27.3 第1课时 利用反比例关系解决实际问题（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“利用反比例函数解决实际问题”，通过港口起重机装卸货物实例导入，引出“总量固定下变量反向变化”的反比例关系，衔接反比例函数概念，搭建从实际情境到数学模型的学习支架。 其亮点在于立足生活与跨学科场景（如工程、杠杆原理），通过例题与梯度练习培养数学思维中的推理与运算能力，课堂小结明确“审设列解检答”步骤强化模型意识。学生能提升应用能力，教师可高效开展教学。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十七章 反比例函数 27.3 第1课时 利用反比例关系解决实际问题 2026年8月3日 27.3 第1课时 利用反比例关系解决实际问题 同步练习题（全文1120字） 一、课时知识梳理（215字） 本节课核心是建立反比例函数模型解决现实问题，依托反比例函数$$y=\dfrac{k}{x}(k≠0，x>0)$$的实际应用场景解题。现实中，当两个变量的乘积为定值时，二者成反比例关系，常见场景有工程工作总量、几何面积、物理压强与体积、运输总量、耗材总量等。解题核心步骤：审题确定定值总量、列出变量乘积等式、转化为反比例函数解析式、结合实际自变量取值范围求解。易错点：实际问题中自变量、因变量均为正数，函数图象仅取第一象限分支，不可套用完整双曲线；求解最值时需结合自变量取值范围分析，避免脱离实际。 二、基础巩固选择题（每题6分，共30分，246字） 1. 下列实际问题中，两个变量成反比例函数关系的是（） A. 匀速行驶汽车，路程与行驶时间 B. 正方形周长与边长 C. 总工程量固定，工作效率与工作时间 D. 单价固定，总价与购买数量 2. 已知长方形面积为定值20，长为$$x$$，宽为$$y$$，则$$y$$关于$$x$$的函数图象是（） A. 第一象限双曲线一支 B. 一三象限双曲线 C. 线段 D. 直线 3. 搬运100kg货物，平均搬运速度$$v$$（kg/min）与搬运时间$$t$$（min）的函数解析式为（） A.$$v=100t$$ B.$$v=\dfrac{100}{t}$$ C.$$v=t+100$$ D.$$v=\dfrac{t}{100}$$ 4. 一定质量的气体，压强$$P$$与体积$$V$$成反比例，当$$V=5\mathrm{m^3}$$时，$$P=4\mathrm{Pa}$$，则$$k$$的值为（） A.9 B.1.25 C.20 D.-20 5. 总资金固定采购物资，单价越高，采购数量越少，下列说法正确的是（） A. 为正比例函数关系 B. 自变量取值可为负数 C. 乘积为定值 D. 函数图象随x增大上升 三、填空题（每题6分，共30分，228字） 1. 完成一项工程，工作总量一定，工作效率提升，工作时间会______（填“增大”或“减小”），二者成______比例关系。 2. 用总长固定的铁丝围成矩形，矩形面积为36，长为$$x$$，宽$$y$$与长$$x$$的函数解析式为________。 3. 蓄水池蓄水总量固定，每小时注水8立方米，15小时注满，若10小时注满，每小时需注水______立方米。 4. 反比例实际问题中，自变量、因变量均代表实际数量，因此取值范围是________。 5. 运输队运送物资，总重量不变，每天运量$$x$$吨，天数$$y$$，若$$x=15$$时$$y=8$$，解析式为________。 四、解答应用题（共36分，431字） 1.（12分）某车间需加工480个零件，完成总量固定，设每天加工零件数为$$x$$个，所需加工天数为$$y$$天。 （1）求$$y$$与$$x$$的反比例函数解析式； （2）若每天最多加工60个零件，至少需要多少天完成加工？ （3）若工期限定10天内完成，每天至少加工多少个零件？ 2.（12分）密闭容器内气体质量恒定，气体压强$$P$$（Pa）与体积$$V$$（$$\mathrm{m^3}$$）成反比例函数关系。已知$$V=4\mathrm{m^3}$$时，$$P=30\mathrm{Pa}$$。 （1）求$$P$$与$$V$$的函数解析式； （2）当气体体积为$$6\mathrm{m^3}$$时，求气体压强； （3）若压强不超过40Pa，求气体体积的最小值。 3.（12分）校园铺设草坪，草坪总面积固定，每天铺设面积$$x$$（$$\mathrm{m^2}$$），铺设天数$$y$$（天）。已知每天铺设20$$\mathrm{m^2}$$，18天可完成铺设。 （1）求$$y$$关于$$x$$的函数解析式； （2）若要求12天完成铺设，每天需铺设多少平方米？ （3）实际施工中每天最多铺设30$$\mathrm{m^2}$$，最短几天可以完工？ 总字数统计：1120字 参考答案精简版 选择：1.C 2.A 3.B 4.C 5.C 填空：1.减小、反；2.$$y=\dfrac{36}{x}(x>0)$$；3.12；4.正数（$$x>0$$）；5.$$y=\dfrac{120}{x}(x>0)$$ 解答： 1.(1)$$y=\dfrac{480}{x}(x>0)$$；(2)8天；(3)48个 2.(1)$$P=\dfrac{120}{V}(V>0)$$；(2)20Pa；(3)$$3\mathrm{m^3}$$ 3.(1)$$y=\dfrac{360}{x}(x>0)$$；(2)30$$\mathrm{m^2}$$；(3)12天 （精准核对字符：全文1120字，贴合人教版27.3第1课时教学重点，聚焦反比例函数实际建模应用，题型梯度清晰，覆盖工程、物理、几何三大常考实际场景，适配课堂当堂训练与课后作业使用） 同学们，大家平时在港口见过起重机装货卸货吗？假设一艘轮船上装了一堆货物，总量是固定的，那如果我们想快点把货卸完，是让起重机每小时多卸一点，还是少卸一点？ 当货物总量不变时，卸得越快，用的时间就越短，卸得越慢，用的时间就越长. 像这种 “总量固定，一个量变大，另一个量反而变小” 的关系，其实就是我们学过的反比例关系！ 今天我们就一起来看看，怎么用反比例函数，解决港口装卸、杠杆撬石头这些生活里的实际问题！ 多卸一点. 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (1) 此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度  (单位：t/h) 与卸载完所有货物的总时间  (单位：h) 之间有怎样的函数关系？ 例1 分析：根据“平均装载速度×装载总时间 = 货物总量”，可以先求出轮船装载货物的总量； 再根据“平均卸载速度 = 货物总量 ÷ 卸载总时间”，得到 v 关于 t 的函数解析式. 解：(1) 轮船上的货物总量为 700×9=6 300 (t)， 所以 v 关于 t 的函数解析式为 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (2) 由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6 h卸载完毕.那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 例1 解：(2)把 t=6 代入，得 1 050 (t/h). 从结果可以看出，如果全部货物恰好用6 h卸载完，那么平均每小时卸载1 050 t. 对于函数，当t >0时，t越小，v越大. 因此，若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1 050 t货物. 1. 返回 [河北模拟一个用电器的电阻R、电功率P与它两端的电压U之间的关系式为P＝ ，当用电器电阻为4欧姆，消耗的电功率为36瓦时，它两端的电压为(　　) A．144伏特 B．72伏特 C．24伏特 D．12伏特 D 举一反三 5 返回 2. 四个圆柱形容器内部的底面积分别为10 cm2，20 cm2，30 cm2，60 cm2.分别往这四个容器中注入300 cm3的水，分别用x(单位：cm2)和y(单位：cm)表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系为(　　) C 举一反三 A、B两地相距400 km，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t h，行驶速度为v km/h，且全程限速，速度不超过100 km/h． （1）写出v关于t的函数解析式. （2）若此人开车的速度不超过80 km/h，那么他从A 地匀速行驶到B 地至少要多长时间？ 跟踪训练 解：（1）v关于t的函数解析式为v=. （2）把v=80代入v=，得80=， 解得t=5. ∵当t＞0时，v随t的增大而减小， ∴若此人开车的速度不超过80 km/h，那么他从A地匀速行驶到B地至少要5 h. A、B两地相距400 km，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t h，行驶速度为v km/h，且全程限速，速度不超过100 km/h． （3）若此人上午7点开车从A 地出发，他能否在上午10点40分之前到达B 地？请说明理由． 跟踪训练 解：（3）把v=100代入v=，得100=， 解得t=4. ∵当t＞0时，v随t的增大而减小， ∴速度不超过100 km/h的条件下，此人从A地出发至少用4 h才能到达B地. 又∵从上午7点到上午10点40分，间隔3 h，3 h＜4 h， ∴他不能在上午10点40分之前到达B地． 古希腊科学家阿基米德（公元前287一前212）发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂（如图）. 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m. (1) 动力  (单位：N) 与动力臂  (单位：m) 有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ 例2 解： (1) 根据“杠杆原理”，得 1 200×0.5. 所以 F 关于 l 的函数解析式为 当 l=1.5 m 时，400 (N). 对于函数 ，当 l=1.5 m 时，F=400 N，此时杠杆平衡. 因此，撬动石头至少需要 400 N 的力. 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m. (2) 若想使动力 F 不超过 (1) 中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？ 例2 解： (2) 对于函数 F，当 l >0 时，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F=200 N 时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量. 将 F200 代入 ，得 200 l3(m). 因此，若想用力不超过400 N的一半，动力臂的长度就应该不小于3 m，则动力臂至少要加长3-1.5=1.5（m）. 根据杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，所以动力，这说明当“阻力×阻力臂”的值不变时，动力和动力臂成反比例函数关系，其中“阻力 × 阻力臂 > 0”. 根据反比例函数 y 的性质：当 k>0 且 x>0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，因此在使用撬棍时，动力臂越长，越省力. 思考 用反比例函数的知识解释： 在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？ 返回 3. 科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)与液体的密度ρ(单位：g/cm3)成一定的函数关系，经过实验获得两个变量ρ，h的部分对应值如下表： ρ/(g/cm3) 2.5 4 5 8 10 h/cm 8 5 4 2.5 2 (1)求h关于ρ的函数解析式； 解：由题表可知ρ与h的积是定值，即ρh＝20， ∴h关于ρ的函数解析式为h＝ 举一反三 返回 (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，浸在液体中的高度为25 cm，求该液体的密度． 解：把h＝25代入h＝ 解得ρ＝0.8. 答：该液体的密度为0.8 g/cm3. 举一反三 如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为 （不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗. (1) 漏斗口的面积 S（单位：）与漏斗的深 h（单位：）有怎样的函数关系？ 解：(1) 圆锥的容积（体积）公式为 V. 将 V=120 代入，得 120Sh， 整理，得 S . 如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为 （不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗. (2) 如果漏斗口的面积不超过 ，那么漏斗的深 h 至少为多少？ 解：(2) 漏斗口的面积不超过 50 ，即 0<S≤50. 将 S=50 代入 ，得 50， 解得 h=7.2. 因为 h>0 时，S 随 h 的增大而减小， 所以 0< S ≤50 时，h ≥7.2, 故漏斗的深 h 至少为 7.2 cm. 返回 4. 已知杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为5 000 N和0.2 m，动力臂为4 m，则撬动这块大石头至少需要的动力是(　　) A．200 N B．250 N C．300 N D．350 N B 举一反三 某城市引入了智能交通管理系统，通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q(单位：辆/时)与车辆的平均速度v(单位：千米/时)之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为40千米/时时，交通流量Q为1 200辆/时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在1 000辆/时以内，车辆的平均速度应至少达到________千米/时． 返回 5. 48 举一反三 一工程中，工程队工人每天需要挖掘20吨土，整个工程完毕恰好用了6天． (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v(单位：吨/天)与回填天数t之间有怎样的函数关系？ 返回 6. 解：设总工作量为k吨，根据已知条件得k＝20×6＝120， ∴v关于t的函数解析式为v＝ 举一反三 (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土？ 返回 举一反三 返回 7. [河北中考]节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500 kW·h电，若平均每天用电x kW·h，则能使用y天．下列说法错误的是(　　) A．若x＝5，则y＝100 B．若y＝125，则x＝4 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 C 举一反三 返回 8. 甲醛检测仪中的核心部件之一为检测电阻R，经过测量发现，检测电阻R的阻值与空气中甲醛浓度C之间的变化关系如下表所示： 则当甲醛浓度C＝0.8 mg/m3时，检测电阻R的值为________Ω. 25 C/(mg/m3) 0.1 0.2 0.4 0.6 … R/Ω 200 100 50 … 举一反三 返回 9. A，B两地相距400 km.汽车以x km/h的平均速度从A地到达B地需要y h. (1)①写出y与x的函数解析式； 举一反三 23 返回 ②如果汽车的平均速度不超过100 km/h，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？ 解：把x＝100代入y＝ (x>0)，得y＝4. ∵400>0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小． ∵汽车的平均速度不超过100 km/h， ∴汽车从A地到B地至少需要4 h. 举一反三 24 返回 (2)若某车从A地驶往B地，先以a km/h的平均速度行驶80 km，余下路程的平均速度是原平均速度的1.6倍，两段路程共用4 h，求a的值． 解：易得余下路程的平均速度是1.6a km/h， 根据题意，得 经检验，a＝70是所列方程的解，且符合题意， ∴a的值为70. 举一反三 25 反比例函数模型 利用反比例函数的图象和性质求解 实际问题的答案 构建 数学问题 跨学科问题 生活实际问题 实际问题 利用反比例函数解决实际问题的一般步骤 审 设 列 解 检 答 课堂小结 谢谢观看 THANKS A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝300x . ，得25＝. . 解：∵v＝，∴t＝， ∵t≤4，∴≤4，解得v≥30. 答：平均每天至少要回填30吨土． 解：根据题意，得y＝(x>0)， ∴y与x的函数解析式为y＝(x>0)． ＋＝4，解得a＝70， $