专项突破03 平方根和立方根（知识技巧点拨+18种高频考察题型 共54题）期中培优讲练-2025-2026学年北师大版数学八年级上册考前冲刺

专项突破03 平方根和立方根 （知识技巧点拨+18种高频考察题型 共54题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：算术平方根 2 知识点梳理02：与 的性质 2 知识点梳理03：平方根 2 知识点梳理04：立方根 3 知识点梳理05：估算 4 知识点梳理06：用计算器求算术平方根和立方根 5 优选题型 考点讲练 5 题型1 求一个数的算术平方根 5 题型2 利用算术平方根的非负性解题 6 题型3 估计算术平方根的取值范围 8 题型4 无理数整数部分的有关计算 9 题型5 与算术平方根有关的规律探索题 12 题型6 算术平方根的实际应用 14 题型7 平方根概念理解 16 题型8 求一个数的平方根 17 题型9 求代数式的平方根 19 题型10已知一个数的平方根，求这个数 21 题型11 利用平方根解方程 22 题型12 立方根概念理解 23 题型13 求一个数的立方根 25 题型14 已知一个数的立方根，求这个数 26 题型15 与立方根有关的规律探索 28 题型16 立方根的实际应用 32 题型17 算术平方根和立方根的综合应用 34 题型18 程序设计与实数运算 36 知识点梳理01：算术平方根 算术平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 ，即 =，那么这个正数 x 就叫做 的算术平方根 . 特别地，我们规定：0 的算术平方根是0. 因为=9，所以9的算术 平方根是3 表示方法 非负数 的算术平方根记作 ，读作“根号” 4，0 的算术平方根分别是2，0，即. =2, =0 性质 【初中阶段三种形式的非负数：|a|，a2n (n 为正整数)， a (a ≥ 0)】 (1)正数的算术平方根是一个正数，0 的算术平方根是0 (0 =0)，负数没有算术平方根； (2) 的双重非负性 一个数的算术平方根是非负数 非负数才有算术平方根 注意：“ ”的根指数为2，是“2 ” 的简写形式 知识点梳理02：与 的性质 类别 性质 举例 知识点梳理03：平方根 1. 平方根 平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个数 的平方等于，即=，那么这个数 就叫作 的平方根 (也叫作二次方根) 表示方法 正数 的平方根记作±，读作“正、负根号”，其中 表示 的算术平方根， － 表示 的负的平方根。0 的平方根为0 5的平方根记作±；9 的平方根记作±=±3 性质 (1)一个正数有两个平方根； (2) 0只有一个平方根，是它本身； (3)负数没有平方根 2. 开平方：求一个数的平方根的运算，叫作开平方， 叫作被开方数。 注意：(1)开平方时，被开方数 必须是非负数，即 ≥ 0； (2)开平方是求一个非负数的平方根，而不是算术平方根，应注意两者的区别，以免漏解。 3. 开平方与平方根、平方的关系 (1)开平方是一种运算，是求平方根的过程，平方根是数，是开平方的结果。 (2)平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确。 例如：因为 ，所以。 注意：正数开平方的结果有两个，且互为相反数；0 开平方仍为0。 知识点梳理04：立方根 1.立方根的概念 立方根 内容 定义 一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 =，那么这个数 就叫做 的立方根(也叫做三次方根) . 表示方法 每个数都有一个立方根，记作，读作“三次根号” 2. 立方根的性质 (1) 正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数。 (2) 三个重要公式 ①（因为a 的立方根为 ，所以( ) 3=a） ② ③ .（利用= 可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数，如= 2） (3)平方根与立方根的比较 名称 区别 平方根  立方根 被开方数的取值范围不同 在中，a ≥ 0 在中， a 为任意数 性质不同 正数有两个平方根，它们互为相反数 只有非负数才有平方根 正数的立方根是正数 负数也有立方根 0 的平方根是0 0 的立方根是0 负数没有平方根 负数的立方根是负数 表示方法  非负数a的平方根为± a 的立方根为 知识点梳理05：估算 1. 估算无理数的大小 对于带根号的无理数的近似值的估算，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”(即两边无限逼近的方法) 逐步夹逼，首先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。 “精确到”与“误差小于”的区别：如精确到1，是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1，即答案与原数相差不超过1 的都符合题意，答案不唯一。 2. 用估算法比较两个数的大小 (1)用估算法比较两个数的大小，若其中有一个数是无理数， 一般先进行分析，估算出无理数的大致取值范围，再进行具体的比较。 (2)比较两个数的大小时常用的结论：① 若a> ≥ 0，则 > ，>；② 若a>, 则 > ；③ 若<a ≤ 0， 则>。 知识点梳理06：用计算器求算术平方根和立方根 1.求正数的算术平方根 大多数计算器都有 键，用它可以求一个正数的算术平方根，按键顺序为先按键，然后按数字键，再按键，计算器显示的结果就是该数的算术平方根. 2. 求一个数的立方根 (1)有 键的计算器，按键顺序为先按 键，再按数字键，最后按 键，显示结果； (2)有第二功能键的计算器，其按键顺序为先按 键，再按 键，然后按数字键，最后按 键，显示结果. 题型1 求一个数的算术平方根 1．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（   ）． A． B． C．3 D．9 【答案】A 【思路引导】本题考查勾股定理中最短路径问题，解题的关键是理解圆柱展开图，结合两点间线段最短得到最短线段．将圆柱展开，根据图形得到A，C两点的位置结合两点间距离公式及勾股定理直接求解即可得到答案． 【规范解答】解：由题意可得，圆柱展开图如图所示，根据两点间线段最短，连接，即为最短距离， ∵圆柱体的底面圆周长为，高为， ∴ ， 在中，由勾股定理，得：， 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖南永州·期末）下列各数是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数；根据定义逐项判断即可，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【规范解答】解：A、是有限小数，是有理数，故该选项不符合题意； B、是无理数，故该选项符合题意； C、是分数，是有理数，故该选项不符合题意； D、是分数，是有理数，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级上·广东佛山·阶段练习）81的算术平方根为（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】D 【思路引导】根据算术平方根的定义即，解答即可． 本题考查了算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，得， 故选：D． 题型2 利用算术平方根的非负性解题 4．（25-26八年级上·全国·期中）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】9 【思路引导】本题考查了相反数的性质，二次根式和绝对值的非负性等知识点，掌握这些是解题的关键． 根据题意列式，再根据二次根式和绝对值的非负性得到x，y的值，代入即可． 【规范解答】解： 与互为相反数， ， ，解得， ． 故答案为：9． 5．（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）（1）已知，求a、b的值． （2）已知a满足，求的值． 【答案】（1），；（2）2025 【思路引导】（1）根据算术平方根和绝对值的非负数性质解答即可； （2）根据算术平方根和绝对值的非负数性质得出，再化简求值即可． 本题考查了二次根式有意义的条件以及算术平方根和绝对值的非负数性质，掌握实数的非负数性质是解答本题的关键． 【规范解答】解：，，， ，， 解得， （2）有意义， ， ， ， ， ， ， ， 6．（20-21七年级下·广东汕头·期末）已知：，则 ， ． 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平方根的非负性，由题意可得，，从而得出的值，代入的值即可得出的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：由题意可得：，， ∴， 当时，， 故答案为：，． 题型3 估计算术平方根的取值范围 7．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）在哪两个相邻的整数之间？ （2）正确吗？ （3）下列四个结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题围绕算术平方根的大小估算展开，要清楚一个正数的算术平方根介于两个整数或两个小数之间的判断方法，即通过比较被开方数与整数或小数平方数的大小来确定． （1）利用夹逼法估算即可； （2）分别计算出3.1和3.2的平方即可判断； （3）分别计算出3.15、3.16和3.17的平方即可求解． 【规范解答】解：（1）因为， 所以，即在3和4两个相邻整数之间； （2）， ， 因为 ， 所以， 所以该说法正确； （3）分别计算各选项两边界值的平方： 因为 ， 所以，， 故选： B． 8．（25-26八年级上·全国·课前预习）估算的大小： （1）可以取和2最接近的两个完全平方数：1和 ； （2）因为 ， 所以 ， 即 ． 【答案】 4 4 2 【思路引导】本题考查了估算无理数的大小． （1）根据完全平方数，即可解答； （2）根据算术平方根的意义，即可解答． 【规范解答】解：（1）可以取和2最近的两个完全平方数：1和4， 故答案为：4； （2）因为， 所以， 即， 故答案为：4，，2． 9．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）估计的值在（ ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】B 【思路引导】本题主要考查的是估算无理数的大小，估算出的范围是解题的关键． 由可知，然后可估计的取值范围． 【规范解答】解：， ． ． 故选：B． 题型4 无理数整数部分的有关计算 10．（24-25八年级上·全国·课后作业）根据材料解答： ，即，的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________； (2)若的小数部分为的整数部分为n，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【思路引导】（1）利用例题结合，进而得出答案；（2）利用再求出小数部分和整数部分即可解得． 【规范解答】（1）解：， ， 的整数部分是. （2）解： 的小数部分， ， ，得整数部分， 【考点剖析】本题考查了用“夹逼法”求算术平方根的整数部分和小数部分，并进行算术平方根的运算，掌握求无理数的整数部分和小数部分是解题的关键． 11．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）（1）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】（1）；（2）1 【思路引导】本题考查了估算无理数的大小及实数与数轴，熟练掌握估算无理数的方法以及会根据数轴判定实数的大小是解题的关键． （1）根据数轴上a的位置，判断出a，b，c的取值范围，然后代入所求的式子中进行化简； （2）先估算出与的大小，从而得到a、b的值，然后代入计算即可． 【规范解答】解：（1）由数轴知，， ∴ ； （2）∵，， ∴，， ∴． 12．（25-26八年级上·重庆·开学考试）对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数表示不大于的最大整数），称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对连续求根整数2次，，这时候结果为．现有如下四种说法： ①； ②： ③若方程，则满足条件的的整数值有3个； ④进行3次连续求根整数运算后，结果为1的所有正整数中，最大值与最小值之差为239． 其中说法不正确的有（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【思路引导】本题考查无理数的估算，算术平方根，实数新定义，理解题意正确计算是解题关键．根据题中的定义结合举反例和列举法逐项判断即可． 【规范解答】解：①因为，，，故； 故①不符合题意； ②举反例，当时，，而，不相等， 故②符合题意； ③由题意知，，当时，，所以不可以是3； 当时，，所以可以是4； 当时，，所以可以是5； 当时，，所以可以是6； 当时，，所以不可以是7； 同理，也不可以是8，9，10，11，12；所以满足题意的有3个， 故③不符合题意； ④首先找最小的3次连续求根整数运算后结果为1的数，，，，所以最小的3次连续求根整数运算后结果为1的数是16； 然后找最大的3次连续求根整数运算后结果为1的数，，，，所以最大的3次连续求根整数运算后结果为1的数是255； ， 故④不符合题意． 故选：B． 题型5 与算术平方根有关的规律探索题 13．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）已知，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了与算术平方根小数点移动规律探索．熟练掌握被开方数小数点每向左或向右移动两位，算术平方根小数点每向左或向右移动一位，是解题的关键． 根据，各选项被开方数小数点移动情况计算作答，判断即得． 【规范解答】解：， A、； B、； C. ； D. ． 故选：B． 14．（24-25八年级下·陕西·期中）仔细观察图，认真分析各式，然后解答问题： ，， ，， ，， (1)请用含有（是正整数）的等式表示上述变化规律； (2)推算出的值； (3)求出的值． 【答案】(1)，（是正整数）； (2)； (3)． 【思路引导】此题考查了勾股定理、算术平方根，数字规律，掌握知识点的应用是解题的关键． （）此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第个图形的一直角边就是，然后利用面积公式可得； （）由上述，，根据规律可知； （）的值就是把面积的平方相加就可． 【规范解答】（1）解：，； ，； ，； ； ∴，（是正整数）； （2）解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴； （3）解： ， 即：． 15．（22-23七年级下·山东日照·期末）有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查数字类规律探究，观察数列中数的符号及分子和分母的变化规律即可解决问题． 【规范解答】解：由题知，数列中的数按负数、正数循环出现，即奇数项为负，偶数项为正， 因为是奇数， 所以第个数是负数． 将改写成可发现， 分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2， 所以第2023个数的分母是； 分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2， 所以第2023个数的分子上的被开方数是2024， 所以第2023个数是． 故选：D． 题型6 算术平方根的实际应用 16．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，一个瓶身部分（不包括瓶颈）是圆柱体的瓶子的容积为，瓶内装着水．当瓶子正放时，瓶内水的高度为；将瓶子倒放时，空余部分的高度为．则瓶子的底面半径为（   ） A．3cm B． C．2 D． 【答案】B 【思路引导】此题考查了算术平方根的实际应用．设瓶子的底面半径为，根据题意列出方程，求出方程的解即可求解． 【规范解答】解：设瓶子底面半径为， 根据题意得：， 得， 解得：(负值舍去)， 故瓶子的底面半径为， 故选：B． 17．（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为． (1)围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ (2)围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 【答案】(1)分米 (2)不需要继续伸长，理由见解析 【思路引导】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【规范解答】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 平方分米的正方形， 正方形的边长为分米， “混天绫”的总长度分米． 答：成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是分米． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为分米，宽为分米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为分米，宽为分米， 长方形的周长为， ， ， 围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”不需要继续伸长． 18．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）某地气象资料表明：该地的雷雨持续时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径． (1)若某次雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ (2)若一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径是多少千米？ 【答案】(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径是 【思路引导】本题考查算术平方根的实际应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）把代入公式进行计算即可； （2）将代入公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴当时，； 答：这场雷雨大约能持续； （2）当时，则：， ∴或（舍去）； 答：这场雷雨区域的直径是． 题型7 平方根概念理解 19．（25-26八年级上·安徽安庆·开学考试）下列说法错误的是（ ） A．的立方根是 B．是的算术平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】D 【思路引导】根据平方根，算术平方根，立方根的定义解答即可． 本题考查了平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【规范解答】解：A. 的立方根是，正确，不符合题意；     B. 是的算术平方根，正确，不符合题意； C. 的平方根是，正确，不符合题意；     D. ，4的平方根是，即的平方根是，故选项错误，符合题意； 故选：D． 20．（25-26八年级上·海南海口·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．任何数都有平方根 B．每一个数的平方根都有两个 C． D．9的算术平方根是3 【答案】D 【思路引导】本题考查平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握相关知识是解题的关键．结合平方根、立方根及算术平方根的定义进行判断即可． 【规范解答】解：A．负数没有平方根，原说法错误，不符合题意； B．0的平方根有1个，原说法错误，不符合题意； C．，原式错误，不符合题意； D．9的算术平方根是3，正确，符合题意． 故选：D． 21．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）4的平方根是（   ） A． B．16 C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的意义是解题关键． 【规范解答】解：∵ ∴4的平方根是 故选：D. 题型8 求一个数的平方根 22．（24-25八年级上·四川·期中）的平方根是 ，它的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 5 【思路引导】本题考查平方根、算术平方根，立方根，理解平方根、算术平方根以及立方根的定义是正确解答的前提．根据平方根、算术平方根以及立方根的定义进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴的平方根为，即； ∵， ∴的算术平方根为5，即； ∵， ∴的立方根为，即； 故答案为：，5，． 23．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是8 B．的算术平方根是3 C．的立方根是2 D．立方根是它本身的数是1 【答案】C 【思路引导】本题考查平方根、立方根的定义，熟记平方根、立方根的定义逐项验证即可得到答案． 【规范解答】解：A、4的平方根是，选项说法错误，不符合题意； B、，的算术平方根是，选项说法错误，不符合题意； C、8的立方根是2，选项说法正确，符合题意； D、立方根是它本身的数是和0，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 24．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段练习）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为， 的小数部分为． (1)的整数部分为___________，小数部分为___________． (2)已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题主要考查无理数的估算，平方根、算术平方根以及立方根的概念和算法，属于理解题型，对于初学者来说，无理数的估算比较抽象，重点是要掌握表示整数部分和小数部分的方法，易错点为忽略一个正数有两个平方根，审清题意掌握相关概念是解题的关键． （1）先判断的区间，进一步估算出在哪两个相邻的整数之间，这样可得的整数部分为4，最后用表示小数部分． （2）先根据题意列出关于，的方程，进一步求出，的值，再根据区间算法得出的值，最后代入式子求其平方根． 【规范解答】（1）， 即， 的整数部分为4， 的小数部分为． （2）由题意得， ， ，． 的整数部分是3， ， ， 的平方根是． 题型9 求代数式的平方根 25．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，b是9的算术平方根，的立方根是． (1)求a，b，c的值； (2)若，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了平方根、算术平方根、立方根： （1）根据绝对值、算术平方根、立方根的定义即可求解； （2）先根据确定a的值，进而求出的值，再求平方根即可． 【规范解答】（1）解：因为，b是9的算术平方根，的立方根是， 所以， 所以． （2）解：因为， ， 所以， 所以． 因为25的平方根是， 所以的平方根是． 26．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如果，求的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查代数式求值，涉及平方差公式、开平方等知识，熟记平方差公式、开平方运算是解决问题的关键．先将恒等变形得到，进而得到，开平方即可得到答案． 【规范解答】解： ， ， 即， 则， 故答案为：． 27．（24-25七年级下·江西新余·期末）已知的平方根是的立方根是， (1)求和的值； (2)求的平方根 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题主要考查了立方根，平方根的定义，根据立方根，平方根的定义求解即可． （1）由立方根，平方根的定义可知，，然后即可求出a，b的值． （2）把a，b的值代入，再求平方根即可． 【规范解答】（1）解：的平方根是，的立方根是， ，， ， ． （2）解：∵， 的平方根为． 题型10已知一个数的平方根，求这个数 28．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知：和是某正数的平方根，的算术平方根为2．求：、的值． 【答案】或11， 【思路引导】本题主要考查了平方根，算术平方根，求代数式的值，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据平方根与算术平方根的定义，列出方程，进行解答即可． 【规范解答】解：∵和是某正数的平方根， ∴或， 解得：或11， ∵的算术平方根为2， ∴， 解得：． 29．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）某正数的两个不相等的平方根分别是和． (1)求的值． (2)求的立方根． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）根据正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可； （2）先求出，再代入求出的值，然后根据立方根的定义，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵正数的两个不相等的平方根分别是和 ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴其立方根为． 30．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查估算无理数的大小，算术平方根、立方根．根据算术平方根、立方根以及估算无理数的大小确定、、的值，再代入计算即可． 【规范解答】解：的算术平方根是3， ，即； 的立方根是2， ， 即， 是的整数部分，而， ， ， ∴的平方根为． 题型11 利用平方根解方程 31．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）（1）计算： （2）若，求的值． 【答案】（1）（2）， 【思路引导】本题考查了零次幂，立方根，化简绝对值，乘方，利用平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简零次幂，绝对值，立方根，乘方，再运算加减法，即可作答． （2）运用平方根进行解方程，即可作答． 【规范解答】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， 32．（12-13八年级上·安徽·期末）已知，且，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是利用平方根的含义解方程，相反数的含义，根据可得，，结合，进一步可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∵， ∴互为相反数， ∴． 故选：C 33．（12-13八年级上·江苏连云港·阶段练习）求下列各式中的实数x． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题主要考查了平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）方程两边同除以36，然后两边开平方，即可得出答案； （2）方程两边开立方即可得出答案． 【规范解答】（1）解：， 方程两边同除以36得：， 开平方得：， 解得：，； （2）解：， 开立方得：， ∴． 题型12 立方根概念理解 34．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B． C．的立方根是 D．0没有立方根 【答案】A 【思路引导】本题考查平方根和立方根的计算． 根据平方根和立方根的概念计算即可． 【规范解答】解：A．，4的平方根为，选项正确，符合题意． B．，选项错误，不符合题意． C．的立方根是，选项错误，不符合题意． D．0的立方根是0，选项错误，不符合题意． 故选：A． 35．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 36．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）下列说法：（1）是的平方根；（2）任何数都有立方根；（3）一个正数的两个平方根之和为；（4）的算术平方根是；（5）平方根等于它本身的数是和：（6）无限小数一定是无理数．其中错误的有（　　）个 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了实数，熟练掌握平方根、立方根、无理数的概念是解题的关键．根据平方根、立方根、无理数的概念逐一判断即可． 【规范解答】解：（1）是的平方根，故原说法正确； （2）任何数都有立方根，故原说法正确； （3）一个正数的两个平方根之和为，故原说法正确； （4）的算术平方根是，故原说法错误； （5）平方根等于它本身的数是，故原说法错误； （6）无限小数不一定是无理数，故原说法错误； 错误的有个． 故选：C ． 题型13 求一个数的立方根 37．（25-26八年级上·上海·阶段练习）下列各数：、、、、、，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路引导】此题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数为无理数，注意带根号的要开方开不尽才是无理数，利用无理数是无限不循环小数分析求解即可求得答案． 【规范解答】解：， 下列各数：、、、、、，其中无理数有、、，一共3个， 故选：B． 38．（12-13八年级上·安徽·期末）下列不等关系能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了对实数的大小比较法则的应用，注意带根号的数值的取值范围的选取． 根据实数的大小比较法则逐个进行判断即可． 【规范解答】A、，故A错误； B、，故B错误； C、，， ，故C错误； D、，即，故D正确． 故选：D． 39．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）在下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0．根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐项计算即可判断． 【规范解答】解：A、，故选项错误； B、，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误． 故选：B． 题型14 已知一个数的立方根，求这个数 40．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一个数的立方根是，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查的是立方根的定义，如果一个数x的立方等于a，那么x就是a的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【规范解答】解：一个数的立方根是， 这个数是， 故选：． 41．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是，求： (1)该正数是多少？ (2)的算术平方根． 【答案】(1)该正数是； (2)的算术平方根是． 【思路引导】本题考查平方根，立方根，算术平方根，解题的关键是正确理解相关的概念． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，求出的值，进而求出这个正数即可； （2）先求出，代入代数式求出，求算术平方根即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得，， 解得，， ∴， 答：该正数是． （2）解：∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， 答：的算术平方根是． 42．（25-26八年级上·全国·单元测试）求满足下列各式的未知数： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】此题考查了利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根是解题的关键． （）根据平方根定义解方程即可； （）根据立方根定义解方程即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 题型15 与立方根有关的规律探索 43．（2025·福建福州·模拟预测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 【答案】(1)①两②9③3 (2)27 (3)0.27 (4)23 【思路引导】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是理解并掌握立方根的定义及其延伸． （1）根据已给推理过程，按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）根据一个数的小数点向左（右）每移动三位其立方根的小数点就向左（右）移动一位进行求解即可； （4）仿照已给的推理过程求解即可． 【规范解答】（1）解：，， 是两位数， 的个位上的数是9，而只有个数是9的数的立方个位才是9， 的个位上的数字是 9 划去59319后面的三位 319 得到数 59，，，， 的十位上的数字是 3， 故答案是：两，9，3； （2）解：，， 是两位数， 的个位上的数是3，而只有个数是7的数的立方个位才是3， 的个位上的数字是 7， 划去19683后面的三位 683得到数 19，，，，的十位上的数字是2， ； （3）解：， ， 故答案为：； （4）解：，， ， 是两位数， 划去279841后面的四位9841得到数 27，，，，的十位上的数字是2， 的个位上的是1，而个数是1、3、7、9的数的四次方个位才是1， 验证可得 44．（20-21八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【答案】(1) (2)6180 【思路引导】本题主要考查了立方根的性质： （1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【规范解答】（1）解：完成表格，如下： 式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… 由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 故答案为：6180． 45．（23-24七年级下·广东江门·阶段练习）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 【答案】(1)5 (2)①两；②8；③， (3) 【思路引导】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键． （）根据的个位数字即可判断； （）根据题干提供的思路和方法，进行推理验证得出答案； （）根据（）的方法、步骤，类推出相应的结果即可． 【规范解答】（1）解：∵，个位数字为， ∴个位数字为， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∴可以确定是两位数， 故答案为：两； ②由的个位上的数是，，个位数字为， ∴的个位上的数是， 故答案为：； ③∵，，， ∴， ∴可以确定的十位上的数是， ∴ 故答案为：． （3）解： ，， 的个位上的数是6，只有个位数字是6的数的立方的个位数字是6， 的个位数字是6． 如果划去17576后面的三位576得到数17，而，，， ， ，即的十位数字是2． ． 题型16 立方根的实际应用 46．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【思路引导】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键． （1）方程可变形为，再利用平方根的性质解方程即可得； （2）方程可变形为，再利用立方根的性质解方程即可得． 【规范解答】（1）解：， ， ， 或． （2）解：， ， ， ， ． 47．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力．如图的三阶魔方是的正方体结构，本身只有27个小正方体，没有其他结构的方块，已知一个三阶魔方的体积为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 【规范解答】解：由题意可得每个方块的体积为， 则每个小正方体的棱长为， 故答案为：2． 48．（25-26八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图所示，一个体积为的正方体容器内，A点位置上有一只蜘蛛，B点上有一只蚊子． (1)正方体的边长为 cm； (2)求蜘蛛到蚊子的最短路线长度． (3)若要在该正方体容器内放置一根竹签，求竹签的最长长度． 【答案】(1)3 (2)蜘蛛爬行的最短路径为 (3)竹签的最大长度为 【思路引导】本题主要考查了一个数的立方根，勾股定理等知识点，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据求一个数的立方根即可得到答案； （2）因为是正方体所以把链接的两个面铺平即可找到最短路径，根据勾股定理求出答案即可； （3）根据题意找到最长的长度，运用两次勾股定理求出答案即可； 【规范解答】（1）解： ∵ ∴正方体的变成为3， 故答案为：3； （2）解：如图所示，线段AB为蜘蛛爬行的最短路线． 在中， ， ∴蜘蛛爬行的最短路成为 （3）解：在中， ， 在中， ，， 所以竹签的最大长度为 题型17 算术平方根和立方根的综合应用 49．（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）已知是的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了算术平方根，立方根的定义，熟知算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 先根据立方根和算术平方根的定义求出x，y的值，进而求出A、B的值，然后代入求立方根即可． 【规范解答】解：∵是的算术平方根，是的立方根， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴的立方根为． 50．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知的一个平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，解题的关键是明确立方根、平方根、算术平方根的定义，根据的一个平方根是，可以得到的值，根据的立方根是，可以得到的值，从而可以求得的算术平方根． 【规范解答】解：∵的一个平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴的算术平方根为， 即的算术平方根为． 51．（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． （1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【规范解答】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 题型18 程序设计与实数运算 52．（2024七年级下·广东佛山·竞赛）有一个数值转换器，流程如下： 当输入的为256时，输出的是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【思路引导】本题考查了流程图与实数运算，算术平方根，以及无理数，掌握无理数的概念是解题关键．根据流程图计算算术平方根，再根据无理数判断即可得到答案． 【规范解答】解：当输入的为256时， 是有理数， 是有理数， 是有理数， 是无理数， 即输出的是， 故选：A． 53．（23-24七年级下·山东济宁·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义按照流程图顺序计算即可． 【规范解答】解：64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数， 故选：D． 54．（2020·河北唐山·一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了无理数的定义，求算术平方根， 根据无理数生成器的计算流程可得输出值为的输入值，即可判断①；再将16输入按要求得出答案并判断②；然后以输出值为例说明③；随后将正整数1输入说明④即可. 【规范解答】解：当输入3时，取算术平方根为，是无理数输出； 当输入9时，取算术平方根为3，不是无理数，再输入3，取算术平方根为，是无理数输出； 当输入81时，取算术平方根为9，不是无理数，再输入9，取算术平方根为3，不是无理数，再输入3，取算术平方根为，是无理数输出； 当输出值为时，输入值为3或9或81或， 所以①不正确； 当输入16时，取算术平方根为4，不是无理数，再输入4，取算术平方根为2，不是无理数，再输入2，取算术平方根为，是无理数输出. 所以②正确； 当输入，取算术平方根为，是无理数，输出，但是不是正整数. 所以③不正确； 当输入正整数1，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值. 所以④正确. 则不正确的有①③. 故选：D. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破03 平方根和立方根 （知识技巧点拨+18种高频考察题型 共54题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：算术平方根 2 知识点梳理02：与 的性质 2 知识点梳理03：平方根 2 知识点梳理04：立方根 3 知识点梳理05：估算 4 知识点梳理06：用计算器求算术平方根和立方根 5 优选题型 考点讲练 5 题型1 求一个数的算术平方根 5 题型2 利用算术平方根的非负性解题 6 题型3 估计算术平方根的取值范围 6 题型4 无理数整数部分的有关计算 6 题型5 与算术平方根有关的规律探索题 7 题型6 算术平方根的实际应用 8 题型7 平方根概念理解 9 题型8 求一个数的平方根 10 题型9 求代数式的平方根 10 题型10已知一个数的平方根，求这个数 11 题型11 利用平方根解方程 12 题型12 立方根概念理解 12 题型13 求一个数的立方根 12 题型14 已知一个数的立方根，求这个数 13 题型15 与立方根有关的规律探索 14 题型16 立方根的实际应用 15 题型17 算术平方根和立方根的综合应用 16 题型18 程序设计与实数运算 17 知识点梳理01：算术平方根 算术平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 ，即 =，那么这个正数 x 就叫做 的算术平方根 . 特别地，我们规定：0 的算术平方根是0. 因为=9，所以9的算术 平方根是3 表示方法 非负数 的算术平方根记作 ，读作“根号” 4，0 的算术平方根分别是2，0，即. =2, =0 性质 【初中阶段三种形式的非负数：|a|，a2n (n 为正整数)， a (a ≥ 0)】 (1)正数的算术平方根是一个正数，0 的算术平方根是0 (0 =0)，负数没有算术平方根； (2) 的双重非负性 一个数的算术平方根是非负数 非负数才有算术平方根 注意：“ ”的根指数为2，是“2 ” 的简写形式 知识点梳理02：与 的性质 类别 性质 举例 知识点梳理03：平方根 1. 平方根 平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个数 的平方等于，即=，那么这个数 就叫作 的平方根 (也叫作二次方根) 表示方法 正数 的平方根记作±，读作“正、负根号”，其中 表示 的算术平方根， － 表示 的负的平方根。0 的平方根为0 5的平方根记作±；9 的平方根记作±=±3 性质 (1)一个正数有两个平方根； (2) 0只有一个平方根，是它本身； (3)负数没有平方根 2. 开平方：求一个数的平方根的运算，叫作开平方， 叫作被开方数。 注意：(1)开平方时，被开方数 必须是非负数，即 ≥ 0； (2)开平方是求一个非负数的平方根，而不是算术平方根，应注意两者的区别，以免漏解。 3. 开平方与平方根、平方的关系 (1)开平方是一种运算，是求平方根的过程，平方根是数，是开平方的结果。 (2)平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确。 例如：因为 ，所以。 注意：正数开平方的结果有两个，且互为相反数；0 开平方仍为0。 知识点梳理04：立方根 1.立方根的概念 立方根 内容 定义 一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 =，那么这个数 就叫做 的立方根(也叫做三次方根) . 表示方法 每个数都有一个立方根，记作，读作“三次根号” 2. 立方根的性质 (1) 正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数。 (2) 三个重要公式 ①（因为a 的立方根为 ，所以( ) 3=a） ② ③ .（利用= 可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数，如= 2） (3)平方根与立方根的比较 名称 区别 平方根  立方根 被开方数的取值范围不同 在中，a ≥ 0 在中， a 为任意数 性质不同 正数有两个平方根，它们互为相反数 只有非负数才有平方根 正数的立方根是正数 负数也有立方根 0 的平方根是0 0 的立方根是0 负数没有平方根 负数的立方根是负数 表示方法  非负数a的平方根为± a 的立方根为 知识点梳理05：估算 1. 估算无理数的大小 对于带根号的无理数的近似值的估算，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”(即两边无限逼近的方法) 逐步夹逼，首先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。 “精确到”与“误差小于”的区别：如精确到1，是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1，即答案与原数相差不超过1 的都符合题意，答案不唯一。 2. 用估算法比较两个数的大小 (1)用估算法比较两个数的大小，若其中有一个数是无理数， 一般先进行分析，估算出无理数的大致取值范围，再进行具体的比较。 (2)比较两个数的大小时常用的结论：① 若a> ≥ 0，则 > ，>；② 若a>, 则 > ；③ 若<a ≤ 0， 则>。 知识点梳理06：用计算器求算术平方根和立方根 1.求正数的算术平方根 大多数计算器都有 键，用它可以求一个正数的算术平方根，按键顺序为先按键，然后按数字键，再按键，计算器显示的结果就是该数的算术平方根. 2. 求一个数的立方根 (1)有 键的计算器，按键顺序为先按 键，再按数字键，最后按 键，显示结果； (2)有第二功能键的计算器，其按键顺序为先按 键，再按 键，然后按数字键，最后按 键，显示结果. 题型1 求一个数的算术平方根 1．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（   ）． A． B． C．3 D．9 2．（24-25八年级上·湖南永州·期末）下列各数是无理数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东佛山·阶段练习）81的算术平方根为（   ） A． B．3 C． D．9 题型2 利用算术平方根的非负性解题 4．（25-26八年级上·全国·期中）若与互为相反数，则的值为 ． 5．（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）（1）已知，求a、b的值． （2）已知a满足，求的值． 6．（20-21七年级下·广东汕头·期末）已知：，则 ， ． 题型3 估计算术平方根的取值范围 7．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）在哪两个相邻的整数之间？ （2）正确吗？ （3）下列四个结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·全国·课前预习）估算的大小： （1）可以取和2最接近的两个完全平方数：1和 ； （2）因为 ， 所以 ， 即 ． 9．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）估计的值在（ ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 题型4 无理数整数部分的有关计算 10．（24-25八年级上·全国·课后作业）根据材料解答： ，即，的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________； (2)若的小数部分为的整数部分为n，求的值． 11．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）（1）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式． （2） 如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 12．（25-26八年级上·重庆·开学考试）对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数表示不大于的最大整数），称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对连续求根整数2次，，这时候结果为．现有如下四种说法： ①； ②： ③若方程，则满足条件的的整数值有3个； ④进行3次连续求根整数运算后，结果为1的所有正整数中，最大值与最小值之差为239． 其中说法不正确的有（　　） A．① B．② C．③ D．④ 题型5 与算术平方根有关的规律探索题 13．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）已知，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 14．（12-13八年级下·陕西·期中）仔细观察图，认真分析各式，然后解答问题： ，， ，， ，， (1)请用含有（是正整数）的等式表示上述变化规律； (2)推算出的值； (3)求出的值． 15．（22-23七年级下·山东日照·期末）有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 题型6 算术平方根的实际应用 16．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，一个瓶身部分（不包括瓶颈）是圆柱体的瓶子的容积为，瓶内装着水．当瓶子正放时，瓶内水的高度为；将瓶子倒放时，空余部分的高度为．则瓶子的底面半径为（   ） A．3cm B． C．2 D． 17．（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为． (1)围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ (2)围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 18．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）某地气象资料表明：该地的雷雨持续时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径． (1)若某次雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ (2)若一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径是多少千米？ 题型7 平方根概念理解 19．（25-26八年级上·安徽安庆·开学考试）下列说法错误的是（ ） A．的立方根是 B．是的算术平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 20．（25-26八年级上·海南海口·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．任何数都有平方根 B．每一个数的平方根都有两个 C． D．9的算术平方根是3 21．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）4的平方根是（   ） A． B．16 C． D． 题型8 求一个数的平方根 22．（24-25八年级上·四川·期中）的平方根是 ，它的算术平方根是 ，的立方根是 ． 23．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是8 B．的算术平方根是3 C．的立方根是2 D．立方根是它本身的数是1 24．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段练习）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为， 的小数部分为． (1)的整数部分为___________，小数部分为___________． (2)已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 题型9 求代数式的平方根 25．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，b是9的算术平方根，的立方根是． (1)求a，b，c的值； (2)若，求的平方根． 26．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如果，求的值为 ． 27．（24-25七年级下·江西新余·期末）已知的平方根是的立方根是， (1)求和的值； (2)求的平方根 题型10已知一个数的平方根，求这个数 28． （25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知：和是某正数的平方根，的算术平方根为2．求：、的值． 29．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）某正数的两个不相等的平方根分别是和． (1)求的值． (2)求的立方根． 30．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分，求的平方根． 题型11 利用平方根解方程 31．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）（1）计算： （2）若，求的值． 32．（12-13八年级上·安徽·期末）已知，且，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 33．（12-13八年级上·江苏连云港·阶段练习）求下列各式中的实数x． (1)； (2)． 题型12 立方根概念理解 34．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B． C．的立方根是 D．0没有立方根 35．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 36．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）下列说法：（1）是的平方根；（2）任何数都有立方根；（3）一个正数的两个平方根之和为；（4）的算术平方根是；（5）平方根等于它本身的数是和：（6）无限小数一定是无理数．其中错误的有（　　）个 A． B． C． D． 题型13 求一个数的立方根 37．（25-26八年级上·上海·阶段练习）下列各数：、、、、、，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 38．（12-13八年级上·安徽·期末）下列不等关系能成立的是（   ） A． B． C． D． 39．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）在下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型14 已知一个数的立方根，求这个数 40．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一个数的立方根是，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是，求： (1)该正数是多少？ (2)的算术平方根． 42．（25-26八年级上·全国·单元测试）求满足下列各式的未知数： (1)； (2)． 题型15 与立方根有关的规律探索 43．（2025·福建福州·模拟预测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 44．（24-25八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   45．（23-24七年级下·广东江门·阶段练习）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3) 已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 题型16 立方根的实际应用 46．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）解方程： (1) (2) 47．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力．如图的三阶魔方是的正方体结构，本身只有27个小正方体，没有其他结构的方块，已知一个三阶魔方的体积为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为 ． 48．（25-26八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图所示，一个体积为的正方体容器内，A点位置上有一只蜘蛛，B点上有一只蚊子． (1)正方体的边长为 cm； (2)求蜘蛛到蚊子的最短路线长度． (3)若要在该正方体容器内放置一根竹签，求竹签的最长长度． 题型17 算术平方根和立方根的综合应用 49．（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）已知是的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 50．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知的一个平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 51．（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 题型18 程序设计与实数运算 52．（2024七年级下·广东佛山·竞赛）有一个数值转换器，流程如下： 当输入的为256时，输出的是（   ） A． B． C． D．4 53．（23-24七年级下·山东济宁·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（    ）． A．8 B． C．2 D． 54．（2020·河北唐山·一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $