第22讲 三角函数的图象与性质（十大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

本讲义聚焦三角函数的图象与性质核心知识点，系统梳理正弦、余弦函数的五点法作图，正切函数的三点两线法作图，以及定义域、值域、周期性等性质，构建从基础作图到正弦型、余弦型函数综合应用的学习支架。 资料通过10类题型（含例题与变式）分层设计，用五点法培养几何直观（数学眼光），整体代换求单调区间发展逻辑推理（数学思维），表格对比性质助学生用数学语言梳理规律。课中辅助教师系统授课，课后学生可借练习查漏补缺。

第22讲 三角函数的图象与性质 【人教A版】 模块一 三角函数的图象与性质 1．正弦函数与余弦函数的图象 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，，(π,0)，，(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. (2)余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=cosx,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=cosx在[0,2π]上 的图象，起关键作用的五个点是：(0,1)，，(π,-1)，，(2π,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=cosx在[0,2π]上的简图，再通过左右平移(每次移动2π个单位长度)即可得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象. (3)正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏” 的连续光滑曲线. 2．正弦函数与余弦函数的性质 (1)周期函数 ①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期. (2)正弦函数与余弦函数的性质 正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 3．正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 4．正切函数的性质与图象 (1)正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 (2)三点两线法作正切曲线的简图 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点，(0,0)，；“两线”是指直线和.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间上的简图. 【题型1 五点法画正弦、余弦函数的图象】 【例1】（24-25高一上·全国·周测）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 【变式1.1】（24-25高一上·陕西宝鸡·月考）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 【变式1.2】（24-25高一下·广西南宁·月考）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)； (2). 【变式1.3】（2025高一·全国·专题练习）作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 【题型2 正、余弦函数图象的应用】 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的简图为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2025·陕西汉中·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2.2】（24-25高一上·河南信阳·期末）函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高三上·河北沧州·月考）当时，曲线与的交点个数为（    ） A． B． C． D． 【题型3 三角函数的定义域、值域与最值】 【例3】（24-25高一上·甘肃兰州·月考）函数，的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高一上·全国·单元测试）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一下·广西桂林·月考）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高三上·天津滨海新·期中）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 【题型4 由三角函数的值域（最值）求参数】 【例4】（24-25高一下·湖北·月考）若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一上·广东揭阳·期末）函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二上·湖北武汉·开学考试）若函数在有最小值无最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块二 三角函数的单调性、周期性、对称性与奇偶性 1．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 3．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 4．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. 5．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0， 若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 【题型5 求三角函数的单调区间】 【例5】（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的单调递减区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5.1】（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5.3】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中，既在上单调递增，又以为周期且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型6 根据三角函数的单调性求参数】 【例6】（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高一下·内蒙古赤峰·月考）已知函数，，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一下·安徽·期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【题型7 三角函数的奇偶性与对称性问题】 【例7】（24-25高一上·湖南株洲·月考）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高一下·重庆·期末）已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【变式7.3】（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【题型8 三角函数的周期性问题】 【例8】（2025高一·全国·专题练习）下列函数，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高一上·贵州毕节·期末）函数的最小正周期（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高一下·北京·期中）下列函数中，最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 【变式8.3】（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【题型9 三角函数的零点问题】 【例9】（24-25高一下·河南南阳·月考）函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9.1】（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9.2】（24-25高一上·安徽合肥·月考）设a为常数，函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围； 【变式9.3】（24-25高一上·湖北·期末）已知函数在区间上有且仅有4个零点. (1)求的取值范围; (2)当时，若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围; (3)当时，若函数在区间内有两个不同的零点，求实数t的取值范围. 【题型10 三角函数的图象与性质的综合应用】 【例10】（24-25高一下·辽宁·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C． D．在上单调递减 【变式10.1】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数最小正周期为 B．定义域为 C．函数图象所有对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 【变式10.2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，其图象相邻的最高点与最低点之间的水平距离为． (1)若，求在上的最大值； (2)若对恒成立，求的取值范围． 【变式10.3】（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的最小正周期为（    ） A．4 B． C． D．1 2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（25-26高一上·全国·课前预习）用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的值域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D． 7．（25-26高一上·全国·单元测试）设，已知在上有10个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期是，则 B．当时，图象的对称中心的坐标为 C．当时， D．若在区间上单调递增，则 10．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（    ） A． B．若是图象的一条对称轴，则 C．若在区间内无最大值，则 D．若，则的图象在内有且仅有一个对称中心 11．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A．函数在上的单调递减区间为 B．在区间上有且仅有两个零点 C．是奇函数 D．当时， 三、填空题 12．（25-26高一上·全国·课前预习）函数在区间上的最大值为 ． 13．（25-26高三上·河北邢台·月考）设函数，若在上单调递增，则的取值范围是 ． 14．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象在区间上有且仅有1条对称轴和1个对称中心，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．（25-26高一上·陕西·期末）已知函数 (1)用五点法作图作出在的图象；    (2)求在的最大值和最小值. 16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点． (1)求的单调递增区间； (2)求不等式的解集． 17．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数． (1)求的最小正周期和对称中心： (2)求在区间内的单调递增区间； (3)当时，求的最大及最小值． 18．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数为偶函数，． (1)求图象的对称轴方程； (2)若，求的值域； (3)当时，函数的图象与直线有2个交点，求实数m的取值范围． 19．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)求函数的最小正周期以及单调递增区间； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围与的值． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22讲 三角函数的图象与性质 【人教A版】 模块一 三角函数的图象与性质 1．正弦函数与余弦函数的图象 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，，(π,0)，，(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. (2)余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=cosx,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=cosx在[0,2π]上 的图象，起关键作用的五个点是：(0,1)，，(π,-1)，，(2π,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=cosx在[0,2π]上的简图，再通过左右平移(每次移动2π个单位长度)即可得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象. (3)正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏” 的连续光滑曲线. 2．正弦函数与余弦函数的性质 (1)周期函数 ①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期. (2)正弦函数与余弦函数的性质 正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 3．正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 4．正切函数的性质与图象 (1)正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 (2)三点两线法作正切曲线的简图 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点，(0,0)，；“两线”是指直线和.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间上的简图. 【题型1 五点法画正弦、余弦函数的图象】 【例1】（24-25高一上·全国·周测）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 【答案】D 【解题思路】用五点法作三角函数的图，五个点的横坐标分别为，求出值. 【解答过程】由“五点法”作图知，令， 解得，即为五个关键点的横坐标. 故选：D． 【变式1.1】（24-25高一上·陕西宝鸡·月考）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 【答案】A 【解题思路】结合“五点法”作图特征，直接求出结论即可. 【解答过程】函数的最小正周期为， 用“五点法”作的图象，即作函数在上的图象， 所以五个关键点的横坐标为0，，π，，2π. 故选：A. 【变式1.2】（24-25高一下·广西南宁·月考）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)； (2). 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析. 【解题思路】（1）（2）列出表格，利用五点法作出函数图象. 【解答过程】（1）取值列表如下： x 0 π 2π 0 1 0 0 描点、连线，作出函数的图象： （2）取值列表如下： x 0 π 2π 1 0 0 1 描点、连线，作出函数的图象： 【变式1.3】（2025高一·全国·专题练习）作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【解题思路】分析函数的性质，结合正弦曲线、余弦曲线的“五点法”，可作出函数图象. 【解答过程】（1）因为的定义域为，关于原点对称， ，故为偶函数， 又，所以函数是以为周期的周期函数. 列表 x 0 0 1 0 作图：先作出的图象，又原函数是偶函数，且周期为，将图象向两边延伸，即可得函数，的图象. （2）按五个关键点列表： 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）： 【题型2 正、余弦函数图象的应用】 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的简图为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用排除法分析判断即可 【解答过程】因为当时，， 所以排除B，C，D， 故选：A． 【变式2.1】（2025·陕西汉中·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】作出函数图像易得交点个数为3. 【解答过程】曲线与的图像如下， 所以交点个数为3， 故选：B. 【变式2.2】（24-25高一上·河南信阳·期末）函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用函数奇偶性及函数在区间上的符号排除不正确选项即得. 【解答过程】函数的定义域为R， 由，可得函数是R上的奇函数， 图象关于原点对称， AC错误； 当时，，且当或时取等号，则B不满足，D满足. 故选：D. 【变式2.3】（24-25高三上·河北沧州·月考）当时，曲线与的交点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据五点法作图，分别作出两函数图像，即可得解. 【解答过程】 令，得，； 令，得，； 令，得，； 令，得，； 令，得，； 结合函数的周期性，作出两函数图像，如图所示， 可知两函数共个交点， 故选：C. 【题型3 三角函数的定义域、值域与最值】 【例3】（24-25高一上·甘肃兰州·月考）函数，的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用正弦函数的基本性质可求得原函数的值域. 【解答过程】因为，则，故. 故选：D. 【变式3.1】（25-26高一上·全国·单元测试）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题直接求函数定义域即可. 【解答过程】由题意得，解得，所以， 即在内，函数的定义域为． 故选：C. 【变式3.2】（24-25高一下·广西桂林·月考）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由，令，转化为二次函数求解. 【解答过程】， 令，由，得，变为． 该二次函数开口向下，对称轴，在递增，递减． 当时，时，，所以值域为. 故选：C. 【变式3.3】（24-25高三上·天津滨海新·期中）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的最小正周期求出，即可得到函数解析式，再根据的取值范围，求出的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得. 【解答过程】因为函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 当，则， 所以当，即时取得最小，即. 故选：A. 【题型4 由三角函数的值域（最值）求参数】 【例4】（24-25高一下·湖北·月考）若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据角的范围得出，再结合正弦函数的值域列不等式计算求参. 【解答过程】当时，，且值域为， 所以，则. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高一上·广东揭阳·期末）函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据正弦型函数的最小值的性质，结合题意进行求解即可. 【解答过程】因为函数在内恰有两个最小值点，， 所以 所以， 所以. 故选：B. 【变式4.2】（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用余弦函数的图象性质求解即可. 【解答过程】当时，，结合余弦函数的性质知，若则该函数值域会出现大于的情况，则. 时，由值域为，， 所以， 所以 故选：A. 【变式4.3】（24-25高二上·湖北武汉·开学考试）若函数在有最小值无最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由可得取值范围，再根据函数在有最小值无最大值，结合余弦函数的单调性与最值分析即可. 【解答过程】由，可得， 又函数在有最小值无最大值， 故，解得. 故选：D. 模块二 三角函数的单调性、周期性、对称性与奇偶性 1．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 3．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 4．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. 5．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0， 若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). 【题型5 求三角函数的单调区间】 【例5】（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的单调递减区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】先变形，再根据余弦函数的单调性即可求解. 【解答过程】已知， 令，，得，， 所以函数的单调递减区间为，. 故选：. 【变式5.1】（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用正弦型函数的周期性与单调性逐项判断，即可得出合适的选项. 【解答过程】对于A选项，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的最小正周期为，且该函数在上单调递减，A满足条件； 对于B选项，函数的最小正周期为，且该函数在上单调递减，B不满足条件； 对于C选项，函数的最小正周期为， 当时，，则函数在上不单调，C不满足条件； 对于D选项，函数的最小正周期为， 当时，，则函数在上单调递增，D不满足条件. 故选：A. 【变式5.2】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】利用诱导公式可得，结合正弦函数的单调区间分析求解. 【解答过程】因为， 且的单调递增区间为，， 所以函数的单调递减区间为，. 故选：C． 【变式5.3】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中，既在上单调递增，又以为周期且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据正余弦函数的奇偶性、单调性和周期性逐个分析判断. 【解答过程】对于A，因为为奇函数，所以A错误， 对于B，为偶函数，且周期为，当时，， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，所以B错误， 对于C，因为为奇函数，所以C错误， 对于D，因为，所以为偶函数， 因为的图象是由在轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 所以函数的周期为， 当时，，此时， 而在上单调递增，故D符合． 故选：D． 【题型6 根据三角函数的单调性求参数】 【例6】（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意可得，，结合解出即可得. 【解答过程】由题意可得，， 解得且，， 又，则，，则， 故且，故. 故选：A. 【变式6.1】（24-25高一下·内蒙古赤峰·月考）已知函数，，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由的范围求出的范围，又由是单调增或减区间的子区间列不等式可解. 【解答过程】函数，， 函数在上单调递减，所以， 又，则，解得． 当时，， 当在上单调递减时，，， 解得， 当时，. 故选：B. 【变式6.2】（24-25高一下·安徽·期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据余弦函数的单调递减区间，利用整体代换的方法求解即可. 【解答过程】因为，，所以， 又因为函数在区间上单调递减， 所以，,即， 故当时，. 故选：A. 【变式6.3】（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】由是函数的一条对称轴，可得，再根据在区间上单调，则，可得，运算可求得的值. 【解答过程】由直线是函数的图象的一条对称轴，有，可得， 又由函数在区间上单调，则，可得， 有，有，可得，. 故选：A. 【题型7 三角函数的奇偶性与对称性问题】 【例7】（24-25高一上·湖南株洲·月考）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先得到函数的定义域，再利用函数的奇偶性得到答案. 【解答过程】A选项，的定义域为R， 且，故为奇函数，A错误； B选项，的定义域为R， 且，故为奇函数，B错误； C选项，的定义域为R， 且，故为偶函数，C正确； D选项，的定义域为R， 且，故不是偶函数，D错误. 故选：C. 【变式7.1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据整体法，结合余弦函数的性质即可求解. 【解答过程】令，可得. 所以当时，，故满足条件. 故选：A. 【变式7.2】（24-25高一下·重庆·期末）已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【解题思路】由题意结合可得，进一步由可得，，由于要求的最大值，依次分，两种情况讨论即可. 【解答过程】函数的最小正周期为，则，在区间上恰好存在两条对称轴， ，所以，即，解得， 因为，所以点是函数图象的一个对称中心， 则，得，，即，， 因，则，且随k的增大而增大， 当时，，此时在内有三条对称轴，不合题意， 当时，，此时，其中，有两条对称轴， 则的最大值为8． 故选：C． 【变式7.3】（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【答案】B 【解题思路】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答. 【解答过程】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确； 对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确； 对于C，， 令，，，所以不是奇函数，C不正确； 对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确. 故选：B. 【题型8 三角函数的周期性问题】 【例8】（2025高一·全国·专题练习）下列函数，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对于A、B直接由正弦函数的周期公式求出即可判断；对于C、D求出不带绝对值的函数的周期，再减半，即可判断. 【解答过程】函数的最小正周期为，故A不符合； 函数，其最小正周期为，故B不符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故D不符合. 故选：C. 【变式8.1】（24-25高一上·贵州毕节·期末）函数的最小正周期（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据余弦型函数的周期公式计算可得. 【解答过程】函数的最小正周期. 故选：B. 【变式8.2】（24-25高一下·北京·期中）下列函数中，最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据余弦函数最小正周期计算公式对选项逐一分析即可得出结论. 【解答过程】易知的最小正周期为，的最小正周期为； 而的最小正周期为，的最小正周期为. 故选：D. 【变式8.3】（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由正余弦型的三角函数的周期公式求解. 【解答过程】由正余弦型的三角函数的周期公式求解，要注意C项是绝对值函数的周期特点. 四个选项中的函数周期分别为，，，， 故选：D． 【题型9 三角函数的零点问题】 【例9】（24-25高一下·河南南阳·月考）函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可. 【解答过程】因为，，所以， 又在区间上恰有个零点，所以，解得， 即的取值范围为. 故选：C. 【变式9.1】（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换元，将原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，使得，继而数形结合，列出符合题意的不等式，求得答案. 【解答过程】令，则，令，则， 则原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t， 使得，求的取值范围； 作出和的图象，如图： 结合图象可知满足条件的最短区间的长度为， 最长区间的长度为， 故得，解得，即， 故选：B. 【变式9.2】（24-25高一上·安徽合肥·月考）设a为常数，函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用换元法结合三角函数值域，由二次函数性质即可得出函数的值域； （2）根据零点个数可得函数在上仅有一个零点，再由二次函数根的分布可得； 【解答过程】（1）由题意， 令，则， 当时，， 所以当时，取最大值； 当时，取最小值， 所以的值域为； （2）由题意函数在区间上有两个不同的零点， 即函数在上仅有一个零点，因为， 由零点存在性定理，只需，得； 所以实数a的取值范围为. 【变式9.3】（24-25高一上·湖北·期末）已知函数在区间上有且仅有4个零点. (1)求的取值范围; (2)当时，若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围; (3)当时，若函数在区间内有两个不同的零点，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用换元法可得函数在区间上有且仅有4个零点，然后结合余弦函数的图象与性质即可得结果； （2）求出，问题转化为在上恒成立，进而求得结果； （3）问题转化为函数与的图象在区间内有两个不同的交点，可得t的不等式，计算可得结果. 【解答过程】（1）因为，则，， 因为函数在区间上有且仅有4个零点， 所以函数在区间上有且仅有4个零点， 结合余弦函数的图象与性质可得：， 解得：， 所以的取值范围为 （2）当时，由可得：，所以， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立，又因为当时，， 所以，所以， 即，所以，故实数m的取值范围为 （3）因为函数在区间内有两个不同的零点，所以在区间内有两个不同的零点， 即在区间内有两个不同的零点， 即函数与的图象在区间内有两个不同的交点， 由余弦函数的图象与性质可得：或，即或， 故实数t的取值范围为 【题型10 三角函数的图象与性质的综合应用】 【例10】（24-25高一下·辽宁·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C． D．在上单调递减 【答案】D 【解题思路】利用代入检验法可判断ABC的正误，根据正弦函数的单调性结合同增异减可判断D的正误. 【解答过程】对于A，由题意可得，故不是奇函数，则A错误. 对于B，因为， 所以的图象不关于直线对称，故B错误. 对于C，若，则图象的对称中心为， 而，故不是函数图象的对称中心，故C错误； 对于D，由，得， 而在上为减函数，故在上单调递减，故D正确. 故选：D. 【变式10.1】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数最小正周期为 B．定义域为 C．函数图象所有对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 【答案】D 【解题思路】利用周期公式计算可得A错误，由正切函数定义域可判断B错误，根据对称中心方程可得C错误，再由正切函数单调性计算可得D正确. 【解答过程】对于A，由可得，所以函数最小正周期为，即A错误； 对于B，由正切函数定义域可得，解得； 可得的定义域为，即B错误； 对于C，利用对称中心方程可得，解得, 因此函数图象所有对称中心为，，可知C错误； 对于D，根据正切函数单调性可得， 解得， 所以函数的单调递增区间为，可得D正确. 故选：D. 【变式10.2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，其图象相邻的最高点与最低点之间的水平距离为． (1)若，求在上的最大值； (2)若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2)． 【解题思路】（1）先根据已知条件确定周期，进而确定，进而确定函数的解析式，根据余弦函数的单调性确定最大值. （2）根据余弦函数的单调性，列出不等式，然后解不等式进而求出的范围. 【解答过程】（1）由题意，知的最小正周期，则， 又，所以． 因为，所以， 所以在上单调递增，最大值为． （2）当时，， 因为，所以， 所以函数在上先单调递增，再单调递减. 若对恒成立， 则，即， 即，又， 所以解得， 故的取值范围为． 【变式10.3】（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由，，且的最小值是，可得， 由的图象关于直线对称，可得，由点在的图象上，可得，据此可得答案； （2）即解不等式，然后由余弦函数单调性可得答案； （3）即时，，利用余弦函数性质求得，解不等式可得答案. 【解答过程】（1）因为的最小值是，所以，所以． 因为的图象关于直线对称，所以， 所以，所以，即． 因为，所以． 因为点在的图象上，所以，所以． 故； （2）不等式等价于不等式， 即，所以， 解得， 即不等式的解集为． （3）因为，所以， 所以，则． 因为对任意的，不等式恒成立， 所以 ，即， 解得或， 即的取值范围为． 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的最小正周期为（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】根据余弦函数的周期进行求解即可. 【解答过程】的最小正周期． 故选：A. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】分，化简，结合正弦函数图象求解即可. 【解答过程】当时， 当时，， 由正弦函数的图象可知，A选项符合题意， 故选：A． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据余弦函数的性质即可求解. 【解答过程】五个关键点分别为，，，，故D选项不在函数图象上． 故选：D. 4．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用整体代换代入减区间，求解不等式可得答案. 【解答过程】令，解得， 所以的单调递减区间为． 故选：B. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】思路一：由三角函数性质即可求解；思路二：作出的图象即可判断. 【解答过程】方法一：，又． 方法二：数形结合，如图，作出函数在上的图象， ，则的纵坐标分别对应， 则，．    故选：C. 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的值域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D． 【答案】A 【解题思路】利用正切函数的性质得到答案 【解答过程】因为，所以函数的最小正周期，故A错误； 由正切函数的图象和性质可知函数的值域为，故B正确； 由，得，当时，， 所以点是函数的图象的一个对称中心，故C正确； 因为的最小正周期，所以，故D正确. 故选：A. 7．（25-26高一上·全国·单元测试）设，已知在上有10个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意可得或，解出的，结合三角函数的性质列出不等式求解即可. 【解答过程】令，则或， 或， 即或，，， 则当，时，零点从小到大依次为，， ,解得， 即的取值范围为． 故选：C. 8．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题设可得，即，再由及区间最值、余弦型函数的图象列不等式求参数范围. 【解答过程】由函数的图象经过点， 所以，由于，则，则． 由，可得， 因为在上有且只有两个最值点，则， 所以. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期是，则 B．当时，图象的对称中心的坐标为 C．当时， D．若在区间上单调递增，则 【答案】AB 【解题思路】A选项根据周期公式求解，B选项根据正切函数的对称中心坐标公式求解，C选项直接代入求解，D选项根据正切函数的单调区间代入求解. 【解答过程】A选项，当的最小正周期是时，，则,故正确 B选项，当时，，所以令， 解得，所以函数图象的对称中心的坐标为，故正确. C选项，当时，，，故错误. D选项， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为， 因为在区间上单调递增，所以， 解得， 另一方面，即，所以， 又因为，所以由，得，由，得， 所以的取值范围是，故错误. 故选：AB. 10．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（    ） A． B．若是图象的一条对称轴，则 C．若在区间内无最大值，则 D．若，则的图象在内有且仅有一个对称中心 【答案】ABD 【解题思路】求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的周期公式求出的值，可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；当时，求出的取值范围，结合正弦型函数的最值可得出关于的不等式组，结合可得出的取值范围，可判断C选项；由可求出的取值范围，分、两种情况讨论，结合正弦型函数的对称性可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，设函数的最小正周期为，由题意可知，则，故，A对； 对于B选项，由A选项可知，， 若是图象的一条对称轴，则，可得， 因为，则，B对； 对于C选项，因为，当时，， 因为函数在内无最大值，则， 所以，解得， 令，，则， 所以，，C错； 对于D选项，若，即， 当时，则， 当时，，此时函数上有且只有一个对称中心； 当时，，此时函数上有且只有一个对称中心. 综上所述，当时，函数的图象在内有且仅有一个对称中心，D对. 故选：ABD. 11．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A．函数在上的单调递减区间为 B．在区间上有且仅有两个零点 C．是奇函数 D．当时， 【答案】AC 【解题思路】结合题意得到函数关于点对称，可得，整体代入求出单调递减区间判断A即可；利用单调性判断在区间上零点个数判断B即可；求出并结合奇偶性的定义确定奇偶性判断C即可；求出时，的值域判断D即可. 【解答过程】对于A，由题意得函数的图象关于点中心对称， 则，即， 因为，所以取，则，则. 令，则， 又，所以取，则，故A正确， 对于B，因为在单调递减， 所以在区间上至多一个零点，故B错误， 对于C，因为 ， 所以由正弦函数性质得为奇函数．故C正确， 对于D，当时，， 因为在上单调递减， 所以在区间上单调递减，得到，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（25-26高一上·全国·课前预习）函数在区间上的最大值为 ． 【答案】4 【解题思路】先求的范围，结合正弦函数的性质和范围可得答案. 【解答过程】当时，， 所以函数在，即时取得最大值，最大值为． 故答案为：4. 13．（25-26高三上·河北邢台·月考）设函数，若在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】利用正弦函数的单调区间来求解参数范围即可. 【解答过程】由可得：， 因为正弦函数的单调递增区间是， 所以，解得：， 由解得：， 因为，所以当时，有， 当时，有， 故答案为：. 14．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象在区间上有且仅有1条对称轴和1个对称中心，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】由的范围确定的范围，再根据余弦型函数的图像特征求解出的范围即可. 【解答过程】当时，， 由函数的图象在区间上有且仅有1条对称轴和1个对称中心，得或 解得或则， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·陕西·期末）已知函数 (1)用五点法作图作出在的图象；    (2)求在的最大值和最小值. 【答案】(1)作图见解析； (2)，. 【解题思路】（1）根据“五点法”作图，即可得函数的图象； （2）利用函数图象结合，即可求得答案. 【解答过程】（1）列表如下： x 对应的图象如图：      （2）由且，结合图象知，且. 16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点． (1)求的单调递增区间； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据图象过点，结合，可得，再利用正切型函数的单调性代入求解即可； （2）根据正切型函数的单调性解不等式即可. 【解答过程】（1）∵的图象过点， ∴，∵，∴，∴． 令，得， 即． ∴函数的单调递增区间为． （2）由（1）知，．由， 得，即． ∴不等式的解集为. 17．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数． (1)求的最小正周期和对称中心： (2)求在区间内的单调递增区间； (3)当时，求的最大及最小值． 【答案】(1)最小正周期为；对称中心为 (2) (3)最大值为，最小值为. 【解题思路】（1）根据题意，利用正弦型函数最小正周期的计算公式，求得函数的最小正周期，令，进而得到函数的对称中心； （2）根据题意，求得，结合正弦函数的单调性，进而求得的单调递增区间； （3）根据题意，求得，结合正弦函数的性质，即可求得函数的最值. 【解答过程】（1）解：由函数，可得函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. （2）解：由，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数的单调递增区间为. （3）解：由，可得， 当时，即时，函数取得最小值，最小值为； 当时，即时，函数取得最大值，最大值为， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 18．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数为偶函数，． (1)求图象的对称轴方程； (2)若，求的值域； (3)当时，函数的图象与直线有2个交点，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，． (2) (3) 【解题思路】（1）根据三角函数的奇偶性的性质可得，或者利用偶函数的性质，求解，即可利用整体法求解， （2）利用整体法结合条件即可求解， （3）作出函数图象，数形结合即可求解. 【解答过程】（1）方法一  因为函数为偶函数， 所以，，， 又，所以．故， 令，解得， 即图象的对称轴方程为， 方法二  函数为偶函数， 则，即，所以， 又，所以，经检验，符合题意． （2）当时，，所以， 所以，所以的值域为． （3）画出函数在上的图象与直线 当时，函数的图象与直线有2个交点，作图如下： 由图可知，故m的取值范围为． 19．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)求函数的最小正周期以及单调递增区间； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围与的值． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）最小正周期为．令，解不等式即可得单调增区间； （2）令，将题目转化为与在内的图象有两个交点，结合图象可得，即，即可求得答案. 【解答过程】（1）由可得函数的最小正周期为． 令，解得， 所以的单调递增区间为． （2）因为，所以令，在内的图象如图所示．    令，可得，即， 若函数有两个零点， 则与在内的图象有两个交点， 结合图象可得，即， 所以实数的取值范围为． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $