第11讲 三角函数及诱导公式专题讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第十讲 三角函数及诱导公式—专题练习 【知识点梳理】 三角函数的概念 知识点一、任意角的三角函数 1.利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：，，. 2.利用角的终边上点的坐标定义任意角的三角函数 设点P(x,y)为角终边上任意一点，点P与原点的距离为r（）, 则. 知识点二、三角函数的定义域、值域和函数值的符号 1.三角函数的定义域、值域 三角函数 定义域 值域 R [-1,1] R [-1,1] R 2.各象限内三角函数值的符号 三角函数在各象限的符号规律：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”. 知识点三、诱导公式一 1.由三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值相等，由此可得到诱导公式一. 其中 其中 2.诱导公式一的作用 把求任意角的三角函数值转化为求0～2π（或0°～360°）角的三角函数值. 同角三角函数的基本关系 知识点一、同角三角函数的基本关系 1.平方关系：sin2＋cos2＝1，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，适应于任意角， 即∈R. 2.商数关系：，同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切，适用于终边不在y 轴上的角，即. 知识点二、同角三角函数的基本关系的变形 1.平方关系sin2＋cos2＝1的变形 （1）sin2＝1－cos2；cos2＝1－sin2. （2）sin＝；cos＝（根号前面的符号由角终边的位置确定）. 2.商数关系的变形 （1）sin＝cos·； （2）cos＝. 诱导公式 知识点一、诱导公式二～六 公式 终边关系 图示 公式 公 式 二 角π＋α与角α的终 边关于原点对称 sin(π＋α)＝－sin α cos(π＋α)＝－cos α tan(π＋α)＝tan α 公 式 三 角－α与角α的终 边关于x轴对称 sin(－α)＝－sin α cos(－α)＝cos α tan(－α)＝－tan α 公 式 四 角π－α与角α的终 边关于y轴对称 sin(π－α)＝sin α cos(π－α)＝－cos α tan(π－α)＝－tan α 公 式 五 角－α与角α的终边 关于直线y＝x对称 sin(－α)＝cos α cos(－α)＝sin α 公 式 六 角＋α与角－α的 终边关于y轴对称 sin(＋α)＝cos α cos(＋α)＝－sin α 知识点二、诱导公式 1.诱导公式 公式一～公式六都叫做诱导公式.它们都是α的三角函数与（k∈Z）的三角函数之间 的转化. 2.奇变偶不变，符号看象限的含义 （1）①当中的为奇数时，三角函数名称由正弦变余弦或余弦变正弦，简 称奇变.②当中的为偶数时，三角函数名称不变，简称偶不变. （2）再将α看成锐角，观察终边所在的象限，并判断其所对应的三角函数 值的符号. 【专题练习】 考点一：三角函数的概念 1.利用定义求任意角的三角函数值 例1.（1）在平面直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线OA，已知 点，则tanα的值为（　　） A． B． C． D． 解：由题意，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线OA，点，可得．故选：A． （2）已知角α终边经过点P（﹣3，4），则cosα的值为（　　） A． B． C． D． 解：角α的终边上的点P（﹣3，4）到原点的距离为 r＝5，由任意角的三角函数的定义得 cosα．故选：B． （3）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（3，4）， 则sinα＝（　　） A． B． C． D． 解：∵角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（3，4），∴sinα．故选：A． 例2.角θ的终边落在直线y＝2x上，求sin θ，cos θ的值． 解：方法一：设角θ的终边与单位圆交于点P(x，y)，联立 解得：或，即点P坐标为或， 当点P坐标为时，sin θ＝，cos θ＝， 当点P坐标为时，sin θ＝，cos θ＝. 方法二：①若θ的终边在第一象限内，设点P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点， 因为r＝|OP|＝＝a， 所以sin θ＝，cos θ＝. ②若θ的终边在第三象限内， 设点P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点， 因为r＝|OP|＝＝a(a<0)， 所以sin θ＝， cos θ＝. 随堂练习： 1.（1）若角α的终边经过点P（﹣1，2），则tanα＝（　　） A． B．2 C． D．﹣2 解：因为角α的终边经过点P（﹣1，2），则tanα2．故选：D． （2）已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（　　） A． B． C． D． 解：∵已知角α的终边经过点P（﹣3，4），由任意角的三角函数的定义可得x＝﹣3，y＝4，r＝5，∴sinα，故选：C． （3）已知角θ的终边上有一点P（a，2a），a＜0，则cosθ的值是（　　） A． B． C． D． 解：由已知可得x＝a，y＝2a，则r，又a＜0，所以r，则cos．故选：C． 2.（1）(多选)若角α的终边经过点P(x，－3)且sin α＝，则x的值为(　　) A． B．－1 C．1 D. 解：|OP|＝，∵sin α＝＝＝，解得x2＝1，∴x＝±1.故选：BC. （2）若角α的终边经过点P(x，－3)且cos α＝，则x的值为 . 解：|OP|＝，∴cos α＝＝＝，解得x2＝1，又x<0，∴x＝－1. 故答案为：－1. 3.知角θ的终边过点P（﹣12，5），则tanθ＝（　　） A． B． C． D． 解：由三角函数定义可知：tanθ＝.故选：A. 4.若角α的终边经过点P，则sinαtanα的值是（　　） A． B． C． D． 解：OP，∴点P在单位圆上，∴， 得．故选：A． 5.角α的始边在x轴正半轴、终边过点P（，y），且cosα，则y的值为（　　） A．3 B．1 C．±3 D．±1 解：∵角α的始边在x轴正半轴、终边过点P（，y），且cosα，∴ ∴y2＝9∴y＝±3故选：C． 6.在单位圆中，已知角α的终边与单位圆的交点为，则sinα﹣cosα＝ 　． 解：因为在单位圆中，角α的终边与单位圆的交点为，所以， 所以可得．故答案为：． 2.三角函数值符号的应用 例1.对于①sinθ＞0，②sinθ＜0，③cosθ＞0，④cosθ＜0，⑤tanθ＞0，⑥tanθ＜0，则θ 为第三象限角的充要条件为（　　） A．①③ B．④⑥ C．②③ D．②⑤ 解：假设θ为象限角 则①sinθ＞0，则θ为第一象限角或θ为第二象限角， ②sinθ＜0，则θ为第三象限角或θ为第四象限角 ③cosθ＞0，则θ为第一象限角或θ为第四象限角 ④cosθ＜0，则θ为第二象限角或θ为第三象限角 ⑤tanθ＞0，则θ为第一象限角或θ为第三象限角 ⑥tanθ＜0，则θ为第二象限角或θ为第四象限角．故选：D． 例2.若sinαtanα＞0，且cosαtanα＞0，则角α是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解：∵，又∵sinαtanα＞0，∴tanα＞0，因此角α为第一象限角．故选：A． 随堂练习： 1.若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解：由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角． 由<0可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角． 综上可知，α是第三象限角．故选：C. 2.已知cosθ•tanθ＞0，那么角θ是（　　） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第三、四象限角 D．第一、四象限角 解：由cosθ•tanθ＞0，可知cosθ•tanθ同号， 当cosθ＞0，tanθ＞0时，θ为第一象限角， 当cosθ＜0，tanθ＜0时，θ为第二象限角，则θ为第一、二象限角．故选：A． 3.如果点M（sinθ，cosθ）位于第二象限，那么角θ所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：∵点M（sinθ，cosθ）位于第二象限，∴，∴角θ所在的象限是第四象限. 故选：D． 4.已知sinα＞0，cosα＞0，则角α的终边落在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：根据sinα＞0，可判断出α为一、二象限角或y轴正半轴，根据cosα＞0，可判断出α为一、四象限角或x轴正半轴，综合可知α为第一象限角．故选：A． 5.(多选)下列选项中，符号为负的是(　　) A．sin(－100°) B．cos(－220°) C．tan 10 D．cos π 解：－100°在第三象限，故sin(－100°)<0；－220°在第二象限，故cos(－220°)<0； 10∈在第三象限，故tan 10>0，cos π＝－1<0.故选：ABD. 6.已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是 象限角. 解：∵sin θcos θ<0，∴sin θ，cos θ是一正一负，又|cos θ|＝cos θ，∴cos θ≥0， 综上有sin θ<0，cos θ>0，即θ为第四象限角．故答案为：四. 7.△ABC中，若sin Acos Btan C<0，则△ABC是 　． 解：在△ABC中，A，B，C∈(0，π)， ∵sin A>0，∴cos B·tan C<0，∴B，C一个为锐角，另一个为钝角，∴△ABC为钝角三角形． 故答案为：钝角三角形. 3.诱导公式一的应用 例1.计算下列各式的值： （1）sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； （2）sin＋costan 4π. （3）. 解：（1）原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝＋＝. （2）原式＝sin＋costan(4π＋0)＝sin＋cos×0＝. （3）原式 . 例2.下列三角函数值的符号正确的有() A. B. C. D. 解：A：. B：. C：. D：.故选：AC. 随堂练习： 1.（1）sin405°＝ . （2）tan＝ . （3）cos750°＝ . 解：（1）sin405°＝sin(360°+45°)＝sin45°＝. （2）tan＝tan＝tan＝. （3）cos750°＝cos(2×360°＋30°)＝cos30°＝. 故答案为：，，. 2.计算：sin ＋cos＋tan＝ . 解：原式＝sin＋cos＋tan＝sin ＋cos ＋tan＝＋＋1＝2. 故答案为：2. 3.代数式sin(－330°)cos 390°的值为(　　) A. B. C. D. 解：由诱导公式－可得，sin(－330°)cos 390°＝sin 30°×cos 30°＝× ＝ . 故选：B. 4.sin（）的值是（　　） A． B． C． D． 解：sin（）＝﹣sinsin（3π）＝﹣sin（π）＝sin．故选：A． 5.(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是(　　) A．cos(－280°)<0 B．sin 500°>0 C．tan>0 D．tan >0 解：cos(－280°)＝cos(－360°＋80°)＝cos 80°>0； sin 500°＝sin(360°＋140°)＝sin 140°，90°<140°<180°，∴sin 140°>0； tan＝tan＝tan ，∈，∴tan >0； tan ＝tan＝tan ，∈，∴tan >0. 故选：BCD. 6.化简下列各式： （1）sin ＋cos ＋cos(－5π)＋tan . （2）sin420°cos750°+sin(-690°)cos(-660°)+tan(-1380°) （3）a2sin 810°－b2cos 900°＋2abtan 1 125°. 解：（1）原式＝sin ＋cos ＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1. （2）原式＝sin(360°+60°)cos(2×360°+30°)+sin(-2×360°+30°)cos(-2×360°+60°) +tan(-4×360°+60°)＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＋tan60°＝×＋×+=1+. （3）原式＝a2sin 90°－b2cos 180°＋2abtan 45°＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2. 7.计算下列各式的值： （1）tan 405°－sin 450°＋cos 750°； （2）sin ＋tan. （3）. 解：（1）原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝. （2）原式＝sin＋tan＝sin ＋tan＝＋1. （3）原式 . 考点二：同角三角函数的基本关系 1.利用同角三角函数的基本关系求值 例1.（1）A为△ABC的内角，已知，求sinA，tanA的值； （2）已知，α在第二象限，求sinα，tanα的值； 解：（1）因为A为三角形ABC内角，则0＜A＜π， 又cosA0，则0，sinA＞0，tanA＞0， 所以sinA，tanA； （2）∵，α在第二象限， ∴，； 例2.已知点P（3m，﹣m）（m≠0）为角α终边上一点． （1）求tanα的值； （2）求的值； （3）求2sin2α﹣sinαcosα﹣3cos2α的值． 解：（1）由点P（3m，﹣m），根据三角函数的定义，可得； （2）由（1）知，则； （3）由（1）知，则2sin2α﹣sinαcosα﹣3cos2α ． 随堂练习： 1.（1）已知tanα＝﹣2，求的值． （2）已知，求sin2α+2sinαcosα的值． 解：（1）由，∴． （2）由已知可得tanα＝3， 则sin2α+2sinαcosα． 2.（1）已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值． （2）已知α是第二象限的角，若，求sinα，tanα的值； 解：（1）∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α. 又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cos α＝. 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，∴角α的终边在第二或第四象限． 当角α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－. （2），α是第二象限的角，故sinα＞0，因为sin2α+cos2α＝1， 所以，. 3.已知sinα＜0，cosα＞0，且，求sinα﹣cosα的值． 解：因为sinα＜0，cosα＞0，且sinα+cosα，所以sin2α+cos2α+2sinαcosα， 所以2sinαcosα1， 所以（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣（）， 所以sinα﹣cosα． 4.已知tanα＝2，求的值． 解：因为tanα＝2，所以． 5.已知，x∈（0，π），求sinx﹣cosx的值． 解：将两边平方得， 因为sin2α+cos2α＝1，所以，所以， 所以， 又x∈（0，π），sinxcosx＜0，所以sinx＞0，cosx＜0，sinx﹣cosx＞0， 所以. 6.（1）已知，且α为第三象限角，求sinα的值； （2）已知tanα＝3，计算的值． 解：（1）∵cos2α+sin2α＝1，α为第三象限角， ∴； （2）显然cosα≠0，∵tanα＝3，∴． 7.已知角α的终边经过点P（a，3a）（a≠0）， （1）求的值； （2）若sinα，cosα是方程x2﹣mx+n＝0的两个根，求m2+n的值． 解：（1）因为角α的终边经过点P（a，3a）（a≠0），所以， 则． （2）因为sinα，cosα是方程x2﹣mx+n＝0的两个根， 所以sinα+cosα＝m，sinαcosα＝n，且Δ＝m2﹣4n＞0， 则 ． 2.利用同角三角函数的基本关系化简、证明 例1.化简下列各式： （1）； （2），其中sinα•tanα＜0． 解：由三角函数公式化简可得 （1）原式1； （2）原式 ||+||， ∵sinα•tanα＜0，∴α为第二或第三象限角，cosα＜0， ∴原式＝||+||． 随堂练习： 1.化简：＝ 　． 解：原式＝ ＝sin2α.故答案为：sin2α. 2.化简：(1－cos α)的结果是(　　) A．sin α B．cos α C．1＋sin α D．1＋cos α 解：原式＝(1－cos α)＝(1－cos α)＝＝sin α.故答案为：A. 3.求证：. 证明：因为右边＝＝ ＝＝＝＝左边． 所以原等式成立． 4.求证： （1）； （2）. 证明：（1）因为右边 .所以原等式成立. （2）因为， 所以左边右边. 所以. 5.化简下列各式． （1）； （2）. 解：（1）原式＝. （2）原式＝. 考点三：诱导公式 1.给角求值 例1.（1）的值为 . 解： .故答案为：. （2）sin570°的值为 . 解：．故答案为：． （3）cos的值为 . 解：coscos（π）＝﹣cos.故答案为：. （4）tan（﹣855°）的值为 . 解：tan（﹣855°）＝﹣tan855°＝﹣tan（2×360°+135°）＝﹣tan135°＝﹣tan（180°﹣45°）＝tan45°．故答案为：． 例2.求下列各式的值： （1）tan780°cos（﹣1140°）﹣sin1560°cos（﹣1050°）. （2）sincostan（）. （3）. 解：（1）原式. （2）原式=＝sincostan（）1＝0. （3）原式=． 随堂练习： 1.sin 780°＋tan 240°的值是(　　) A. B. C.＋ D.＋ 解：sin 780°＋tan 240°＝sin 60°＋tan(180°＋60°)＝＋tan 60°＝＋＝.故选：A. 2.sin 240°＋cos(－150°)的值为(　　) A．－ B．－1 C．1 D. 解：原式＝sin(180°＋60°)＋cos 150°＝－sin 60°＋cos(180°－30°)＝－sin 60°－cos 30° ＝－－＝－.故选：A. 3.cos210°的值为 . 解：cos210°＝cos（180°+30°）＝﹣cos30°．故答案为：． 4.tan（﹣1560°）的值为 . 解：tan（﹣1560°）＝﹣tan1560°＝﹣tan（4×360°+120°）＝﹣tan120° ＝﹣tan（180°﹣60°）＝tan60°．故答案为：． 5.的值为 . 解： .故答案为：. 6.的值为 . 解： .故答案为：. 7.求下列各式的值： （1）sin315°﹣sin（﹣480°）+cos（﹣330°） （2）2sin（﹣1110°）﹣sin960°cos（﹣225°）+cos（﹣210°）． （3）． （4）． 解：（1）原式＝sin（360°﹣45°）+sin（360°+120°）+cos（﹣360°+30°） ＝﹣sin45°+sin120°+cos30° . （2）原式＝﹣2sin（360°×3+30°）﹣sin（360°×2+180°+60°）cos（180°+45°）+cos（180°+30°）＝﹣2sin30°+sin60°cos45°﹣cos30° ＝﹣2＝﹣2． （3）原式 ＝0. （4）原式 ． 2.用诱导公式化简与证明 例1.化简：（1）. （2）. （3）. （4）. 解：（1） ＝1． （2）1. （3）原式 （4）因为，，， 所以原式= 例2.求证：. 证明：左边 ， 右边， 所以左边右边，故原等式成立. 随堂练习： 1.化简：＝ ． 解：(方法1)原式. (方法2)原式. 2.化简：＝ ． 解：原式＝＝＝＝－tan θ.故答案为：－tan θ. 3.化简：等于(　　) A．－sin θ B．sin θ C．cos θ D．－cos θ 解：原式＝＝.故选：A. 4.求证：. 证明：左边＝ ＝ ＝右边. ∴原等式成立. 5.求证：＋. 证明：左边＝＋ 右边. ∴原等式成立． 6.化简：（1）． （2）. （3）已知tanα＝3，求的值. 解：（1）原式． （2）1. （3）∵tanα＝3， ∴. 7.求证：. 证明：当为偶数时，令， ， ，所以左边=右边； 当为奇数时，令， ， ， 所以左边=右边. 综上所述，成立. 8.（1）求证：； （2）设，求证： 证明：（1）左边 = . 所以原等式成立，得证. （2）因为， 所以，等式左边 ＝ ＝. 所以原等式成立，得证. 3.给值（条件）求值 例1.已知，且为第二象限角，则　　 ． 解：， 因为，为第二象限角，所以cos， 故．故答案为：． 例2.已知sin＝，则sin＝ ，cos·cos＝ . 解析　sin＝sin＝－sin＝， cos·cos＝cos·cos＝cos2＝1－sin2＝. 故答案为：，. 随堂练习： 1.已知，则cosα＝（　　） A． B． C． D． 解：因为，所以．故选：B． 2.已知sin(π＋α)＝ ，则cos的值为(　　) A. B． C. D． 解：由sin(π＋α)＝，得sin α＝，所以cos＝cos＝cos＝sin α＝.故选：B. 3.已知sinα，则cos（）＝　 　． 解：∵sinα，∴cos（）＝sinα，故答案为：． 4.若sin(－110°)＝a，则tan 70°等于(　　) A. B. C. D. 解：∵sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°)＝－sin 70°＝a， ∴sin 70°＝－a，∴cos 70°＝， ∴tan 70°＝＝.故选：B. 5.已知cos（α），则cos（α）＝　 　． 解：∵cos（α），∴cos（α）＝cos[π﹣（α）]＝﹣cos（α）， 故答案为：． 6.已知，则cos（2025π+α）＝　　 ． 解：因为sin（α）＝sin（α）＝﹣sin（α）＝﹣cosα， 所以．故答案为：． 7.已知sin（），则cos（α）＝　 　． 解：由诱导公式可得cos（α）＝sin[（）]＝sin（）．故答案为： 8.知cos＝，则sin的值为 ． 解：∵＋＝，∴sin＝sin＝cos＝.故答案为：. 4.诱导公式的综合运用 例1.已知f（α）． （1）若角α的终边过点P（﹣12，5），始边为x非负半轴，求f（α）； （2）若f（α）＝2，分别求和4sin2α﹣3sinαcosα的值． 解： ＝﹣tanα， 因为角α的终边过点P（﹣12，5），所以， 所以； （2）因为f（α）＝2， 所以﹣tanα＝2，解得tanα＝﹣2， 所以， 所以4sin2α﹣3sinαcosα ． 随堂练习： 1.已知f（α）． （1）化简f（α）； （2）若α是第三象限角，且cos（α），求f（α）的值； （3）若α，求f（α）的值． 解：（1）f（α）cosα． （2）cos（α）⇒sinα， ∵若α是第三象限角，则有cosα＜0，∴f（α）＝﹣cosα． （3）f（α）＝f（）＝﹣cos（）＝﹣cos（10）＝﹣cos． 2.已知 （1）化简f（α）； （2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值． 解：（1）； （2）∵，∴ 又α是第三象限角，则，∴． 3.已知角α终边上的一点P（3，﹣4）． （1）求的值； （2）求2+sinαcosα﹣cos2α的值． 解：（1）由题意，可得，可得原式＝tanα； （2）因为， 所以2+sinαcosα﹣cos2α ． 4.已知． （1）化简f（θ）； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 解：（1）； （2）由（1）可知，f（θ）＝cosθ，则f（）＝cos（）， 可得sin（）＝sin（）＝cos（）； （3）由， 得，即， 又因为， 所以，cosθ﹣sinθ， 则 ． 5.已知． （1）化简f（α）； （2）若，求的值． 解：（1）由题意，可得f（α）； （2）由，得， 故，又，故， 因，故为第一、三象限角 当为第一象限角时，， 当为第三象限角时，， 因为 所以， 故当为第一象限角时，， 当为第三象限角时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十讲 三角函数及诱导公式—专题练习 【知识点梳理】 三角函数的概念 知识点一、任意角的三角函数 1.利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：，，. 2.利用角的终边上点的坐标定义任意角的三角函数 设点P(x,y)为角终边上任意一点，点P与原点的距离为r（）, 则. 知识点二、三角函数的定义域、值域和函数值的符号 1.三角函数的定义域、值域 三角函数 定义域 值域 R [-1,1] R [-1,1] R 2.各象限内三角函数值的符号 三角函数在各象限的符号规律：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”. 知识点三、诱导公式一 1.由三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值相等，由此可得到诱导公式一. 其中 其中 2.诱导公式一的作用 把求任意角的三角函数值转化为求0～2π（或0°～360°）角的三角函数值. 同角三角函数的基本关系 知识点一、同角三角函数的基本关系 1.平方关系：sin2＋cos2＝1，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，适应于任意角， 即∈R. 2.商数关系：，同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切，适用于终边不在y 轴上的角，即. 知识点二、同角三角函数的基本关系的变形 1.平方关系sin2＋cos2＝1的变形 （1）sin2＝1－cos2；cos2＝1－sin2. （2）sin＝；cos＝（根号前面的符号由角终边的位置确定）. 2.商数关系的变形 （1）sin＝cos·； （2）cos＝. 诱导公式 知识点一、诱导公式二～六 公式 终边关系 图示 公式 公 式 二 角π＋α与角α的终 边关于原点对称 sin(π＋α)＝－sin α cos(π＋α)＝－cos α tan(π＋α)＝tan α 公 式 三 角－α与角α的终 边关于x轴对称 sin(－α)＝－sin α cos(－α)＝cos α tan(－α)＝－tan α 公 式 四 角π－α与角α的终 边关于y轴对称 sin(π－α)＝sin α cos(π－α)＝－cos α tan(π－α)＝－tan α 公 式 五 角－α与角α的终边 关于直线y＝x对称 sin(－α)＝cos α cos(－α)＝sin α 公 式 六 角＋α与角－α的 终边关于y轴对称 sin(＋α)＝cos α cos(＋α)＝－sin α 知识点二、诱导公式 1.诱导公式 公式一～公式六都叫做诱导公式.它们都是α的三角函数与（k∈Z）的三角函数之间 的转化. 2.奇变偶不变，符号看象限的含义 （1）①当中的为奇数时，三角函数名称由正弦变余弦或余弦变正弦，简 称奇变.②当中的为偶数时，三角函数名称不变，简称偶不变. （2）再将α看成锐角，观察终边所在的象限，并判断其所对应的三角函数 值的符号. 【专题练习】 考点一：三角函数的概念 1.利用定义求任意角的三角函数值 例1.（1）在平面直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线OA，已知 点，则tanα的值为（　　） A． B． C． D． （2）已知角α终边经过点P（﹣3，4），则cosα的值为（　　） A． B． C． D． （3）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（3，4）， 则sinα＝（　　） A． B． C． D． 例2.角θ的终边落在直线y＝2x上，求sin θ，cos θ的值． 随堂练习： 1.（1）若角α的终边经过点P（﹣1，2），则tanα＝（　　） A． B．2 C． D．﹣2 （2）已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（　　） A． B． C． D． （3）已知角θ的终边上有一点P（a，2a），a＜0，则cosθ的值是（　　） A． B． C． D． 2.（1）(多选)若角α的终边经过点P(x，－3)且sin α＝，则x的值为(　　) A． B．－1 C．1 D. （2）若角α的终边经过点P(x，－3)且cos α＝，则x的值为 . 3.知角θ的终边过点P（﹣12，5），则tanθ＝（　　） A． B． C． D． 4.若角α的终边经过点P，则sinαtanα的值是（　　） A． B． C． D． 5.角α的始边在x轴正半轴、终边过点P（，y），且cosα，则y的值为（　　） A．3 B．1 C．±3 D．±1 6.在单位圆中，已知角α的终边与单位圆的交点为，则sinα﹣cosα＝ 　． 2.三角函数值符号的应用 例1.对于①sinθ＞0，②sinθ＜0，③cosθ＞0，④cosθ＜0，⑤tanθ＞0，⑥tanθ＜0，则θ 为第三象限角的充要条件为（　　） A．①③ B．④⑥ C．②③ D．②⑤ 例2.若sinαtanα＞0，且cosαtanα＞0，则角α是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 随堂练习： 1.若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2.已知cosθ•tanθ＞0，那么角θ是（　　） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第三、四象限角 D．第一、四象限角 3.如果点M（sinθ，cosθ）位于第二象限，那么角θ所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.已知sinα＞0，cosα＞0，则角α的终边落在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5.(多选)下列选项中，符号为负的是(　　) A．sin(－100°) B．cos(－220°) C．tan 10 D．cos π 6.已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是 象限角. 7.△ABC中，若sin Acos Btan C<0，则△ABC是 　． 3.诱导公式一的应用 例1.计算下列各式的值： （1）sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； （2）sin＋costan 4π. （3）. 例2.下列三角函数值的符号正确的有() A. B. C. D. 随堂练习： 1.（1）sin405°＝ . （2）tan＝ . （3）cos750°＝ . 2.计算：sin ＋cos＋tan＝ . 3.代数式sin(－330°)cos 390°的值为(　　) A. B. C. D. 4.sin（）的值是（　　） A． B． C． D． 5.(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是(　　) A．cos(－280°)<0 B．sin 500°>0 C．tan>0 D．tan >0 6.化简下列各式： （1）sin ＋cos ＋cos(－5π)＋tan . （2）sin420°cos750°+sin(-690°)cos(-660°)+tan(-1380°) （3）a2sin 810°－b2cos 900°＋2abtan 1 125°. 7.计算下列各式的值： （1）tan 405°－sin 450°＋cos 750°； （2）sin ＋tan. （3）. 考点二：同角三角函数的基本关系 1.利用同角三角函数的基本关系求值 例1.（1）A为△ABC的内角，已知，求sinA，tanA的值； （2）已知，α在第二象限，求sinα，tanα的值； 例2.已知点P（3m，﹣m）（m≠0）为角α终边上一点． （1）求tanα的值； （2）求的值； （3）求2sin2α﹣sinαcosα﹣3cos2α的值． 随堂练习： 1.（1）已知tanα＝﹣2，求的值． （2）已知，求sin2α+2sinαcosα的值． 2.（1）已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值． （2）已知α是第二象限的角，若，求sinα，tanα的值； 3.已知sinα＜0，cosα＞0，且，求sinα﹣cosα的值． 4.已知tanα＝2，求的值． 5.已知，x∈（0，π），求sinx﹣cosx的值． 6.（1）已知，且α为第三象限角，求sinα的值； （2）已知tanα＝3，计算的值． 7.已知角α的终边经过点P（a，3a）（a≠0）， （1）求的值； （2）若sinα，cosα是方程x2﹣mx+n＝0的两个根，求m2+n的值． 2.利用同角三角函数的基本关系化简、证明 例1.化简下列各式： （1）； （2），其中sinα•tanα＜0． 随堂练习： 1.化简：＝ 　． 2.化简：(1－cos α)的结果是(　　) A．sin α B．cos α C．1＋sin α D．1＋cos α 3.求证：. 4.求证： （1）； （2）. 5.化简下列各式． （1）； （2）. 考点三：诱导公式 1.给角求值 例1.（1）的值为 . （2）sin570°的值为 . （3）cos的值为 . （4）tan（﹣855°）的值为 . 例2.求下列各式的值： （1）tan780°cos（﹣1140°）﹣sin1560°cos（﹣1050°）. （2）sincostan（）. （3）. 随堂练习： 1.sin 780°＋tan 240°的值是(　　) A. B. C.＋ D.＋ 2.sin 240°＋cos(－150°)的值为(　　) A．－ B．－1 C．1 D. 3.cos210°的值为 . 4.tan（﹣1560°）的值为 . 5.的值为 . 6.的值为 . 7.求下列各式的值： （1）sin315°﹣sin（﹣480°）+cos（﹣330°） （2）2sin（﹣1110°）﹣sin960°cos（﹣225°）+cos（﹣210°）． （3）． （4）． 2.用诱导公式化简与证明 例1.化简：（1）. （2）. （3）. （4）. 例2.求证：. 随堂练习： 1.化简：＝ ． 2.化简：＝ ． 3.化简：等于(　　) A．－sin θ B．sin θ C．cos θ D．－cos θ 4.求证：. 5.求证：＋. 6.化简：（1）． （2）. （3）已知tanα＝3，求的值. 7.求证：. 8.（1）求证：； （2）设，求证： 3.给值（条件）求值 例1.已知，且为第二象限角，则　　 ． 例2.已知sin＝，则sin＝ ，cos·cos＝ . 随堂练习： 1.已知，则cosα＝（　　） A． B． C． D． 2.已知sin(π＋α)＝ ，则cos的值为(　　) A. B． C. D． 3.已知sinα，则cos（）＝　 　． 4.若sin(－110°)＝a，则tan 70°等于(　　) A. B. C. D. 5.已知cos（α），则cos（α）＝　 　． 6.已知，则cos（2025π+α）＝　　 ． 7.已知sin（），则cos（α）＝　 　． 8.知cos＝，则sin的值为 ． 4.诱导公式的综合运用 例1.已知f（α）． （1）若角α的终边过点P（﹣12，5），始边为x非负半轴，求f（α）； （2）若f（α）＝2，分别求和4sin2α﹣3sinαcosα的值． 随堂练习： 1.已知f（α）． （1）化简f（α）； （2）若α是第三象限角，且cos（α），求f（α）的值； （3）若α，求f（α）的值． 2.已知 （1）化简f（α）； （2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值． 3.已知角α终边上的一点P（3，﹣4）． （1）求的值； （2）求2+sinαcosα﹣cos2α的值． 4.已知． （1）化简f（θ）； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 5.已知． （1）化简f（α）； （2）若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $