专项突破04 二次根式的运算与应用（知识技巧点拨+18种高频考察题型 共54题）期中培优讲练-2025-2026学年北师大版数学八年级上册考前冲刺

专项突破04 二次根式的运算与应用 （知识技巧点拨+18种高频考察题型 共54题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：算术平方根 2 知识点梳理02：与 的性质 2 知识点梳理03：平方根 2 知识点梳理04：立方根 3 知识点梳理05：估算 4 知识点梳理06：用计算器求算术平方根和立方根 5 优选题型 考点讲练 5 题型1 利用二次根式的性质化简 5 题型2 复合二次根式的化简 7 题型3 二次根式的乘除混合运算 11 题型4 最简二次根式的判断 14 题型5 化为最简二次根式 16 题型6 已知最简二次根式求参数 17 题型7 同类二次根式 19 题型8 二次根式的加减运算 20 题型9 二次根式的混合运算 24 题型10 分母有理化 26 题型11 已知字母的值，化简求值 30 题型12 已知条件式，化简求值 33 题型13 比较二次根式的大小 37 题型14 二次根式的应用 40 题型15 实数的混合运算 41 题型16 新定义下的实数运算 45 题型17 实数运算的实际应用 49 题型18 与实数运算相关的规律题 52 知识点梳理01：算术平方根 算术平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 ，即 =，那么这个正数 x 就叫做 的算术平方根 . 特别地，我们规定：0 的算术平方根是0. 因为=9，所以9的算术 平方根是3 表示方法 非负数 的算术平方根记作 ，读作“根号” 4，0 的算术平方根分别是2，0，即. =2, =0 性质 【初中阶段三种形式的非负数：|a|，a2n (n 为正整数)， a (a ≥ 0)】 (1)正数的算术平方根是一个正数，0 的算术平方根是0 (0 =0)，负数没有算术平方根； (2) 的双重非负性 一个数的算术平方根是非负数 非负数才有算术平方根 注意：“ ”的根指数为2，是“2 ” 的简写形式 知识点梳理02：与 的性质 类别 性质 举例 知识点梳理03：平方根 1. 平方根 平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个数 的平方等于，即=，那么这个数 就叫作 的平方根 (也叫作二次方根) 表示方法 正数 的平方根记作±，读作“正、负根号”，其中 表示 的算术平方根， － 表示 的负的平方根。0 的平方根为0 5的平方根记作±；9 的平方根记作±=±3 性质 (1)一个正数有两个平方根； (2) 0只有一个平方根，是它本身； (3)负数没有平方根 2. 开平方：求一个数的平方根的运算，叫作开平方， 叫作被开方数。 注意：(1)开平方时，被开方数 必须是非负数，即 ≥ 0； (2)开平方是求一个非负数的平方根，而不是算术平方根，应注意两者的区别，以免漏解。 3. 开平方与平方根、平方的关系 (1)开平方是一种运算，是求平方根的过程，平方根是数，是开平方的结果。 (2)平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确。 例如：因为 ，所以。 注意：正数开平方的结果有两个，且互为相反数；0 开平方仍为0。 知识点梳理04：立方根 1.立方根的概念 立方根 内容 定义 一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 =，那么这个数 就叫做 的立方根(也叫做三次方根) . 表示方法 每个数都有一个立方根，记作，读作“三次根号” 2. 立方根的性质 (1) 正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数。 (2) 三个重要公式 ①（因为a 的立方根为 ，所以( ) 3=a） ② ③ .（利用= 可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数，如= 2） (3)平方根与立方根的比较 名称 区别 平方根  立方根 被开方数的取值范围不同 在中，a ≥ 0 在中， a 为任意数 性质不同 正数有两个平方根，它们互为相反数 只有非负数才有平方根 正数的立方根是正数 负数也有立方根 0 的平方根是0 0 的立方根是0 负数没有平方根 负数的立方根是负数 表示方法  非负数a的平方根为± a 的立方根为 知识点梳理05：估算 1. 估算无理数的大小 对于带根号的无理数的近似值的估算，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”(即两边无限逼近的方法) 逐步夹逼，首先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。 “精确到”与“误差小于”的区别：如精确到1，是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1，即答案与原数相差不超过1 的都符合题意，答案不唯一。 2. 用估算法比较两个数的大小 (1)用估算法比较两个数的大小，若其中有一个数是无理数， 一般先进行分析，估算出无理数的大致取值范围，再进行具体的比较。 (2)比较两个数的大小时常用的结论：① 若a> ≥ 0，则 > ，>；② 若a>, 则 > ；③ 若<a ≤ 0， 则>。 知识点梳理06：用计算器求算术平方根和立方根 1.求正数的算术平方根 大多数计算器都有 键，用它可以求一个正数的算术平方根，按键顺序为先按键，然后按数字键，再按键，计算器显示的结果就是该数的算术平方根. 2. 求一个数的立方根 (1)有 键的计算器，按键顺序为先按 键，再按数字键，最后按 键，显示结果； (2)有第二功能键的计算器，其按键顺序为先按 键，再按 键，然后按数字键，最后按 键，显示结果. 题型1 利用二次根式的性质化简 1．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【思路引导】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，分母有理化，立方根、算术平方根，掌握运算法则是解题的关键． （）根据算术平方根，分母有理化即可得到答案； （）先计算立方根，算术平方根，化简绝对值，再计算加减运算即可得到答案； （）根据二次根式乘法、除法，二次根式的性质化简，然后合并即可； （）根据二次根式除法即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（25-26八年级上·上海·阶段练习）化简： ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查根式化简，根据二次根式确定，是解题的关键． 根据二次根式，解得，，然后化简即可． 【规范解答】根据题意，，， 又，所以， ，， 原式． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·湖南湘西·开学考试）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（    ） A． B． C．a D． 【答案】A 【思路引导】本题考查实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值．由数轴可知，，进而可得，根据绝对值性质和二次根式的性质化简即可． 【规范解答】解：由数轴可知，， ，， ， 故选A． 题型2 复合二次根式的化简 4．（24-25八年级上·湖南永州·期末）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）根据题意找出规律进行求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ∵， ， ， ∴对第于n项，形式可表示为， ∴可化简为 式中最后一项为， ∵， ∴， ∴最后一项化简为： ． 5．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据，比较对应项系数即可． （2）根据，得；根据得，最后代入计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25八年级下·江西上饶·期末）【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题． 【实践探究】 （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则________，________； （2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简________． 【答案】（1）；；（2）或；（3） 【思路引导】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式； （2）根据题意，展开得到，然后根据，m，n为正整数进行求解； （3）先设，m，n为正整数，再由例题的方法求解即可． 【规范解答】解：（1）， ， ， 故答案为：；． （2） 由 得， 又，m，n为正整数 或 （3）设，m，n为正整数 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型3 二次根式的乘除混合运算 7．（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）计算：． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，涉及二次根式的乘法法则（）和除法法则（）．熟练掌握二次根式的乘除运算法则以及二次根式的化简方法是解题的关键． 先根据乘法交换律和结合律将系数与系数相乘除，二次根式与二次根式相乘除，再对二次根式进行化简． 【规范解答】解： ． 8．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二次根式的乘除法、二次根式的化简、二次根式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，再计算二次根式的除法，然后计算二次根式的乘法即可得； （2）先根据二次根式有意义的条件可得，再计算二次根式的乘法，然后化简二次根式即可得． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：由题意可知，， 则， 则原式 ． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)9 (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是关键． （1）先化简各项，再利用二次根式的运算法则求解即可； （2）利用完全平方公式先去括号，再进行运算即可； （3）先化简各项，再利用二次根式的运算法则求解即可； （4）先化简各项，再利用二次根式的运算法则求解即可． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 题型4 最简二次根式的判断 10．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知，，，A，B为最简二次根式，且，求代数式的值． 【答案】 【思路引导】本题考查最简二次根式，一元一次方程，二次根式的混合运算，结合已知条件得到是解题的关键． 根据最简二次根式及同类二次根式的定义可得，解得x的值后根据求得y的值，然后将其代入原式计算即可． 【规范解答】解：已知，，，A，B为最简二次根式，且， 则， 解得：， 那么，， 则， 那么， 即， 解得：， 原式． 11．（24-25九年级下·山东威海·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知，A、B为最简二次根式，且，求． 【答案】(1)44 (2) (3)14 【思路引导】本题主要考查了最简二次根式、二次根式的性质与化简、二次根式的混合运算法则等知识点，灵活运用相关性质和运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （3）根据最简二次根式的定义可得，可得：，进而可得、，然后求出，从而可得，进而可得，然后把x，y的值代入中计算即可． 【规范解答】（1）解： ． （2） ． （3）解：∵A、B为最简二次根式， ∴，可得：， ∴、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为14． 12．（21-22九年级上·河南新乡·期中）下列为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】在根号内不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式，据此逐一判断即可得答案． 【规范解答】A.是最简二次根式，故该选项符合题意， B.根号内含分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意， C.=，不是最简二次根式，故该选项不符合题意， D.=，不是最简二次根式，故该选项不符合题意， 故选：A． 【考点剖析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题关键． 题型5 化为最简二次根式 13．（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【规范解答】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 14．（24-25八年级下·河南周口·期末）化成最简二次根式后不能与合并的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，先化简四个选项中的二次根式，再根据被开方数相同的两个最简二次根式叫做同类二次根式进行求解即可． 【规范解答】解：A、，其二次根式部分与是同类二次根式，不符合题意； B、，其二次根式部分与是同类二次根式，不符合题意； C、，其二次根式部分与是同类二次根式，不符合题意； D、与不是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 15．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母． 【规范解答】解：选项A：，被开方数3是质数，无平方因子，且不含分母，满足最简二次根式的条件． 选项B：，被开方数含分母2，需化简为，不满足条件②． 选项C：，0.2可写为，被开方数含分母5，需化简为，不满足条件②． 选项D：，被开方数4是完全平方数，可化简为2，不满足条件①． 故选：A． 题型6 已知最简二次根式求参数 16．（25-26八年级上·全国·周测）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了最简二次根式，由，且与是同类二次根式，则分时，时，时，时，进行讨论，然后求出的值并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵，二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同， ∴时，； 时，； 时，； 时，（舍去）； ∴符合条件的正整数的值为，，， ∴的最小值为， 故答案为：． 17．（24-25八年级下·河南安阳·期末）若最简二次根式与可以合并，则x的值为（    ） A．9 B．0 C．3 D．1 【答案】D 【思路引导】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，先把二次根式化为最简二次根式，再根据题意得出最简二次根式与是同类二次根式，由此得出，即可求出的值． 【规范解答】解：， 若最简二次根式与可以合并， 则最简二次根式与是同类二次根式， 所以， 解得， 故选：D． 18．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查最简二次根式、同类二次根式，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）由最简二次根式、同类二次根式的定义可得，解方程即可； （2）先判断出，，再化简绝对值和二次根式即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由，得， ，． 原式 ． 题型7 同类二次根式 19．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）若与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则 ． 【答案】5 【思路引导】本题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解． 【规范解答】解：∵与都是最简二次根式、并且是同类二次根式， ∴，， 解得：，， 此时被开方数，，被开方数相同，满足同类二次根式的条件。 ∴， 故答案为：5； 20．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了同类二次根式，根据最简二次根式以及同类二次根式的定义，即可求出答案，熟练掌握同类二次根式是解题的关键． 【规范解答】解：由， ∵能与最简二次根式合并， ∴，解得：， 故答案为：． 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式化简后，与化简后的被开方数相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查的是同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的概念以及二次根式的性质是解题的关键． 由题意根据二次根式的性质把各个二次根式化简，进而根据同类二次根式的概念判断即可． 【规范解答】解： A、 ，与的被开方数不相同； B、，与的被开方数不相同； C、，与的被开方数不相同； D、，与的被开方数相同； 故选：D． 题型8 二次根式的加减运算 22．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【思路引导】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，求平方根的方法解方程，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再去绝对值和计算乘方，最后根据二次根式的加减计算法则求解即可； （3）先计算二次根式乘除法，再计算二次根式减法即可得到答案； （4）先把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴或． 23．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了实数的运算，二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和立方根，再去绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）先计算二次根式乘除法，再化简二次根式，最后计算加减法即可得到答案； （3）先化简二次根式，再计算二次根式加减法即可得到答案； （4）先根据乘法公式去括号，再计算加减法即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 24．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）计算题： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【思路引导】此题考查的是二次根式的加减以及二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并即可求解； （2）先利用完全平方公式进行乘法运算，运用除法法则进行除法运算，再化简合并即可求解； （3）利用二次根式的乘除法法则计算即可； （4）利用乘法法则，绝对值，平方差公式计算，再合并即可求解． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型9 二次根式的混合运算 25．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了二次根式的混合运算、零次幂、完全平方公式、分母有理化等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键 （1）先运用二次根式的性质、零次幂化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先运用二次根式、完全平方公式、分母有理化计算，然后再合并同类二次根式即可； 【规范解答】（1）原式 ； （2）原式 ． 26．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）如图，直径为1个单位长度的圆从原点出发沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． (1)数轴上点对应的数是 ； (2)从上述事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念、运算法则及运算律同样适用于实数．解决下列问题： ①的相反数是 ； ②计算的结果是 ； ③若的整数部分为 a，的小数部分为 b，求的值． 【答案】(1) (2)①②③3 【思路引导】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，实数与数轴，无理数的估算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据圆的周长的定义即可解答； （2）①根据相反数的定义进行作答即可； ②结合二次根式的乘法法则计算，即可作答． ③先整理得， 则，即，结合的小数部分为b，则，再代入进行计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵直径为1个单位长度的圆， ∴周长：π， ∵从原点沿数轴向右滚动一周， ∴点对应的数是． 故答案为：． （2）解：①的相反数是； ② ； ③∵， ∴， ∴， ∴， ∵的整数部分为a， ∴， ∵的小数部分为 b，， ∴， 则 ． 27．（22-23八年级下·河南驻马店·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，完全平方公式． （1）先对二次根式化简，再计算括号内减法，然后计算乘除法，最后再算加法即可； （2）先运用平方差公式和完全平方公式计算，然后再计算加减法即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： 题型10 分母有理化 28．（24-25八年级上·广东深圳·期中）小深在学习二次根式分母有理化问题：已知他是这样分析与解答的： ，请你根据小深的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______，______； (2)计算：． 【答案】(1)； (2)2023 【思路引导】本题考查了二次根式的分母有理化及裂项相消法在二次根式计算中的应用，解题的关键是掌握分母有理化的方法（乘以分母的有理化因式，利用平方差公式化简），并能观察式子规律进行裂项化简． （1）对两个分式分别进行分母有理化，乘以各自分母的有理化因式（和），利用平方差公式消去分母中的根号，化简得到结果； （2）先将每个分式按（1）的方法化简为的形式，通过裂项相消求和，再与相乘，利用平方差公式计算最终结果． 【规范解答】（1）解： 故答案为：； （2）解： ． 29．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．例如，观察它们的结果，积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化． 解决问题： (1)将分母有理化得_______，分母有理化得______． (2)，求的值； (3)利用上述方法，化简． 【答案】(1)， (2)322 (3)27 【思路引导】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化． （1）利用分母有理化直接求解； （2）先利用分母有理化把x、y化简，然后再求它们的和与积，再利用完全平方公式变形求解即可； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【规范解答】（1）解：； ； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， ∴； 故答案为：322； （3）解： ． 30．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）阅读下列材料，然后解答下列问题： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二） ； （三）． 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)根据以上材料，化简 ①② (2)化简：． 【答案】(1)①； (2) 【思路引导】本题主要考查了分母有理化： （1）①分子分母同时乘以，即可求解； ②按照题意把原式变形为，再利用平方差公式得到，据此可得答案； （2）先分母有理化得到，据此把所求式子裂项求解即可． 【规范解答】（1）解：①； ② ； （2）解：（为正整数） ， ∴ ． 题型11 已知字母的值，化简求值 31．（24-25八年级下·广东中山·期中）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1) ． (2)化简：． (3)若， ①求的值， ②求的值． 【答案】(1) (2) (3)①1；②6 【思路引导】本题考查了二次根式的化简求值的知识，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后再平方得到，再把原式化简变形为，接着利用整体代入法计算得到原式，再应用同样方法计算即可． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ； 32．（25-26八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为________，小数部分为________； (2)已知是是整数部分，是的小数部分，求的值 【答案】(1)3， (2) 【思路引导】本题考查了无理数的估算，与无理数有关的整数部分的运算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，得，即的整数部分为，小数部分为； （2）模仿题干过程，得，即，结合是的小数部分，则，再代入进行计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：依题意，∵， ∴， 则的整数部分为，小数部分为； （2）解：依题意，∵， ∴， ∴， 即， ∵是是整数部分， ∴， ∵是的小数部分， ∴， 即． 33．（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）定义：任意两个数，按规则扩充得到一个新数c，将所得的新数称为“如意数”． (1)若，，直接写出a，b的“如意数”c； (2)如果，，证明“如意数”c是非负数． 【答案】(1)8 (2)见解析 【思路引导】本题考查了代数式求值，整式混合运算，完全平方式的非负性，难度不大． （1）本题是一道自定义运算题型，根据题中给的如意数的概念，代入即可得出结果； （2）根据如意数的定义，求出代数式，分析取值范围即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴“如意数”c为非负数． 题型12 已知条件式，化简求值 34．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）“双剑合璧，天下无敌”，意思是两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，像、、（0，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式 在进行二次根式计算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，例如： ； 解答下列问题 (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________，可以化简为________． (2)已知有理数、满足，求、的值． (3)若，求的值． 【答案】(1)；；． (2) (3)2 【思路引导】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式、分母有理化进行解答即可； （2）先对等式左边进行分母有理化，然后求解即可； （3）先将分母有理化，然后将其代入计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴与互为有理化因式； ； ． 故答案为：；；． （2）解： ， ， ∴，解得：， ∴． （3）解：， ∴ ． 35．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【思路引导】本题考查二次根式的运算，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）将两式相加后，利用平方法解方程即可． 【规范解答】（1）解： ， ， ， 的值为2； （2）由（1）得：，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 36．（24-25八年级下·江西赣州·期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)_______；_______； (2)比较大小： ； （用“”“”或“”填空）； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)5 【思路引导】本题考查了分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用分母有理化计算； （2）根据分母有理化、、、，然后再比较大小即可； （3）根据题干的方法可得，结合，即可求解． 【规范解答】（1）解：； ； 故答案为：；． （2）解：， ， ， ； ， ， ， ，即． 故答案为：；． （3）解：， ， ，，即 题型13 比较二次根式的大小 37．（25-26八年级上·上海·阶段练习）（1）计算：________；________ （2）由以上计算结果：可知的倒数是________． （3）比较与的大小． 【答案】（1）1，1；（2）；（3） 【思路引导】本题考查了分母有理化，利用平方差公式是分母有理化的关键． （1）根据平方差公式，可得答案； （2）根据（1）的规律，可得答案； （3）利用（2）的结论，可得答案． 【规范解答】解：（1） ， ， 故答案为：1，1； （2）∵ ， ∴ ， 故答案为：； （3） ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 38．（19-20八年级上·广东佛山·阶段练习）阅读： ； ； … (1)归纳：______，______（为正整数）． (2)探索：根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)提升：利用上面的规律，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)2015 (3)；理由见解析 【思路引导】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，二次根式的大小比较，正确进行分母有理化是解题的关键． （1）分别对分母和分子乘以，，再利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，再利用二次根式的混合运算法则计算； （3）先分母有理化，再比较大小即可． 【规范解答】（1）解：， ． 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：，理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． 39．（2025八年级上·全国·专题练习）作商法比较与的大小． 【答案】 【思路引导】本题考查作商法比较二次根式的大小，解题的关键是掌握二次根式的性质及乘除运算法则．用除以，结果与1比较大小即可． 【规范解答】解： ，， ， ． 题型14 二次根式的应用 40．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出、的长度，从而求出空白部分面积．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【规范解答】解：在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片， 小正方形边长为：，大正方形边长为， ， 图中空白部分的面积为：， 故选：B． 41．（24-25七年级上·全国·单元测试）观察下列各式： ， ， ，，请用含的式子写出你猜想的规律： ． 【答案】（为整数，且） 【思路引导】本题考查了二次根式有关的规律题，观察等式左右两边的式子结构，即可得出第的式子，根据题意列递推等式，最终找出规律是解题关键． 【规范解答】解： ， ， ， ， ∴第的式子为（为整数，且）， 故答案为：（为整数，且）． 42．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）10月25日是茗茗的妈妈的生日，茗茗特地做了两张大小不同的正方形的卡片送给妈妈，一张是生日卡片，面积是，一张是全家福卡片，面积是，茗茗想如果用红色的彩带将这两张卡片的边包上会很漂亮，她现在手中有长的红色彩带，请你帮她算一算，她的红色彩带够用吗？如果不够，还需买多长的红色彩带？（取） 【答案】不够，还需 【思路引导】本题考查了二次根式的应用．先根据正方形的性质计算出生日卡片的边长为，全家福卡片的边长为，再计算出两张卡片的周长，然后与进行大小比较即可． 【规范解答】解：生日卡片的边长＝ ， 全家福卡片的边长＝ ， 两张卡片的周长的和＝ ， ， 所以长的红色彩带不够用，还需红色彩带的长度为． 题型15 实数的混合运算 43．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)2 【思路引导】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，立方根，熟练掌握公式和定义是解题的关键． （1）根据乘法公式以及算术平方根的性质计算，再合并即可； （2）根据算术平方根，立方根，绝对值的运算法则计算即可； （3）根据负整数指数幂，零指数幂，绝对值的运算法则计算即可； （4）根据负整数指数幂，零指数幂，绝对值的运算法则计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 44．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)若，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)4，． (2) 【思路引导】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，熟知无理数的估算方法是解题的关键． （1）估算出，可确定的整数部分，进而可确定的小数部分 （2）估算出，则，据此可确定的小数部分和整数部分，进而可得x、y的值，据此可得答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴ ， ∴的整数部分是4， ∴的小数部分是， 故答案为：4，． （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴的整数部分是10，小数部分是， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数为：． 45．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段练习）计算： (1) (2)． (3)． (4) (5) (6) 【答案】(1)11 (2) (3) (4) (5) (6) 【思路引导】本题考查了实数的混合运算、整式的乘除，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用算术平方根、立方根化简，再计算加减即可； （2）利用算术平方根、乘方、立方根、绝对值的性质化简，再计算加减即可； （3）利用幂的乘方、同底数幂的乘除的运算法则计算即可； （4）利用积的乘方、单项式乘单项式的运算法则计算即可； （5）利用单项式乘多项式的运算法则化简，再合并同类项即可； （6）利用多项式乘多项式的运算法则化简，再合并同类项即可； 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 题型16 新定义下的实数运算 46．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ． （2）若，写出所有满足题意的x的整数值 ． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对200连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行4次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】（1）4，45；（2）1，2，3；（3）3；（4）． 【思路引导】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力． （1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知,即，可得满足题意的的整数值； （3）根据定义对200进行连续求根整数，可得3次之后结果为1； （4）最大的正整数是，根据操作过程进行解答即可． 【规范解答】解：（1）∵，， ，； 故答案为： （2），，且， ，2，3； 故答案为：，2，3； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， ∴对200连续求根整数，3次之后结果为1； 故答案为：3 （4）最大的正整数是， 理由是：∵，，，，， ∴，，，， 对只需进行4次操作后变为1， 只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是． 47．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)计算：________；若，则________； (2)计算：； (3)已知，，，则、、之间的数量关系是________． 【答案】(1)4，16 (2)6 (3) 【思路引导】本题主要考查了定义新运算，乘方，同底数幂相乘，理解定义新运算是解题的关键． （1）根据定义新运算计算即可； （2）根据定义新运算计算即可； （3）根据定义新运算得到，，，得到，因此． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4，16． （2）解：∵，， ∴． （3）解：∵，，， ∴，，， ∴，即， ∴． 故答案为：． 48．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ； ； ； ； ． (3)计算的值． 【答案】(1)； (2)；； (3)． 【思路引导】本题主要考查了新定义运算，算术平方根，无理数大小的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （）根据题干中给出的信息进行计算即可； （）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， ∴是“望音”数对； ， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ， ∴是“望一”数对； ∴是“望一”数对； ， ∴是“望音”数对； 故答案为：；； （3）解：由，，； ，，，，； ，，，， ，； ； ，， ∴ ， 设， ∴当不是完全平方数时，存在整数使得，此时，则该项的值为； 当是完全平方数时，设（为正整数），则， ∵是偶数， ∴必为偶数， 此时， ∴该项的值为， 因此，我们只需计算原式中值为的项的个数， ∵ 且 ， ∴ ， 又∵为偶数， ∴可取，的个数为个， ∴原式的值为． 题型17 实数运算的实际应用 49．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 【答案】(1)长方体的长为，宽为，高为； (2)这个纸盒的体积是； (3)这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 【思路引导】本题主要考查的是算术平方根的实际应用，无理数大小的比较． （1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可； （2）利用长方体的体积公式计算求得答案即可； （3）先求得底面对角的线，再求得长方体的对角线的长，与比较即可得解． 【规范解答】（1）解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则， ∴长方体的长为，宽为，高为； （2）解：这个纸盒的体积是； （3）解：， 底面对角线的长为， 长方体的对角线的长为， ∴这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 50．（24-25七年级下·福建南平·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)11 (2) 【思路引导】本题考查了无理数的估算和实数混合运算的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键； （1）利用夹逼法求解即可； （2）仿照题干中的解题思路解答即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分的值为11； 故答案为：11； （2）解：∵面积为127的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得， 解得， 即． 51．（24-25七年级下·陕西安康·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【答案】(1) (2)A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为 (3)长方形的长为，宽为 【思路引导】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是， （3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵A类正方形的边长是， ∴A类正方形的周长是：， ∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴B类正方形的周长为； （3）解：长方形的长为，宽为． 题型18 与实数运算相关的规律题 52．（2022·安徽淮南·二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①，②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： ___________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075 【思路引导】（1）观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和； （2）所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可； （3）利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解． 【规范解答】解：（1）； （2）根据以上等式的规律可得，； （3）① ； ② ． 【考点剖析】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键 53．（24-25八年级下·福建福州·期中）规律探索图，如图，认真分析各式，然后解答问题． （是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ．．． (1)______________； (2)__________________； (3)求出的值． 【答案】(1) (2) (3)88 【思路引导】本题主要考查勾股定理以及二次根式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识． （1）利用题中规律即可求出的值即可； （2）根据的变化规律直接得出答案即可； （3）根据（2）得出的规律直接代入数据，然后利用分母有理化计算即可得解． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：∵（是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ∴； 故答案为：； （3）解： ． 54．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）观察下列等式： 第1个等式； 第2个等式 第3个等式； … 根据你所发现的规律，解决下列问题： (1)填空______； (2)猜想______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)计算． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【思路引导】本题考查数式规律问题，实数的运算，结合已知条件总结出规律是解题的关键． (1)根据题干中的已知等式即可求得答案； (2)根据已知等式总结规律即可； (3)根据所的规律先化简再算乘法即可． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）（n为正整数， 故答案为：； （3）原式． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破04 二次根式的运算与应用 （知识技巧点拨+18种高频考察题型 共54题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：算术平方根 2 知识点梳理02：与 的性质 2 知识点梳理03：平方根 2 知识点梳理04：立方根 3 知识点梳理05：估算 4 知识点梳理06：用计算器求算术平方根和立方根 5 优选题型 考点讲练 5 题型1 利用二次根式的性质化简 5 题型2 复合二次根式的化简 6 题型3 二次根式的乘除混合运算 7 题型4 最简二次根式的判断 8 题型5 化为最简二次根式 9 题型6 已知最简二次根式求参数 9 题型7 同类二次根式 9 题型8 二次根式的加减运算 10 题型9 二次根式的混合运算 11 题型10 分母有理化 12 题型11 已知字母的值，化简求值 14 题型12 已知条件式，化简求值 15 题型13 比较二次根式的大小 17 题型14 二次根式的应用 18 题型15 实数的混合运算 18 题型16 新定义下的实数运算 20 题型17 实数运算的实际应用 21 题型18 与实数运算相关的规律题 23 知识点梳理01：算术平方根 算术平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 ，即 =，那么这个正数 x 就叫做 的算术平方根 . 特别地，我们规定：0 的算术平方根是0. 因为=9，所以9的算术 平方根是3 表示方法 非负数 的算术平方根记作 ，读作“根号” 4，0 的算术平方根分别是2，0，即. =2, =0 性质 【初中阶段三种形式的非负数：|a|，a2n (n 为正整数)， a (a ≥ 0)】 (1)正数的算术平方根是一个正数，0 的算术平方根是0 (0 =0)，负数没有算术平方根； (2) 的双重非负性 一个数的算术平方根是非负数 非负数才有算术平方根 注意：“ ”的根指数为2，是“2 ” 的简写形式 知识点梳理02：与 的性质 类别 性质 举例 知识点梳理03：平方根 1. 平方根 平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个数 的平方等于，即=，那么这个数 就叫作 的平方根 (也叫作二次方根) 表示方法 正数 的平方根记作±，读作“正、负根号”，其中 表示 的算术平方根， － 表示 的负的平方根。0 的平方根为0 5的平方根记作±；9 的平方根记作±=±3 性质 (1)一个正数有两个平方根； (2) 0只有一个平方根，是它本身； (3)负数没有平方根 2. 开平方：求一个数的平方根的运算，叫作开平方， 叫作被开方数。 注意：(1)开平方时，被开方数 必须是非负数，即 ≥ 0； (2)开平方是求一个非负数的平方根，而不是算术平方根，应注意两者的区别，以免漏解。 3. 开平方与平方根、平方的关系 (1)开平方是一种运算，是求平方根的过程，平方根是数，是开平方的结果。 (2)平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确。 例如：因为 ，所以。 注意：正数开平方的结果有两个，且互为相反数；0 开平方仍为0。 知识点梳理04：立方根 1.立方根的概念 立方根 内容 定义 一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 =，那么这个数 就叫做 的立方根(也叫做三次方根) . 表示方法 每个数都有一个立方根，记作，读作“三次根号” 2. 立方根的性质 (1) 正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数。 (2) 三个重要公式 ①（因为a 的立方根为 ，所以( ) 3=a） ② ③ .（利用= 可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数，如= 2） (3)平方根与立方根的比较 名称 区别 平方根  立方根 被开方数的取值范围不同 在中，a ≥ 0 在中， a 为任意数 性质不同 正数有两个平方根，它们互为相反数 只有非负数才有平方根 正数的立方根是正数 负数也有立方根 0 的平方根是0 0 的立方根是0 负数没有平方根 负数的立方根是负数 表示方法  非负数a的平方根为± a 的立方根为 知识点梳理05：估算 1. 估算无理数的大小 对于带根号的无理数的近似值的估算，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”(即两边无限逼近的方法) 逐步夹逼，首先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。 “精确到”与“误差小于”的区别：如精确到1，是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1，即答案与原数相差不超过1 的都符合题意，答案不唯一。 2. 用估算法比较两个数的大小 (1)用估算法比较两个数的大小，若其中有一个数是无理数， 一般先进行分析，估算出无理数的大致取值范围，再进行具体的比较。 (2)比较两个数的大小时常用的结论：① 若a> ≥ 0，则 > ，>；② 若a>, 则 > ；③ 若<a ≤ 0， 则>。 知识点梳理06：用计算器求算术平方根和立方根 1.求正数的算术平方根 大多数计算器都有 键，用它可以求一个正数的算术平方根，按键顺序为先按键，然后按数字键，再按键，计算器显示的结果就是该数的算术平方根. 2. 求一个数的立方根 (1)有 键的计算器，按键顺序为先按 键，再按数字键，最后按 键，显示结果； (2)有第二功能键的计算器，其按键顺序为先按 键，再按 键，然后按数字键，最后按 键，显示结果. 题型1 利用二次根式的性质化简 1．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 2．（25-26八年级上·上海·阶段练习）化简： ． 3．（25-26八年级上·湖南湘西·开学考试）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（    ） A． B． C．a D． 题型2 复合二次根式的化简 4．（24-25八年级上·湖南永州·期末）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 5．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 6．（24-25八年级下·江西上饶·期末）【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题． 【实践探究】 （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则________，________； （2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简________． 题型3 二次根式的乘除混合运算 7．（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）计算：． 8．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算 (1) (2) 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型4 最简二次根式的判断 10．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知，，，A，B为最简二次根式，且，求代数式的值． 11．（24-25九年级下·山东威海·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知，A、B为最简二次根式，且，求． 12．（21-22九年级上·河南新乡·期中）下列为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型5 化为最简二次根式 13．（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·河南周口·期末）化成最简二次根式后不能与合并的是（ ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型6 已知最简二次根式求参数 16．（25-26八年级上·全国·周测）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 17．（24-25八年级下·河南安阳·期末）若最简二次根式与可以合并，则x的值为（    ） A．9 B．0 C．3 D．1 18．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 题型7 同类二次根式 19．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）若与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则 ． 20．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为 ． 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式化简后，与化简后的被开方数相同的是（   ） A． B． C． D． 题型8 二次根式的加减运算 22．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)解方程：． 23．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 24．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）计算题： (1) (2) (3) (4)． 题型9 二次根式的混合运算 25．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）计算： (1)； (2). 26．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）如图，直径为1个单位长度的圆从原点出发沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． (1)数轴上点对应的数是 ； (2)从上述事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念、运算法则及运算律同样适用于实数．解决下列问题： ①的相反数是 ； ②计算的结果是 ； ③若的整数部分为 a，的小数部分为 b，求的值． 27．（22-23八年级下·河南驻马店·期中）计算： (1)； (2)． 题型10 分母有理化 28．（24-25八年级上·广东深圳·期中）小深在学习二次根式分母有理化问题：已知他是这样分析与解答的： ，请你根据小深的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______，______； (2)计算：． 29．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．例如，观察它们的结果，积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化． 解决问题： (1)将分母有理化得_______，分母有理化得______． (2)，求的值； (3)利用上述方法，化简． 30．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）阅读下列材料，然后解答下列问题： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二） ； （三）． 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)根据以上材料，化简 ①② (2)化简：． 题型11 已知字母的值，化简求值 31．（24-25八年级下·广东中山·期中）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1) ． (2)化简：． (3)若， ①求的值， ②求的值． 32．（25-26八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为________，小数部分为________； (2)已知是是整数部分，是的小数部分，求的值 33．（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）定义：任意两个数，按规则扩充得到一个新数c，将所得的新数称为“如意数”． (1)若，，直接写出a，b的“如意数”c； (2)如果，，证明“如意数”c是非负数． 题型12 已知条件式，化简求值 34．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）“双剑合璧，天下无敌”，意思是两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，像、、（0，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式 在进行二次根式计算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，例如： ； 解答下列问题 (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________，可以化简为________． (2)已知有理数、满足，求、的值． (3)若，求的值． 35．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 36．（24-25八年级下·江西赣州·期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)_______；_______； (2)比较大小： ； （用“”“”或“”填空）； (3)若，求的值． 题型13 比较二次根式的大小 37．（25-26八年级上·上海·阶段练习）（1）计算：________；________ （2）由以上计算结果：可知的倒数是________． （3）比较与的大小． 38．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）阅读： ； ； … (1)归纳：______，______（为正整数）． (2)探索：根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)提升：利用上面的规律，比较与的大小，并说明理由． 39． （2025八年级上·全国·专题练习）作商法比较与的大小． 题型14 二次根式的应用 40．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 41．（24-25七年级上·全国·单元测试）观察下列各式： ， ， ，，请用含的式子写出你猜想的规律： ． 42．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）10月25日是茗茗的妈妈的生日，茗茗特地做了两张大小不同的正方形的卡片送给妈妈，一张是生日卡片，面积是，一张是全家福卡片，面积是，茗茗想如果用红色的彩带将这两张卡片的边包上会很漂亮，她现在手中有长的红色彩带，请你帮她算一算，她的红色彩带够用吗？如果不够，还需买多长的红色彩带？（取） 题型15 实数的混合运算 43．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 44．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)若，其中x是整数，且，求的相反数． 45．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段练习）计算： (1) (2)． (4) ． (4) (5) (6) 题型16 新定义下的实数运算 46．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ． （2）若，写出所有满足题意的x的整数值 ． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对200连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行4次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 47．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)计算：________；若，则________； (2)计算：； (3)已知，，，则、、之间的数量关系是________． 48．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ； ； ； ； ． (3)计算的值． 题型17 实数运算的实际应用 49．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 50．（24-25七年级下·福建南平·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 51．（24-25七年级下·陕西安康·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 题型18 与实数运算相关的规律题 52．（2022·安徽淮南·二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①，②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： ___________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 53．（24-25八年级下·福建福州·期中）规律探索图，如图，认真分析各式，然后解答问题． （是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ．．． (1)______________； (2)__________________； (3)求出的值． 54．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）观察下列等式： 第1个等式； 第2个等式 第3个等式； … 根据你所发现的规律，解决下列问题： (1)填空______； (2)猜想______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)计算． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $