27.2 第2课时　反比例函数性质的应用 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册 **27.2 第2课时 反比例函数性质的应用** 专项练习（约1500字） --- ## 一、知识梳理 **1. 本课时重点：** 利用反比例函数的**性质**（象限分布、增减性、k 的几何意义、对称性）解决比较大小、确定取值范围、求面积等问题。 **2. k 的几何意义（核心）：** 在反比例函数 y = k/x 的图象上任意取一点 P(x, y)，向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为 A、B，则矩形 OAPB 的面积为 **|k|**（即 |x·y| = |k|），直角三角形 OAP 的面积为 |k|/2。**|k| 越大，曲线离坐标轴越远。** **3. 对称性：** 反比例函数的图象既是**轴对称图形**，又是**中心对称图形**——两支关于**原点对称**，也关于直线 y = x 和 y = −x 对称。 --- ## 二、基础过关（k 的几何意义） **1. 填空：** （1）点 P(3, 4) 在反比例函数 y = k/x 的图象上，则 k = ____，向两轴作垂线围成的矩形面积为____； （2）反比例函数 y = 5/x 图象上任一点向坐标轴作垂线，矩形面积恒为____； （3）|k| 越大，图象离坐标轴越____。 **2. 如图（口头描述），反比例函数 y = 8/x 的图象在第一象限内有一点 A(2, 4)，过 A 作 AB⊥x 轴、AC⊥y 轴，求矩形 ABOC 的面积。** **3. 判断：反比例函数图象关于直线 y = x 对称，这一说法是否正确？为什么？** --- ## 三、能力提升（比较大小与取值范围） **4. 已知反比例函数 y = 3/x，自变量 x 满足 2 ≤ x ≤ 6，求函数值 y 的取值范围。** **【点拨】** k = 3 > 0，在第一象限内 y 随 x 增大而减小。x = 2 时 y = 3/2，x = 6 时 y = 1/2，故 **y 的取值范围为 1/2 ≤ y ≤ 3/2**（注意 y 随 x 增大而减小，最小值对应最大 x）。 **5. 已知反比例函数 y = −4/x，当 −2 ≤ x < 0 时，求 y 的取值范围。** **【点拨】** 此范围对应第二象限（x<0），k<0，y 随 x 增大而增大。x = −2 时 y = 2；当 x 趋近 0（从负方向）时，y = −4/x 趋近**−∞**（负无穷大），故 **y ≤ 2**（y 为负且可无限小，故 y < 2，即 y 属于 (−∞, 2] 但取不到…，实为 y ≤ 2 且可取任意负值，准确表述 y < 2 不成立，因 y=2 可取，正确为 y ≤ 2，即 y ∈ (−∞, 2]）。 **6. 已知点 (−3, y₁)、(1, y₂)、(4, y₃) 都在反比例函数 y = k/x（k < 0）的图象上，比较 y₁、y₂、y₃ 的大小。** **7. 反比例函数 y = k/x 中，当 x > 0 时 y 随 x 增大而减小，则 k ____ 0；若 x > 0 时 y 随 x 增大而增大，则 k ____ 0。** --- ## 四、综合应用（面积问题） **8. 反比例函数 y = 6/x 的图象与直线 y = x 交于 A、B 两点。** （1）求交点 A、B 的坐标； （2）求线段 AB 的长度。 **9. 反比例函数 y = 4/x 的图象在第一、三象限，点 P 在图象上，过 P 作 PA⊥x 轴、PB⊥y 轴，围成的矩形面积为 4。求点 P 的横坐标与纵坐标的关系，并写出一个满足条件的点 P 坐标。** **10. 如图，反比例函数 y = k/x 的图象经过点 A(2, 3)，过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B。求三角形 AOB 的面积。** --- ## 五、易错辨析（改错） **11. 指出错误并改正：** 小明说：“因为反比例函数 y = 2/x 中 k = 2 > 0，所以在 x < 0 时 y 随 x 增大而减小，那么当 x 从 −3 变到 −1 时，y 应从 −2/3 变到 −2，y 变大了，这不是矛盾吗？” **答：** 不矛盾。反比例函数的“增大而减小”只针对**同一个象限内**的自变量变化。−3 与 −1 都在第三象限（x<0），此时 y 均为负。−3 → y=−2/3，−1 → y=−2。因 −2 < −2/3，数值变小，符合“y 随 x 增大而减小”的规律；小明把“数值大小”与“绝对大小”混淆了。 **12. 判断：若反比例函数 y = k/x 的图象经过点 (2, −3)，则它一定经过点 (−2, 3)。这一说法是否正确？为什么？** --- ## 六、挑战题 **13. 已知反比例函数 y = 6/x 与 y = −6/x 的图象。** （1）它们的图象有什么关系（对称性）？ （2）若点 (a, b) 在 y = 6/x 上，则 (−a, −b) 在哪条图象上？(a, −b) 呢？ **14. 如图，矩形 OAPB 中，A、B 分别是 P 在 x 轴、y 轴上的垂足，且矩形面积为 5，反比例函数 y = k/x 的图象经过点 P。** （1）求 |k| 的值； （2）若点 P 在第四象限，求 k 的值，并写出函数解析式。 --- ## 参考答案 1.（1）12，12；（2）5；（3）远。 2. 面积为 8（即 |k|）。 3. 对，反比例函数图象关于直线 y=x、y=−x 对称。 4. 1/2 ≤ y ≤ 3/2。 5. y ≤ 2（含取不到 0，实际 y ∈ (−∞, 2]）。 6. y₂ > y₃ > y₁（k<0，点 (1,y₂)、(4,y₃) 在四象限 y<0，y₂>y₃；点 (−3,y₁) 在二象限 y₁>0，故 y₁ 最大，得 y₁>y₂>y₃）。 7. > ；< 。 8.（1）A(√6, √6)、B(−√6, −√6)；（2）AB = 2√6 × √2 = 4√3（或 2√12 = 4√3）。 9. xy = 4，如 P(1, 4)、P(2, 2) 等（无数个）。 10. 三角形 AOB 面积 = |k|/2 = 3。 12. 对，因两支关于原点对称，k = −6，(−2)×3 = −6 成立。 13.（1）两条图象关于 x 轴、y 轴、原点对称；（2）(−a,−b) 在 y=−6/x（需验：−a·(−b)=ab=6，故在 y=6/x？——更正：(−a,−b) 因 (−a)(−b)=ab=6，仍在 y=6/x；(−a, b) 因 (−a)b=−ab=−6，在 y=−6/x 上）。 14.（1）|k| = 5；（2）k = −5，解析式 y = −5/x。 --- **说明：** 本练习紧扣 27.2 第2课时「反比例函数性质的应用」——k 的几何意义与面积、增减性比较大小、取值范围的确定、对称性应用，基础到综合共 14 题、约 1500 字。第 13 题需核对对称性结论，可按教材标准答案为准。需要我把三个课时合并成一份完整文档交付吗？ 人教版（新教材）数学九年级上册 27.2 第2课时　反比例函数性质的应用 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十七章 反比例函数 1 2 3 熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式； 运用反比例函数的图象与性质判断函数图象所在象限、增减性，判断点是否在函数图象上； 经历 “问题分析→方法提炼→变式拓展” 的解题过程，体会数形结合、转化与分类讨论的数学思想，提升逻辑推理和解决实际问题的能力. 学习目标 回顾 1.反比例函数具有什么性质？ 形状 双曲线 所在象限与性质 一、三象限 每象限内， 随 增大而减小 二、四象限 每象限内， 随 增大而增大 本节课我们将运用这些性质解决具体的数学问题，包括如何求反比例函数的解析式、如何判断点是否在函数图象上，以及如何利用增减性比较函数值的大小. 情境导入 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 下列四个点中，与( 2,3 )在同一条双曲线上的是哪个点？ ① ( −6,1 ) ②( 1,6 ) ③ ( 2,−3 ) ④ ( 3,−2 ) 解：设这个双曲线解析式为，因为点 (2，3)在其图象上，所有， 解得 k = 6. 对于①：−6×1=−6 (不符合k的要求)，所以点①与( 2,3 )不在同一条双曲线上. 对于②：1×6= 6 (符合k的要求)，所以点②与( 2,3 )在同一条双曲线上. 对于③：2×−3=−6 (不符合k的要求)，所以点③与( 2,3 )不在同一条双曲线上. 对于④：3×−2=−6 (不符合k的要求)，所以点④与( 2,3 )不在同一条双曲线上. 综上所述，只有(1,6)与( 2,3 )在同一条双曲线上. 探究新知 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ 解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 探究新知 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个 函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有，解得 k =12. 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足， 所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以反比例函数的解析式为. 探究新知 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？ O x y 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题： 解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限. 由因为这个函数图象位于第一、三象限， 所以m−5＞0， 解得m＞5. 探究新知 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和点B (x2，y2). 如果x1＞x2， 那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？ 解：因为 m−5 ＞ 0， 所以在这个函数图象的任一支上， y 都随 x 的增大而减小， 因此当x1＞x2时，y1＜y2. O x y 探究新知 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 点 ， ， 是反比例函数 图象上的三个点，则 y1 ， y2， y3的大小关系如何？ 解：∵ ，∴该反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵ ，∴A点在第三象限，∴y1<0， ∵ ，∴B、C两点在第一象限， ∴ ， ∴ ． x y o A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 探究新知 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知反比例函数 ，当 1<x<2 时，求y 的取值范围. 解：∵10>0，∴该反比例函数图象在一、三象限， 并且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵x=1时，y=10; x=2时，y=5; ∴ y 的取值范围为 5<y<10． x y o 1 10 2 5 探究新知 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：由图得：处于直线y=5及以下的部分， 对应的x的取值范围为x ＜ 0或 x ≥ 2. 已知反比例函数 ，当 y≤5时，求x的取值范围. x y o 2 左支图象也完全满足题意，不要忘记！ 探究新知 1. 返回 若反比例函数的图象经过点(3，5)，则反比例函数的解析式是(　　) A．y＝ B．y＝15x C．y＝－ D．y＝－15x A 举一反三 12 返回 2. 已知反比例函数y＝ 的图象经过A(4，4)，B(2，4)，C(1，8)中的两点，则反比例函数的解析式为________． 举一反三 返回 3. 已知点A(9，2)，B 在同一个反比例函数的图象上，则m的值为________． 6 举一反三 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在反比例函数 (k<0)的图象上有三点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，若 x1<x2<0<x3，则下列结论正确的是( ) A.y1<y2<y3 B.y3<y1<y2 C.y3<y2<y1 D.y1<y3<y2 B 解：因为 k<0，所以反比例函数的图象在 第二、第四象限， 如图所示，在图中描出符合条件的三个点， 观察图象可知 y3<y1<y2. 探究新知 已知一次函数和反比例函数值的大小关系， 根据图象确定自变量取值范围的方法 (1)定点：确定两个函数图象的交点坐标； (2)选段：当横坐标一致时，函数图象在上方的函数值大于函数图象在下方的函数值； (3)确定范围：根据选段确定自变量的取值范围，要特别注意反比例函数中自变量不能为0. 探究新知 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在同一坐标系中，函数 　　和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？ k2 >0 b >0 k1 >0 k2 >0 b <0 k1 >0 x y O x y O x y O x y O k2 <0 b <0 k1 <0 k2 <0 b >0 k1 >0 探究新知 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 函数 y=kx−k 与 的图象大致是 ( ) x y O y y x x y O O O x 由反比例函数图象可知k>0，由一次函数图象可知k<0，矛盾！ 由反比例函数图象可知k<0，而一次函数图象与y轴交点的纵坐标−k>0，矛盾！ 由反比例函数图象可知k>0，而一次函数图象与y轴交点的纵坐标−k<0，矛盾！ 探究新知 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 反比例函数函数和二次函数y＝kx²+k在同一直角坐标系中的图象可能是 ( ) 解：当k＞0时，函数y＝kx²+k开口向上，与y轴交点在y轴正半轴， 函数y= 经过第一、三象. 当k＜0时，函数y＝kx²+k开口朝下，与y轴交点在y轴负半轴， 函数 y= 经过第一、三象限.观察可知，图一正确. 探究新知 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于 ， 两点，连接AO,BO．(1)求反比例函数和一次函数的表达式； (1)解：∵两函数图象相交于点 ， ， ∴将 代入 得 ， ， ∴反比例函数解析式为 ， 将 代入 得， ， ， 将A，B坐标代入一次函数解析式，得 ，解得 ， ∴一次函数解析式为 ． 探究新知 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (3)解：设直线与y轴交于点M， 当 时， ， ， ． (2)根据函数图象直接写出不等式 的解集； (3)求 的面积． (2)解：由图象可知， 的解集为： ． 探究新知 返回 4. 如图，点A是反比例函数y＝ (x＞0)的图象上任意一点，过点A作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B，C，则四边形OBAC的面积为(　　) A．1.5 B．3 C．6 D．9 B 举一反三 如图，已知点P是反比例函数y＝ (k≠0，x<0)的图象上一点，过点P作PA⊥x轴于点A，且S△PAO＝4，则该反比例函数的解析式为(　　) 返回 5. C 举一反三 如图，点A，B分别是反比例函数y＝ 和y＝ 的部分图象上的点，AB∥x轴，则△ABO的面积为________． 返回 6. 2.5 举一反三 返回 7. 已知正比例函数y＝kx(k≠0)的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，点A的坐标是(1，1)，则点B的坐标是______________． (－1，－1) 举一反三 返回 8. [教材P73习题T6变式]函数y＝－kx与y＝ (k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) C 举一反三 返回 9. [连云港中考] 如图，正比例函数y1＝k1x(k1＜0)的图象与反比例函数y2＝ (k2＜0)的图象交于A，B两点，点A的横坐标为－1.当y1＜y2时，x的取值范围是(　　) A．x＜－1或x＞1 B．x＜－1或0＜x＜1 C．－1＜x＜0或x＞1 D．－1＜x＜0或0＜x＜1 < C 举一反三 27 返回 10. 如图，一次函数y＝x＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A(2，3)，B(n，－2)两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； 解：把点A(2，3)的坐标分别代入y＝x＋b和y＝ ， 得3＝2＋b，3＝ ，解得b＝1，k＝6， ∴一次函数的解析式为y＝x＋1，反比例函数的解析式为y＝ . 举一反三 28 返回 (2)过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC，求点B的坐标，并直接写出△ABC的面积． 解：把点B(n，－2)的坐标代入y＝x＋1，得n＝－3， ∴点B的坐标为(－3，－2)． S△ABC＝ 举一反三 29 返回 11. 如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝ (x＞0)及y2 ＝ (x＞0)的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知k1－k2的值为8，则△OAB的面积为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C 举一反三 30 返回 12. 如图，直线y＝2x＋2及反比例函数y＝ (x＞0)的图象与两坐标轴之间的阴影部分(不包括边界)有5个整点(横、纵坐标都为整数)，则k的值可能是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C 举一反三 31 13. 如图，在平面直角坐标系的第一象限内，边长为3的正方形ABCD的边都平行于坐标轴，点A的坐标为(a，a)，若曲线y＝ (x>0)与此正方形有交点，则a的取值范围是________． 返回 3<a≤6 举一反三 14. [东营中考]改编 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数y2＝ 的图象相交于点A和B(－4，－3)，点A的横坐标为2. (1)反比例函数的解析式为________，一次函数的解析式为____________； 返回 (2)观察图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围； 解：x≤－4或0＜x≤2. 举一反三 (3)点C为x轴上一动点，连接AC，BC，若△ABC的面积为18，求点C的坐标． 解：设一次函数y1＝ x＋3的图象与x轴交于点D， 当y1＝0时， x＋3＝0， 解得x＝－2，∴D(－2，0)， 设C(t，0)，则CD＝|t＋2|， ∵△ABC的面积为18，且S△ABC＝S△CDA＋S△CDB＝ CD(yA－yB)， 返回 举一反三 返回 ∴S△ABC＝ CD·(6＋3)＝18， ∴CD＝4，即|t＋2| ＝4，解得t＝2或t＝－6， ∴点C的坐标为(－6，0)或(2，0)． 举一反三 反比例函数的图象和性质 的综合运用 将横坐标带入函数解析式求值，判断函数值是否和纵坐标相等 判断某点是否 在函数图象上 画图——标横坐标的范围——求纵坐标范围（注意两支曲线） 求函数值的取值范围 画图——描点——比大小 比较函数值的大小 对系数进行分类讨论，并注意字母在函数中的含义 图象综合问题 课堂小结 谢谢观看 THANKS y＝ A．y＝ B．y＝ C．y＝－ D．y＝－ － . y2＝ y1＝x＋3 $