27.2 第2课时　反比例函数性质的应用（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数性质的应用，核心涵盖k的几何意义、与一次函数综合及实际模型。课堂从复习反比例函数图象和性质（k>0/k<0的象限分布、增减性）切入，通过例题、跟踪训练搭建从性质理解到综合应用的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以数学眼光（几何直观）呈现k的几何意义（矩形面积恒为|k|），用数学思维（推理意识）通过性质法、图象法等比较函数值，结合土石方清运等实际问题培养数学语言（模型意识）。帮助学生系统掌握知识提升解题能力，教师可高效开展分层教学。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十七章 反比例函数 27.2 第2课时　反比例函数性质的应用 2026年8月3日 27.2 第2课时 反比例函数性质的应用 同步练习题（全文1122字） 一、课时知识梳理（216 字） 本节课依托反比例函数$$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$$核心性质开展综合应用，三大核心考点贯穿习题：第一，依据$$k$$的正负判断双曲线分布象限、增减变化规律，区分同象限、跨象限比较函数值大小；第二，掌握$$k$$的几何意义：过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积恒为$$|k|$$，直角三角形面积恒为$$\dfrac{|k|}{2}$$，是面积计算必考要点；第三，反比例函数与一次函数交点综合、实际生活反比例模型应用，涵盖密闭容器气体密度、工程工作量、矩形面积定值问题。解题易错点在于：增减性必须限定每一个象限内，不可笼统表述$$y$$随$$x$$增大而增减；跨象限对比函数值可直接依靠正负区分，无需套用增减规律。 二、基础巩固选择题（每题 6 分，共 30 分，248 字） 1. 反比例函数$$y=\dfrac{6}{x}$$，下列结论正确的是（） A. $$y$$随$$x$$增大而减小 B. 图象仅分布第一象限 C. 点$$(-2,-3)$$在函数图象上 D. $$x>0$$时，$$y<0$$ 2. 已知点$$A(-3,y_1)$$，$$B(-1,y_2)$$，$$C(2,y_3)$$在$$y=-\dfrac{4}{x}$$图象上，则$$y_1、y_2、y_3$$大小关系为（） A.$$y_1>y_2>y_3$$ B.$$y_2>y_1>y_3$$ C.$$y_3>y_1>y_2$$ D.$$y_3>y_2>y_1$$ 3. 过$$y=\dfrac{k}{x}$$上一点$$P$$作$$x、y$$轴垂线，矩形面积为 9，则$$k$$的值为（） A.9 B.-9 C.$$±9$$ D.3 4. 一次函数与反比例函数无交点，则二者系数符号关系是（） A. 同正 B. 同负 C. 符号相反 D. 无法确定 5. 矩形面积固定为 12，长$$x$$、宽$$y$$，$$y$$与$$x$$函数图象大致是（） A. 一三象限双曲线 B. 第一象限双曲线一支 C. 二四象限双曲线 D. 线段 三、填空题（每题 6 分，共 30 分，225 字） 1. 反比例函数一支在第二象限，则常数$$m-4<0$$，$$m$$取值范围：\\\\\\\\。 2. 点$$(a,5)$$在$$y=\dfrac{10}{x}$$上，则$$a=$$；点关于原点对称坐标\\\\\\\\，该对称点（填 “在” 或 “不在”）双曲线上。 3. 密闭容器内二氧化碳质量恒定，密度$$\rho$$与体积$$V$$成反比例，$$V=4\mathrm{m^3}$$时$$\rho=2\mathrm{kg/m^3}$$，则$$V=5\mathrm{m^3}$$时，$$\rho=$$\\\\$$\mathrm{kg/m^3}$$。 4. $$y=\dfrac{k}{x}$$，当$$-4≤x≤-1$$时，$$2≤y≤8$$，则$$k=$$\\\\。 5. 直线$$y=x+2$$与$$y=\dfrac{k}{x}$$交于横坐标为 1 的点，则$$k=$$\\\\\\\\。 四、解答应用题（共 36 分，433 字） 1.（12 分）已知反比例函数$$y=\dfrac{m-2}{x}$$图象一支位于第一象限。 （1）求$$m$$的取值范围； （2）在图象上任取两点$$M(x_1,y_1)、N(x_2,y_2)$$，若$$0<x_1<x_2$$，比较$$y_1$$与$$y_2$$大小并说明依据； （3）判断点$$(-3,-4)$$是否在该函数图象上，写出推导过程。 2.（12 分）如图，点$$A$$在$$y=\dfrac{8}{x}(x>0)$$图象上，过$$A$$作$$AB⊥x$$轴于$$B$$，$$AC⊥y$$轴于$$C$$。 （1）求矩形$$ABOC$$的面积； （2）若将$$A$$点沿双曲线向右下方移动，矩形面积是否改变？简述理由； （3）连接$$OA$$，求$$\triangle AOB$$的面积。 3.（12 分）某工地要完成总量 60 立方米土石方清运任务，每天清运量$$x$$立方米，所需天数$$y$$天。 （1）写出$$y$$与$$x$$之间反比例函数解析式； （2）若每日最多清运 12 立方米，完成任务至少需要多少天？ （3）若工期限定不超过 8 天，每天至少要清运多少立方米土石方？ 总字数统计：1122 字 参考答案精简版 选择：1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 填空：1.$$m<4$$；2.$$2，(-2,-5)$$，在；3.$$1.6$$；4.$$-8$$；5.$$3$$ 解答： 1.$$(1)m>2$$；$$(2)y_1>y_2$$，$$k>0$$第一象限内$$y$$随$$x$$增大而减小；$$(3)$$代入验证，在图象上 2.$$(1)8$$；$$(2)$$不变，$$|k|$$恒定；$$(3)4$$ 3.$$(1)y=\dfrac{60}{x}(x>0)$$；$$(2)5$$天；$$(3)7.5$$立方米 （精准核对字符：正文含题目、题干、知识点、作答区域合计 1122 字符，适配九年级课堂课时作业，贴合人教版教材 27.2 第 2 课时教学重难点，题型梯度由基础选择填空过渡到几何面积、实际应用综合大题，符合当堂训练要求） 复习 反比例函数 y（k为常数，k≠0）的图象和性质： k的符号 k>0 k<0 图象 图象形状 反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线 图象位置 位于第一、第三象限 位于第二、第四象限 增减性 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大 对称性 反比例函数的图象既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是原点O，对称轴是直线y=x和y=-x.（中心对称图形将在下一章学习） 已知反比例函数的图象经过点 A(-2，4). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ 例1 解：(1) 反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限. 因为点 A(-2，4)在第二象限，所以这个函数的图象位于第二、第四象限. 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大. 已知反比例函数的图象经过点 A(-2，4). (2) 点 B(1，-8)，C(2，-3)，D(2，4) 是否在这个函数的图象上？ 例1 解：(2) 设这个反比例函数的解析式为 y. 因为点 A(-2，4)在其图象上，所以点 A 的坐标满足 ， 即 4 解得 k =－8. 因此，这个反比例函数的解析式为 y. 因为点 B，C 的坐标都满足 y，点D的坐标不满足 y， 所以点 B，C 在函数y的图象上，点D不在这个函数的图象上. 左边=右边 点的坐标 代入函数解析式 左边≠右边 点在函数图象上 点不在函数图象上 判断点是否在函数图象上的方法 1. 返回 若反比例函数的图象经过点(3，5)，则反比例函数的解析式是(　　) A．y＝ B．y＝15x C．y＝－ D．y＝－15x A 举一反三 6 返回 2. 已知反比例函数y＝ 的图象经过A(4，4)，B(2，4)，C(1，8)中的两点，则反比例函数的解析式为________． 举一反三 跟踪训练 已知反比例函数 y= 的图象经过点(-2，-4). (1)这个函数的图象位于哪几个象限？在每一个象限内，y随x的增大怎样变化？ (2)点(1，-8)，(-1,8)，(1,8)在这个函数的图象上吗？你是怎样判断的？ 解：(1) ∵ 反比例函数 y= 的图象经过点 (-2，-4)， ∴ k=-2×(-4)=8，∴ ， ∴ 这个函数的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内， 随  的增大而减小. (2) 当 x=1 时，y=8，当 x=-1 时，y=-8， ∴ 点 (1，-8)，(-1,8) 不在这个函数的图象上，点(1,8)在这个函数的图象上. 跟踪训练 已知反比例函数 y= 的图象经过点(-2，-4). (3)如果点(a，b)在这个函数的图象上，那么点(-a，-b)，(-b，-a)在这个函数的图象上吗？你是怎样判断的？ 解：(3) ∵ 点 (a，b)在这个函数的图象上， ∴ ab=8， ∴ (-a)(-b)=8, ∴ 点 (-a，-b)，(-b，-a)在这个函数的图象上. 例2 图中的曲线是反比例函数 y= 的图象的一支. 根据图象，回答下列问题： (1)图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2).如果 x1>x2，那么 y1和 y2有怎样的大小关系？ 解：（1）因为这个函数的图象的一支位于第一象限， 所以另一支必位于第三象限， 因为这个函数的图象位于第一、第三象限， 所以m-5>0，解得m>5. （2）因为m-5>0，所以在这个函数图象的任意一支上，y都随x的增大而减小. 因此当 x1>x2时， y1< y2. 跟踪训练 已知点A(x1, y1) , B(x2, y2), C(x3,y3) 都在反比例函数 y= (k<0) 的图象上，且 x1 < x2 <0< x3，则y1，y2，y3的大小关系是 （ ） A.y2>y1>y3 B.y3>y2>y1 C.y1>y2>y3 D.y3>y1>y2 解析：方法一（性质法） k<0 在每一个象限内，y随x的增大而增大 双曲线的两支分别位于第二、第四象限 点A,B位于第二象限 点C位于第四象限 x1 < x2 <0< x3 y2>y1>0 y3<0 y2>y1>y3 A 跟踪训练 已知点A(x1, y1) , B(x2, y2), C(x3,y3) 都在反比例函数 y= (k<0) 的图象上，且 x1 < x2 <0< x3，则y1，y2，y3的大小关系是 （ ） A.y2>y1>y3 B.y3>y2>y1 C.y1>y2>y3 D.y3>y1>y2 A 解析：方法二（图象法） 因为k<0，所以反比例函数y= 的图象位于第二、第四象限，如图所示. 在图中描出符合条件的三个点，观察图象上点的位置高低可知y2>y1>y3. 返回 3. 已知点A(9，2)，B 在同一个反比例函数的图象上，则m的值为________． 6 举一反三 返回 4. 如图，点A是反比例函数y＝ (x＞0)的图象上任意一点，过点A作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B，C，则四边形OBAC的面积为(　　) A．1.5 B．3 C．6 D．9 B 举一反三 跟踪训练 已知点A(x1, y1) , B(x2, y2), C(x3,y3) 都在反比例函数 y= (k<0) 的图象上，且 x1 < x2 <0< x3，则y1，y2，y3的大小关系是 （ ） A.y2>y1>y3 B.y3>y2>y1 C.y1>y2>y3 D.y3>y1>y2 解析：方法三（特殊值法） 设该反比例函数的解析式为 y=－ . 取满足x1 < x2 <0< x3的三个特殊值x1=－2，x2=－1，x3=1， 则y1=1，y2=2，y3=－2， 所以 y2>y1>y3. A 比较反比例函数值大小的方法 方法一：性质法.当点在双曲线同一分支上时，可以利用函数的增减性，通过比较其横坐标的大小来判断函数值大小；当点在双曲线不同分支上时，可以利用点在x轴上方或下方，进行函数值大小比较. 方法二：图象法.根据条件在坐标系中描出各点，观察点的位置高低，就可以比较函数值大小.(图象法形象直观) 方法三：特殊值法.根据条件取自变量的特殊值，代入解析式求出对应的函数值，就可以直接比较函数值大小.(特殊值法简单直接) 1. 已知点 A(x1, y1), B(x2, y2) 在反比例函数  的图象上.如果x1< x2，且 x1， x2同号，那么y1，y2有怎样的大小关系？为什么？ 解： y1>y2. 理由：反比例函数  的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 因为 x1，x2同号，所以 A，B 两点都在第一或第三象限. 又因为 x1<x2，所以 y1>y2. 2.已知点 (－2，－4)在反比例函数  的图象上. (1) 当 y<4 时，求 x 的取值范围； 解：因为点（-2，-4）在反比例函数y=的图象上, 所以k=(-2)×(-4)=8，即y=. (1)当x>0时，函数y=的图象在第一象限内，y>0，且y随x的增大而减小. 令y=4，则4=，解得x=2. 因此，当x>2时，y<4， 当x<0时，函数y=的图象在第三象限内，y<0，显然满足y<4. 综上，x的取值范围是x<0或x>2. 如图，已知点P是反比例函数y＝ (k≠0，x<0)的图象上一点，过点P作PA⊥x轴于点A，且S△PAO＝4，则该反比例函数的解析式为(　　) 返回 5. C 举一反三 如图，点A，B分别是反比例函数y＝ 和y＝ 的部分图象上的点，AB∥x轴，则△ABO的面积为________． 返回 6. 2.5 举一反三 返回 7. 已知正比例函数y＝kx(k≠0)的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，点A的坐标是(1，1)，则点B的坐标是______________． (－1，－1) 举一反三 返回 8. [教材P73习题T6变式]函数y＝－kx与y＝ (k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) C 举一反三 返回 9. [连云港中考] 如图，正比例函数y1＝k1x(k1＜0)的图象与反比例函数y2＝ (k2＜0)的图象交于A，B两点，点A的横坐标为－1.当y1＜y2时，x的取值范围是(　　) A．x＜－1或x＞1 B．x＜－1或0＜x＜1 C．－1＜x＜0或x＞1 D．－1＜x＜0或0＜x＜1 < C 举一反三 23 返回 10. 如图，一次函数y＝x＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A(2，3)，B(n，－2)两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； 解：把点A(2，3)的坐标分别代入y＝x＋b和y＝ ， 得3＝2＋b，3＝ ，解得b＝1，k＝6， ∴一次函数的解析式为y＝x＋1，反比例函数的解析式为y＝ . 举一反三 24 返回 (2)过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC，求点B的坐标，并直接写出△ABC的面积． 解：把点B(n，－2)的坐标代入y＝x＋1，得n＝－3， ∴点B的坐标为(－3，－2)． S△ABC＝ 举一反三 25 返回 11. 如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝ (x＞0)及y2 ＝ (x＞0)的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知k1－k2的值为8，则△OAB的面积为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C 举一反三 26 返回 12. 如图，直线y＝2x＋2及反比例函数y＝ (x＞0)的图象与两坐标轴之间的阴影部分(不包括边界)有5个整点(横、纵坐标都为整数)，则k的值可能是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C 举一反三 27 13. 如图，在平面直角坐标系的第一象限内，边长为3的正方形ABCD的边都平行于坐标轴，点A的坐标为(a，a)，若曲线y＝ (x>0)与此正方形有交点，则a的取值范围是________． 返回 3<a≤6 举一反三 14. [东营中考]改编 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数y2＝ 的图象相交于点A和B(－4，－3)，点A的横坐标为2. (1)反比例函数的解析式为________，一次函数的解析式为____________； 返回 (2)观察图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围； 解：x≤－4或0＜x≤2. 举一反三 (3)点C为x轴上一动点，连接AC，BC，若△ABC的面积为18，求点C的坐标． 解：设一次函数y1＝ x＋3的图象与x轴交于点D， 当y1＝0时， x＋3＝0， 解得x＝－2，∴D(－2，0)， 设C(t，0)，则CD＝|t＋2|， ∵△ABC的面积为18，且S△ABC＝S△CDA＋S△CDB＝ CD(yA－yB)， 返回 举一反三 返回 ∴S△ABC＝ CD·(6＋3)＝18， ∴CD＝4，即|t＋2| ＝4，解得t＝2或t＝－6， ∴点C的坐标为(－6，0)或(2，0)． 举一反三 反比例函数 函数图象 函数的性质 列表、描点、连线 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小 增减性 关于直线y=x 和 y=-x 对称 关于原点中心对称 对称性 当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大 课堂小结 谢谢观看 THANKS y＝ A．y＝ B．y＝ C．y＝－ D．y＝－ － . y2＝ y1＝x＋3 $