广东江门市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次段考数学试题

江门一中2026-2027学年度第一学期第一次段考高二数学试卷 命题人：郑秀芹 审题人：施敏仪 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．10个数据的75%分位数是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 2．已知一组数据 的平均数为4，方差为 2，则数据 的平均数和方差分别为（   ） A．7，8 B．4，2 C．2，4 D．7，7 3．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数大于3”，“点数大于5”；“点数为奇数”；“点数为i”，其中.下列结论正确的是（    ） A． B． C．与互斥 D．与互为对立 4．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．已知该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如上统计图例，则以下四个选项错误的是（    ） A．周岁人群参保总费用最少 B．30周岁以下的参保人群约占参保人群的 C．54周岁以上的参保人数最少 D．丁险种更受参保人青睐 5．在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 7．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，它们之和不超过8的概率为（   ） A． B． C． D． 8．已知正方体，点，，分别在棱，，上，且，，，过，，三点的平面与棱相交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．学校对高中三个年级的学生进行调查，其中高一有100名学生，高二有200名学生，高三有300名学生，现学生处欲用分层抽样的方法抽取30名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（    ） A．高三学生被抽出15名学生进行问卷调查 B．高三学生被抽到的概率最大 C．高三学生被抽到的概率最小 D．每名学生被抽到的概率相等 10．已知，为样本空间的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的有（   ） A．事件与互斥 B．事件与独立 C． D． 11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱的中点，点E在BD上，点F在上，且，点P在线段CM上运动，下列四个结论正确的是（    ） A．直线平面 B．存在点P，使得 C．面积的最小值是 D．，，则QT的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量平行于向量，则__________． 13．如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是__________． 14．如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，，，设，. (1)若，求实数的值； (2)在方向上的投影向量（用坐标表示）. 16．长方体中，分别为中点，且. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 17．学校共有500名学生，他们的成绩在分之间，将其成绩分成，，，五组，其频数分布表和频率分布直方图如图所示． 分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 频数 50 100 150 125 m (1)求和的值；并估计该校学生这次测验的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． (2)根据频率分布直方图，若学校规定成绩为前的学生为“优秀”，试估计优秀分数线． (3)这次考试中有名学生的成绩为：．已知这8个成绩的平均数，方差，若再增加两名学生的和这个成绩，求这个成绩的平均数与标准差．（参考数据：，，） 18．某商场开展促销活动，每消费满500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同，抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件A，“乙恰好获得一个二等奖”为事件B. ①求事件A发生的概率； ②判断事件A与B是否相互独立，并说明理由. 19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，，点E，F分别为棱，的中点，G为线段上一动点（含端点）. (1)证明：平面； (2)若，点Q是三棱锥的外接球上一动点，求的取值范围； (3)设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，，求的最大值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《江门一中2026-2027学年度第一学期第一次段考高二数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B A D C C A AD BCD 题号 11 答案 BCD 1．B 【详解】因为，所以第75%分位数是第个数，即 2．A 【详解】设原数据为， 由题设得原数据的平均数，方差． 新数据满足，即． 根据平均数的线性运算性质：， 其中， 可得新数据的平均数为． 根据方差的线性运算性质：， 其中， 可得新数据的方差为． 因此新数据的平均数为7，方差为8． 3．B 【分析】利用事件的关系与运算判断A，B；利用互斥事件与对立事件的意义判断C，D作答. 【详解】因事件含有“点数为2”的基本事件，而事件不含这个基本事件，A不正确； 事件含有3个基本事件：“点数为1”，“点数为3”， “点数为5”，即，B正确； 事件与都含有“点数为6”的基本事件， 与不互斥，C不正确； 事件与不能同时发生，但可以同时不发生，与不对立，D不正确. 故选：B 4．A 【分析】根据统计图表一一分析即可. 【详解】对于选项A，由扇形统计图及折线图可知，， 故不小于周岁人群参保总费用最少，故A错误； 对于选项B，由扇形统计图可知，周岁以下参保人群约占参保人群的，故B正确； 对于选项C，由扇形统计图可知，54周岁以上的参保人数约占，人数最小，故C正确； 对于选项D，由柱状图可知，丁险种更受参保人青睐，故D正确； 故选：A． 5．D 【分析】建立空间直角坐标系，利用距离公式求解即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为， 则，，， 所以点到直线的距离为 故选：D 6．C 【详解】由题意得，， 所以，，. 又因为， 所以 ，故， 7．C 【分析】借助列举法计算即可得. 【详解】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数， 有，，，，，， ，，，共10种情况， 其中三个数之和不超过8的有： ，，，，共4种情况， 所以这三个数之和不超过8的概率为. 8．A 【分析】利用向量的线性运算求出，，，利用向量共面，即存在实数，使得，列出方程，解方程即可得到答案. 【详解】因为点，，分别在棱，，上，且，，， 则， ， 设，则， 因为四点共面，所以共面． 设存在实数，使得， 所以，，，解得，． 即，所以． 故选：A．    9．AD 【分析】确定分层抽样的抽样比可得A正确，由分层抽样遵循每个个体被抽到的概率相等的特点可得D正确. 【详解】根据分层抽样比可确定高三学生被抽出的人数为，即A正确； 抽样方法中，每种抽样方式都遵循每个个体被抽到的概率相等的特点， 每个学生被抽到的机会均为，即选项BC错误，D正确. 故选：AD 10．BCD 【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义，和事件与积事件的运算法则，逐项判断即可． 【详解】已知，则， 由. 对A：因为，所以事件与可能同时发生，故事件与不互斥，选项A错误； 对B：因为， ， 所以，所以事件与独立，选项B正确； 对C：，又， 所以，选项C正确； 对D：因为事件与互斥，事件与独立， 所以，选项D正确． 11．BCD 12． 【详解】已知向量平行于向量， 则，解得， ． 13． 【分析】建立空间直角坐标系，由异面直线向量法计算即可求解. 【详解】设正方体棱长为，以为原点，为 轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，. 由题意可得，． ， ， 所以， 即异面直线和所成角的余弦值为. 14． 【分析】以 为原点建立空间直角坐标系，把 化为坐标满足的方程，确定点 所在区域；再把 用坐标表示并配方，即可求出取值范围. 【详解】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 由 ， 得 ，，，. 设 . 因为 在长方体内部（含边界），所以 ，，. 又 ，. 由 得 ，即 ，化简得 . 由 得 ，解得 ，故 ，. 因为 ，，所以 . 又 ，代入得 . 配方得 . 因为 ，，所以当 ， 时（此时 ，符合 ）， 取最小值 . 当 ， 或 ， 时， 取最大值 . 所以 的取值范围是 . 15．【详解】（1）由题意得，， 因为，所以， 即，解得或. （2）可知，， 所以，， 所以在方向上的投影向量为. 16．【详解】（1）连接，如图所示： 因为为 中点，且， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以，所以， 在长方体中，可得平面， 因为平面，所以， 又因为分别为的中点， 可得，所以， 因为，且平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示， 由，则 由平面，所以平面的一个法向量为， 所以到平面的距离为： . 17．(1)，，平均成绩为 (2)优秀分数线约为 (3)平均数与标准差分别为和 【分析】（1）利用总人数减去前四组频数求出，用组频率除以组距得，取每组区间中点值乘以对应频率相加算出平均分； （2）前优秀对应第百分位数，累加低分段频率至后，在内列方程补齐频率，解出分数线； （3）先通过加权平均求人新均值，再由方差公式反推原人平方和，加上新增分数平方，代入方差公式求得方差后开方得到标准差． 【详解】（1）， 设该校学生这次测验的平均成绩为； （2）学校规定成绩为前的学生为“优秀”，即求第百分位数， 设优秀分数线为，，解得， 所以优秀分数线约为； （3）方法一： 这10个成绩的平均数为， 因为原8个成绩的方差， 所以， 所以10个成绩的方差， 即这10个成绩的平均数与标准差分别为和． 方法二： 原8名学生的成绩的平均数为，方差为． 再新增加两名学生的成绩的平均数为， 方差为， 此时这10个成绩的平均数为， 这10个成绩的方差为， 即这10个成绩的平均数与标准差分别为和． 18．(1) (2)①；②事件与不相互独立；理由：因为，，，所以，所以事件与不相互独立. 【分析】（1）利用古典概型概率公式，计算一等奖对应样本数占总样本数的比值即可. （2）①通过对立事件概率公式，用1减去两次均未获得一等奖的概率得到；②分别计算、、，验证是否满足独立事件判定条件即可。 【详解】（1）记个红球分别为，个白球分别为，蓝球为. 一次性摸2个球的样本空间为，共个样本点. 获得一等奖的样本点有，共个样本点. 所以甲获得一等奖的概率为. （2）乙消费1000元，共获得2次独立的抽奖机会，单次抽奖获得一等奖的概率为. ①记“乙单次抽奖获得一等奖”为事件，则“乙单次抽奖未获得一等奖”为事件， 所以，，两次均未获得一等奖的概率为， 所以. ②先计算单次抽奖各事件的概率： 按原规则获得二等奖（摸出1红1蓝）的概率为； 摸出1白1蓝的概率为； 未摸到蓝球的概率为. 事件为“恰好获得1个二等奖”，包含三类互斥情况：第一次中二等奖、第二次未摸蓝球；第二次中二等奖、第一次未摸蓝球；两次均摸出1白1蓝（仅获得额外1个二等奖），所以. 事件为“至少获得1个一等奖，且恰好获得1个二等奖”，此时仅包含两类互斥情况：第一次中一等奖、第二次中二等奖；第一次中二等奖、第二次中一等奖， 所以. 所以， 因为，即， 所以事件与不相互独立. 19．(1) 连接，取的中点，连接， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面； (2) (3) 【分析】（1）连接，取的中点，连接，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可得证； （2）确定三棱锥外接球的球心为，求出及球的半径，即可得出的范围； （3）确定直线与平面，平面，平面所成的角，再根据锐角三角函数得到，设，，利用换元法求出函数的最大值. 【详解】（1）略 （2）连接，， 因为平面，所以， 所以， 又E为的中点，所以， 由平面，平面，所以， 又，， 所以, 所以为三棱锥的外接球的球心，且球的半径， 因为，所以平面，平面， 所以，又， 所以， 所以，即. （3）连接， 由平面，则为直线与平面所成的角，即，所以， 取的中点，连接，则且， 又为中点，所以，又，所以， 由平面，平面，所以，， 又，平面，所以平面，则平面， 又，平面，所以平面， 连接，，则为直线与平面所成的角，即， 所以， 为直线与平面所成的角，即， 所以， 所以， 又，设，， 所以， 所以， 令，则， 所以 ， 因为，所以， 所以当时取得最大值，且最大值为， 所以. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $