沿翻折，点B的对应点恰好在圆周上，若于点G，，则的值为________． 【答案】 【分析】连接，设，利用等腰三角形性质、翻折性质及圆周角定理表示出、和，结合圆内接四边形对角互补求出，再通过求解，再由折叠的性质求解即可． 【详解】解：连接， 设 将沿翻折得到 ， ∴ 于点 在中， 四边形内接于圆 ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∵ ， 在中， 由折叠可得， ． 18．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三点，那么弦所对的圆周角的度数是___________． 【答案】或 【分析】连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心．分别求出，根据勾股定理的逆定理得出，进而即可求解． 【详解】解：连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心，设是优弧上一点，    由图可得：，， ∴， 故， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴弦所对的圆周角的度数是或． 三、解答题（共96分） 19．如图，已知在中，弦与弦相交于点，连接，若，求证：平分． 【答案】 连接、、、， ，， ，． ， ． 在和中 ． ． 在和中 ． ． 平分． 【分析】本题主要考查同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等，全等三角形的判定和性质，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等，可得，则，再证，可得，即平分． 【详解】略 20．如图，已知，请用尺规作图法，求作一，使经过三点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示，即为所求 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，作的垂直平分线交于点，以为半径作圆，即可求解． 【详解】略 21．如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【分析】本题考查弧，弦，圆心角之间的关系，垂径定理，菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 22．如图，点是内部一点，连接，平分，以点为圆心，为半径的圆经过点，交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1) 证明：平分， ； 由题意得：， ， 由圆周角定理得：， ， ． (2) 【分析】本题考查了圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，据此即可求解． （1）根据平分，推出；根据，推出；结合即可求证； （2）设，，则，，，推出，即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：设，， ，，， ， 由圆周角定理得：， 在中，， ，解得． ． 23．已知A、B、C、D是上的点，为直径，过点D作的垂线交延长线于点E．    (1)求证：； (2)若，当时，求半径的长． 【答案】(1) 证明：连接，    ∵为直径 ∴，                       ∴，                      ∵， ∴，                           ∴，                        ∴，                                   ∵，                        ∴； (2) 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同角的余角相等，垂径定理，勾股定理， 对于（1），连接，根据直径所对的圆周角是直角得，                      再根据同角的余角相等得，然后根据同弧所对的圆周角相等得，即可得出答案；                        对于（2），连接，先说明，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理求出，最后根据勾股定理得出方程，求出解即可. 【详解】（1）略 （2）解：连接，    ∵， ∴，                  ∴，                                      ∵为直径，， ∴，                                       在中，，              ∴，                                       设的半径为x，， ∵， ∴ ， 解得， ∴的半径为. 24．如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵B为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由垂直关系得出，再由B为的中点得出，从而得到，故； （2）证明，利用勾股定理求出的长，由 结合可得出的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵B为的中点，， ∴， ∴． ∵，由（1）知， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴． 25．如图，是的直径，交于点E，，连接，． (1)若，求的度数； (2)如图2，点N在上，作，分别交，于点M，P，，过点B作交于点F． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1) (2)①证明：如图，连接， ∵，， 设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴； ②10 【分析】（1）连接，得到，，求出即可解题； （2）①连接，设，可得，，由，结合三角形内角和定理得，根据平行线的性质得，故，根据等角对等边得，等量代换可得结论； ②连接，取中点，连接，过作于，过作交于，证明四边形是平行四边形，得到，，求出，得到，，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①略； ②连接，取中点，连接，过作于，过作交于，如图： 由①知， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．解答： 【问题提出】 (1)如图1，在中，，，则的外接圆半径的值为______； 【问题探究】 (2)如图2，的半径为，弦，是的中点，是上一动点，求的最大值； 【问题解决】 (3)①如图3所示，，，是某新区的三条规划路，请在图3中用无刻度的直尺和圆规作出所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； ②在（3）①的条件下，已知，，，，新区管委会想在路边建物资总站点，在，路边分别建物资分站点，，也就是，分别在、线段和上选取点，，．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路，和，为了快捷、环保和节约成本，要使得线段，，之和最短，试求的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计） 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)①如图，圆心即为所求； ②的最小值为． 【分析】（1）由等边对等角，结合三角形的内角和定理，可得，根据圆周角定理，可得，结合，可得是等边三角形，从而可得的外接圆半径的值； （2）连接并延长，交于，连接，显然，即为的最大值，根据垂径定理求得的长，即可求得的最大值； （3）①作线段的垂直平分线；在上任取一点，连接，作线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所在圆的圆心；②分别作点关于、的对称点、，连接，，，，，，由对称性可知，根据题意正确画出图形，得到点的位置，根据等边三角形的判定和性质，结合勾股定理进行求解，即可得的最小值． 【详解】（1）解：如图，设的外接圆的圆心为，连接， ，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的外接圆半径的值为． （2）解：如图，连接并延长交于，连接，，， 显然，， ∵，是的中点，， ∴，， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴的最大值为．    （3）解：①略； ② 如图，假设点即为所求点，分别作点关于、的对称点、，连接，，，，，， 由对称性可知， 当且仅当、、、在一条直线上时，， ∴即为最短距离， 如图，作所在圆的圆心连接，与交于，点即为使得最短的点， 取中点记为，连接， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由对称可知，，，，， ∴，， ∴， 作于点，则，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 试卷第18页（共23页） 试卷第1页（共23页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九上单元复习过关卷—圆 数 学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（共30分） 1．下列命题是真命题的是（     ） A．顶点在圆上的角叫圆周角 B．三点确定一个圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．半径相等的半圆是等弧 2．如图，A，B，C是上的三个点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．已知的半径为3，若，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．无法判断 4．下列各选项中的是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，内接于圆，点D在上，连接，，BD交于点P，则弦所对的圆周角可能是（     ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 8．如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（     ） A． B． C． D． 9．如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，是的直径，弦垂直平分半径，C为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 11．如图，点，，在上，若，则______度． 12．如图，是的直径，是上的两点，已知，则______． 13．圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是_____． 14．用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______． 15．如图，，，，，五点在上，连接，，，．若，，则的度数是______． 16．如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的直径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为___________． 17．如图，是圆内接三角形，，点E是上一点，将沿翻折，点B的对应点恰好在圆周上，若于点G，，则的值为________． 18．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三点，那么弦所对的圆周角的度数是___________． 三、解答题（共96分） 19．如图，已知在中，弦与弦相交于点，连接，若，求证：平分． 20．如图，已知，请用尺规作图法，求作一，使经过三点．（保留作图痕迹，不写作法） 21．如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 22．如图，点是内部一点，连接，平分，以点为圆心，为半径的圆经过点，交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 23．已知A、B、C、D是上的点，为直径，过点D作的垂线交延长线于点E．    (1)求证：； (2)若，当时，求半径的长． 24．如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 25．如图，是的直径，交于点E，，连接，． (1)若，求的度数； (2)如图2，点N在上，作，分别交，于点M，P，，过点B作交于点F． ①求证：； ②若，，求的长． 26．解答： 【问题提出】 (1)如图1，在中，，，则的外接圆半径的值为______； 【问题探究】 (2)如图2，的半径为，弦，是的中点，是上一动点，求的最大值； 【问题解决】 (3)①如图3所示，，，是某新区的三条规划路，请在图3中用无刻度的直尺和圆规作出所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； ②在（3）①的条件下，已知，，，，新区管委会想在路边建物资总站点，在，路边分别建物资分站点，，也就是，分别在、线段和上选取点，，．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路，和，为了快捷、环保和节约成本，要使得线段，，之和最短，试求的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计） 试卷第18页（共23页） 试卷第1页（共23页） 学科网（北京）股份有限公司 $