北京市平谷中学2026-2027学年高二年级上学期一段考试数学试题

平谷中学2026至2027学年高二年级上学期一段考试数学试题 2026.10 第1卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分：在每个小题列出的四个选项中，选出符合题日要求的 项。) 1.直线V3x+y+1=0的倾斜角是 A.309 B.60° C.120° D.135 2.已知a=(1,飞，-2)，b=(2,2,4),若a/仍，则实数k的值为 A.-2 B.2 C.1 D.-1 3.已知直线，12,13的斜率分别是飞，k2,k3,如图所示，则 A.飞<2<% &店<店2<店C.无<%<k, A.飞<飞<t2 4.已知直线1的方程为x+2y+1=0,则过点A1,3)且与7垂直的直线方程为() A.x+2y-7=0 B.2x-y+1=0 C.x+2y-5=0 D.2x-y-5=0 5.“a=-1”是“直线：ax+4y-3=0与直线12：x+(a-3)y+2=0平行的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 D C 6.如图，在长方体ABCD-AB,C,D中，P是线段D,B上一点，且 A B BP=2DP,若AP=xAB+yAD+2AA,则x+y+2=（) C c D.1 B 7.正四棱锥P-ACD的所有棱长均为2，则侧德与底面所成角的余弦值为() 1 Dy A. 3 B 2 D.3 3 B 8.如图，在平行六面体ABCD-4BCD中，A4=AD=AB=2, ∠BAD=子，∠B4=∠AAD-于，则瓜西= A.12 B.8 B C.6 D.4 9.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外 观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四 棱柱体分成三组，经90榫卯起来若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现 将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器的半径的 最小值为 A.51 B. √5ī C.2√4] D.√4 2 3 2 10.如图，在棱长为2的正方体BCD-4BCD申，E为B,C,的中点， 点P在棱AB上运动（不与A,B重合），点Q在平面ADDA内，B⊥平 面PEC,延长BA至P',使得PP'=2,设BP=x(0<x<2),P'Q=y, 则y关于x的函数图像大致为() 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上分· 11.在空间直角坐标系中，点A(2,-1,3)关于平面xOz的对称点为B,则OA.OB=_ 12.圆心为C(-1,2),且经过点M(-3,-2)的圆的标准方程是 13.如图，在矩形ABCD中，AB=1, D A AD=√5，将△ABD沿BD所在的直线进 行翻折，得到空间四边形ABCD在翻折过 B B 程中，三棱锥A-BCD的体积的最大值 为 14.已知直线h:y~1=0,2:c-9y+2=0,若112，则k=一；若曲线y=与直线h有两个公共 点，则实数k的取值范围是 15.在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，则称点(x,y)是整点已知直线1：y=@+b,下列命题中正确的 是 ,(写出所有正确命题的编号)· ①存在只经过一个整点的直线/： ②⑧若k和b都是无理数，则直线1不经过任何整点： ③若直线1经过无穷多个整点，则斜率k一定是有理数： ④不存在只经过两个不同整点的直线1. 三、解答题（共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程) 16.(13分)已知△ABC的三个顶点A(8,5),B(4,-2),C(-6,3), (I)设D为AC的中点，求直线BD的方程； (2)求点A到直线BC的距离. 17.(13分)如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为1的正方形，P,Q分别为 SC,BD的中点，SD=2. (1)求证：PQ/平面SAD; (2)求直线SC与平面ABS所成角的正弦值. 18.（14分)已知直线1：(a-1)y=(2a-3)x+1. ()求直线1所过定点； (2)若直线1与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求1的方程. 19.（15分)如图，在三棱柱ABC-A,B,C中，四边形AACC是边长为4的 正方形，BC=BA=25,平面ABC⊥平面AACC,M是AC的中点. (1)求证：AB⊥平面AACC: (2)求直线BCG与直线BM所成角的大小： (3)求平面4BB与平面4BC夹角的余弦值， 3 20.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形， ∠ABC=120°，AB=1,PA=V5,PD⊥CD,PB⊥BD,点N在楼PC上. 条件①：BC=2; 条件②：平面PBD⊥平面ABCD. 从条件①和②中选择一个作为已知，解决下列问题： (1)判断AB与PB是否垂直，并证明； (2)若点N为棱PC的中点，点M在线段AN上，且.点M到 平面BDN的矩离为V5 求线段BM的长： (3)求直线AC与平面BDN所成角的正弦值的取值范围. 21.(15分)对于三维向量a=(,k,2)(x,%,2∈N,k=0,1,2,…),定义“F变换”：aki=Fa4,其中， 州=-=-221=s-.记（回）=x2,回网=x+%+& (1)若a=(3,12),直接写出(@)及回的值： (2)证明：对于任意a。,经过若干次F变换后，必存在K∈N°，使(aK=0; (3)已知a=(,2,9(9≥p,同可=2024，将a再经过m次F变换后，回最小，求m的最小值。 4