专题03认识实数及平方根与立方根期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题03认识实数及平方根与立方根期中复习讲义 1.区分有理数与无理数：知道无限不循环小数叫做无理数；有理数是有限小数或无限循环小数，能准确识别一个数是否为无理数，会在方格纸上构造无理长度的线段。 2.理解算术平方根、平方根的定义：若x2=a(a0)，则x是a的平方根，其中正的平方根叫算术平方根；掌握符号、含义，牢记只有非负数才有平方根，负数没有平方根。 3.掌握平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根是 0；会求非负数的平方根、算术平方根，能利用平方根的性质进行简单计算。 4.理解立方根的定义：若x3=a，x叫做a的立方根；立方根性质：正数的立方根为正，负数的立方根为负，0 的立方根是 0；任何数都有唯一的立方根。会求任意实数的立方根。 5.会估算无理数的大小，确定无理数在哪两个相邻整数之间，能比较带根号实数的大小。 6.掌握常见化简：=|a|、()2=a(a0)、=-，能进行简单根式运算。 7.能结合平方根、立方根概念列方程求解未知数，会解决已知平方根或立方根求原数的题型。 8.易错点梳理 区分平方根和算术平方根：题目问 “平方根” 要写正负，问 “算术平方根” 只取非负； 负数没有平方根，但是负数有立方根； 表示 4 的算术平方根，结果是 2，不是2； 无理数并不都带根号，例如是无理数；带根号的数不一定是无理数，如。 题型 考察方向 难度 题型一 无理数 ★ 题型二 无理数的大小估算 ★★ 题型三 实数分类与性质 ★ 题型四 实数与数轴 ★★ 题型五 实数的大小比较 ★★ 题型六 勾股定理与无理数 ★★★ 题型七 求一个数的算术平方根 ★ 题型八 利用算术平方根的非负性解题 ★★★ 题型九 估计算术平方根的取值范围 ★★ 题型十 无理数整数部分的有关计算 ★★★ 题型十一 与算术平方根有关的规律探索题 ★★★★ 题型十二 算术平方根的实际应用 ★★ 题型十三 已知一个数的平方根，求这个数 ★★★ 题型十四 利用平方根解方程 ★★★ 题型十五 已知一个数的立方根，求这个数 ★★ 题型十六 与立方根有关的规律探索 ★★★★ 题型十七 立方根的实际应用 ★★ 题型十八 程序设计与实数运算 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01.无理数 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见类型： 开方开不尽的数：如、、等（注意：=2是有理数）。 含π的数：如π、2π、π-1等。 特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）。 3.与有理数区别： 有理数：有限小数或无限循环小数，能化为分数。 无理数：无限不循环小数，不能化为分数。 知识点02.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 关键提醒 0 是有理数，既不是正数也不是负数。 知识点03：实数与数轴的关系 1.一一对应：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示；数轴上每一个点都对应唯一的实数。 2.有理数不能填满数轴，加入无理数后，数轴上所有点全部对应实数。 3.大小规律：数轴上右边的点表示的实数总比左边的大。 4.作图：可利用正方形对角线在数轴上画出等无理数对应的点。 知识点04:实数的相关概念 知识点05:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点06:实数的运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点07：平方根 1. 算术平方根 定义：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x叫做a的算术平方根。 符号：记作，读作 “根号a”，a称为被开方数。 特殊规定：0 的算术平方根是 0，即=0。 双重非负性（核心考点） ① 被开方数非负：a0，负数没有算术平方根，无意义； ② 算术平方根结果非负：0。 基础公式 2. 平方根 定义：若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫做a的平方根（二次方根）。 符号：，读作 “正负根号a”。 平方根的性质 正数有两个平方根，互为相反数；例：16的平方根是； 0 只有一个平方根，就是 0 本身； 3. 平方根与算术平方根区别与联系 对比项目 平方根 算术平方根 符号 ± 个数 正数有两个，互为相反数 正数有一个，为正数 取值符号 一正一负 结果一定是非负数(0) 取值范围 被开方数 a0 被开方数 a0 联系 1. 算术平方根是平方根中的正根； 2. a=0 时的平方根和算术平方根都是 0 知识点08:开平方运算 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 2. 运算步骤 (1)先判断：确认被开方数 a 是正数、0 还是负数（负数不能运算）。 (2)找关系：找出哪个数的平方等于 a。 (3)写结果： 求平方根：写出 ±。 求算术平方根：写出 。 知识点09：立方根 1. 立方根定义 若x3=a，则x叫做a的立方根（三次方根），记作，读作 “三次根号a”。 2. 立方根核心性质 （1）任意实数都有唯一立方根，正数、0、负数都能开立方； （2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0； （3）重要公式：=-，可把负号提到根号外； （4）恒等式： 3.开立方 求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 知识点10:立方根与平方根的区别 知识点11：开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 题型一：无理数 1．下列实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称”，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意； B．是无理数，故此选项符合题意； C．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； D．是整数，属于有理数，故此选项不符合题意． 2．在，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】解：∵，是分数，∴均为有理数； ∵是有限小数，∴为有理数； ∵，是整数，∴均为有理数； ∵（相邻两个之间的个数逐次加）是无限不循环小数，∴为无理数， ∴无理数有共个． 3．在实数：，，，，中无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数），逐个判断给出的数即可得到结果． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数， ∴是整数，是整数，是有限小数，以上均为有理数，无理数为，，共个． 题型二：无理数的大小估算 4．满足的整数的值可以是_____（写一个即可）． 【答案】（答案不唯一，，，任选其一即可） 【分析】先估算无理数和的取值范围，再确定范围内的整数，任选一个整数即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且n是整数， ∴n的值可以是3或4或5， ∴满足题意的n的值可以是3． 5．若正整数满足，则的值是______． 【答案】3 【分析】先估算的取值范围，再利用不等式的性质得到的范围，结合已知条件确定正整数的值． 【详解】解：， ， 即， ∴ ，即， ，且为正整数， ． 6．因为，可以肯定，也就是在与之间．依据这一方法，对，可以肯定，也就是在与之间，可以得到的近似值．那么的估算结果中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解答本题的关键． 利用估算无理数大小的方法即可求得答案． 【详解】解：， ， 故选：B． 题型三：实数分类与性质 7．在实数3.1415926，，，，0，，中，无理数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据整数、分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数，逐个判断给定的数，即可得到无理数的个数． 【详解】解：∵ 3.1415926 是有限小数，是无限循环小数，是分数，0是整数，以上都是有理数； 是开平方开不尽的数，是无限不循环小数，是开立方开不尽的数，这三个都是无理数． ∴ 无理数共有3个． 8．已知a，b，c都是实数，且满足，且，则代数式值的是_________． 【答案】13 【分析】根据得到，代入得到，从而得到，代入计算即可． 【详解】因为， 解得， 代入得到， 所以， 所以． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了实数的非负性，求代数式的值，熟练掌握实数的非负性，灵活运用整体思想求代数式的值是解题的关键． 9．实数，，，，，中，无理数的个数是（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实数分类、无理数的性质，对各个实数逐个分析，即可得到答案． 【详解】实数，，，，，中，无理数为：、、，共3个； 故答案为：B． 【点睛】本题考查了实数分类的知识；解题的关键是熟练掌握实数分类、无理数的性质，从而完成求解． 题型四：实数与数轴 10．如图，数轴上点A表示的实数是__________． 【答案】/ 【分析】根据图得到两直角边长度为1和2，利用勾股定理求出斜边长度，再根据点在数轴的位置即可求出结果． 【详解】解：由图可知，两直角边长度为1和2， ∴斜边长度为：， ∴数轴上点表示的实数是． 11．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A 与数轴上表示1的点重合，将圆沿数轴向左滚动1周，点A到达点的位置，则点表示的数是______________． 【答案】/ 【分析】首先计算出圆的周长，再根据数轴点的表示数的方法，解答即可． 【详解】解：根据题意，得圆的直径为1个单位长度，向左滚动1周，运动的距离为个单位长度， 根据题意，得圆上的点A 与数轴上表示1的点重合， 故点A到达点的位置时，点表示的数是． 12．小斗把长方形的边落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为和5，，连接，以点B为圆心，长为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为______． 【答案】/ 【分析】利用勾股定理求出，再根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：A、B两点在数轴上对应的数分别为和5， ， ， ， 在中，， 由作法可知，， 点E在数轴上所表示的数为． 题型五：实数的大小比较 13．在实数，，，，最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用绝对值、立方根化简，然后再比较即可． 【详解】解：，，， ，即， 最小的数是． 14．将实数，π，，用“<”连接______． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，掌握正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小是解题的关键． 正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此解答即可． 【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得：． 故答案为：． 15．若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，首先求出a、b、c的六次方，比较出它们的六次方的大小关系；然后根据：几个负实数，六次方越大，这个数越小，判断出的大小关系即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 题型六：勾股定理与无理数 16．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数3的点，然后过点作，使（如图）．以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】勾股定理求出的长即可得出结果． 【详解】解：由题意，，，，， ∴， ∴点P所表示的数是． 17．如图，长方形的边落在数轴上，、两点在数轴上对应的数分别为和，，连接，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点在数轴上所表示的数为__________． 【答案】 【分析】在中，根据勾股定理求出的长，从而得到的长，即可得到点表示的数． 【详解】解：在中， ，， ∴， ∵以为圆心，为半径画弧交数轴于点， ∴， ∴点表示的数为． 18．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出（如图），再根据数轴求出答案． 【详解】解：如图， 由勾股定理知， ． 又点在数轴的负半轴上， 的值为． 题型七：求一个数的算术平方根 19．的算术平方根是（     ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】解：∵ 正数的算术平方根为正数， ∴ 排除A，B选项. ∵ , ∴ 的算术平方根是. 20．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用算术平方根的非负性快速排除A、C，再结合平方根、立方根的定义判断B、D． 【详解】解：算术平方根的结果为非负数，故，，A、C错误； 表示25的平方根，结果为，B错误； ，D正确． 21．下列说法正确的是（    ） ①的平方根是；②；③3是9的算术平方根；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解：①，6的平方根是，不是， ①错误； ②， ②错误； ③∵， ∴3是9的算术平方根， ③正确； ④，不是， ④错误； 综上，只有1个说法正确． 题型八：利用算术平方根的非负性解题 22．若，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 23．已知，则的平方根是______． 【答案】 【分析】利用平方和算术平方根的非负性，两个非负数和为0时每个非负数均为0，求出，的值后，再计算的平方根． 【详解】解：对根号内的式子因式分解，原式可化为 ， ∵ 任意数的平方都是非负数， ， ∵ 算术平方根本身是非负数， ， ∵ 两个非负数的和等于， ∴ 每个非负数都等于， ， 解得 ， ， 解得 ， 计算得 ， ∴ 的平方根是． 24．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了非负数的性质，直接利用非负数的性质得出，，的值，进而得出答案，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， 故选：． 题型九：估计算术平方根的取值范围 25．已知是整数，且，则的值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题利用算术平方根的性质，即被开方数越大，对应的算术平方根越大，通过比较与相邻整数平方的大小，确定的取值范围，即可得到整数的值． 【详解】解：∵，， ∴， 不等式两边同时开算术平方根，得， ∵，且为整数， ∴． 26．若，且、为连续正整数，则= _______ 【答案】 【分析】本题考查实数的估算与大小比较的能力，先估算出的取值范围，得出，的值，进而可得出结论．根据题意求出，的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，为两个连续整数， ∴，， ∴． 故答案为：． 27．在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量的值在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．8和9之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算无理数大小．首先根据题意可知该微观粒子的能量，结合，易得，即可获得答案． 【详解】解：当，时， ， ∵， ∴， ∴该微观粒子的能量的值在6和7之间． 故选：C． 题型十：无理数整数部分的有关计算 28．若实数p是满足的整数，则p的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过比较平方数的大小估算出和的取值范围，再根据是整数确定的值即可． 【详解】解，，， ，，， ，， ，且为整数， ． 29．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为______． 【答案】 【分析】先确定介于哪两个连续整数之间，得到的整数部分，再用原数减去整数部分即可得到小数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为． 30．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值是（    ） A．0 B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算及其整数部分，根据无理数的估算得出，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 题型十一：与算术平方根有关的规律探索题 31．已知，则________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的小数点移动规律，被开方数的小数点每向右移动2位，算术平方根的小数点向右移动1位，据此求解． 【详解】解： ， 已知， ． 32．已知，，则______；已知，，则______． 【答案】 【分析】算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 【详解】解：； ． 33．如图，，且与之间的距离为，是上一点， ①过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点； ②过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点； ③过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点；… 按照以上操作，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理计算出、、，找到规律，根据规律写出的长度． 【详解】解：由题意可知， ， 由作图可知， ， ， 由作图可知， ， ， ， ． 题型十二：算术平方根的实际应用 34．正方形面积为5，则正方形边长为______． 【答案】 【分析】正方形面积等于边长的平方，边长为正数，对面积开算术平方根即可得到边长. 【详解】解：设正方形的边长为， ， ∵ ， ∴ ，即正方形的边长为． 35．如图，四边形、、均为正方形．且正方形面积为10，正方形面积为4，若正方形的边长是整数，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，由题意可得，，由图形可得，估算出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵正方形面积为10，正方形面积为4， ∴，， 由图形可得：， ∵， ∴，即， ∵正方形的边长是整数， ∴， 故答案为：3． 36．如图，将长为，宽为的长方形纸片分割成个三角形后，恰好拼成一个正方形，则与正方形边长最接近的整数是（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，正方形的面积为， ∴边长为， ∵， ∴， ∴正方形边长最接近的整数是． 题型十三：已知一个数的平方根，求这个数 37．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．9 B．3 C．81 D．16 【答案】C 【详解】解：依题意， 解得： ∴这个正数是： 38．已知与都是的平方根，则的值为_______________． 【答案】49或441 【分析】本题考查了平方根的性质，掌握一个正数的两个平方根互为相反数的性质，以及运用分类讨论思想分析两种可能情况是解题的关键． 根据平方根的性质，分类讨论两种情况：当两个式子表示同一个平方根时，它们相等；当表示两个平方根时，它们互为相反数． 【详解】解：①当 与 是同一个平方根时， ， 解得 ， 此时 ； ②当 与 是两个平方根时， ， 解得 ， 此时 ． 故答案为：或． 39．已知的算术平方根是，的立方根是，则的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根、立方根的定义列方程求出，的值，再代入计算后求其平方根． 【详解】解：的算术平方根是， ， 解得， 的立方根是， ， 解得：， ， 的平方根是． 题型十四：利用平方根解方程 40．若，则______． 【答案】 【分析】先计算等式右边，得到，一个数的平方等于 36，这个数可以是 6 或者 ，所以． 【详解】解： ． 41．若，则_____． 【答案】或 【分析】此题考查了利用平方根解方程， 通过化简方程，利用平方根求解即可． 【详解】 整理得， ∴ ∴ ∴ 解得或． 故答案为：或． 42．若，则的值是______． 【答案】或 【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根的意义，解题的关键是根据等式可得或，然后根据平方根分别求解即可． 【详解】解：∵，即的算术平方根等于它的立方根， ∴或， 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； 综上所述的值是或． 故答案为：或． 题型十五：已知一个数的立方根，求这个数 43．根据图中呈现的运算关系，可知a＝__________ ． 【答案】 【分析】本题考查了已知一个数的立方根，求这个数，解题关键是掌握开立方的意义． 根据开立方的意义求解． 【详解】解：∵2025开立方得， 开立方得， ∴是2025的相反数， 即， 故答案为：． 44．已知的平方根是，的立方根是，则________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方根定义、立方根定义定义等知识，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键． 根据题意求出值，再代入计算即可． 【详解】解：的平方根是， ， ； 的立方根是， ， ； ； 故答案为：． 45．若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可． 【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69， ∴a=297.5625，b=-656.234909． ∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9， ∴x=2.975625，y=656234.909， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义． 题型十六：与立方根有关的规律探索 46．已知，，则____________． 【答案】 【分析】本题考查立方根的运算性质，将变形为，再利用立方根的乘法性质拆分计算，结合已知条件即可求出结果． 【详解】． 47．若，，，则=_____． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．依据被开方数小数向左或向右移动3位时，则对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 48．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 题型十七：立方根的实际应用 49．如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个小正方体，已知某个二阶魔方的体积约为（小正方体之间的缝隙忽略不计），那么这个魔方中每个小正方体的棱长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出一个小正方体的体积，再根据正方体棱长等于体积的立方根计算棱长． 【详解】解：∵二阶魔方总体积为，一共包含个小正方体． ∴每个小正方体体积 设小正方体棱长为，则 每个小正方体的棱长为． 50．一个正方体，它的体积是棱长为的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是（    ）． A．4 B．8 C．10 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了立方根，正确把握定义是解题关键．直接利用已知得出立方体的体积，进而利用立方根的定义得出答案． 【详解】解：棱长为的正方体的体积为：， 一个正方体，它的体积是棱长为的正方体的体积的8倍， 这个正方体的体积为：， 这个正方体的棱长为：． 故选：A． 51．2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键．首先设小美制作的正方体礼盒的棱长为，根据题意列方程并求解，可得小美制作的正方体礼盒的棱长，进而计算小美制作的正方体礼盒的体积，根据题意可得小嘉制作的正方体礼盒的体积；设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为，由正方体体积公式可解得小嘉制作的正方体礼盒的棱长，然后计算小嘉制作的正方体礼盒的表面积即可． 【详解】解：设小美制作的正方体礼盒的棱长为， 根据题意，可得， ∴， ∴小美制作的正方体礼盒的棱长为， ∴小美制作的正方体礼盒的体积为， ∴小嘉制作的正方体礼盒的体积为， 设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为， ∴， ∴， ∴小嘉制作的正方体礼盒的棱长为， ∴小嘉制作的正方体礼盒的表面为． 故选：B． 题型十八：程序设计与实数运算 52．有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据程序流程图，依次进行开方运算并判断结果是否为无理数，直到满足输出条件即可． 【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数， 然后求的立方根为，是有理数， 返回求的算术平方根为，是无理数，输出． 53．小明编写了一个程序，如图．若输入，则输出的数为___________． 【答案】 【分析】根据流程图和实数运算法则即可求解． 【详解】解：输入， 则， 然后， 的倒数为4， 然后得到， ∴输出的数为． 54．如图为一个数值转换器，某次输入后经过两次取算术平方根运算，输出的值为，则为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的运算与数值转换器的逻辑，解题的关键是从输出结果反向推导输入值． 从输出的反向推导，先求出第二次取算术平方根前的数，再根据“是有理数则再次输入”的规则，求出第一次取算术平方根前的数． 【详解】解：两次取算术平方根，即， 两边平方得， 再平方得， 故选B． 解答题 55．把下列各数分别填入相应的集合中（只填入对应序号）： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（相邻两个之间的逐次加）；⑨；⑩ (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)有理数集合：； (4)无理数集合： 【答案】(1)整数集合： (2)分数集合： (3)有理数集合： (4)无理数集合： 【分析】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数为无理数． 【详解】（1）解：，，所以属于整数集合的有：0；；． （2）略 （3）略 （4）略 56．小云的作业中有一道题目如下： 请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接． (1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________． (2)请你帮助小云完成剩下的任务． 【答案】(1)C (2) 将个实数在数轴上表示出来如图所示． 由图可知，． 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系及实数的大小比较，掌握估算无理数的取值范围，结合数轴上点的位置和实数大小比较规则是解题的关键． （1）先估算​的取值范围，再确定它在数轴上的对应点； （2）先化简绝对值、估算无理数的近似值，再根据实数大小比较规则，将个数按从小到大的顺序连接． 【详解】（1）解： 因此在数轴上位于和之间，对应点． （2）略 57．按要求完成下列小题． (1)已知，求的平方根． (2)已知和是某正数的两个平方根，的立方根是，求的值． 【答案】(1)的平方根为 (2)的值为 【分析】（1）根据二次根式被开方数非负，列出不等式组求出，代入式子算出，求得，再求出的平方根为； （2）利用正数的两个平方根互为相反数列方程求出，再根据立方根定义算出，最后代入代数式求值． 【详解】（1）解：且，即且， ， ， ， 的平方根为； （2）解：和是某正数的两个平方根， ，解得， 的立方根是， ， ． 58．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如：，即，的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 （填序号即可）． ①，均为有理数；②；③；④． (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)； (2)②③④ (3) 【分析】（1）估算的范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出点表示的数的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算的范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分是． （2）解：设点表示的数为，由图可知，， 则，， 是无理数， 为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， ， 故②正确； ，， ， ，即， 故③正确； ，， ， 故④正确． 综上，正确的说法有②③④． （3）解：，即， 则， ， 则，， ． 59．根据规律进行运算： 【实践操作】 (1)在草稿纸上计算：①_______；②_______；③_______；④_______， 观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出_______； 【归纳规律】 (2)_______． 【规律应用】 (3)若，则_______． 【答案】(1)①1；②3；③6；④10；55 (2) (3)24 【详解】（1）解：①；②；③；④， ∴； （2）解：由（1）得 ； （3）解：∵， ∴， ∴ ∵是整数，则是两个连续的整数， ∴或（舍）． 60．根据以下材料，探索完成任务： 寻找合适的礼品盒 素材1 小颖定制了一块圆柱形蛋糕准备给妈妈过生日．已知这块蛋糕的底面积为，高为． 素材2 为了美观又增加仪式感，小颖想要用一个体积为的正方体礼品盒来装这块蛋糕（礼品盒的厚度忽略不计）． 问题解决 (1)任务1：根据素材1可知，这块圆柱形蛋糕的半径为___________． (2)任务2：请你根据素材2，求出这个正方体礼品盒的棱长； (3)任务3：请你帮小颖算一算，这个礼品盒能装下这块蛋糕吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)这个礼品盒不能装下这块蛋糕． 理由：由（1）可知，这块圆柱形蛋糕的半径为， 这块圆柱形蛋糕的直径为， ， ， ， 正方体礼品盒的棱长为， 这个礼品盒不能装下这块蛋糕． 【分析】（1）设这块圆柱形蛋糕的半径为，根据圆的面积公式列方程求解即可； （2）设这个正方体礼品盒的棱长为，根据正方体的体积公式列方程求解即可； （3）根据（1）得到圆柱形蛋糕的直径，再利用无理数的估算比较大小，即可得解． 【详解】（1）解：设这块圆柱形蛋糕的半径为， 这块蛋糕的底面积为， ， 解得：（负值舍去）， 即这块圆柱形蛋糕的半径为； （2）解：设这个正方体礼品盒的棱长为， 正方体礼品盒的体积为， ， 解得：， 即这个正方体礼品盒的棱长为； （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03认识实数及平方根与立方根期中复习讲义 1.区分有理数与无理数：知道无限不循环小数叫做无理数；有理数是有限小数或无限循环小数，能准确识别一个数是否为无理数，会在方格纸上构造无理长度的线段。 2.理解算术平方根、平方根的定义：若x2=a(a0)，则x是a的平方根，其中正的平方根叫算术平方根；掌握符号、含义，牢记只有非负数才有平方根，负数没有平方根。 3.掌握平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根是 0；会求非负数的平方根、算术平方根，能利用平方根的性质进行简单计算。 4.理解立方根的定义：若x3=a，x叫做a的立方根；立方根性质：正数的立方根为正，负数的立方根为负，0 的立方根是 0；任何数都有唯一的立方根。会求任意实数的立方根。 5.会估算无理数的大小，确定无理数在哪两个相邻整数之间，能比较带根号实数的大小。 6.掌握常见化简：=|a|、()2=a(a0)、=-，能进行简单根式运算。 7.能结合平方根、立方根概念列方程求解未知数，会解决已知平方根或立方根求原数的题型。 8.易错点梳理 区分平方根和算术平方根：题目问 “平方根” 要写正负，问 “算术平方根” 只取非负； 负数没有平方根，但是负数有立方根； 表示 4 的算术平方根，结果是 2，不是2； 无理数并不都带根号，例如是无理数；带根号的数不一定是无理数，如。 题型 考察方向 难度 题型一 无理数 ★ 题型二 无理数的大小估算 ★★ 题型三 实数分类与性质 ★ 题型四 实数与数轴 ★★ 题型五 实数的大小比较 ★★ 题型六 勾股定理与无理数 ★★★ 题型七 求一个数的算术平方根 ★ 题型八 利用算术平方根的非负性解题 ★★★ 题型九 估计算术平方根的取值范围 ★★ 题型十 无理数整数部分的有关计算 ★★★ 题型十一 与算术平方根有关的规律探索题 ★★★★ 题型十二 算术平方根的实际应用 ★★ 题型十三 已知一个数的平方根，求这个数 ★★★ 题型十四 利用平方根解方程 ★★★ 题型十五 已知一个数的立方根，求这个数 ★★ 题型十六 与立方根有关的规律探索 ★★★★ 题型十七 立方根的实际应用 ★★ 题型十八 程序设计与实数运算 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01.无理数 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见类型： 开方开不尽的数：如、、等（注意：=2是有理数）。 含π的数：如π、2π、π-1等。 特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）。 3.与有理数区别： 有理数：有限小数或无限循环小数，能化为分数。 无理数：无限不循环小数，不能化为分数。 知识点02.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 关键提醒 0 是有理数，既不是正数也不是负数。 知识点03：实数与数轴的关系 1.一一对应：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示；数轴上每一个点都对应唯一的实数。 2.有理数不能填满数轴，加入无理数后，数轴上所有点全部对应实数。 3.大小规律：数轴上右边的点表示的实数总比左边的大。 4.作图：可利用正方形对角线在数轴上画出等无理数对应的点。 知识点04:实数的相关概念 知识点05:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点06:实数的运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点07：平方根 1. 算术平方根 定义：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x叫做a的算术平方根。 符号：记作，读作 “根号a”，a称为被开方数。 特殊规定：0 的算术平方根是 0，即=0。 双重非负性（核心考点） ① 被开方数非负：a0，负数没有算术平方根，无意义； ② 算术平方根结果非负：0。 基础公式 2. 平方根 定义：若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫做a的平方根（二次方根）。 符号：，读作 “正负根号a”。 平方根的性质 正数有两个平方根，互为相反数；例：16的平方根是； 0 只有一个平方根，就是 0 本身； 3. 平方根与算术平方根区别与联系 对比项目 平方根 算术平方根 符号 ± 个数 正数有两个，互为相反数 正数有一个，为正数 取值符号 一正一负 结果一定是非负数(0) 取值范围 被开方数 a0 被开方数 a0 联系 1. 算术平方根是平方根中的正根； 2. a=0 时的平方根和算术平方根都是 0 知识点08:开平方运算 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 2. 运算步骤 (1)先判断：确认被开方数 a 是正数、0 还是负数（负数不能运算）。 (2)找关系：找出哪个数的平方等于 a。 (3)写结果： 求平方根：写出 ±。 求算术平方根：写出 。 知识点09：立方根 1. 立方根定义 若x3=a，则x叫做a的立方根（三次方根），记作，读作 “三次根号a”。 2. 立方根核心性质 （1）任意实数都有唯一立方根，正数、0、负数都能开立方； （2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0； （3）重要公式：=-，可把负号提到根号外； （4）恒等式： 3.开立方 求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 知识点10:立方根与平方根的区别 知识点11：开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 题型一：无理数 1．下列实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．在，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．在实数：，，，，中无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型二：无理数的大小估算 4．满足的整数的值可以是_____（写一个即可）． 5．若正整数满足，则的值是______． 6．因为，可以肯定，也就是在与之间．依据这一方法，对，可以肯定，也就是在与之间，可以得到的近似值．那么的估算结果中正确的是（　　） A． B． C． D． 题型三：实数分类与性质 7．在实数3.1415926，，，，0，，中，无理数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．已知a，b，c都是实数，且满足，且，则代数式值的是_________． 9．实数，，，，，中，无理数的个数是（    ）个． A． B． C． D． 题型四：实数与数轴 10．如图，数轴上点A表示的实数是__________． 11．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A 与数轴上表示1的点重合，将圆沿数轴向左滚动1周，点A到达点的位置，则点表示的数是______________． 12．小斗把长方形的边落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为和5，，连接，以点B为圆心，长为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为______． 题型五：实数的大小比较 13．在实数，，，，最小的是（     ） A． B． C． D． 14．将实数，π，，用“<”连接______． 15．若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型六：勾股定理与无理数 16．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数3的点，然后过点作，使（如图）．以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数是（    ）    A． B． C． D． 17．如图，长方形的边落在数轴上，、两点在数轴上对应的数分别为和，，连接，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点在数轴上所表示的数为__________． 18．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（     ） A． B． C． D． 题型七：求一个数的算术平方根 19．的算术平方根是（     ） A． B． C． D．4 20．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 21．下列说法正确的是（    ） ①的平方根是；②；③3是9的算术平方根；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型八：利用算术平方根的非负性解题 22．若，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 23．已知，则的平方根是______． 24．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型九：估计算术平方根的取值范围 25．已知是整数，且，则的值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 26．若，且、为连续正整数，则= _______ 27．在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量的值在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．8和9之间 题型十：无理数整数部分的有关计算 28．若实数p是满足的整数，则p的值可能为（    ） A． B． C． D． 29．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为______． 30．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值是（    ） A．0 B．6 C． D．5 题型十一：与算术平方根有关的规律探索题 31．已知，则________． 32．已知，，则______；已知，，则______． 33．如图，，且与之间的距离为，是上一点， ①过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点； ②过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点； ③过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点；… 按照以上操作，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型十二：算术平方根的实际应用 34．正方形面积为5，则正方形边长为______． 35．如图，四边形、、均为正方形．且正方形面积为10，正方形面积为4，若正方形的边长是整数，则______． 36．如图，将长为，宽为的长方形纸片分割成个三角形后，恰好拼成一个正方形，则与正方形边长最接近的整数是（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型十三：已知一个数的平方根，求这个数 37．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．9 B．3 C．81 D．16 38．已知与都是的平方根，则的值为_______________． 39．已知的算术平方根是，的立方根是，则的平方根是（     ） A． B． C． D． 题型十四：利用平方根解方程 40．若，则______． 41．若，则_____． 42．若，则的值是______． 题型十五：已知一个数的立方根，求这个数 43．根据图中呈现的运算关系，可知a＝__________ ． 44．已知的平方根是，的立方根是，则________． 45．若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 题型十六：与立方根有关的规律探索 46．已知，，则____________． 47．若，，，则=_____． 48．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 题型十七：立方根的实际应用 49．如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个小正方体，已知某个二阶魔方的体积约为（小正方体之间的缝隙忽略不计），那么这个魔方中每个小正方体的棱长为（     ） A． B． C． D． 50．一个正方体，它的体积是棱长为的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是（    ）． A．4 B．8 C．10 D． 51．2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型十八：程序设计与实数运算 52．有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 53．小明编写了一个程序，如图．若输入，则输出的数为___________． 54．如图为一个数值转换器，某次输入后经过两次取算术平方根运算，输出的值为，则为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 解答题 55．把下列各数分别填入相应的集合中（只填入对应序号）： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（相邻两个之间的逐次加）；⑨；⑩ (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)有理数集合：； (4)无理数集合： 56．小云的作业中有一道题目如下： 请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接． (1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________． (2)请你帮助小云完成剩下的任务． 由图可知，． 57．按要求完成下列小题． (1)已知，求的平方根． (2)已知和是某正数的两个平方根，的立方根是，求的值． 58．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如：，即，的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 （填序号即可）． ①，均为有理数；②；③；④． (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 59．根据规律进行运算： 【实践操作】 (1)在草稿纸上计算：①_______；②_______；③_______；④_______， 观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出_______； 【归纳规律】 (2)_______． 【规律应用】 (3)若，则_______． 60．根据以下材料，探索完成任务： 寻找合适的礼品盒 素材1 小颖定制了一块圆柱形蛋糕准备给妈妈过生日．已知这块蛋糕的底面积为，高为． 素材2 为了美观又增加仪式感，小颖想要用一个体积为的正方体礼品盒来装这块蛋糕（礼品盒的厚度忽略不计）． 问题解决 (1)任务1：根据素材1可知，这块圆柱形蛋糕的半径为___________． (2)任务2：请你根据素材2，求出这个正方体礼品盒的棱长； (3)任务3：请你帮小颖算一算，这个礼品盒能装下这块蛋糕吗？请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $