27.1反比例函数的概念（课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册 **27.1 反比例函数的概念** 专项练习（约1500字） --- ## 一、知识梳理 一般地，形如 **y = k/x（k 为常数，k ≠ 0）** 的函数叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数，k 叫做比例系数。 **三个要点（判断依据）：** 1. 表达式中含自变量 x 的项在**分母**，即 y = k·(1/x) 的形式； 2. 比例系数 k 是**不等于 0 的常数**； 3. 自变量 x 的取值范围是 **x ≠ 0**（因为分母不能为 0），相应地 y 的取值范围也是 **y ≠ 0**。 **变形式（等价写法）：** y = k/x 等价于 **xy = k** 和 **y = k·x⁻¹**。做题时看到 xy = k 或 y = k·x⁻¹ 也能认出是反比例函数。 --- ## 二、基础过关（概念辨析） **1. 下列函数中，哪些是反比例函数？指出其比例系数 k。** ① y = 3/x　② y = x/3　③ y = −2/x　④ y = x²/x　⑤ y = 2x⁻¹　⑥ y = 1/(x+1)　⑦ xy = 5　⑧ y = 0/x **2. 判断下列说法是否正确，并说明理由：** （1）y = k/x 一定是反比例函数；（2）反比例函数的自变量 x 可以取任意实数；（3）y = (k²+1)/x 是反比例函数（k 为实数）。 **3. 填空：** 反比例函数 y = 4/x 中，比例系数 k = ____；当 x = 2 时，y = ____；当 x = −1 时，y = ____。 --- ## 三、能力提升（确定 k 与待定系数法） **4. 已知 y 是 x 的反比例函数，且当 x = 3 时，y = 4。求：** （1）y 与 x 的函数关系式； （2）当 x = −6 时，y 的值； （3）当 y = 2 时，x 的值。 **5. 若函数 y = (m−1)x^(m²−2) 是反比例函数，求 m 的值。** **【点拨】** 反比例函数 y = k·x⁻¹ 中，x 的指数必须是 −1，且 k ≠ 0。所以 m²−2 = −1，得 m² = 1，即 m = ±1；再由 m−1 ≠ 0，排除 m = 1。故 m = −1。 **6. 已知函数 y = (2−a)/x 是反比例函数，求 a 的取值范围。** **7. 已知 y = y₁ + y₂，其中 y₁ 与 x 成正比例，y₂ 与 x 成反比例，且当 x = 1 时 y = 4；当 x = 2 时 y = 5。求 y 与 x 的函数关系式。** **【点拨】** 设 y₁ = k₁x，y₂ = k₂/x，则 y = k₁x + k₂/x。代入两组 x、y 得：k₁ + k₂ = 4，2k₁ + k₂/2 = 5。解得 k₁ = 2，k₂ = 2。故 y = 2x + 2/x。 --- ## 四、综合应用（几何与生活情境） **8. 点 A(a, 3) 在反比例函数 y = 6/x 的图象上，求 a 的值，并判断点 B(2, 3)、C(−2, −3) 是否也在该函数图象上。** **9. 矩形的面积为 12 cm²，设长为 x cm，宽为 y cm。** （1）写出 y 关于 x 的函数关系式，并判断它是不是反比例函数； （2）求比例系数 k，并说明它的实际意义； （3）当长 x = 3 cm 时，宽 y = ____cm。 **10. 一列火车以速度 v（km/h）匀速行驶，所行路程为 s（km），时间为 t（h）。若 s 固定为 300 km，写出 v 关于 t 的函数关系式，并判断其类型。** --- ## 五、易错辨析（改错） **11. 指出下列解答中的错误并改正：** 小明认为 y = x/2 和 y = 2/x 都是反比例函数。他的理由是“分子上有 x，就是反比例函数”。 **答：** 错误。y = x/2 可化为 y = (1/2)x，是**正比例**函数；y = 2/x 中 x 在分母，才是**反比例**函数。判断标准是看 x 是否在**分母**，且系数 k ≠ 0。 **12. 判断 y = (x+1)/x 是否是反比例函数。** **答：** 不是。将其变形：y = (x+1)/x = 1 + 1/x，含有常数项 1，不是形如 y = k/x 的形式，故不是反比例函数。 --- ## 六、挑战题 **13. 已知反比例函数 y = k/x 的图象经过点 (1, −2)。** （1）求 k 的值； （2）若点 P(m, n) 在该函数图象上，且 m·n = −2，试判断点 Q(−m, −n) 是否也在图象上，并说明理由。 **14. 若 y 与 x+2 成反比例，且当 x = 0 时 y = 3，求 y 关于 x 的函数关系式。** **【点拨】** 设 y = k/(x+2)，代入 x = 0、y = 3 得 3 = k/2，k = 6。故 y = 6/(x+2)。 --- ## 参考答案 1. 反比例函数：① k=3，③ k=−2，⑤ k=2，⑦ k=5；②是正比例函数；④可化简为 y=x 是正比例函数；⑥分母含 x+1 不是；⑧k=0 不符合定义。 2.（1）错，需 k≠0；（2）错，x≠0；（3）对，k²+1≥1≠0。 3. k=4，y=2，y=−4。 4.（1）y=12/x；（2）y=−2；（3）x=6。 5. m=−1。 6. a≠2。 7. y = 2x + 2/x。 8. a=2；B 在，C 在（−2·−3=6）。 9.（1）y=12/x，是；（2）k=12，实际意义是面积；（3）4。 10. v=300/t，是反比例函数。 13.（1）k=−2；（2）在，理由：mn=(−m)(−n)=−2。 14. y=6/(x+2)。 --- **说明：** 本练习紧扣 27.1「反比例函数的概念」核心——三种等价形式、k≠0、x≠0、待定系数法求解析式，由基础到综合共 14 题、约 1500 字。需要我把它整理成可打印的 Word 文档，或增加答题空行、难度分层标注吗？ 人教版（新教材）数学九年级上册 27.1反比例函数的概念 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十七章 反比例函数 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式. (1) 京沪高铁路全程为1318 km，某次列车的平均速度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化； 情境导入 (2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长 y (单位：m) 随另一边 x (单位：m)的变化而变化； 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式. 探究新知 (2) 李明计划在一段时间内用完5 GB手机流量，平均每天使用的流量Q(单位：GB)随使用完流量的总时间t(单位：天)的变化而变化； 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式. 探究新知 观察这三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？ 都具有分式的形式. 其中分子是常数. 一般地，形如 (k为常数，k ≠ 0) 的函数，叫做反比例函数.其中 x 是自变量，y 是 x 的函数.自变量 x的取值范围是不等于0的一切实数. 在中，当x=0时， 分式无意义. 探究新知 1. 返回 下列函数中，y是x的反比例函数的是(　　) C 举一反三 6 返回 2. 已知反比例函数y＝ ，则k的值不可能是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 C 举一反三 返回 3. 在反比例函数y＝ 中，系数k＝__________，自变量x的取值范围是________． x≠0 举一反三 在反比例函数 中，x 的取值范围是什么？ 因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量x 的取值范围是所有非零实数. 但在实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围. 例如，在前面得到的第一个解析式 中，t 的取值范围是t＞0，且当 t 取每一个确定的值时，v 都有唯一确定的值与其对应. 探究新知 反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？ 无论哪种形式，都须满足k ≠ 0. 探究新知 下列哪些关系式中的 y 是 x 的反比例函数？并指出比例系数. (1)y = 4x；　 (2) (3) y= ; (4) y = 6x+1； (5)y = x2−1； (6)y= ; (7) xy = 123 ． 解：(3) 是反比例函数，k=−2; (7) 是反比例函数，k=123. 探究新知 用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系，并指出比例系数k的值. （1）一个游泳池的容积为 1 800 m3，游泳池注满水所用时间 t（单位：h）随注水速度 v（单位：m3/h）的变化而变化； （2）某长方体的体积为 1 000 cm3，长方体的高 h（单位：cm）随底面积 S（单位：cm2）的变化而变化； 探究新知 （3）一个物体重 100 N，物体对地面的压强 p（单位：Pa）随物体与地面 的接触面积 S（单位：m2）的变化而变化. p 用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系，并指出比例系数k的值. （4）果果用完30元买练习本，买的练习本的本书y（单位：本）随练习本的价格x（单位：元）的变化而变化. y 探究新知 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x=4 时，求 y 的值. 解：(1)设 ，因为当 x=2时，y=6，所以有 . 解得 k =12. 因此 . (2)把 x=4 代入 ，得 . 探究新知 待定系数法 求反比例函数解析式的一般方法是待定系数法. 在反比例函数 (k 为常数，k≠0)中，只有一个待定系数 k，因此只要给出一组 x，y 的对应值，就可以求出待定系数 k 的值，从而确定反比例函数的解析式. 用待定系数法求反比例函数 (k 为常数，k≠0)的解析式的实质是代入一对 x，y 的对应值，解方程. 探究新知 待定系数法 ①设（设出含有待定系数的反比例函数解析式）； ②代（将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式， 得到关于待定系数的方程）； ③解（解方程，求出待定系数）； ④写(写出反比例函数解析式). 探究新知 已知函数 y=(5m−3)x2−n +(m+n)(m，n 为常数). (1)当 m，n 为何值时，为一次函数？ 解：(1)当函数 y=(5m−3)x2−n+(m+n) 是一次函数时， 2−n=1，且 5m−3≠0，解得 n=1 且 m≠ . 因此，当 m≠ ，n=1 时，为一次函数. 探究新知 解：(2)当函数 y=(5m−3)x2−n+(m+n) 是正比例函数时, ,且5m−3≠0，解得 n=1，m= −1. 因此，当 m= −1，n=1 时，为正比例函数. 已知函数 y=(5m−3)x2−n +(m+n)(m，n 为常数). (2)当 m，n 为何值时，为正比例函数？ 探究新知 解：(3)当函数 y= (5m−3)x2−n+ (m+n) 是反比例函数时， 且 5m−3≠0，解得 n=3，m= −3. 因此，当 m= −3，n=3 时，为反比例函数. 已知函数 y=(5m−3)x2−n +(m+n)(m，n 为常数). (3)当 m，n 为何值时，为反比例函数？ 探究新知 已知y与x+1成反比例，且其函数图象经过点(1,1)． (1)求y关于x的表达式； (2)当y=4时，求x的值． (1)解：∵y与x+1成反比例, ∴设 , ∵函数图象经过点(1,1), ∴ ,解得k=2, ∴关于y关于x的表达式为 ； (2)解：当y=4时，则 ， 解得 ． 探究新知 如图，小李家购买的立式恒温电热水器的最大容量为100L，电热水 器热水出水率为80%，热水出水率 ，家里的手持 花洒每分钟出水量为x L，用该电热水器洗澡的最大时间为y min； (1)求y与x的函数关系式； (1)解：热水输出容积为100×80%=80L， ∴ ， ∴ ； 探究新知 (2)经查看说明书，发现该手持花洒每分钟水流量的范围是4 L~8 L，小李下午打球回来后，发现家里停电了，想用该电热水器里已加热的热水洗澡15 min，请判断电热水器中的热水够不够用？并说明理由． (2)解：热水够用，理由如下： 当y=15时， ，解得x=， 经检验：x= 是原方程的解， ∵ ， ∴电热水器中的热水够用． 探究新知 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点 ，满足 ( )，则称此函数为关于m的“P函数”，若反比例函数为关于4的“P函数”，求n的取值范围. 解：由题意 ， ，且有 ， ∴ ， 又 ， ∴ ，∴ ， ∴ ， 综上， 且 . 探究新知 返回 4. (1)若函数y＝ 是反比例函数，则a的值为________； (2)若函数y＝5x2m－3是反比例函数，则m的值为________． －1 1 举一反三 下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？每一个反比例函数相应的k值是多少？ 返回 5. 解：②④⑧⑨是反比例函数，相应的k值分别是－3， ，－2，a2＋1. 举一反三 【河北人文气息】[沧州期末]国道G107马头南至冀豫界段是我省重点建设项目，其某段施工需运送土石方104 m3，则土石方日运送量V(m3/天)与完成运送任务所需时间t(天)满足(　　) A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 返回 6. A 举一反三 返回 7. 某城市市区人口为x万人，市区绿地面积为50万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的函数解析式为(　　) A．y＝x＋50 B．y＝50x C．y＝ D．y＝ C 举一反三 返回 8. 当三角形的面积为9 cm2时，它的底边长a(cm)与底边上的高h(cm)之间的关系式为____________． 举一反三 返回 9. 学校图书馆有一批图书要分发给学生，学生人数和每名学生分得的图书本数如下表： 每名学生分得的图书本数 2 3 4 学生人数 300 200 150 用y表示学生人数，x表示每名学生分得的图书本数，用式子表示y与x的关系为________，y与x成________比例函数关系． 反 举一反三 29 返回 10. [教材P65例变式]已知y与x成反比例，且当x＝3时，y＝－8. (1)求y关于x的函数解析式； 举一反三 30 返回 (2)当x＝－4时，求y的值； (3)当y＝12时，求x的值． 举一反三 31 返回 11. 某工厂计划生产零件m个，生产天数为d(天)，每日生产量为n(个)，则在下列三个结论中，正确的是(　　) ①当d一定时，m是n的反比例函数； ②当m一定时，d是n的反比例函数； ③当n一定时，m是d的反比例函数． A．① B．② C．③ D．①②③ B 举一反三 32 返回 12. 【易错题】已知函数 是反比例函数，则n的值为(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．±2 A 举一反三 33 13. 如图是用绳子围成的矩形，记矩形相邻的两边长分别为x m，y m. (1)若绳子长为10 m，则y与x的关系式为__________， y是x的________函数； (2)若矩形的周长为20 m，矩形的面积为S m2，则S与x的关系式为____________，S是x的________函数； (3)若矩形的面积是10 m2，则y与x的关系式为________，y是x的________函数． y＝－x＋5 返回 一次 S＝－x2＋10x 二次 反比例 举一反三 14. 已知函数y＝2y1－y2，y1与x＋1成正比例，y2与x成反比例．当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝3. (1)求y关于x的函数解析式； 返回 举一反三 解：由题意，设y1＝k1(x＋1)，y2＝ ∵y＝2y1－y2，∴y＝2k1(x＋1)－ ∵当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝3， 返回 举一反三 (2)当x＝－1时，求y的值． 返回 举一反三 15. [石家庄期中]在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为4 cm时，它的另一条对角线长为12 cm. (1)设菱形的两条对角线的长分别为x(cm)，y(cm)，求y关于x的函数解析式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数； 返回 举一反三 (2)若其中一个菱形的一条对角线长为6 cm，求它的另一条对角线长． 解：48÷6＝8(cm)． 答：它的另一条对角线长为8 cm. 返回 举一反三 16. 【新趋势 跨学科综合】如图，阻力为1 000 N，阻力臂长为5 cm.设动力为y(N)，动力臂长为x(cm)(图中杠杆本身所受重力忽略不计．杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂)． (1)求y关于x的函数解析式，这个函数是反比例函数吗？如果是，说出比例系数； 返回 解：根据题意，得y×x＝1 000×5＝5 000， 所以y关于x的函数解析式为y＝ 这个函数是反比例函数，比例系数是5 000. 举一反三 (2)当x＝50时，求函数y的值，并说明这个值的实际意义； 返回 解：当x＝50时，y＝ ＝100. 实际意义：当动力臂长为50 cm时，所需动力为100 N. (3)当动力臂长扩大到原来的n(n＞1)倍时，所需动力将怎样变化？ 解：当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力将缩小到原来的 举一反三 求法 反比例函数 一般地，形如 (k为常数，k ≠ 0) 的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数. 概念 解析式 待定系数法步骤：①设 ②代 ③解 ④写 课堂小结 谢谢观看 THANKS A．y＝ B．y＝x C．y＝ D．y＝ － － ①y＝＋1；②y＝－；③y＝；④xy＝；⑤y＝；⑥＝2；⑦y＝；⑧y＝－2x－1；⑨y＝(a为常数)． a＝ y＝ 解：设y关于x的函数解析式为y＝， 将x＝3，y＝－8代入，得－8＝， 解得k＝－24， 所以y关于x的函数解析式为y＝－. 解：将y＝12代入y＝－，得12＝－，解得x＝－2. 解：将x＝－4代入y＝－，得y＝－＝6. y＝(n＋1)xn2－2 y＝ ∴解得 ∴y＝(x＋1)－＝x＋＋. . . 解：当x＝－1时，y＝－－3＋＝－3. 解：由题意，得菱形的面积为×4×12＝24(cm2)，∴xy＝24，∴xy＝48，即y＝， 这个函数是反比例函数，比例系数为48. . . $