专题三·期中综合复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练运用勾股定理及其逆定理解决折叠、弦图、最短路径等综合压轴问题 · 掌握实数与二次根式的综合运算，能处理新定义、估算与化简求值压轴题 · 会从坐标规律与函数图象中提取信息，建立方程或函数模型求解 · 掌握一次函数的图象性质，能解决一次函数与几何图形综合的压轴题 · 提升几何综合题的分析与推理能力，规范书写证明与计算过程 📚 知识梳理 ☆ 1.勾股定理综合 勾股定理：c2=a2+b2，用于求边长、面积与距离 逆定理：a2+b2=c2判定直角三角形，常与全等、等腰结合 折叠问题：折叠前后对应边相等、对应角相等，常设未知数列方程 弦图与勾股树：利用面积关系与完全平方公式建立等式 概念辨析例题：直角三角形纸片两直角边为6和8，沿直线折叠使直角顶点落在斜边，求折痕相关线段长 答案：设未知线段为x，由折叠对应边相等结合勾股定理列方程求解 解析：折叠问题先标对应边，再在直角三角形中用c2=a2+b2建立方程 ☆ 2.实数与二次根式综合 平方根与立方根：±与∛a，注意被开方数的取值范围 无理数估算：用夹逼法确定整数部分，比较大小时可先平方 二次根式运算：先化最简，再合并同类二次根式，分母有理化 新定义运算：严格按题目给定的规则代入，转化为常规运算 概念辨析例题：计算：()× 答案：7 解析：==6，×=1，合计7 ☆ 3.坐标与函数图象信息 坐标系中距离：点到坐标轴距离为坐标绝对值，两点距离用勾股定理 坐标规律：列表找循环节或递推关系，归纳第n个点坐标 读函数图象：看清横纵轴含义、分段点与拐点的实际意义 变量关系：表格、图象、解析式三种表示互相转化 概念辨析例题：点P(3,-4)到原点的距离是多少？ 答案：5 解析：距离===5 ☆ 4.一次函数综合压轴 y=kx+b：k定增减与方向，b定与y轴交点 与坐标轴交点：令x=0、y=0分别求解 一次函数与几何综合：把点坐标转化为线段长，结合全等与勾股 动点问题：分段讨论运动过程，画出对应函数图象 概念辨析例题：一次函数y=2x-4与坐标轴围成的三角形面积是多少？ 答案：4 解析：与x轴交于(2,0)，与y轴交于(0,-4)，面积=×2×4=4 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 勾股定理 c2=a2+b2 折叠问题常设未知数列方程 逆定理 a2+b2=c2判直角 先找最长边 二次根式 （a≥0） 先化简后合并 无理数估算 夹逼法确定范围 比较大小可先平方 点的距离 到坐标轴看绝对值 一次函数 y=kx+b（k≠0） k、b符号定图象 ⚠️ 核心考点 【考点1】勾股定理及其逆定理（第1-4题） · 在直角三角形中知两边求第三边，先分清斜边直角边 · 用逆定理判定直角：验证两短边平方和等于最长边平方 · 结合全等、等腰时先证三角形关系再算边长 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠局部的面积分别为和，均重叠局部的面积为，则，，满足的大小关系是（　　）    A． B． C． D．无法确定 2．（2024·江苏宿迁·三模）如图，扇形的半径为8，，点C、D、E分别为弧、半径、上的动点，， ，则周长的最小值为________． 3．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）我国古代伟大的数学家刘徽将一个直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，图中所示的长方形就是由两个这样的图形拼成.若（m、n为常数，且），则该长方形的面积是____．（用含有m、n的代数式表示）    4．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，点在边上，，动点在边上，连接、，当的结果为整数时，此时点的个数为________． 【考点2】勾股定理与全等折叠综合（第5-10题） · 折叠问题：对应边相等、对应角相等，设未知数列方程 · 弦图问题用面积法与完全平方公式 · 证明线段关系时先找全等三角形 5．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 6．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按图分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有、、角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图的字形和字形，那么字形图中高与宽的比值为______． 7．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，分别以为边向外作正方形、正方形、正方形，其面积分别为，则之间的等量关系为____________；分别以为边向外作正方形，其面积分别为，则之间的等量关系为_______________． 8．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的中点，动直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为______． 9．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在中，，，以为腰向三角形外作等腰直角，为直角顶点，连接，则的最大值为________． 10．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，． (1)如图1，若，，求点的坐标； (2)如图2，设交轴于点，，若平分，求点的纵坐标； (3)如图3，当点运动到原点时，的平分线交轴于点，，将沿翻折，的对应边的延长线交于点，为线段上一点，且，求的值． 【考点3】实数的运算与无理数估算（第11-21题） · 混合运算按顺序，新定义题严格按规则代入 · 无理数估算用夹逼法，比较大小可先平方 · 化简求值先化简再代入，注意整体代入 11．（2023·重庆铜梁·一模）潼铜在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序的数：，称为数列．计算，将这三个数的最小值称为数列的最佳值．例如，对于数列，因为，所以数列的最佳值为．潼铜进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列的最佳值为；数列的最佳值为1；…经过研究，潼铜发现，对于“”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为；…．根据以上材料，下列说法正确的个数有 ①数列的最佳值为； ②将“，，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列取得最佳值最小值的数列为； ③将2，，这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值为1，则满足条件的值有4个． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 12．（19-20八年级下·云南红河·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按上述规律，第个等式（   ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级上·四川成都·期中）若是无理数，是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．一定是无理数 B．一定是无理数 C．一定是有理数 D．一定是无理数 14．（23-24九年级下·重庆·期中）一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“压轴数”．将“压轴数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“压轴数”的千位数字的3倍求和，记作．则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为_____．有两个四位正整数，（、、、，）均为“压轴数”，若能被7整除且能被13整除，则满足条件的值的和为_____． 15．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入一个固定的循环圈，这就是“冰雹猜想”．例如，数对经过第1次运算得到数对，经过第2次运算得到数对，以此类推，则经过2026次运算后得到数对________． 16．（25-26七年级上·山西长治·期中）规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，．现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为______． 17．（25-26七年级下·辽宁鞍山·阶段检测）探究解题 (1)如图1，将两个边长为1的小正方形沿虚线剪裁后拼成一个大正方形，则大正方形的边长=______； (2)在数轴上表示出点M，使点M表示的数为图1中大正方形的边长（要求保留痕迹并用简单语言描述确定点M位置的过程）； (3)按照国际标准，A系列纸为长方形，且长宽比为定值，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸······． 现将纸按如图2所示的方式折叠，会发现A系列纸的长宽比值=______；你能根据此比值计算纸的长与宽分别是多少毫米吗？（结果取整数，注：，，） 18．（25-26七年级下·江西南昌·期中）解答以下问题 (1)图中的两个小正方形卡纸边长均为，用这两个小正方形剪拼成图所示的一个大正方形，图中拼成的大正方形的边长为______；若图中大正方形的边长为，则图中的两个小正方形边长均为_____________． (2)我们知道A4卡纸可以按图3所示的方式折叠，若一张面积为 的卡纸也可以按图3方式折叠，则卡纸长为_______，宽为_____． (3)（2）中面积为 的卡纸能否按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出？请通过计算说明理由． 19．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定： (1)填空： ， ； (2)记，试说明：． 20．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图1，将数轴在处左边部分逆时针旋转，再将处下方部分逆时针旋转，最后将右边部分逆时针旋转，得到如图1的“打结数轴”．    (1)在“打结数轴”上，与数字0重合的数是_____； (2)如图2，对应的点为B，以O为圆心，长为半径画圆，与“打结数轴”的交点为D、E．使得点D、E与原点O的距离相等．且D、E表示的数分别为a、b．则 ① a、b是_______（填有理数或无理数）； ② a_____1.5．（填“＞”“＝”“＜”）． ③_______． (3)如图3，在“打结数轴”上，点P表示的数是，有两只电子蚂蚁甲和乙，甲从点P出发，向下运动到点C后，立即返回向上运动，速度为每秒2个单位，乙从原点O出发，沿数轴正方向运动，速度为每秒1个单位．电子蚂蚁甲和乙在“打结数轴”上的对应的数为m、n．若电子蚂蚁甲和乙同时出发，运动时间为t秒．问：为何值时，． 21．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 【考点4】二次根式的化简与运算（第22-27题） · 先化最简二次根式，再合并同类二次根式 · 分母有理化：分子分母同乘适当因式 · 利用=|a|，注意字母符号 22．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）a、b是两个任意实数，则下列不等式中不成立的是（    ）． A． B． C． D． 24．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）若，则________． 25．（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 26．（25-26八年级下·全国·周测）阅读下列解题过程： ； ； ； … (1)__________，__________． (2)利用这一规律计算：． (3)观察上面的解题过程，计算：（为正整数）． 27．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）阅读下列材料，并回答问题．； ； ； ； … (1)填空：__________；比较大小：__________；（填“”或“”） (2)观察上述算式，仿照上述方法计算（是正整数）； (3)计算：（提示：）． 【考点5】坐标规律与位置确定（第28-30题） · 列表写出前几个点坐标找规律 · 区分循环规律与递推规律 · 实际位置问题建立坐标系用坐标表示 28．（25-26七年级下·云南红河·期末）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 29．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2026次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 30．（2025·江苏南京·一模）如图，有一系列正方形，则的坐标为_______． 【考点6】一次函数的图象与性质（第31-36题） · 由k、b符号判断经过象限与增减性 · 与坐标轴交点：令x=0、y=0 · 平移规律：上加下减在b，左加右减换x 31．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图1，四边形中，，，P从A点出发，以每秒一个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t秒，的面积为S，S关于t的函数图像如图2所示，当P运动到中点时，的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 32．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知点，在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 34．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）二次函数的图象如图所示，将它绕顶点旋转后，再沿直线向右上方平移（顶点在直线上），得到二次函数的图象．设二次函数的图象与x轴交于点B，C，顶点A的横坐标为． (1)顶点A的纵坐标为__________（用含n的代数式表示）； (2)若，求线段的长； (3)若的长为4，求n的值． 35．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）在平面直角坐标系中，对点和点给出了定义：若则称点Q为点P的“联动点”．例如：点的联动点的坐标是点． (1)点的联动点的坐标为 ；点是点M的联动点，则点M的坐标为 ； (2)若点，均是一次函数图象上某一个点的联动点，求k和c的值； (3)若点P在函数的图象上，求点P的联动点Q的纵坐标的取值范围． 36．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【考点7】一次函数的实际应用（第37-39题） · 从图象分段读取信息，找拐点 · 先设函数关系式，代入已知点求k、b · 行程、计费问题注意自变量取值范围 37．（23-24九年级上·重庆·期中）已知甲，乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，则下列说法错误的是（    ） A． B．点F的坐标为 C．出租车从乙地返回甲地的速度为 D．出租车返回的过程中，货车出发或都与出租车相距 38．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）． 小数比小文先出发15秒； 小文提速后的速度为； ； 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距． A． B． C． D． 39．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，底面积为的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”，现向容器内均匀注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图所示，若“几何体”下方圆柱体的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的底面积为（   ）． A． B． C． D． 【考点8】一次函数与几何综合压轴（第40-45题） · 把点坐标转化为线段长，结合全等与勾股 · 动点问题分段讨论，画出对应图象 · 存在性问题先假设存在再列方程验证 40．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，已知，过A点的直线轴于点M，交直线于点N，点P是直线上的一个动点，连接，并以为直角边向其右侧作一个等腰，，当P点从O点运动到N点的过程中，点B的路径长为________；连接，求当P点在直线上运动的过程中，的最小值为________． 41．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为，点D的坐标为，则线段的最小值为_____． 42．（25-26八年级上·全国·单元测试）【探索发现】如图①，等腰直角三角形中，．直线经过点，过作于点，过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”． 【迁移应用】已知直线与轴、轴分别交于两点． (1)如图（2），当时，在第一象限构造等腰直角三角形． ①________，________； ②点的坐标为________． (2)如图③，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，且．连接的面积是否发生变化？请说明理由． 43．（2023·江苏徐州·模拟预测）阅读理解：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知3个点：则线段的“等距点”是______，线段的“完美等距点”是______； (2)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”且为线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标． 44．（25-26八年级上·辽宁锦州·阶段检测）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点D，E．易证：． （1）①如图1，若，则__________； ②如图2，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标． 【拓展探究】 （2）如图3，的图象分别交轴和轴于A、B两点，点坐标为，点在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请求出点的坐标． 45．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题： 【初步感知】 ________ ________ （1）补全表格中横线部分的数据，并在图所给的坐标系中画出函数的图像； 【探究性质】 （2）观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题： 当时，的值随的值增大而减小；当时，；该函数存在最小值，最小值为；该函数图像是轴对称图形． 其中正确的是___________．（请写出所有正确命题的序号） （3）当时，求的取值范围； 【类比应用】 （4）一次函数（为常数，）的图像过点，若关于，的方程组无解，则的取值范围是___________； 在平面内构造，其中点，，，当函数的图像与的边有个公共点时，请直接写出的取值范围． 💯 课后巩固 复习建议 · 勾股过关：折叠、弦图、最短路径要会设未知数列方程 · 实数过关：新定义与估算按规则代入，混合运算按顺序 · 二次根式过关：先化简后合并，分母有理化要熟练 · 坐标过关：规律题列表找关系，距离公式要会用 · 函数过关：图象与几何综合先转化坐标，再结合勾股全等 【作业1】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知a、b、c是的三边长，则下列说法中不成立的一项是（    ）． A．若，则一定是直角三角形 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则可能是直角三角形 【作业2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为（　　） A． B． C． D． 【作业5】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边长（），则下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【作业6】．（24-25七年级下·山东临沂·期中）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ____ ． 【作业7】．（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别是，则____：你发现这7个正方形摆放的规律了吗？用你所发现的规律继续摆放正方形，一直到，那么____． 【作业8】．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）已知，当分别取自然数时，所对应值的总和是___________ 【作业9】．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是______． 【作业10】．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是_______ 【作业11】．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线与x轴交于，则下列说法中：①随的增大而减小，②，③关于x的方程的解为，其中正确的有_______ ．（填序号） 【作业12】．（25-26八年级上·四川·期中）恒等变形是代数求值的一个重要方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 【阅读材料】当时，求． 方法：将条件变形，两边同时平方得：， 所以移项得：，两边同时乘x得：， 原式 【类比应用】（1）已知，求的值． 【深入思考】（2）已知，求的值． 【拓展延伸】（3）已知，求的值． 【作业13】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，．动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿折线运动，到达B点时停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y． (1)求y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积等于3时，结合函数图象，求t的值． 【作业14】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）用科学计算器求（n为正整数）的近似值（精确到0．001）如下，从不同角度观察并思考． (1)变化趋势 随着n的增大，的值随之________（填“增大”或“减小”）．从图形的视角出发可以用一句话解释这种关系：_________． (2)分布规律 1与2之间的不完全开方数有2个：，； 2与3之间的不完全开方数有4个：，，，； 3与4之间的不完全开方数有6个：，，，，，； …… 以上的2个、4个、6个、8个，是巧合还是必然？ 如果是巧合，请举出反例；如果是必然，请用符号解释两个相邻正整数之间的不完全开方数的个数总满足以上规律． (3)运算关系 注意到，，三者恰好满足，，于是推理得出它们之间的运算关系为，． ①从表格中再找出具备类似关系的3个值，并仿照写出它们之间的运算关系； ②结合以上发现，求的值（精确到个位）． 【作业15】．（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，，求点到直线的距离； (2)如图2，点在的内部，试直接写出，，之间的数量关系________． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练运用勾股定理及其逆定理解决折叠、弦图、最短路径等综合压轴问题 · 掌握实数与二次根式的综合运算，能处理新定义、估算与化简求值压轴题 · 会从坐标规律与函数图象中提取信息，建立方程或函数模型求解 · 掌握一次函数的图象性质，能解决一次函数与几何图形综合的压轴题 · 提升几何综合题的分析与推理能力，规范书写证明与计算过程 📚 知识梳理 ☆ 1.勾股定理综合 勾股定理：c2=a2+b2，用于求边长、面积与距离 逆定理：a2+b2=c2判定直角三角形，常与全等、等腰结合 折叠问题：折叠前后对应边相等、对应角相等，常设未知数列方程 弦图与勾股树：利用面积关系与完全平方公式建立等式 概念辨析例题：直角三角形纸片两直角边为6和8，沿直线折叠使直角顶点落在斜边，求折痕相关线段长 答案：设未知线段为x，由折叠对应边相等结合勾股定理列方程求解 解析：折叠问题先标对应边，再在直角三角形中用c2=a2+b2建立方程 ☆ 2.实数与二次根式综合 平方根与立方根：±与∛a，注意被开方数的取值范围 无理数估算：用夹逼法确定整数部分，比较大小时可先平方 二次根式运算：先化最简，再合并同类二次根式，分母有理化 新定义运算：严格按题目给定的规则代入，转化为常规运算 概念辨析例题：计算：()× 答案：7 解析：==6，×=1，合计7 ☆ 3.坐标与函数图象信息 坐标系中距离：点到坐标轴距离为坐标绝对值，两点距离用勾股定理 坐标规律：列表找循环节或递推关系，归纳第n个点坐标 读函数图象：看清横纵轴含义、分段点与拐点的实际意义 变量关系：表格、图象、解析式三种表示互相转化 概念辨析例题：点P(3,-4)到原点的距离是多少？ 答案：5 解析：距离===5 ☆ 4.一次函数综合压轴 y=kx+b：k定增减与方向，b定与y轴交点 与坐标轴交点：令x=0、y=0分别求解 一次函数与几何综合：把点坐标转化为线段长，结合全等与勾股 动点问题：分段讨论运动过程，画出对应函数图象 概念辨析例题：一次函数y=2x-4与坐标轴围成的三角形面积是多少？ 答案：4 解析：与x轴交于(2,0)，与y轴交于(0,-4)，面积=×2×4=4 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 勾股定理 c2=a2+b2 折叠问题常设未知数列方程 逆定理 a2+b2=c2判直角 先找最长边 二次根式 （a≥0） 先化简后合并 无理数估算 夹逼法确定范围 比较大小可先平方 点的距离 到坐标轴看绝对值 一次函数 y=kx+b（k≠0） k、b符号定图象 ⚠️ 核心考点 【考点1】勾股定理及其逆定理（第1-4题） · 在直角三角形中知两边求第三边，先分清斜边直角边 · 用逆定理判定直角：验证两短边平方和等于最长边平方 · 结合全等、等腰时先证三角形关系再算边长 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠局部的面积分别为和，均重叠局部的面积为，则，，满足的大小关系是（　　）    A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】此题重点考查勾股定理、正方形的面积公式、根据转化思想解决面积问题等知识与方法，确定三边为a，b，c的直角三角形的斜边为c是解题的关键．根据题意知该直角三角形的斜边为c，则有，表示出并化简，另表示出，将两结果对比则可判断出结果． 【详解】解：∵直角三角形的三边a，b，c满足， ∴该直角三角形的斜边为c， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（2024·江苏宿迁·三模）如图，扇形的半径为8，，点C、D、E分别为弧、半径、上的动点，， ，则周长的最小值为________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理、动点问题、最短路径问题等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 如图：过C作，设，则，由勾股定理可得，即的周长为；再说明当时，即E、H重合时，最短，x最小，周长的最小，进而得到点D、O重合，即可得，最后代入周长公式计算即可． 【详解】解：如图：过C作，设，则 ∴， ∴的周长为， ∵E是上的动点， ∴当E、H重合时，最短，x最小，周长的最小， ∵， ∴点D、O重合，即， ∴，即， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）我国古代伟大的数学家刘徽将一个直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，图中所示的长方形就是由两个这样的图形拼成.若（m、n为常数，且），则该长方形的面积是____．（用含有m、n的代数式表示）    【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的证明、矩形的面积、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先设出小正方形的边长为，然后根据题意和勾股定理，可以得到，然后再根据，可以得到的值，从而可以求得该长方形的面积． 【详解】解：设小正方形的边长为，则图中最大的直角三角形的斜边为，一条直角边为，另一条直角边为， ， ， ， ， 即， 解得， 大长方形的面积为， 长方形的面积为， 故答案为： 4．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，点在边上，，动点在边上，连接、，当的结果为整数时，此时点的个数为________． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】作，点在线段上，且，连接，连接交于点，根据两点之间线段最短，结合勾股定理，求出“当点、、在同一直线上时，即点运动到时的最小值”，从向两端运动，逐渐变大，利用勾股定理，分别求出“当点运动到和点重合时”和“当点运动到和点重合时”，的值，根据的数值变化范围，分析得出当的结果为整数时，此时点的个数即可． 【详解】解：如图，作，点在线段上，且，连接，连接交于点， ∵在中，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当点、、在同一直线上时，即点运动到时最小， 当点运动到和点重合时，， 当点运动到和点重合时，， ∵，， ∴，， ∴， ∵大于并小于等于的整数有“，”这个， 大于并小于的整数有“，，，，，，”这个 ∴线段上有个点的位置，使得的结果为整数；线段上有个点的位置，使得的结果为整数， ∴，即当的结果为整数时，此时点的个数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了动点与最小路径问题，结合勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点、分类讨论、数形结合是解题的关键． 【考点2】勾股定理与全等折叠综合（第5-10题） · 折叠问题：对应边相等、对应角相等，设未知数列方程 · 弦图问题用面积法与完全平方公式 · 证明线段关系时先找全等三角形 5．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定，根据勾股定理求得，根据折叠的性质以及勾股定理求得，过点作于点，证明，进而得出，勾股定理求得的长，进而在中，利用勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴ ∵将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上， ∴，，， ∴ 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴， 如图，过点作于点， ∵，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∴， 设，则 在中， ∴ 解得：，即，则， ∴， ∴， 故选：A． 6．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按图分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有、、角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图的字形和字形，那么字形图中高与宽的比值为______． 【答案】 【知识点】二次根式的应用、用七巧板拼图形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了几何变换，根据图与图的拼图结果得出线段间的相等关系，求得与，进而即可求解，解题的关键是弄清题意，能从图形中找出线段间关系． 【详解】解：如图， ∵图由一个长方形分割而成，且图中只有、、的角， ∴线段线段， ∴， 由图可知， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，分别以为边向外作正方形、正方形、正方形，其面积分别为，则之间的等量关系为____________；分别以为边向外作正方形，其面积分别为，则之间的等量关系为_______________． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 利用勾股定理可得；过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，证明，即可用表示出，即可解答． 【详解】解：设中，，则， 根据题意可得， ， 如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点， 根据题意可得，即， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 根据勾股定理可得，即， 同理可得， ，， ， 根据勾股定理可得，即， 根据勾股定理可得， 即， ， 故答案为：；． 8．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的中点，动直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为______． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，可证得，再证明，从而得到，然后根据，可得，然后根据勾股定理可得，再由当时，与重合，则最大为，即可．作适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点， ，， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是长方形， ， ， ， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， 当时，与重合，则最大为， 即的最大值为， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在中，，，以为腰向三角形外作等腰直角，为直角顶点，连接，则的最大值为________． 【答案】/ 【知识点】利用二次根式的性质化简、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的性质等知识点，解题的关键是正确构造全等三角形． 在上方，以C为直角顶点作等腰直角三角形，先由勾股定理求出，再证明，则，由于，当点共线时，取得最大值． 【详解】解：如图，在上方，以C为直角顶点作等腰直角三角形，则， ∴， 连接， 由题意得， ∴， ∴， ∴ ∴， 当点共线时，取得最大值为 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，． (1)如图1，若，，求点的坐标； (2)如图2，设交轴于点，，若平分，求点的纵坐标； (3)如图3，当点运动到原点时，的平分线交轴于点，，将沿翻折，的对应边的延长线交于点，为线段上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）过点B作轴于点D，通过证明，得出，即可求出点B的坐标； （2）过点B作轴，交x轴于点E，交的延长线于点F，先证明，得出，根据平分，，得出，即可求出点B的纵坐标； （3）连接，过点E作于点M，过点E作于点N，根据折叠的性质和角平分线的性质推出，通过证明，得出，通过证明，得出，即可得出，最后证明，得出，即可求解． 【详解】（1）过点B作轴于点D， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）过点B作轴，交x轴于点E，交的延长线于点F， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴点B的纵坐标为； （3）连接，过点E作于点M，过点E作于点N， 由折叠的性质可得：， ∵，，， ∴， ∵为的角平分线，，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形综合，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；折叠前后对应角相等；角平分线上的点到两边距离相等． 【考点3】实数的运算与无理数估算（第11-21题） · 混合运算按顺序，新定义题严格按规则代入 · 无理数估算用夹逼法，比较大小可先平方 · 化简求值先化简再代入，注意整体代入 11．（2023·重庆铜梁·一模）潼铜在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序的数：，称为数列．计算，将这三个数的最小值称为数列的最佳值．例如，对于数列，因为，所以数列的最佳值为．潼铜进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列的最佳值为；数列的最佳值为1；…经过研究，潼铜发现，对于“”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为；…．根据以上材料，下列说法正确的个数有 ①数列的最佳值为； ②将“，，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列取得最佳值最小值的数列为； ③将2，，这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值为1，则满足条件的值有4个． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题是一道数与式中的新定义问题，理解最佳值的定义以及正确的分类讨论是解题的关键．根据题中对最佳值的定义，结合分类讨论的思想可解决问题． 【详解】解：①，，，且， 这个数列的最佳值是，故①正确； ②把“，，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得以下数列：（1），2，；（2），，2；（3）2，，；（4）2，，；（5），，2；（6），2，； （1），，，此数列的最佳值为； （2），，，此数列的最佳值为； （3），， 此数列的最佳值为； （4），，，此数列的最佳值为1； （5），，，这个数列的最佳值是； （6），，，这个数列的最佳值是； ， 取得最佳值最小值的数列为：（2）（6），故②不正确； ③分类讨论的思想同②， 经计算当或10或11时，若干数列中，有数列的最佳值为1．故③错误． 故选：C 12．（19-20八年级下·云南红河·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按上述规律，第个等式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了整式的规律、算术平方根等知识点，从已有式子中发现规律是解题的关键． 直接根据已有式子和算术平方根归纳规律即可． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， …… 第n个等式：． 故选：D． 13．（25-26八年级上·四川成都·期中）若是无理数，是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．一定是无理数 B．一定是无理数 C．一定是有理数 D．一定是无理数 【答案】A 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、无理数、实数的性质 【分析】本题考查了有理数、无理数的概念理解，算术平方根的性质，实数的性质等知识点． 根据无理数和有理数的性质，有理数与无理数的和一定是无理数；有理数与无理数的积不一定无理数（如乘以0）；无理数的平方不一定有理数；无理数的平方根不一定有意义或不一定无理数（如a为负数时无意义）． 【详解】解：∵ a 是无理数，b 是有理数， A：假设是有理数，则，由于有理数减有理数仍为有理数，故a为有理数，与已知矛盾，∴一定是无理数，A 正确； B：若，则为有理数，∴ B 错误； C：例如（无理数），则为无理数，∴ C 错误； D：若，则无实数意义；若，且为有理数，则为有理数，与已知矛盾，故为无理数，但由于 a 可能为负数，∴不一定是无理数，D 错误； 因此，正确答案为 A， 故选：A． 14．（23-24九年级下·重庆·期中）一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“压轴数”．将“压轴数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“压轴数”的千位数字的3倍求和，记作．则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为_____．有两个四位正整数，（、、、，）均为“压轴数”，若能被7整除且能被13整除，则满足条件的值的和为_____． 【答案】 7807 9507 【知识点】新定义下的实数运算、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了列代数式、整除等知识点．根据定义得出最大的“压轴数”与最小的“压轴数”，计算即可；根据定义计算出和，然后根据能被7整除且能被13整除，即可求解． 【详解】解：要想使“压轴数”最大，则千位是最大的一位数， 又∵各个数位上的数字均不为零，个位数字等于十位数字与千位数字之和， ∴千位不能为9，即千位最大是8，最小是1， ∴最大的“压轴数”是8919，最小的“压轴数”是1112， 则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为； ，， ∴， ∵个位数字等于十位数字与千位数字之和， ∴，， ∴， ∴， ∵能被7整除且能被13整除， ∴能被7整除，能被13整除， ∵ ∴， ∴， ∴能被7整除， ∵， 当，时，能被7整除，此时； 当，时，能被7整除，此时； 其余取值均不符合， ∴满足条件的值的和为； 故答案为：7807，9507． 15．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入一个固定的循环圈，这就是“冰雹猜想”．例如，数对经过第1次运算得到数对，经过第2次运算得到数对，以此类推，则经过2026次运算后得到数对________． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】根据新定义运算规则依次计算前若干次运算的结果，找出循环规律，再根据规律计算指定次数的结果即可． 【详解】解：初始数对为， 经过第次运算得到， 经过第次运算得到， 经过第次运算得到， 经过第次运算得到， 经过第次运算得到， 经过第次运算得到， 经过第次运算得到， 经过第次运算得到， 经过第次运算得到， 经过第次运算得到， 经过第次运算得到， ……， 由此可得规律：从第次运算开始，结果以，，为一个循环，周期为， ∵， ∴经过2026次运算后得到数对． 16．（25-26七年级上·山西长治·期中）规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，．现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为______． 【答案】4 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，涉及算术平方根和取整运算，根据定义，逐步计算2025的算术平方根并取整，直到结果为1． 【详解】解：对2025进行操作： 第一次操作，； 第二次操作，； 第三次操作，； 第四次操作，， 故进行了4次操作后变为1， 故答案为：4． 17．（25-26七年级下·辽宁鞍山·阶段检测）探究解题 (1)如图1，将两个边长为1的小正方形沿虚线剪裁后拼成一个大正方形，则大正方形的边长=______； (2)在数轴上表示出点M，使点M表示的数为图1中大正方形的边长（要求保留痕迹并用简单语言描述确定点M位置的过程）； (3)按照国际标准，A系列纸为长方形，且长宽比为定值，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸······． 现将纸按如图2所示的方式折叠，会发现A系列纸的长宽比值=______；你能根据此比值计算纸的长与宽分别是多少毫米吗？（结果取整数，注：，，） 【答案】(1) (2) 点M即为所求， (3)，纸的长是1183毫米，宽是845毫米． 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合等面积法以及算术平方根的应用，进行分析，即可作答． （2）结合题意，作出腰长为1的等腰，腰长，以的长为半径画弧交数轴的正方向于一点，即为点M， （3）观察折叠过程，与（1）同理，得纸的长宽之比是，再根据面积公式列式，然后计算化简，即可作答． 【详解】（1）解：∵将两个边长为1的小正方形沿虚线剪裁后拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积， ∴大正方形的边长； （2）解：作出腰长为1的等腰，腰长，连接，再以点为圆心，以的长为半径画弧交数轴的正方向于一点， （3）解：由（1）得2个边长为1的正方形拼接成边长为的大正方形，此时小正方形的对角线就是大正方形的边长，故等腰直角三角形的斜边与腰长的比值为， 观察折叠过程，与（1）同理，得纸的长宽之比是， 设纸的宽为毫米，长为毫米， ∵纸面积平方毫米， ∴， 则， ； 答：纸的长是1183毫米，宽是845毫米． 18．（25-26七年级下·江西南昌·期中）解答以下问题 (1)图中的两个小正方形卡纸边长均为，用这两个小正方形剪拼成图所示的一个大正方形，图中拼成的大正方形的边长为______；若图中大正方形的边长为，则图中的两个小正方形边长均为_____________． (2)我们知道A4卡纸可以按图3所示的方式折叠，若一张面积为 的卡纸也可以按图3方式折叠，则卡纸长为_______，宽为_____． (3)（2）中面积为 的卡纸能否按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出？请通过计算说明理由． 【答案】(1) ，  a (2) ， 3 (3) 不能剪出，理由如下： 面积为的大正方形，边长为， 而（2）中卡纸的长为， 计算得：， 若卡纸需沿大正方形卡纸的边的方向剪出， 则卡纸的长和宽都必须小于大正方形的边长才能剪出， ∵卡纸的长为，大于， ∴卡纸不能按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出． 【知识点】算术平方根的实际应用、实数的大小比较 【分析】本题考查了图形的折叠，实数的计算． （1）根据折叠的特点可知小正方形的对角线是大正方形的边长，作答即可； （2）设卡纸宽为，根据折叠的特点可知第一次折叠的折痕刚好在第二次折叠中与卡纸的长边重合，即可作答即可； （3）确定出卡纸的长与大正方形的边长的大小，即可判定． 【详解】（1）解：∵小正方形的对角线是大正方形的边长， ∴当小正方形卡纸边长均为时，大正方形的边长为； ∵大正方形的边长为，小正方形的对角线是大正方形的边长， ∴小正方形卡纸边长均为：； （2）设卡纸宽为，如下图， 根据折叠可知：第一次折叠的折痕刚好在第二次折叠中与卡纸的长边重合， 根据正方形的特点，可得第一次的折痕长度为：，即卡纸的长边长为：， ∵卡纸的面积为 ， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴卡纸的长边为：， 故答案为： ， 3； （3）略． 19．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定： (1)填空： ， ； (2)记，试说明：． 【答案】(1)3,4 (2) 解：∵， ∴； ∵ ， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴． 【知识点】有理数的乘方运算、新定义下的实数运算、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了新定义运算，乘方运算，同底数幂的乘法运算，解题的关键掌握各运算法则． （1）利用新定义运算法则进行计算即可； （2）利用新定义法则进行整理，然后利用同底数幂的乘法法则进行证明即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴； ， ∴； 故答案为：3,4； （2）略 20．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图1，将数轴在处左边部分逆时针旋转，再将处下方部分逆时针旋转，最后将右边部分逆时针旋转，得到如图1的“打结数轴”．    (1)在“打结数轴”上，与数字0重合的数是_____； (2)如图2，对应的点为B，以O为圆心，长为半径画圆，与“打结数轴”的交点为D、E．使得点D、E与原点O的距离相等．且D、E表示的数分别为a、b．则 ① a、b是_______（填有理数或无理数）； ② a_____1.5．（填“＞”“＝”“＜”）． ③_______． (3)如图3，在“打结数轴”上，点P表示的数是，有两只电子蚂蚁甲和乙，甲从点P出发，向下运动到点C后，立即返回向上运动，速度为每秒2个单位，乙从原点O出发，沿数轴正方向运动，速度为每秒1个单位．电子蚂蚁甲和乙在“打结数轴”上的对应的数为m、n．若电子蚂蚁甲和乙同时出发，运动时间为t秒．问：为何值时，． 【答案】(1) (2)①无理数②③ (3)或 【知识点】实数与数轴、实数的混合运算、几何问题(一元一次方程的应用)、勾股定理与无理数 【分析】（1）根据题意和图形，即可得出结果； （2）勾股定理求出的长，进而确定表示的数，进行判断和计算即可； （3）分蚂蚁甲到达点C之前，和蚂蚁甲从点返回两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：由题意，和图可知，与数字0重合的数是， 故答案为：； （2）①由图可知：， ∴， ∴， ∴a、b是无理数； 故答案为：无理数； ②， 故答案为：； ③∵， ∴； 故答案为：； （3），， ①蚂蚁甲到达点C之前，即：时，， ∴，解得：； ②蚂蚁甲从点返回，即：时，则：， ∴，解得：； 综上：或． 【点睛】本题考查实数数轴，勾股定理与无理数，一元一次方程的实际应用．解题的关键是正确的识图，读懂题意，正确的列出方程． 21．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 【答案】(1) 42，110 (2) 14 (3) 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了二次根式的规律探索与应用，解题的关键是通过观察等式特征，归纳出一般规律并用于计算与化简． （1）直接利用规律计算； （2）利用规律列方程求解； （3）先根据规律化简每一项，再用裂项相消法求和． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ， 即， 解得（舍去）． （3）解：原式 ． 【考点4】二次根式的化简与运算（第22-27题） · 先化最简二次根式，再合并同类二次根式 · 分母有理化：分子分母同乘适当因式 · 利用=|a|，注意字母符号 22．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将变形为，配方得到，根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵m，n均为正实数， ∴可化为， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故选：B 23．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）a、b是两个任意实数，则下列不等式中不成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、通过对完全平方公式变形求值、利用二次根式的性质化简 【分析】对于A，通过，即可判断；对于B、通过，结合即可判断；对于C、通过，结合，分当时， 当时进行判断即可；对于D，取即可判断． 【详解】解：A、∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴，故A不符合题意； B、， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故B不符合题意； C、 ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， 当时，则， ∵此时， ∴， 综上，， ∴， ∴，故C不符合题意； D、取，， 不满足，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，平方的非负性，化简绝对值，化简二次根式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）若，则________． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查与二次根式有关的代入求值，先有理化分母化简得到，整理得，最后代入已知条件计算得出结果。 【详解】解：， ∴， ∴， 整理得， ∴ ， 故答案为：． 25．（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】（1）模仿示例，分子分母同乘，利用平方差公式分母有理化； （2）观察示例规律，给的分子分母同乘​，化简得到式子； （3）先利用（2）的规律将每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，合并后再与相乘计算结果 【详解】（1）解：分子分母同乘： 原式 ． （2）解：分子分母同乘​： 原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，掌握利用平方差公式对​型分式分母有理化，及相邻二次根式差的合并规律是解题的关键． 26．（25-26八年级下·全国·周测）阅读下列解题过程： ； ； ； … (1)__________，__________． (2)利用这一规律计算：． (3)观察上面的解题过程，计算：（为正整数）． 【答案】(1)   (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）通过观察已知例子，总结被开方数的规律，再利用二次根式的性质化简； （2）先根据规律将每个根式转化为分数形式，再通过约分计算乘积； （3）先对被开方数通分，再结合完全平方公式和二次根式性质化简． 【详解】（1）解：对于： ∵， ∴． 对于： ∵， ∴． （2）解： ． （3）解：对被开方数通分并化简： ∵为正整数 ∴，即． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与规律探究，解题关键是通过观察例子总结出根式的化简规律，再利用分式约分、完全平方公式等知识进行计算． 27．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）阅读下列材料，并回答问题．； ； ； ； … (1)填空：__________；比较大小：__________；（填“”或“”） (2)观察上述算式，仿照上述方法计算（是正整数）； (3)计算：（提示：）． 【答案】(1)； (2) (3)44 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了二次根式的运算，读懂阅读材料找到算式规律是解题的关键． （1）根据材料计算方法即可得到第一个填空答案；根据材料计算方法可知，，结合即可得到答案； （2）仿照材料方法计算即可； （3）仿照材料方法计算可求得，原式，进一步计算即可． 【详解】（1）解：， 根据材料可知，，， ， ， 故答案为：，； （2）解： （3）解： 【考点5】坐标规律与位置确定（第28-30题） · 列表写出前几个点坐标找规律 · 区分循环规律与递推规律 · 实际位置问题建立坐标系用坐标表示 28．（25-26七年级下·云南红河·期末）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】观察可知，每6个点一个循环，每个循环横坐标增加8，纵坐标以2，2，0，，，0，进行循环，求解即可. 【详解】解：观察可知，每6个点一个循环，每个循环横坐标增加8，纵坐标以2，2，0，，，0，进行循环， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为. 29．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2026次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中坐标的规律问题，掌握点的运动规律，行程问题中的相遇问题的计算方法是解题的关键． 运用行程问题中的相遇问题，根据矩形的周长，确定每次相遇时点的坐标，从而找出规律，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，四边形周长为， 如图，设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点， ∴，，，， 设点、运动时间为秒， 由题意得，点、第1次相遇时，，解得（秒），则相遇点为， ∵第1次相遇后，点从点按逆时针方向出发，每秒3个单位做环绕运动， 点从点按顺时针方向出发，每秒2个单位做环绕运动，且每次相遇后都按此进行运动， ∴，解得（秒），即每2秒相遇1次，点运动6个单位，点运动4个单位， ∴第2次相遇在点，第3次相遇在点，第4次相遇在点，第5次相遇在点，第6次相遇在点，， ∴每5次相遇点重合一次， ∴， ∴第2026次相遇点的坐标是． 故选：A． 30．（2025·江苏南京·一模）如图，有一系列正方形，则的坐标为_______． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了图形的坐标规律变化类问题，根据图形可得，，，，即得圆心的序号为偶数时，横坐标为，纵坐标为，据此即可求解，根据图形找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图得到，，，，， 即圆心的序号为偶数时，横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为， 故答案为：． 【考点6】一次函数的图象与性质（第31-36题） · 由k、b符号判断经过象限与增减性 · 与坐标轴交点：令x=0、y=0 · 平移规律：上加下减在b，左加右减换x 31．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图1，四边形中，，，P从A点出发，以每秒一个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t秒，的面积为S，S关于t的函数图像如图2所示，当P运动到中点时，的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像、三角形面积公式，看懂函数图像是解决问题的关键． 首先结合图形和函数图像判断出和，进而可得的长，从而可得E点坐标，然后再计算出当时直线解析式，然后再代入t的值计算出s即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：四边形是梯形， 当点P从C运动到D处需要2秒，则，在处时，面积为3， 则， 根据图像可得当点P运动到B点时，面积为9， 则，则运动时间为6秒， ∴， 设当时，函数解析式为， 将，分别代入，得 ∴， 解得：， ∴当时，函数解析式为， 当P运动到中点时，， 则． 故选：B． 32．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知点，在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 通过比较两点横坐标的大小和函数值的大小关系，判断一次函数的增减性，从而列出关于m的不等式求解即可． 【详解】解：∵，在一次函数的图象上，且，， ∴y随x的增大而减小， ∴，解得： ． 故选D． 33．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t的值正确画出图象理解题意是解题的关键．画出函数图象，利用图象可得t的取值范围． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴直线与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为， ∵， ∴， 当时，，此时，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1， 当时，，此时，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2， 当时，，，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3， ∵直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， ∴且， 故选：D． 34．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）二次函数的图象如图所示，将它绕顶点旋转后，再沿直线向右上方平移（顶点在直线上），得到二次函数的图象．设二次函数的图象与x轴交于点B，C，顶点A的横坐标为． (1)顶点A的纵坐标为__________（用含n的代数式表示）； (2)若，求线段的长； (3)若的长为4，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、解直角三角形等知识点，掌握把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程问题成为解题的关键． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征求解即可； （2）如图：A点作轴于H点，连接，利用正切的定义得到，即，则求出n得到A点坐标，然后利用勾股定理计算出的长即可； （3）先把二次函数函数的解析式可设为，再解方程得到，所以，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵点A在直线上，而顶点A的横坐标为n， ∴顶点A的纵坐标为； 故答案为：． （2）解：如图：A点作轴于H点，连接， ∵， ∴，， 在中， ∵， ∴，解得：， 经检验为原方程的解， ∴， ∴． （3）解：二次函数的图象绕顶点旋转后所得抛物线解析式为， 而二次函数的图象顶点， ∴二次函数函数的解析式可设为， 当时，， 解得， ∴， ∵， ∴，解得， 经检验为原方程的解，即n的值为9． 35．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）在平面直角坐标系中，对点和点给出了定义：若则称点Q为点P的“联动点”．例如：点的联动点的坐标是点． (1)点的联动点的坐标为 ；点是点M的联动点，则点M的坐标为 ； (2)若点，均是一次函数图象上某一个点的联动点，求k和c的值； (3)若点P在函数的图象上，求点P的联动点Q的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)k的值为，c的值为 (3)的取值范围是 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、根据一次函数的定义求参数、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了新定义“联动点”的理解与应用，涉及分段函数、一次函数图象性质． （1）根据题中的对于“联动点”的定义进行解答即可； （2）设点的联动点为点A，点的联动点为B，由题意可得点，，由点，在一次函数图象上将两点代入到一次函数解析式中，解得k和c的值； （3）设点P在一次函数上的坐标表达式为，分情况讨论当时和当时的取值情况，进而求得的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴当时，， ∴点的联动点坐标为， 对于点，有， ∴当时，， ∴点M的坐标为， 故答案为：，． （2）解：设点的联动点为点A，点的联动点为B，由题意可得点，， ∵点，在一次函数图象上，将点，代入，得 ，解得 ， ∴k的值为，c的值为． （3）解：∵点P在一次函数的图象上， ∴设点P坐标为，则， ∴当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即； 综上所述，的取值范围是． 36．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)的坐标为或． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）解：由直线可知：令，则， ∴； （2）解： ， ∴点与轴的距离是4， ∵， 的面积； （3）解：存在； ∵直线， ∴，， ， ， ， 当点在延长线上时设， ，    ， ， 的横坐标为或10(舍去）， 代入直线得，， 的坐标为， 当点在线段延长线上时，设， ， ， ， 的横坐标为（舍去）或2， 代入直线得，， 的坐标为． 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 【考点7】一次函数的实际应用（第37-39题） · 从图象分段读取信息，找拐点 · 先设函数关系式，代入已知点求k、b · 行程、计费问题注意自变量取值范围 37．（23-24九年级上·重庆·期中）已知甲，乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，则下列说法错误的是（    ） A． B．点F的坐标为 C．出租车从乙地返回甲地的速度为 D．出租车返回的过程中，货车出发或都与出租车相距 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，用待定系数法求一次函数，一次函数的实际应用. 利用待定系数法求得的解析式，将代入解析式，解方程即可判断A选项； 根据A选项中a的值，即为货车装货时距离乙地的长度，结合货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，可求出装货时间，即点B的坐标，再根据货车继续出发后与出租车相遇，求出装完货后货车的速度，即直线的解析式中k的值，最后将点B坐标代入直线的解析式，利用待定系数法即可得到直线的解析式，把代入可求得点G的坐标，进而得到点F的坐标，从而判断B选项； 由B选项中点F的坐标，再结合题意，可得点E的坐标，从而可得到出租车返回时的速度，从而判断C选项； 设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距，此时货车距离乙地为，出租车距离乙地为，结合货车和出租车的速度进行分类讨论：①出租车和货车第二次相遇前，相距时；②出租车和货车第二次相遇后，距离时，分别进行解答即可判断D选项． 【详解】结合图象，可得， 设直线的解析式为， 将代入解析式，可得，解得， 直线的解析式为， 把代入，得， 故A选项正确； 根据货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距， 可得此时出租车距离乙地为， 出租车距离甲地为， 把代入，可得，解得， 货车装完货时，，可得， 根据货车继续出发后与出租车相遇，可得（出租车的速度＋货车的速度）， 根据直线的解析式为，可得出租车的速度为， 相遇时，货车的速度为， 故可设直线的解析式为， 将代入，可得，解得， 直线的解析式为， 把代入，可得，解得， ， ， 故B选项正确； 根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，可得, ， 出租车返回时的速度为， 故C选项正确； 设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距， 此时货车距离乙地为，出租车距离乙地为， ①出租车和货车第二次相遇前，相距时； 可得， 解得， ②出租车和货车第二次相遇后，相距时； 可得， 解得， 故在出租车返回的行驶过程中，货车出发或与出租车相距． 故D选项错误． 故选：D 38．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）． 小数比小文先出发15秒； 小文提速后的速度为； ； 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】从函数图象获取信息．根据图象信息以及路程、速度和时间的关系即可求解． 本题考查了一次函数的应用，看懂图象是解题关键． 【详解】结合图像，小数比小文早出发15秒，故正确； 当时，，当时，， 则小文提速前的速度是， ∵小文出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为，故正确； 故提速后小文行走所用时间为：， ， ， ∴小数的速度为， ，故错误； 当时，小文和小数的距离逐渐增大， 当时达到最大为：， 当时，小文和小数的距离先减小后增大， 当时达到最大为：， 当时，小文和小数的距离逐渐减小到0， ，故正确 则正确， 故选：． 39．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，底面积为的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”，现向容器内均匀注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图所示，若“几何体”下方圆柱体的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的底面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查圆柱体的体积计算、匀速注水函数分段分析、函数图像的信息提取．熟悉圆柱体的体积计算公式，匀速注水的函数分段分析：利用“均匀注水”的特点，通过时间与体积的对应关系计算注水速度，分段函数图像的信息提取：从图像中识别不同注水阶段的时间、高度变化，对应几何体的结构变化，体积差的转化：注水体积=容器内对应高度的体积-几何体占据的体积，是解题的关键． 根据图像可分三个部分：漫过“几何体”下方圆柱需，漫过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式，解方程即可． 【详解】解：根据函数图像可知圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚漫过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为， 可列方程为， 解得， 即匀速注水的水流速度为， ∵“几何体”下方圆柱的高为， 可列方程为， 解得， ∴“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为， 可列方程为， 解得， ∴“几何体”上方圆柱的底面积为． 故选：． 【考点8】一次函数与几何综合压轴（第40-45题） · 把点坐标转化为线段长，结合全等与勾股 · 动点问题分段讨论，画出对应图象 · 存在性问题先假设存在再列方程验证 40．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，已知，过A点的直线轴于点M，交直线于点N，点P是直线上的一个动点，连接，并以为直角边向其右侧作一个等腰，，当P点从O点运动到N点的过程中，点B的路径长为________；连接，求当P点在直线上运动的过程中，的最小值为________． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了一次函数上点坐标的特征，全等三角形的判定与性质，等腰三角形，勾股定理，利用转化思想找到点的运动轨迹，从而推出何时长度最短为解题关键． 过点A作，使得，连接，求出，推导出，继而证明，得到，则当点P从O运动到N时，点P的运动路径的长等于点B的运动路径的长，即可求出点B运动的路径长为；推出当垂直时，的值最小，最小为的长，求解即可． 【详解】解：第一个空：如图，过点A作，使得，连接， ∵，轴， ∴将代入，得 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当点P从O运动到N时，点P的运动路径的长等于点B的运动路径的长， ∴点B运动的路径长为． 第二个空：当时，的值最小，最小值为的长，如图 设直线的解析式为，将分别代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 令直线交x轴于点E， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：；． 41．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为，点D的坐标为，则线段的最小值为_____． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、垂线段最短、已知两点坐标求两点距离 【分析】作直线分别交轴、轴于点、，连接，利用一次函数的性质得到，，利用勾股定理得到，再证明点D在直线上，进而可得当时，线段有最小值，再利用等面积法求出此时的长，即可得出答案． 【详解】解：作直线分别交轴、轴于点、，连接， 当时，，解得； 当时，； ∴，， ∴，， ∴， 当时，， 又∵点D的坐标为， ∴点D在直线上， ∴当时，线段有最小值， ∵点C的坐标为，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、勾股定理、三角形面积公式、垂线段最短，证明点D在直线上是解题的关键． 42．（25-26八年级上·全国·单元测试）【探索发现】如图①，等腰直角三角形中，．直线经过点，过作于点，过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”． 【迁移应用】已知直线与轴、轴分别交于两点． (1)如图（2），当时，在第一象限构造等腰直角三角形． ①________，________； ②点的坐标为________． (2)如图③，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，且．连接的面积是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1)①8；6  ② (2) 解：的面积不发生变化．理由如下： 当变化时，点随之在轴负半轴上运动， ． 如图①，过点作轴于点． ， ． ， ， ， ． ， ， ， ． 故当变化时，的面积不发生变化． 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】（1）把代入即得解析式，分别令求出的长，过点作轴于点，利用三角形全等即可求出点的坐标； （2）过点作轴于点．同样利用三角形全等可以得出结论． 【详解】（1）解：（1）①若，则直线． 当时，， ． 当时，， ， ． ②如图②，过点作轴于点， ， ． 是以为直角顶点的等腰直角三角形，． ， ， ， ， ， 点的坐标为． 故：①8  6  （2） （2）略 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，掌握几何模型“型全等”的特点是解题的关键． 43．（2023·江苏徐州·模拟预测）阅读理解：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知3个点：则线段的“等距点”是______，线段的“完美等距点”是______； (2)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”且为线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标． 【答案】(1)和； (2)点的坐标为或； (3)点P的坐标为或． 【知识点】一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，灵活应用两点之间的距离公式和勾股定理是解题的关键． （1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到，的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）设出点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论； （3）假定存在，设出点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论． 【详解】（1）解：，， ， 为等距点． ，， ， 为等距点． ，， ， 不为等距点． ， ，，，， 为完美等距点， 故答案：和；； （2）解：在上， ， ， ， ， 或． 设的坐标为， 或， ，， 或， 解得：或． 的坐标为或； （3）解：设点的坐标为， ， ，， 点是线段的“等距点”， ， ， 解得：， 为线段的“完美等距点”， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， 解得：或， 当时，， 当时，， 点的坐标为或． 44．（25-26八年级上·辽宁锦州·阶段检测）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点D，E．易证：． （1）①如图1，若，则__________； ②如图2，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标． 【拓展探究】 （2）如图3，的图象分别交轴和轴于A、B两点，点坐标为，点在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请求出点的坐标． 【答案】（1）①；②，；（2）或 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； ②如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形，同理可得，设，则，，进而表示出点的坐标，代入一次函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：①∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8； ②如图2， 过A作轴于C，过B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在与中， ， ∴， ∴，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， ， 解得： ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （2）解：如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形， 设，则，， 同理可得， ∴， ∴， ∵在上， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 当在点的位置时，， 综上所述，或． 45．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题： 【初步感知】 ________ ________ （1）补全表格中横线部分的数据，并在图所给的坐标系中画出函数的图像； 【探究性质】 （2）观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题： 当时，的值随的值增大而减小；当时，；该函数存在最小值，最小值为；该函数图像是轴对称图形． 其中正确的是___________．（请写出所有正确命题的序号） （3）当时，求的取值范围； 【类比应用】 （4）一次函数（为常数，）的图像过点，若关于，的方程组无解，则的取值范围是___________； 在平面内构造，其中点，，，当函数的图像与的边有个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（）1；， 如图： （）； （）的取值范围为；（） 或； 的取值范围为或． 【知识点】画一次函数图象、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了求一次函数的函数值和自变量的值，画一次函数图像，一次函数的性质，一次函数与几何图形综合等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （）当时，，当时，，然后填表，再根据画函数图像步骤画出图像即可； （）根据函数图像即可求解； （）当时，有最小值：，当时，有最大值，从而求出的取值范围； （）由一次函数（为常数，）的图像过点，则，又关于，的方程组无解，即一次函数与图像无交点，然后分当过图像过点有无数个交点，即与重合，此时， 联立，解得，即当时，关于，的方程组无解；当图像与平行时，一次函数与图像无交点，此时，即当时，关于，的方程组无解； 先求出解析式为，解析式为，解析式为，解析式为，然后找出临界点即可求出的取值范围． 【详解】解：（）当时，，当时，， ∴如表， （）根据图像可得当时，的值随的值增大而减小，原说法正确； 当时，，解得或，原说法错误； 该函数存在最大值，最大值为，原说法错误； 该函数图像是轴对称图形，原说法正确； 故选：； （）∵， ∴当时，有最小值：，当时，有最大值， ∴当时，的取值范围为； （）由一次函数（为常数，）的图像过点， ∴， ∵关于，的方程组无解， ∴一次函数与图像无交点， ∴如图，当过图像过点有无数个交点，即与重合，此时， 联立，解得：， ∴当时，一次函数与图像无交点，即关于，的方程组无解， 如图，当图像与平行时，一次函数与图像无交点， ∴此时， ∴当时，一次函数与图像无交点，即关于，的方程组无解， 综上可得：关于，的方程组无解，则的取值范围是或， 故答案为：或； 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 同理解析式为， 如图，当在上时，此时函数的图像与的边有个公共点，则， 如图，当在上时，此时函数的图像与的边有个公共点，则， 由函数当时，，即解析式为， 时，，即解析式为， 如图，当经过点时，即图像经过点，此时函数的图像与的边有个公共点， ∴，解得：； 如图，当经过点时，即图像经过点，此时函数的图像与的边有个公共点， ∴，解得：， ∴综上可得：的取值范围为或． 💯 课后巩固 复习建议 · 勾股过关：折叠、弦图、最短路径要会设未知数列方程 · 实数过关：新定义与估算按规则代入，混合运算按顺序 · 二次根式过关：先化简后合并，分母有理化要熟练 · 坐标过关：规律题列表找关系，距离公式要会用 · 函数过关：图象与几何综合先转化坐标，再结合勾股全等 【作业1】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知a、b、c是的三边长，则下列说法中不成立的一项是（    ）． A．若，则一定是直角三角形 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则可能是直角三角形 【答案】C 【知识点】三角形的分类、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，可根据勾股定理及其逆定理分析选项A，通过举例子，例如，可判断D成立，若，即，不妨设，那么三边构成直角三角形，且为斜边，以为半径画圆，通过移动边在圆上的端点位置可判断选项C，选项B． 【详解】解：当时，即， ∴一定是直角三角形，故A正确； 当时，， 此时，但， ∴当时，是直角三角形，故D正确； 当，即，不妨设， 那么三边构成直角三角形，且为斜边， 如图所示： 当，即， 则一定是钝角三角形，故B正确； 同理，如图所示： 当， 则不一定是锐角三角形． 故选：C． 【作业2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正比例函数的图象、判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了正比例函数的性质及一次函数的性质，根据正比例函数图象的位置确定a的取值范围，再根据图象与系数的关系确定一次函数的位置即可得出答案． 【详解】解：A项：由正比例函数图象得，则直线经过第一、二、四象限，所以该选项不符合题意； B项：由正比例函数图象得，则直线经过第二、三、四象限，所以该选项符合题意； C项：由正比例函数图象得，则直线经过第一、二、四象限，所以该选项不符合题意； D项：由正比例函数图象得，则直线经过第二、三、四象限，所以该选项不符合题意， 故选：B． 【作业3】．（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】无理数的大小估算 【分析】根据正方形的面积公式求出已知两个正方形的边长，结合图形观察出三个正方形边长的大小关系，从而确定中间正方形边长的取值范围，最后判断选项即可． 【详解】解：正方形的面积为，正方形的面积为， 正方形的边长，正方形的边长， 设正方形的边长为，由图可知，点在线段上，点在线段上， ，即， ，，， 选项均不符合题意， ， ， 正方形的边长可以是，选项 D  符合题意． 【作业4】．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】作点B关于的对称点，连接交于点P，则，可得的最小值为的长，过点作于点H，得到，从而得到，由勾股定理可得，再由，可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点，连接交于点P，则， ∴， ∴的最小值为的长， 过点作于点H， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称最值问题，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【作业5】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边长（），则下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、以弦图为背景的计算题 【分析】根据题意，得，，结合公式，求得，结合公式计算即可． 本题考查了弦图中公式变形计算，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握公式变形，弦图的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， 故． 故①；②;③正确；④错误； 故选：B． 【作业6】．（24-25七年级下·山东临沂·期中）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ____ ． 【答案】255 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用． 根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴对255只需进行3次操作后变为1， 从后向前推，找到需要4次操作得到1的最小整数， ∵ ，，，， ∴对256只需进行4次操作后变为1， ∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255， 故答案为：255． 【作业7】．（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别是，则____：你发现这7个正方形摆放的规律了吗？用你所发现的规律继续摆放正方形，一直到，那么____． 【答案】 4 【知识点】图形类规律探索、用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理和正方形的性质．掌握这些是解题的关键． 先根据正方形的性质得到，再根据等角的余角相等得到，判定，于是有，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，所以，利用同样方法可得到，，通过计算可得到，此类推，计算即可． 【详解】解：如图： 图中的四边形为正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ． 故答案是：4． 这7个正方形摆放的规律是斜放的正方形面积等于左右两边正方形面积之和． ； ； ； ；     ； ； ． 故答案为：． 【作业8】．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）已知，当分别取自然数时，所对应值的总和是___________ 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、数字类规律探索、二次根式的应用、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了算术平方根的性质，将的表达式化简为绝对值形式，再根据的取值范围分别计算值，最后求和． 【详解】解：， 当时，，， 当时，，， 取自然数， 当时，， 当时，，共有个值， 值的总和是， 故答案为：． 【作业9】．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是______． 【答案】且 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键．由，得出直线经过点，如图，当直线经过或时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的的值，结合图象即可得到结论． 【详解】解：， 直线经过点， 如图， 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点， 则，解得； 直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 因此，当 且 时，区域中只有四个整点． 故答案为 且 ． 【作业10】．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是_______ 【答案】5 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】设圆柱的底面圆的直径为，高为，根据勾股定理得到，解答即可． 本题考查了勾股定理，圆柱的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设圆柱的底面圆的直径为，高为， 由底面半径为，高为可得 根据勾股定理得到， 故， 故答案为：5． 【作业11】．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线与x轴交于，则下列说法中：①随的增大而减小，②，③关于x的方程的解为，其中正确的有_______ ．（填序号） 【答案】①②③ 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】根据一次函数图象的性质可判断①②的正误； 根据图象，由一次函数与一元一次方程的关系，可判断③的正误． 本题考查了一次函数图象的性质，一次函数与一元一次方程的关系，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：①∵一次函数的图象经过二、四象限， ∴, ∴随的增大而减小，故本小题正确； ②∵函数图象与轴的交点在轴的正半轴， ∴，故本小题正确； ③∵函数经过点，则当时，， ∴关于的方程的解为． 故答案为：①②③． 【作业12】．（25-26八年级上·四川·期中）恒等变形是代数求值的一个重要方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 【阅读材料】当时，求． 方法：将条件变形，两边同时平方得：， 所以移项得：，两边同时乘x得：， 原式 【类比应用】（1）已知，求的值． 【深入思考】（2）已知，求的值． 【拓展延伸】（3）已知，求的值． 【答案】（1）8；（2）；（3） 【知识点】分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，正确理解题意是解题的关键． （1）先分母有理化得到，则，再利用完全平方公式即可得到答案； （2）先得到，则可求出，，进而把所求式子变形得，进一步变形得到，据此可得答案； （3）先分母有理化求出，从而得，两边平方得， 即，得出， 再把所求式子的分母变形为，从而求出分母值；进一步把分子可变形为 ，从而求出分子值，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ； （3）∵， ∴ ， ∴， 两边平方得， 即， ∴， ∴， ， ∴ ． 【作业13】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，．动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿折线运动，到达B点时停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y． (1)求y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积等于3时，结合函数图象，求t的值． 【答案】(1) (2) 在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象如下： 函数的一条性质：该函数的最大值为6 (3)的值为或 【知识点】动点问题的函数图象、画一次函数图象、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）首先求出，求出点从点运动到点所需时间为秒，从点运动到点所需时间为秒，然后分两种情况：①，先求出的长，再利用三角形的面积公式即可得；②，先求出的长，再利用三角形的面积公式可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得； （2）先根据（1）的结论，画出两段一次函数的图象，再写出一条性质即可得； （3）分两种情况：和，求出时，的值即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 由题意可知，点从点运动到点所需时间为秒，从点运动到点所需时间为秒， ①当时，点在上运动，则， ∴的面积； ②如图，当时，点在上运动，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴的面积； 综上，． （2）解：列表如下： x 1 3 4 5 2 6 该函数的一条性质：该函数的最大值为6． （3）解：当时，则，解得，符合题设； 当时，则，解得，符合题设； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，三角形面积，勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． 【作业14】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）用科学计算器求（n为正整数）的近似值（精确到0．001）如下，从不同角度观察并思考． (1)变化趋势 随着n的增大，的值随之________（填“增大”或“减小”）．从图形的视角出发可以用一句话解释这种关系：_________． (2)分布规律 1与2之间的不完全开方数有2个：，； 2与3之间的不完全开方数有4个：，，，； 3与4之间的不完全开方数有6个：，，，，，； …… 以上的2个、4个、6个、8个，是巧合还是必然？ 如果是巧合，请举出反例；如果是必然，请用符号解释两个相邻正整数之间的不完全开方数的个数总满足以上规律． (3)运算关系 注意到，，三者恰好满足，，于是推理得出它们之间的运算关系为，． ①从表格中再找出具备类似关系的3个值，并仿照写出它们之间的运算关系； ②结合以上发现，求的值（精确到个位）． 【答案】(1)增大；正方形的面积越大，那么它的边长越大 (2) 解：上述规律是必然的，理由如下： 设a、b为两个相邻的正整数，且， ∴， ∴大于且小于的正整数为个， ∴b与a之间的不完全开方数有个，即个， ∴1与2之间的不完全开方数有2个； 2与3之间的不完全开方数有4个； 3与4之间的不完全开方数有6个： ……； (3)①选取， ∵， ∴，； ② 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，平方差公式，实数的运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据可得第一空的答案；根据正方形面积与其边长之间的关系可得第二空答案； （2）设a、b为两个相邻的正整数，且，则，则可推出b与a之间的不完全开方数有个，即个，据此可得答案； （3）①选取，根据表格中的数据可得，再仿照题意求解即可；②原式可变形为，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，随着n的增大，的值随之增大．从图形的视角出发可以用一句话解释这种关系：正方形的面积越大，那么它的边长越大． （2）略 （3）解：①略 ② 【作业15】．（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，，求点到直线的距离； (2)如图2，点在的内部，试直接写出，，之间的数量关系________． 【答案】(1)①证明：， ． ， ． 在和中， ． 沿直线翻折，得到， ， ． ② (2) 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查几何变换的综合应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①根据全等三角形的判定即可证明；②根据全等三角形的性质和折叠的性质，求出和的长度即可解答； （2）过点作交的延长线于点，证明，根据折叠的性质即可解答． 【详解】（1）①略 ②， ，， ， ，， ． ， ． 由翻折得，，， ， ． ， 点、点、点三点共线， ． 设点到直线的距离为， 则， 即． 答：点到直线的距离为． （2）解：如图， 过点作交的延长线于点， ． ， ． ， ． ， ． ， ． ，， ，． 由翻折得，，， ， ，即． ， ． 故答案为：． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $