第20讲 诱导公式（知识详解+5典例精讲+课后作业）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学诱导公式核心知识点，系统梳理诱导公式二～四（偶不变体系）和五～六（奇变体系），通过“偶不变，奇变，符号看象限”口诀及负化正、大化小、角化锐、代值运算的标准化简流程构建学习支架，衔接公式记忆与实际应用。 资料以知识详解为基础，5类典例（含变式）分层训练，结合口诀深度解析与易错点总结，培养学生推理能力（数学思维）和规范表达（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后作业覆盖选择、填空、解答题，助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第20讲 诱导公式（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：诱导公式二～四 知识点02：诱导公式五、六 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：诱导公式二、三、四 题型02：诱导公式五、六 题型03：三角函数恒等式的证明——诱导公式 题型04：三角函数的化简、求值——诱导公式 题型05：正切函数的诱导公式 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】诱导公式二～四 1．公式二 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α. 2．公式三 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α. 3．公式四 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α. 注意点： (1)函数名称不变． (2)运用公式时把α“看成”锐角． (3)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z. 【例1】利用诱导公式求值： 【知识点02】诱导公式五、六 1．公式五 sin（）＝cos α， cos（）＝sin α. 2．公式六 sin（）＝cos α， cos（）＝－sin α. 注意点： (1)名称发生了变化，实现了正弦函数和余弦函数的相互转化． (2)运用公式时，把α“看成”锐角． (3)符号的变化要看把α“看成”锐角时所在的象限． 【例2】化简求值 【题型01】诱导公式二、三、四 【典例1-1】（25-26高一下·湖南株洲·期末）（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知，则_________． 【变式1-2】（多选）（24-25高一下·四川雅安·阶段检测）已知角的终边过点，则（   ） A．为第二象限角 B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列各三角函数值： (1)； (2)； (3)． 【题型02】诱导公式五、六 【典例2-1】（25-26高一下·贵州毕节·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一下·江西上饶·期中）已知，则__________. 【变式2-2】（多选）（24-25高一下·贵州遵义·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一下·广西钦州·阶段检测）已知，求的值 【题型03】三角函数恒等式的证明——诱导公式 【典例3-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 【变式3-1】求证:在△中，. 【变式3-2】证明：． 【变式3-3】已知、、为的三个内角，求证： 【题型04】三角函数的化简、求值——诱导公式 【典例4-1】（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026高一·全国·专题练习）求值：=_____. 【变式4-2】（多选）（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求. 【题型05】正切函数的诱导公式 【典例5-1】（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一下·河南驻马店·期末）（   ） A． B． C．1 D． 【变式5-2】已知函数，若___________． 【变式5-3】求值： (1)； (2)； (3)． 知识点01口诀深度解析（必考核心） 针对三角诱导公式通用形式： 1. 偶不变：当为偶数时，角度为形式，三角函数名称不变（正弦仍为正弦、余弦仍为余弦）。 2. 奇变：当为奇数时，角度为形式，正、余弦函数名互换（），正切不适用变换规则。 3. 符号看象限：默认将视为锐角，判断原三角函数在原角所在象限的正负，即为化简结果的符号，与变换后的函数无关。 知识点02诱导公式二、三、四（偶不变体系） 本组公式均为（偶数倍），函数名不变，仅改变符号。 1. 公式二（原点对称：） 2. 公式三（奇偶性：） 性质结论：正弦、正切为奇函数，余弦为偶函数。 3. 公式四（y轴对称：） 知识点03诱导公式五、六（奇变体系） 本组公式均为（奇数倍），正余弦函数名互换，无正切公式。 1. 公式五（余角关系：） 2. 公式六（） 知识点04标准化简求值流程（通用模板） 1. 负化正：利用公式三，消除角度负号，将负角化为正角； 2. 大化小：利用三角函数周期性，将任意角化为内的角； 3. 角化锐：利用诱导公式二～六，将非锐角三角函数全部转化为锐角三角函数； 4. 代值运算：代入特殊角三角函数值，完成化简、求值、证明。 知识点05本节高频易错点总结 1. 口诀误用：仅奇数倍角度变函数名，倍数角度函数名绝对不变； 2. 符号误区：符号由原角、原函数象限符号决定，与变换后的函数无关； 3. 奇偶性混淆：、变号，恒不变号； 4. 范围误区：诱导公式对任意角成立，并非仅适用于锐角，锐角仅用于判断符号。 一、单选题 1．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·广西钦州·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江西上饶·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·贵州六盘水·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东汕尾·期末）的值是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·陕西西安·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·四川南充·期中）化简表达式，结果为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若为第二象限角，且，则＝（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·全国·阶段检测）（多选）下列三角函数值与数值相同的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·河南·期末）（多选）已知，则下列正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）已知，则___________． 13．（25-26高一上·河南·阶段检测）若，则______. 14．（25-26高一下·江西赣州·期中）______． 四、解答题 15．求值： (1)； (2). 16．（25-26高一下·广西钦州·期中）求下列三角函数值： (1)cos390°； (2)； (3). 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简并求值：（其中）． 18．证明：，． 19．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）已知 (1)化简; (2)若为第四象限角，且，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 诱导公式（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：诱导公式二～四 知识点02：诱导公式五、六 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：诱导公式二、三、四 题型02：诱导公式五、六 题型03：三角函数恒等式的证明——诱导公式 题型04：三角函数的化简、求值——诱导公式 题型05：正切函数的诱导公式 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】诱导公式二～四 1．公式二 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α. 2．公式三 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α. 3．公式四 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α. 注意点： (1)函数名称不变． (2)运用公式时把α“看成”锐角． (3)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z. 【例1】利用诱导公式求值： 解：第一步：化简 变形角度：，套用公式二 第二步：化简 先利用公式三（余弦偶函数）： 角度变形：，简化为 第三步：合并计算结果 答： 【知识点02】诱导公式五、六 1．公式五 sin（）＝cos α， cos（）＝sin α. 2．公式六 sin（）＝cos α， cos（）＝－sin α. 注意点： (1)名称发生了变化，实现了正弦函数和余弦函数的相互转化． (2)运用公式时，把α“看成”锐角． (3)符号的变化要看把α“看成”锐角时所在的象限． 【例2】化简求值 解：第一步：利用公式六化简第一项 ，令 第二步：利用公式五化简第二项 ，令 第三步：整体计算 答： 【题型01】诱导公式二、三、四 【典例1-1】（25-26高一下·湖南株洲·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 【变式1-1】（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知，则_________． 【答案】 【详解】. 【变式1-2】（多选）（24-25高一下·四川雅安·阶段检测）已知角的终边过点，则（   ） A．为第二象限角 B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据象限角概念，三角函数的定义逐项判断即可. 【详解】因为角的终边过点， 所以角为第四象限，， ，， 故选：BD 【变式1-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列各三角函数值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)1； (3). 【分析】应用诱导公式及特殊角三角函数值计算求解. 【详解】（1）． （2）． （3）原式． 【题型02】诱导公式五、六 【典例2-1】（25-26高一下·贵州毕节·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，. 【变式2-1】（25-26高一下·江西上饶·期中）已知，则__________. 【答案】/0.6 【详解】. 【变式2-2】（多选）（24-25高一下·贵州遵义·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】结合选项，利用诱导公式，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，故A错误， 对于B，因为，故B正确， 对于C，， 故C错误， 对于D，因为，故D正确， 故选：BD. 【变式2-3】（25-26高一下·广西钦州·阶段检测）已知，求的值 【答案】 【分析】由及诱导公式求解. 【详解】因为，所以. 【题型03】三角函数恒等式的证明——诱导公式 【典例3-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】左边右边， 所以． 【变式3-1】求证:在△中，. 【答案】证明见解析 【分析】直接利用三角形内角和及诱导公式即可证明. 【详解】因为A，B，C为△的三个内角，所以，则. 于是. 故. 所以原等式成立. 【变式3-2】证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式来证得等式成立. 【详解】 ， ， 故等式左边，等式成立． 【变式3-3】已知、、为的三个内角，求证： 【答案】证明见解析 【分析】利用三角形的内角和定理可得出，再结合诱导公式可证得原等式成立. 【详解】证明：在中，，则. 所以， ， 故原等式得证. 【题型04】三角函数的化简、求值——诱导公式 【典例4-1】（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以. 【变式4-1】（2026高一·全国·专题练习）求值：=_____. 【答案】 【分析】根据诱导公式将任意角转化为锐角，再计算可得结果. 【详解】原式＝ . 【变式4-2】（多选）（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据三角函数的诱导公式化简求值，即可得答案. 【详解】由于，故，A错误，B正确； ，C正确，D错误， 故选：BC 【变式4-3】（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） . （2）因为， 所以. （3）. 【题型05】正切函数的诱导公式 【典例5-1】（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正切的诱导公式计算． 【详解】． 故选：C． 【变式5-1】（24-25高一下·河南驻马店·期末）（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】借助正切函数的诱导公式计算即可得. 【详解】. 故选：C. 【变式5-2】已知函数，若___________． 【答案】5 【分析】利用诱导公式即可求解. 【详解】解：因为函数， 所以，即， 所以， 故答案为：5. 【变式5-3】求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）（2）（3）由正切函数的诱导公式依次求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3）． 知识点01口诀深度解析（必考核心） 针对三角诱导公式通用形式： 1. 偶不变：当为偶数时，角度为形式，三角函数名称不变（正弦仍为正弦、余弦仍为余弦）。 2. 奇变：当为奇数时，角度为形式，正、余弦函数名互换（），正切不适用变换规则。 3. 符号看象限：默认将视为锐角，判断原三角函数在原角所在象限的正负，即为化简结果的符号，与变换后的函数无关。 知识点02诱导公式二、三、四（偶不变体系） 本组公式均为（偶数倍），函数名不变，仅改变符号。 1. 公式二（原点对称：） 2. 公式三（奇偶性：） 性质结论：正弦、正切为奇函数，余弦为偶函数。 3. 公式四（y轴对称：） 知识点03诱导公式五、六（奇变体系） 本组公式均为（奇数倍），正余弦函数名互换，无正切公式。 1. 公式五（余角关系：） 2. 公式六（） 知识点04标准化简求值流程（通用模板） 1. 负化正：利用公式三，消除角度负号，将负角化为正角； 2. 大化小：利用三角函数周期性，将任意角化为内的角； 3. 角化锐：利用诱导公式二～六，将非锐角三角函数全部转化为锐角三角函数； 4. 代值运算：代入特殊角三角函数值，完成化简、求值、证明。 知识点05本节高频易错点总结 1. 口诀误用：仅奇数倍角度变函数名，倍数角度函数名绝对不变； 2. 符号误区：符号由原角、原函数象限符号决定，与变换后的函数无关； 3. 奇偶性混淆：、变号，恒不变号； 4. 范围误区：诱导公式对任意角成立，并非仅适用于锐角，锐角仅用于判断符号。 一、单选题 1．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式结合题设可得答案. 【详解】由诱导公式，. 2．（25-26高一下·广西钦州·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式求解即可. 【详解】. 3．（25-26高一下·江西上饶·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，所以. 4．（25-26高一上·贵州六盘水·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：D 5．（25-26高一上·广东汕尾·期末）的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】因为， ， ， 所以， 故选：A 6．（25-26高一下·陕西西安·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 . 7．（25-26高一下·四川南充·期中）化简表达式，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据诱导公式化简计算可得. 【详解】由诱导公式， 所以原式. 8．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若为第二象限角，且，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知可求得，利用三角函数诱导公式可求得. 【详解】因为为第二象限角，所以， 所以，所以， 又因为，所以. 所以. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据诱导公式逐项判断即可. 【详解】由诱导公式知，，， ，， 故ACD正确，B错误. 10．（25-26高一下·全国·阶段检测）（多选）下列三角函数值与数值相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用诱导公式对各个选项化简即可. 【详解】 ． 故选：BC． 11．（25-26高一上·河南·期末）（多选）已知，则下列正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用诱导公式逐项化简判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由A的分析可得，故， 所以，故D正确； 故选：BCD 三、填空题 12．（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）已知，则___________． 【答案】 【分析】根据诱导公式求解. 【详解】因为，所以. 13．（25-26高一上·河南·阶段检测）若，则______. 【答案】 【分析】根据诱导公式化简已知条件得，再利用诱导公式求值即可. 【详解】，所以. 所以. 故答案为： 14．（25-26高一下·江西赣州·期中）______． 【答案】/ 【详解】． 四、解答题 15．求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）通过正切函数的诱导公式求解； （2）通过周期函数的周期性求解. 【详解】（1） （2） 16．（25-26高一下·广西钦州·期中）求下列三角函数值： (1)cos390°； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2）. （3）. 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简并求值：（其中）． 【答案】 【分析】利用诱导公式化简所求式即可. 【详解】 . 18．证明：，． 【答案】证明见解析 【分析】按的奇偶性分类讨论，用诱导公式变形可证． 【详解】证明：当n为偶数时，令，， 左边． 右边，∴左边=右边． 当n为奇数时，令，， 左边 ． 右边，∴左边=右边． 综上所述，，成立． 19．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）已知 (1)化简; (2)若为第四象限角，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用诱导公式、同角三角函数关系式分析求解. 【详解】（1）由 ， 所以. （2）因为，所以， 因为为第四象限角，所以, 所以， 又，所以， 所以， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $