精品解析：北京市平谷区第五中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷

平谷五中2025-2026学年度第一学期第三次月考试卷 高二（数学） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 直线的斜率为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程化成斜截式，可得直线斜率. 【详解】由. 所以直线斜率为. 故选：C 2. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】从五个球中任取两个， 共有种取法， 其中1，2；1，5；2，4，三种取法数字之和为3或6， 利用古典概型可得取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是， 故选C. 【点睛】在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率. 3. 直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把直线方程整理为，根据题意，列出方程组，求解即可. 【详解】根据题意，把直线方程整理，得， 令，解得，所以当变动时，所有直线恒过定点. 故选：C 4. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 5. 已知双曲线,则C的焦点到其渐近线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程,根据双曲线的对称性,取其中一个焦点坐标和渐近线即可,根据点到直线的距离公式求出结果即可. 【详解】解:由题知双曲线, 即, 故焦点坐标为, 渐近线方程为:, 即, 由双曲线的对称性, 不妨取焦点到渐近线的距离, 故焦点到其渐近线的距离为. 故选:B 6. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 抛物线交点坐标为，算出即可. 【详解】由，得，故抛物线的焦点坐标为. 故选：D. 【点睛】本题考查抛物线的定义及方程，求抛物线焦点坐标时，一定要注意将方程标准化，本题是一道基础题. 7. 在等差数列中，已知，那么这个数列前100项的和等于（ ） A. 170 B. 145 C. 120 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，由奇数项之和与公差可求出偶数项之和，两者相加即为该数列前100项的和. 【详解】因为， 所以 故选：B. 8. 设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如 果直线AF的斜率为,那么|PF|= A. B. 8 C. D. 16 【答案】B 【解析】 【详解】设A（-2，t），∴，∴∴8 9. 等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：由题意可得an=512•，则|an|=512•，|an|=1，得n=10，∴|Πn|最大值在n=10之时取到，因为n＞10时，|an|＜1，n越大，会使|Πn|越小．所有n为偶数的an为负，故所有n为奇数的an为正，由此能求出最大的是Π9． 详解：∵在等比数列{an}中，a1=512，公比q=﹣，∴an=512•，则|an|=512•． 令|an|=1，得n=10，∴|Πn|最大值在n=10之时取到，因为n＞10时，|an|＜1，n越大，会使|Πn|越小． ∴n为偶数时，an为负，n为奇数时，an为正． ∵Πn=a1a2…an，∴Πn 的最大值要么是Π10，要么是Π9． ∵Π10 中有奇数个小于零的项，即a2，a4，a6，a8，a10，则Π10＜0， 而 Π9 中有偶数个项小于零，即a2，a4，a6，a8，故 Π9 最大， 故答案为：C 点睛：本题考查等比数列的通项公式的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行转化，属于中档题．解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律． 10. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据线面角的定义求得，从而依次求，，，，再把所有棱长相加即可得解. 【详解】如图，过做平面，垂足为，过分别做，，垂足分别为，，连接， 由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和， 所以. 因为平面，平面，所以， 因为，平面，， 所以平面，因为平面，所以，. 同理：，又，故四边形是矩形， 所以由得，所以，所以， 所以在直角三角形中， 在直角三角形中，，， 又因为， 所有棱长之和为. 故选：C 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】先求椭圆的右焦点，再根据抛物线的焦点坐标求的值. 【详解】对椭圆，，所以， 所以椭圆的右焦点坐标为， 又抛物线的焦点为， 由. 故答案为：4 12. 已知点在直线上，则的最小值为_______. 【答案】3 【解析】 【分析】将的最小值转化为原点到直线的距离来求解. 【详解】可以理解为点到点的距离，又∵点在直线上，∴的最小值等于点到直线的距离，且. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题. 13. 已知双曲线的渐近线方程为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可； 【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为， 则，，又双曲线的渐近线方程为， 所以，即，解得； 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】问题转化为圆的圆心到直线的距离的最大值加上圆的半径即可得到. 【详解】因为点的轨迹是圆心在原点,半径为1的圆, 直线过定点,如图所示: 过作,垂足为, 则, 所以,取等的条件是与重合,此时. 故答案为3. 【点睛】本题考查了数形结合思想,点到直线的距离,圆的方程,直线过定点,属于中档题. 15. 已知曲线.关于曲线的几何性质，给出下列四个结论： ① 曲线关于原点对称； ② 曲线围成的区域（不含边界）内恰好有8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③ 曲线围成区域的面积大于8； ④ 曲线上任意一点到原点的距离都不小于． 其中正确结论的序号是_________________ . 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对①：将代入，依旧满足该方程即可得；对②，由曲线可得，将所有整点求出即可得；对③，借助对称性，证明该曲线在第一象限部分面积大于直线与坐标轴围成的面积即可得；对④由基本不等式可得，进而可得. 【详解】曲线，将换成，将换成，方程不变， 故曲线关于原点对称，①正确； ，得，要使均为整数， 则可得整点有、、、共9个，故②错误； 曲线，将换成，方程不变，故曲线关于轴对称， 故曲线围成区域的面积大于8，只需在曲线第一象限的面积大于2， 当，时，，得， 故，因与轴，轴构成的三角形面积为， 故曲线围成区域的面积大于8，故③正确； 由对称性，根据得，得， 故曲线上的点到原点的距离为，故④正确， 故答案为：①③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知的三个顶点分别为，求： （1）所在直线的方程； （2）过点与边平行的直线方程； （3）边的垂直平分线的方程． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据的坐标即可求得直线的斜率，利用点斜式可得所求方程； （2）根据平行可设所求方程，再将点的坐标代入可得所求方程； （3）根据垂直可求得斜率，再求得线段的中点坐标，根据点斜式可得所求方程. 【小问1详解】 如图，因为，所以直线的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为所求直线与直线平行， 由（1）知可设所求直线方程为， 又直线过点， 所以将的坐标代入可得，解得， 所以所求直线方程为. 【小问3详解】 因为，且其斜率都存在， 所以，解得. 又直线过线段的中点， 由点斜式可得直线的方程为，即. 17. 为了解两个购物平台买家的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得平台问卷100份，平台问卷80份．问卷中，对平台的满意度等级为：好评、中评、差评，对应分数分别为：5分、3分、1分，数据统计如下： 好评 中评 差评 A平台 75 20 5 B平台 64 8 8 假设用频率估计概率，且买家对平台的满意度评价相互独立． （1）估计买家对平台的评价不是差评的概率； （2）从所有在平台购物的买家中随机抽取2人，从所有在平台购物的买家中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出好评的概率； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中数据，用频率估计概率，直接计算求解即可； （2）计算出买家对平台好评的概率，明确4人中恰有2人给出好评的情况有哪几种，根据互斥事件以及相互独立事件的概率计算即可. 【小问1详解】 设“买家对平台的评价不是差评”为事件， 由统计表可知. 【小问2详解】 设“这4人中恰有2人给出好评”为事件， 由统计表可知买家在平台好评的概率为，在平台好评的概率为， 事件包括：平台2个好评，平台0个好评；平台1个好评，平台1个好评； 平台0个好评，平台2个好评； 所以. 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，分别是的中点，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明： 证明：取中点，连接，如上图： 又因为为的中点，所以且， 因为底面为矩形，为的中点，故， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，利用线线平行证明直线与平面平行. （2）以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用向量法求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，底面为矩形，平面平面，， 平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 又因为，取的中点为，连接， 则有，所以，所以， 则，所以，平面，故， 所以可知两两垂直，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图， 则， 于是，而平面的一个法向量为， 显然，又平面， 由（1）知，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 显然平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角的余弦值为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知是等差数列，是等比数列，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）求数列前项和的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）75. 【解析】 【分析】（1）根据得到的通项公式，进而可得的通项公式； （2）由（1）中的通项公式可得的通项公式，分组求和； （3）根据等差数列的求和公式可得的表达式，根据二次函数的性质可得的最大值. 【小问1详解】 因为， 所以等比数列的公比为，所以. 所以， 所以等差数列的公差为， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以 . 【小问3详解】 由等差数列的前项和公式知 ， 由二次函数的性质知，当时，取得最大值75. 20. 已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若直线BD的斜率为0，求t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，进一步得，由此即可得解； （2）设，，联立椭圆方程，由韦达定理有，而，令，即可得解. 【小问1详解】 由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； 【小问2详解】 直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 21. 已知椭圆． （1）求椭圆的离心率； （2）设为原点，若点在直线上，点在椭圆上，且，求线段长度的最小值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由椭圆C的方程可以求椭圆C的离心率（2）设椭圆C的椭圆方程，结合，得出结果. （1）由题意，椭圆C的标准方程为， 所以，从而， 因此，故椭圆C的离心率. （2）设点A，B的坐标分别为，其中， 因为，所以，即，解得，又， 所以== ==， 因为，且当时间等号成立，所以， 故线段AB长度的最小值为. 考点：本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、两点距离公式、不等式等基础知识，试题注重了知识的结合，考查了平面向量与圆锥曲线的结合、不等式与函数的结合等，有一定的综合性，考查转化与化归等数学思想，考查正确的计算能力，考查同学们分析问题与解决问题的能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平谷五中2025-2026学年度第一学期第三次月考试卷 高二（数学） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 直线的斜率为（　　） A. 2 B. C. D. 2. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知双曲线,则C的焦点到其渐近线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 在等差数列中，已知，那么这个数列前100项的和等于（ ） A. 170 B. 145 C. 120 D. 80 8. 设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如 果直线AF的斜率为,那么|PF|= A. B. 8 C. D. 16 9. 等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是 A. B. C. D. 10. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则___________． 12. 已知点在直线上，则的最小值为_______. 13. 已知双曲线的渐近线方程为，则__________． 14. 在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为______. 15. 已知曲线.关于曲线的几何性质，给出下列四个结论： ① 曲线关于原点对称； ② 曲线围成的区域（不含边界）内恰好有8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③ 曲线围成区域的面积大于8； ④ 曲线上任意一点到原点的距离都不小于． 其中正确结论的序号是_________________ . 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知的三个顶点分别为，求： （1）所在直线的方程； （2）过点与边平行的直线方程； （3）边的垂直平分线的方程． 17. 为了解两个购物平台买家的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得平台问卷100份，平台问卷80份．问卷中，对平台的满意度等级为：好评、中评、差评，对应分数分别为：5分、3分、1分，数据统计如下： 好评 中评 差评 A平台 75 20 5 B平台 64 8 8 假设用频率估计概率，且买家对平台的满意度评价相互独立． （1）估计买家对平台的评价不是差评的概率； （2）从所有在平台购物的买家中随机抽取2人，从所有在平台购物的买家中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出好评的概率； 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，分别是的中点，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知是等差数列，是等比数列，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）求数列前项和的最大值． 20. 已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若直线BD的斜率为0，求t的值． 21. 已知椭圆． （1）求椭圆的离心率； （2）设为原点，若点在直线上，点在椭圆上，且，求线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $