精品解析：北京市北京学校、中国人民大学附属中学通州校区2026-2027学年高二第一学期高二年级十月考自主命题试卷

北京学校、人大附中通州校区2026～2027学年度 第一学期高二年级十月考自主命题试卷 一、选择题选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. 若表示圆的方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的一般式满足的条件即可列不等式求解. 【详解】因为方程表示一个圆，所以， 解得， 所以的取值范围是. 故选：D 2. 在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则t＝（ ） A. 3 B. －3 C. 1 D. －1 【答案】B 【解析】 【分析】由得到与垂直，进而得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以与垂直， 故，解得. 故选：B． 3. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 4. 如图，在直三棱柱中，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】如图示，以为原点，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则. 所以. 所以直线与直线夹角的余弦值为. 故选：A 5. 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合斜率、倾斜角之间的关系分析求解. 【详解】因为直线恒过点， 直线与坐标轴的交点分别为， 直线的斜率，此时倾斜角为； 直线的斜率不存在，此时倾斜角为； 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 6. 直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知当时，原点到直线的距离最大，利用两直线垂直斜率的关系可求得实数的值. 【详解】直线方程可化为， 由可得， 所以，直线过定点， 当时，原点到直线的距离最大，且， 又因为直线的斜率为，解得. 故选：B. 7. 设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点（P与 A， B 不重合），则面积的最大值是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方程求解定点坐标，根据两直线垂直可得勾股定理，进而根据基本不等式求解最值即可. 【详解】由题意可知,直线变形为，故，故， 由于直线与直线互相垂直，所以, 故，因此,当且仅当时取到等号，因此. 8. 已知三棱锥的所有棱长均为，为的中点，空间中的动点满足，，则动点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意建系，求出相关点的坐标，由，推得动点的轨迹为球被平面截得的圆，利用点到平面的距离公式与垂径定理计算即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，取， 则三棱锥的棱长均为，符合题意. 因点为的中点，则，设点. 因，则点在以为直径的球的球面上， 故球心为，球的半径为. 又因，则， 即点又在平面上，故点的轨迹为球被平面截得的圆. 因球心到平面的距离为， 则截面圆的半径为， 故动点的轨迹为截面圆的周长，即. 9. 已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对称思想将轴上点到两圆心的距离和转化为两点间距离，再减去两圆半径之和即可求得最小值. 【详解】由题意可得圆的圆心，半径，， 圆的圆心，半径，， 则， 当且仅当在线段上、在线段上时，等号成立， 作关于轴对称点， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 故的最小值为. 10. 已知是正方体内切球（球在正方体内且与正方体的六个面都相切）的一条直径，点在正方体体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将正方体内切球半径，根据空间向量的运算化简为，结合题意得的取值范围，即可得答案. 【详解】由题意设正方体中心为，即为正方体内切球球心，则为的中点， 因为正方体的棱长是，故，则内切球半径为， 则 ， 由于点在正方体表面上运动，当位于正方体顶点时取得最大值，位于内切球与正方体的切点处时取最小值， 故，， 则，即的取值范围为. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 已知直线，，若，则实数_____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直线垂直的充要条件列式计算即得. 【详解】直线，，由，得， 所以或. 故答案为：或 12. 已知正方体中，点为的中点，若，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】通过空间向量的线性运算将用表示，对比系数求出的值后计算和. 【详解】如图所示，在正方体中， 由，且为的中点，可得. 又，代入上式得： ， 因为，所以，， 因此. 13. 已知向量，单位向量满足，则，的夹角为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据模长公式可求解数量积，再根据夹角公式求解. 【详解】由，可得， 故， 所以，由于，故. 14. 空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则平面的一个法向量为__________，直线l与平面所成角的正弦值为__________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】先求出三个平面的法向量，设两平面的交线的方向向量为，并求出其坐标，即得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】∵平面的方程为， ∴平面的法向量可取， 又平面的法向量为， 平面的法向量为， 设两平面的交线的方向向量为，由， 令，则，则， 令直线与平面所成角的平面角为， 则. 故答案为：； 15. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义、两点之间的“直角距离”为若点，则=_________；已知点，点是直线上的动点，的最小值为_________ 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】直接利用新定义求出的值；设出的坐标，利用新定义表示，然后分类讨论并结合函数图象即可求解． 【详解】解：由题意可知：； 设直线上的任意一点坐标，则， 要求它的最小值即是求的最小值， 画出此函数的图象，由图分析得： 当时，最小值为； 当时，最小值为． 所以最小值是， 故答案为：4；． 三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 16. 已知空间四点. （1）求和的值; （2）若点在平面ABC内，请直接写出的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算可求得，利用，可求； （2）由已知可得，根据向量共面的充要条件得出方程组，求解即可得出答案. 【小问1详解】 且， ， ， .. 即； 【小问2详解】 由（1）知，又， 因为点在平面ABC内，共面， 所以根据向量共面的充要条件可知，存在，使， 所以，解得. 17. 已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点． （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线方程． （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先确定点坐标，然后通过两点，的坐标确定方程； （2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程； （3）求解直线的方程，由点到直线的距离求解点到直线的距离，求解的长度，再由即可求解. 【小问1详解】 因为为边的中点，所以，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 直线的斜率，且不在直线上， 故求经过点且与直线平行的直线方程为，即. 【小问3详解】 由（2）可得知，，则直线的方程为， 即：，则点到直线的距离为， 的长度为，则. 18. 如图，在四棱锥中，直线平面.，，，，，平面平面，F为线段的中点，E为线段上一点. （1）证明：； （2）证明：； （3）是否存在点E，使得点E到平面的距离是，若存在求出的值，若不存在请说明理由. 【答案】（1）证明：因为平面，平面，平面平面， 所以； （2）证明：因为，F为线段的中点， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）由直线平面，结合线面平行的性质可证得结论； （2）由题意可得，再由平面平面，结合面面垂直的性质定理可证得平面，再利用线面垂直的性质可证得结论； （3）由题意可证得两两垂直，则以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取的中点，连接，过作‖，交于， 因为F为线段的中点，，所以‖， 因为，所以，所以， 由（2）可知平面，平面， 所以， 所以两两垂直，所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为‖，，， 所以四边形为矩形， 所以， 因为，所以, 因为，所以， 所以， 因为，，所以为等边三角形， 所以，， 设，则， 因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 若点E到平面的距离是，则， 所以，解得， 所以， 所以. 【点睛】 19. 已知直线，，，直线交轴于点，交轴于点，坐标原点为． （1）证明：直线过定点； （2）若直线在轴上截距小于0，在轴上截距大于0．设的面积为，求的最小值及此时直线的方程； （3）直接写出的面积（）在不同取值范围下直线的条数． 【答案】（1）定点为； （2）的最小值为4，此时直线l的方程为； （3）当时，直线l有2条； 当时，直线l有3条； 当时，直线l有4条. 【解析】 【分析】 （1）令，可得，即得出定点； （2）分别求出直线在轴和轴的截距，求出面积，利用基本不等式即可求出最值； （3）将表示出来，则直线的条数等价于与的交点个数，利用图象可求出. 【详解】（1）直线的方程可变形为，由，可得， 直线过定点； （2）当时，；当时，， ， 由题，解得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为4，此时直线l的方程为； （3）由（2）， 令，则直线的条数等价于与的交点个数， 画出函数图象， 由图可知，当时，直线l有2条； 当时，直线l有3条； 当时，直线l有4条. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积问题，第二问主要利用基本不等式求出最值，第三问的关键是将问题转化为与的交点个数，从而可利用数形结合的方式求出. 20. 如图，已知直三棱柱，，，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）点在平面内，且，再从条件①、条件②、条件③这几个条件中选择一个作为已知，使得唯一确定，求平面与平面的夹角的余弦值． ①；②；③平面． 注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）取的中点，连接和． 在中，分别为和的中点，则且， 又因为且为中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面． （2）不能选择条件③，选择①或②， 【解析】 【分析】（1）取的中点，构造平行四边形，证明，再利用线面平行判定定理即可证出结论； （2）先根据推出点在直线上，再分别验证三个条件，条件①②均可唯一确定，条件③无法确定；选定条件后求出两个平面的法向量，再利用向量夹角公式即可得到两个平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 易知两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 取的中点，则．连接，则， 又点在平面内，且， 所以，可设，， 则，即． 选择①： 因为， 又因为， 所以， 解得． 选择②： 因为， 又因为，所以，即，解得． 则， 则，，． 设平面与平面的法向量分别为， 则，， 取，可得， 设平面与平面的夹角为， 则． 选择③平面： 连接，因为直线，所以平面， 即平面与平面为同一平面． 因为，平面，平面， 所以平面，即平面． 所以选择③不能确定点的位置，即不能选择条件③解决问题． 21. 已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； （1）若，判断是否为集合的完美子集； （2）若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； （3）若集合为集合的完美子集，证明：. 【答案】（1）不是的完美子集，是的完美子集 （2）证明：反证法：设A的元素和为S,若,考察包含A的元子集. 由于A的任意两个子集元素之和不等，且B的任意一个包含16的子集元素和比B的任意个不包含16的子集元素和大， 从而B的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而. 又满足条件，此时，从而的最小值为16. （3）证明：， 假设若，则的非空子集有个， 而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾． 假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内 (因为任意一个这样的和小于，且由知：，，，不同时属于) 若，则由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 若则由知．，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾， 若和都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和． 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 综上所述，． 【解析】 【分析】（1）验证两个条件即可； （2）用反证法证明； （3）根据集合的新定义结合反证法证明即可. 【小问1详解】 中任意子集之和可以是，，，，，均互不相等，满足性质①， 是再添一个不在中但在中的元素，取，， 的不同子集元素和分别为： ， 没有和相等的子集，所以不满足性质②，不是的完美子集； 的任意子集之和可以是， 均互不相等，满足性质①， 对于性质②，对任意，， 任意子集之和组成的集合为 当,存在的子集的元素和等于，只要取的两个子集为， 即可满足条件，而当，，取子集和即可， 所以是的完美子集； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京学校、人大附中通州校区2026～2027学年度 第一学期高二年级十月考自主命题试卷 一、选择题选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. 若表示圆的方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则t＝（ ） A. 3 B. －3 C. 1 D. －1 3. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在直三棱柱中，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 7. 设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点（P与 A， B 不重合），则面积的最大值是（ ） A. B. 5 C. D. 8. 已知三棱锥的所有棱长均为，为的中点，空间中的动点满足，，则动点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知是正方体内切球（球在正方体内且与正方体的六个面都相切）的一条直径，点在正方体体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 已知直线，，若，则实数_____. 12. 已知正方体中，点为的中点，若，，则______． 13. 已知向量，单位向量满足，则，的夹角为_____． 14. 空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则平面的一个法向量为__________，直线l与平面所成角的正弦值为__________． 15. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义、两点之间的“直角距离”为若点，则=_________；已知点，点是直线上的动点，的最小值为_________ 三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 16. 已知空间四点. （1）求和的值; （2）若点在平面ABC内，请直接写出的值. 17. 已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点． （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线方程． （3）求的面积． 18. 如图，在四棱锥中，直线平面.，，，，，平面平面，F为线段的中点，E为线段上一点. （1）证明：； （2）证明：； （3）是否存在点E，使得点E到平面的距离是，若存在求出的值，若不存在请说明理由. 19. 已知直线，，，直线交轴于点，交轴于点，坐标原点为． （1）证明：直线过定点； （2）若直线在轴上截距小于0，在轴上截距大于0．设的面积为，求的最小值及此时直线的方程； （3）直接写出的面积（）在不同取值范围下直线的条数． 20. 如图，已知直三棱柱，，，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）点在平面内，且，再从条件①、条件②、条件③这几个条件中选择一个作为已知，使得唯一确定，求平面与平面的夹角的余弦值． ①；②；③平面． 注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分． 21. 已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； （1）若，判断是否为集合的完美子集； （2）若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； （3）若集合为集合的完美子集，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $