27.1 反比例函数的概念 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

27.1 反比例函数的概念 第二十七章 反比例函数 人教版九年级上册 生活中我们常常通过控制电阻的变化来实现舞台灯光的效果. 在电压 U 一定的情况下，当 R 变大时，电流 I 变小，灯光就变暗；相反，当 R 变小时，电流 I 变大，灯光变亮. 你能写出这些量之间的关系式吗? 情境导入 2 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式. (1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化； 探究点1：反比例函数的概念 新知探究 3 (2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的变化而变化； (3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2，人均占有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的变化而变化. 探究点1：反比例函数的概念 新知探究 观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？ 问题： 都具有 的形式，其中 是非零常数． 分式 分子 一般地，形如 (k为常数，k ≠ 0) 的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数. 探究点1：反比例函数的概念 新知探究 反比例函数 (k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？ 思考： 因为 x 作为分母，不能等于零，所以自变量 x 的取值范围是不等于0的一切实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围. 例如，在前面得到的第一个解析式 中，t 的取值范围是 t＞0，且当 t 取每一个确定的 值时，v 都有唯一确定的值与其相对应. 探究点1：反比例函数的概念 新知探究 反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？ 想一想： 反比例函数的三种表达方式(注意 k ≠ 0)： 探究点1：反比例函数的概念 新知探究 下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值. 是，k = 3 不是 不是 不是 是， 探究点1：反比例函数的概念 新知探究 8 例 1 已知函数 是反比例函数，求 m 的值. 所以 m2 + 2m－4=－1， m－1≠0. 解得 m =－3. 解：因为 是反比例函数， 方法指导：已知某个函数为反比例函数，则自变量的次数为－1，且系数不等于0. 探究点1：反比例函数的概念 新知探究 2. 已知函数 是反比例函数， 则 k 必须满足 . 1. 当m= 时， 是反比例函数. k≠2 且 k≠－1 ±1 指数为-1 系数不为0 探究点2：用待定系数法确定反比例函数的解析式 新知探究 例 2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2 时，y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； 提示：依题意设 . 把 x=2 和 y=6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 这就是待定系数法. 解：设 . 因为当 x = 2 时，y = 6，所以有 解得 k =12. 因此 探究点2：用待定系数法确定反比例函数的解析式 新知探究 (2) 当 x=4 时，求 y 的值. 解：把 x=4 代入 ，得 归纳：用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的反比例函数解析式； ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程； ③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 探究点2：用待定系数法确定反比例函数的解析式 新知探究 已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x = 7 时，求 y 的值． 解：(1) 设 ，因为当 x = 3 时，y =4 ， 所以 ，解得 k =16，因此 . (2) 当 x = 7 时， 探究点2：用待定系数法确定反比例函数的解析式 新知探究 例 3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100 km/h 时，视野的度数. 解：设 . 由题意知，当 v = 50 时，f = 80， 解得 k = 4000. 因此 所以 探究点3：在实际问题中建立反比例函数模型 新知探究 14 当 v =100 时，f =40. 所以当车速为100 km/h 时视野为40度. 探究点3：在实际问题中建立反比例函数模型 新知探究 15 例4 如图，已知菱形 ABCD 的面积为180平方厘米，设它的两条对角线 AC，BD的长分别为x cm，y cm. 写出变量 y与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数. A B C D 解：因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半， 所以 所以变量 y 与 x 之间的关系式为 ，它是反比例函数. 探究点3：在实际问题中建立反比例函数模型 新知探究 1. 下列函数是反比例函数的是（　A　） A. y＝ B. y＝ ＋1 C. y＝ D. y＝ A 随堂练习 2. 下列相关联的量中，成反比例函数关系的是（　D　） A. 读一本书，已读的页数与未读的页数 B. 小明的年龄与妈妈的年龄 C. 班级的出勤率一定，出勤人数与总人数 D. 平行四边形的面积一定，它的底和高 D 3. （易错题）在反比例函数y＝－ 中，比例系数k的值为 　－ 　. 4. 给出下列式子：① y＝－ x；② y＝5－x；③ y＝ ；④ y＝ （a为常数，且a≠0）.其中，y是x的反比例函数的有 　③④　，y不是x的反比例函数的有 　①②　（填序号）. － 　 ③④　 ①②　 5. 已知反比例函数y＝ （k≠0），当x＝2时，y＝－ ，则k的值为（　B　） A. 1 B. －1 C. －4 D. － 6. （易错题）已知函数y＝（m－1） 是关于x的反比例函数，则m的值为 　－1　. B －1　 （1） 求y关于x的函数解析式； 解：（1） ∵ y是x的反比例函数，∴ 设y＝ （k≠0）.∵ 当x＝－2时，y＝－3，∴ k＝6.∴ y关于x的函数解析式为y＝ （2） 当x＝－9时，求y的值. 解：（2） 当x＝－9时，y＝ ＝－ 7. 教材变式题 已知y是x的反比例函数，且当x＝－2时，y＝－3. 8. 如果三角形的面积为12，一边长为x，该边上的高为y，那么y关于x的函数解析式为 　y＝ （x＞0）　. 9. 一个物体重500N，该物体对地面的压强p（Pa）随它与地面的接触面积S（m2）的变化而变化，则p与S之间的函数解析式为0） 　. y＝ （x＞0）　 p＝ （S＞0） x 3 1 2 8 y 6 4 2 5 （1） 矩形的面积是多少？ 解：（1） 矩形的面积为4 （2） 用式子表示y与x之间的关系. 解：（2） y＝ （3） 根据关系式完成上表. 2 6 10. 若矩形的两邻边长度分别为x，y，面积保持不变，下表给出了x与y的一些值，根据表中数据，解答下列问题： 11. 当反比例函数y＝（m－2）x2m＋1的函数值为3时，自变量x的值为（　B　） A. 1 B. －1 C. ±1 D. 3 B 12. 已知货车平均每天运货吨数x、运货天数y和运货总吨数m这三个量，有下列三个结论：① 当x一定时，y是m的反比例函数； ② 当y一定时，x是m的反比例函数；③ 当m一定时，y是x的反比例函数.其中，正确的是（　C　） A. ① B. ② C. ③ D. ①②③ C 13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P为边AD上一动点，CE⊥BP于点E，BP＝x，CE＝y，则y关于x的函数解析式为 　y＝ （6≤x≤10）　. （第13题） y＝ （6≤x≤10）　 14. 新情境 生活实际 将油箱加满kL油后，轿车可行驶的总路程s（km）与平均耗油量a（L/km）之间满足反比例函数关系s＝ （k是常数，k≠0）.已知某轿车的油箱加满油后，以平均耗油量为0.1L/km的速度行驶，可行驶700km. （1） 求s关于a的函数解析式； 解：（1） 由题意，得k＝0.1×700＝70.∴ s关于a的函数解析式为s＝ （2） 当平均耗油量为0.08L/km时，油箱加满油后该轿车可以行驶多少千米？ 解：（2） 将a＝0.08代入s＝ ，得s＝ ＝875.∴ 当平均耗油量为0.08L/km时，油箱加满油后该轿车可以行驶875km 15. 已知函数y＝y1＋y2，y1与x成反比例，y2与x2成正比例，且当x＝－1时，y＝－5；当x＝1时，y＝1. （1） 求y关于x的函数解析式； 解：（1） 由题意，可设y1＝ （k1≠0），y2＝k2x2（k2≠0），则y＝ ＋k2x2.将 和 代入，得 解得 ∴ y关于x的函数解析式为y＝ －2x2 （2） 当x＝－3时，求y的值. 解：（2） 将x＝－3代入y＝ －2x2，得y＝ －2×（－3）2＝－19 16. 已知反比例函数y＝－ ，将x＝ 代入该函数的解析式，所得函数值记为y1；将x＝y1＋1代入该函数的解析式，所得函数值记为y2；将x＝y2＋1代入该函数的解析式，所得函数值记为y3……如此继续下去，求y2026的值. 解：由题意，易得y1＝－ ，y2＝2，y3＝－ ，y4＝－ ，…，∴ 每3次计算为一个循环.∵ 2026÷3＝675（个）……1，∴ y2026与y1的值相同，为－ 根据实际问题建立反比例函数模型 用待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数：定义/三种表达方式 反比例函数 课堂小结 $