3.1.2椭圆的简单几何性质（2）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2 椭圆的简单几何性质（2） 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 1 学习目标 目标导航 1. 能综合运用椭圆的定义、方程和几何性质，从实际问题情境中抽象出椭圆模型，建立坐标系 并求解，体会数学建模的基本过程 2. 能从第一定义出发，通过代数推导发现椭圆的第二定义，理解准线、离心率与第二定义常 数的关系； 3. 能推导焦半径公式 ∣PF1∣=a+ex0 ，∣PF2∣=a−ex0 ，并能运用焦半径公式解决相关问题； 4.能利用椭圆的定义、余弦定理和焦半径公式推导焦点三角形的周长和面积公式，并能运用 公式解决相关问题； 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 2 内容解析 单元大观念： “代数与几何的统一” ——用方程的语言描述曲线的位置、形状和大小，用代数运算揭示几何规律，用几何直观解释代数表达。 单元大概念： 圆锥曲线是“代数与几何的统一体” ——定义给出统一的几何生成方式，方程给出统一的代数表达，性质给出统一的研究路径。椭圆、双曲线、抛物线共享“定义—方程—性质—应用”的研究结构。 单元大问题： 综合应用是知识结构化的高级形态 ——第二定义以离心率为纽带统一了焦点与准线，焦半径以方程为工具量化了距离，焦点三角形以余弦定理为桥梁连接了定义与度量，实际问题以坐标法为手段实现了数学与现实的对话。四者共同指向“用代数研究几何，用几何启发代数”的核心策略。 本课大问题： 如何用椭圆的定义与性质解决综合问题和实际问题？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 3 内容解析 数学本质： 圆性质的综合应用，本质上是将椭圆的定义（第一定义与第二定义）、标准方程、几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）、焦半径、焦点三角形以及直线与椭圆的位置关系等知识进行整合，在解决综合问题和实际问题的过程中，实现“几何条件代数化—代数运算结构化—代数结论几何化”的双向转化。第二定义揭示了椭圆与准线、离心率之间的内在统一性，焦半径公式是定义与方程之间的桥梁，焦点三角形是定义与余弦定理的综合应用。其核心是“数形结合”思想在复杂情境中的灵活运用，体现了数学知识从“碎片化”走向“结构化”的认知升华。 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 4 【环节一】锚定大问题，构建整体学习视野 核心问题： 如何用椭圆的定义与性质解决综合问题和实际问题？ 子问题 子问题 1：椭圆除了“到两定点距离之和为常数”的定义外，还能怎样定义？ 子问题 2：椭圆上任意一点到焦点的距离能否用坐标简洁地表示？ 子问题 3：椭圆上一点与两个焦点构成的三角形有哪些重要性质？ 子问题 4：离心率如何统一刻画椭圆的形状？它在实际问题中如何发挥作用？ 子问题 5：这些综合问题的解决体现了怎样的数学思想？如何迁移？ 引言：上一节课我们分别研究了椭圆的哪些内容？ 椭圆的离心率在其中扮演了什么角色？ 【环节二】复习回顾，明确研究方向 追问1：椭圆的定义、标准方程、几何性质分别是什么？ 追问2：离心率 e= 刻画了椭圆的什么特征？当e 变化时，椭圆形状如何变化？ 追问3：椭圆上一点P 到左焦点F1的距离∣PF1∣，能否用P 的坐标来表示？它与 离心率有什么关系？ P 例1 如图示, 一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分, 过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分, 灯丝位于椭圆的一个焦点F1上, 片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线, 经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2 . 已知BC⊥F1F2 , |F1B|=2.8 cm, |F1F2|=4.5 cm. 试建立适当的平面直角坐标系, 求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1 cm). 解: 建立如图所示的平面直角坐标系, 设所求椭圆方程为 在Rt△BF1F2中， 由椭圆的性质知， 所以，所求的椭圆方程为 【环节三】逐层探究，建构方法 例题3：已知是椭圆的左焦点，是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值为______，最小值为________． 解析：椭圆方程化为，设是椭圆的右焦点，则， ∴，∴， 又， (当三点共线时等号成立)， ． 【【环节三】逐层探究，建构方法 例2：已知椭圆，点是椭圆上一点，则的周长为______； 变式1：点到焦点的距离为4，则到另一个焦点的距离为_______. 变式2：此时，点的坐标为_________________________； 或 解：由题意知a=3，则到另一个焦点的距离为. 解：周长为. 【【环节三】逐层探究，建构方法 例4 动点M(x, y)与定点F(4, 0)的距离和M到定直线l : 的距离的比是常数 求动点M的轨迹. 直接法 O x y M H F l • d 解: 【【环节三】逐层探究，建构方法 平面内的动点M(x, y)到定点F2(c, 0)的距离与它到定直线 的距离的比是常数 则点M的轨迹是椭圆. 椭圆的第二定义 其中，定点F2(c,0)是椭圆的焦点； 定直线 叫做椭圆的准线； 常数 是椭圆的离心率. O x y M H F2 l • d F1 • l′ 【【环节三】逐层探究，建构方法 证明： 说明：|PF1|, |PF2|称为椭圆的焦半径，此公式称为焦半径公式 . y x F2 F1 O P • • • 【【环节三】逐层探究，建构方法 y x F2 F1 O M • • • y x F2 F1 O M • • • 【【环节三】逐层探究，建构方法 1、椭圆的通径是通过焦点的最短的焦点弦 2、焦点在轴或轴上，通径长都为 拓展：椭圆的通径: 椭圆的通径: 若过椭圆 的其中一个焦点且垂直于焦点所在坐标轴的直线与椭圆交于两点, 则被椭圆截得的弦叫做椭圆的通径 y O F1 F2 x P Q • • 通径 【【环节三】逐层探究，建构方法 • • 例5 求下列椭圆焦点坐标和准线方程； 解：(1)∵a=5，b=4，c=3，∴焦点坐标是：(-3，0)、(3，0) 准线方程为： (2)∵a=4，b=2，c= ，∴焦点坐标是： 准线方程为： 【【环节三】逐层探究，建构方法 例2：已知椭圆，点是椭圆上一点，则的周长为______； 变式1：点到焦点的距离为4，则到另一个焦点的距离为_______. 变式2：此时，点的坐标为_________________________； 或 【【环节三】逐层探究，建构方法 焦点三角形：椭圆上的点与两焦点，构成的，，的面积为. (1)、叫做焦半径，且此时，， 、； (2)焦点三角形的周长为； (3)当为短轴端点时，最大: (4) 点为短轴端点时，有最大值. 【【环节三】逐层探究，建构方法 H 【【环节三】逐层探究，建构方法 【【环节三】逐层探究，建构方法 【【环节三】逐层探究，建构方法 【【环节三】逐层探究，建构方法 例8:已知椭圆的左焦点,​​​​ 是两个顶点, 如果到直线的距离为 , 求椭圆的离心率 . 求离心率，就是要建立a、b、c的关系式 【【环节三】逐层探究，建构方法 例9　(1)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为_____. 解　方法一　由题意可设|PF2|＝m， 结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m， 故离心率e＝＝＝＝＝. 方法二　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c， 将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±， 所以|PF2|＝. 又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|， 故2c＝· 变形可得(a2－c2)＝2ac， 等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e， 解得e＝或e＝－(舍去). 【【环节三】逐层探究，建构方法 (2)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是以F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2＝2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是________． 解　由题意知△PF1F2为直角三角形， 且∠F1PF2＝90°，∠PF1F2＝60°，|F1F2|＝2c， 则|PF1|＝c，|PF2|＝c，由椭圆的定义知， |PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a， 得离心率e＝＝－1. －1 【【环节三】逐层探究，建构方法 情境引入： 课堂小结 本节课你学习到了什么？ （知识？方法？思想？） 25 平面内的动点M(x, y)到定点F2(c, 0)的距离与它到定直线 的距离的比是常数 则点M的轨迹是椭圆. 椭圆的第二定义 其中，定点F2(c,0)是椭圆的焦点； 定直线 叫做椭圆的准线； 常数 是椭圆的离心率. O x y M H F2 l • d F1 • l′ 【环节四】单元建构，结构统整 y x F2 F1 O P • • • 【【环节三】逐层探究，建构方法 ①第一定义: ②第二定义: ③焦半径公式: ④焦半径范围: ⑤乘积最值: P为长轴端点 P为短轴端点 感谢大家的聆听 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 28 例7. (1)过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为_______ (2)已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是______ $