专题二·期中综合复习·培优提升讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题二·期中综合复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握勾股定理及其逆定理，能熟练用勾股定理求边长、证垂直并解决最短路径问题 · 理解平方根、算术平方根、立方根与无理数概念，熟练进行实数与二次根式的运算 · 掌握平面直角坐标系中点的坐标特征、坐标平移与点到坐标轴的距离 · 理解一次函数与正比例函数的概念，会画图象、掌握图象性质与k、b的几何意义 · 能建立一次函数模型解决实际问题，并进行勾股定理与一次函数的综合运用 📚 知识梳理 ☆ 1.勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即c2=a2+b2 逆定理：若三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，如3、4、5与5、12、13 应用：已知两边求第三边、求最短路径、勾股树与弦图面积问题 概念辨析例题：直角三角形两直角边分别为3和4，求斜边的长 答案：c==5 解析：由勾股定理c2=a2+b2=9+16=25，故c=5 ☆ 2.实数与二次根式 算术平方根：若x2=a（x≥0），则x=；平方根有两个互为相反数，记作± 立方根：若x3=a，则x=∛a，任意实数都有唯一立方根 无理数：无限不循环小数；实数与数轴上的点一一对应 二次根式：（a≥0）；运算时先化简再合并同类二次根式，注意分母有理化 概念辨析例题：计算：+ 答案： 解析：=2，=，=3，合并得2= ☆ 3.位置与坐标 平面直角坐标系：两条互相垂直的数轴，象限按逆时针编号，坐标轴上的点不属于任何象限 各象限符号：第一象限(+,+)、第二(-,+)、第三(-,-)、第四(+,-) 点到坐标轴距离：点P(x,y)到x轴距离为|y|，到y轴距离为|x| 坐标平移：左右平移改变横坐标（左减右加），上下平移改变纵坐标（下减上加） 概念辨析例题：点P(-3,4)到x轴、y轴的距离分别是多少？ 答案：到x轴距离为4，到y轴距离为3 解析：点(x,y)到x轴距离=|y|=4，到y轴距离=|x|=3 ☆ 4.一次函数 概念：形如y=kx+b（k≠0）的函数叫一次函数；当b=0时y=kx叫正比例函数 图象：一次函数图象是一条直线；k决定倾斜方向，b是与y轴交点的纵坐标 性质：k>0时y随x增大而增大；k<0时y随x增大而减小 应用：根据实际问题列函数关系式，用图象与解析式解决行程、计费等问题 概念辨析例题：一次函数y=-2x+4的图象经过哪几个象限？与坐标轴交点坐标是什么？ 答案：经过第一、二、四象限；与x轴交于(2,0)，与y轴交于(0,4) 解析：k=-2<0直线下降，b=4>0与y轴正半轴相交；令y=0得x=2，令x=0得y=4 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 勾股定理 c2=a2+b2 仅适用于直角三角形 逆定理 a2+b2=c2⇒直角三角形 先找最长边验证 平方根与立方根 ±、√[3]{a} 负数没有平方根但有立方根 二次根式 （a≥0） 被开方数非负 点的坐标 P(x,y) 到x轴看|y|、到y轴看|x| 一次函数 y=kx+b（k≠0） k定增减、b定与y轴交点 ⚠️ 核心考点 【考点1】平方根与立方根（第1-5题） · 先判断是求算术平方根、平方根还是立方根，平方根勿忘± · 立方根符号与被开方数一致，负数也有立方根 · 已知平方根求原数：把平方根平方即得原数 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）数(相邻两个1之间的0的个数逐渐加1)，中，无理数的个数为（   ） A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数 【分析】本题考查了无理数，算术平方根，立方根．熟练掌握无理数，算术平方根，立方根是解题的关键． 根据无限不循环小数是无理数进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，，，，， ∴，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1），，是无理数， 故选：A． 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚有一次看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出．请你用有关立方根的知识，逐一确定的位数、各个数位上的数字，可知的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解本题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解： ，， 是两位数， 又只有个位上是的数的立方的个位上的数是， 的个位上的数是， 如果划去后面的三位得到， 而，， 十位上的数是， 的值是， 故选：D． 3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为______· 【答案】 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根的应用，先根据康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积求出边长，进而求出表面积. 【详解】解：康师傅制作的正方体月饼礼盒的边长， 所以这个表面积为 4．（24-25八年级上·全国·期中）的平方根是________；的立方根是________；的算术平方根是________． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根等知识点，牢记平方根、立方根、算术平方根的定义是解题的关键． 根据平方根、立方根、算术平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：的平方根是，的立方根是，（）的算术平方根是， 故答案为：，，． 5．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段检测）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片．   (1)大正方形纸片的边长是___________； (2)若沿着大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为 ，且面积为 【答案】(1)； (2)解：不能，理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为，则， 解得：，（不符合题意，舍去）， 则， 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使裁出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为． 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】（）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （）先求出长方形的边长，再判断即可； 本题考查了算术平方根的应用，能够根据题意列出算式是解题的关键． 【详解】（1）大正方形的边长是 ， 故答案为：； （2）略 【考点2】实数的运算与大小比较（第6-15题） · 实数混合运算顺序：先乘方开方，再乘除，后加减 · 比较大小：作差、作商或借助数轴，无理数可先估算 · 注意零指数幂与负整数指数幂：a0=1（a≠0），a-n= 6．（25-26七年级下·北京大兴·期末）教材上有这样一个探究：把两个边长均为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形．所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________． 【答案】 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴 【分析】根据正方形面积公式及勾股定理求出对角线长，结合数轴上点的位置关系及两点间距离公式求解． 【详解】解：∵两个边长为的小正方形拼成的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴原小正方形的对角线长为； 由图可知，点表示的数为，圆的半径为 ∵点在点的左侧， ∴点表示的数为． 7．（2025·重庆开州·二模）一个四位正整数，若满足，且，，则称这个数为“金榜数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则______；若为整数，则满足条件的“金榜数”m的最大值与最小值的差为______． 【答案】 25 7524 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义，对于第一空直接根据计算求解即可；对于第二空，根据定义可得，则可求出，进一步可得，则可求出，根据是整数，得到是一个完全平方数，则有或或，据此求出m的最大值和最小值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，； 由题意得， ∴ ， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵满足，且，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是一个完全平方数， ∴或或， ∴或或， 当时，a的最大值为3，此时b为2，a的最小值为1，此时b为6，即此时m的最大值为，最小值为； 当时，a的最大值为5，此时b为1，a的最小值为2，此时b为7，即此时m的最大值为，最小值为； 当时，a的最大值为9，此时b为2，a的最小值为6，此时b为8，即此时m的最大值为，最小值为； 综上所述，m的最大值为，最小值为， ∴满足条件的“金榜数”m的最大值与最小值的差为； 故答案为：25；． 8．（2022·湖南娄底·模拟预测）公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到 ，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则___________． 【答案】 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【分析】将整理为的形式，根据要求确定和的值，代入给定近似公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴中，，． ∴． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： ．（结果保留根号） 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、实数的大小比较、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了实数大小比较，化简绝对值，二次根式的加减运算，先化简绝对值，再合并同类项进行计算即可． 【详解】解： ． 10．（24-25七年级下·山西忻州·期末）综合与实践 问题情境：如图1，有一条长为8个单位长度的纸条（宽度忽略不计），半径为1的圆上的一点与纸条上表示数字0的点重合，将圆沿着纸条向右滚动一周，重合点变为点，点表示的数为． (1)的值为 ．（结果保留） (2)求的平方根． (3)“善思小组”将纸条进行如下操作． ①操作一：如图2，将纸条沿表示4的数的点对折，则表示数的点与表示数 的点重合． ②操作二：如图3，在操作一的条件下，将对折的纸条沿着点剪开，如图4，展开后的长为，则点表示的数为 ． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【知识点】求一个数的平方根、数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】本题主要考查了求平方根，数轴上两点之间的距离，实数与数轴， 对于（1），根据圆的周长公式计算即可； 对于（2），将n的值代入，再求平方根即可； 对于（3）①，根据数到点A的距离等于点B到点A的距离，可得答案；②先求出，可得答案． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵， ∴原式， ∴4的平方根是； （3）解：①如图所示，因为数到点A的距离等于点B到点A的距离， 所以， 则， 所以数的点与表示的数的点重合； 故答案为：； ②， ∴点B表示的数是． 故答案为：． 11．（25-26八年级下·河北邢台·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算、利用二次根式的性质化简 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26七年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的绝对值、实数的混合运算、求一个数的立方根 【分析】本题考查实数的混合运算，正确的计算是解题的关键． （1）根据幂的运算、绝对值、立方根、算术平方根的意义逐项化简，再按运算顺序进行计算即可； （2）先根据绝对值的意义化简，去括号后进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 13．（24-25八年级上·河北唐山·期末）题目：请把实数，，，，表示在数轴上．粗心的小华做题时只将其中两个无理数对应的点表示在了数轴上，得到一个不完整的数轴，请帮他解决下列问题．    (1)题目的五个实数中，是无理数的有__________； (2)在数轴上把题目中的五个实数对应的位置表示出来，并比较它们的大小（用“”连接起来）． 【答案】(1)， (2) 实数在数轴上表示如下：    【知识点】无理数的大小估算、无理数、实数与数轴 【分析】（）根据无理数的定义判断即可； （）估算出无理数的大小，进而找到原点位置，即可把各数在数轴上表示出来，最后根据数轴比较出各数的大小即可； 本题考查了无理数的定义及估算，利用数轴比较实数的大小，掌握无理数的定义及估算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴实数，，，，中，是无理数的有，， 故答案为：，； （2）解：∵，， 由数轴可得，． 14．（23-24七年级下·陕西安康·期中）如图，数轴上点A，B表示的数分别为1，，点C在数轴上，且（B，C两点不重合）．设点C表示的数为x． (1)求x的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、实数与数轴 【分析】本题考查的是实数与数轴，代数式求值，实数的混合运算，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键． （1）设点C表示的数为x，根据求出x的值即可； （2）由（1）求出的x的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：数轴上点A，B分别表示1，，点C在数轴上，且（B，C两点不重合），设点C表示的数为x， 点A是线段的中点， ， ， 解得； （2）， 则 ． 15．（21-22七年级下·湖北恩施·期中）计算或化简下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【知识点】求一个数的绝对值、实数的混合运算 【分析】（1）先算乘方和开方，后算加减即可； （2）先进行开方、乘方运算，绝对值化简，再算加减法即可； 本题考查实数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1） （2） 【考点3】二次根式的化简与运算（第16-24题） · 先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式 · 分母有理化：分子分母同乘适当的因式化去根号 · 利用=|a|化简，注意字母的取值范围 16．（23-24八年级下·山东滨州·阶段检测）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、二次根式有意义的条件、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 17．（23-24八年级下·山东威海·期末）已知， 则化简二次根式的正确结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，结合题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴x与y异号， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 18．（23-24八年级下·山东青岛·阶段检测）计算：______． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质先化简，再合并即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， 故答案为：． 19．（25-26八年级上·上海·期中）把根号外面的因式移到根号里面，化成最简二次根式，正确的结果是_______． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，由根号下的表达式 可知，，因此移动因式时需考虑符号，利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由得， ∴， ∴设，则 ，原式为 ∴， 代入 ，得原式． 故答案为：． 20．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，则化简的结果为 _____． 【答案】/ 【知识点】二次根式的混合运算、绝对值非负性、分母有理化、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，偶次方和算术平方根的非负性，二次根式有意义的条件，分母有理化，根据二次根式有意义的条件得出，从而得到，根据非负数的性质得出，，最后代入式子中进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 21．（八年级数学期末模拟卷（沪科版八下全部）-学易金卷：2024-2025学年初中下学期期末考试卷）已知，则的值保留小数点后两位是______． 【答案】3.46 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的混合计算．先化简二次根式和利用平方差公式去括号，再计算乘法后取近似值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴ ， 故答案为：3.46． 22．（2022·河北邯郸·三模）计算________． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 23．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若6，8，m为三角形的三边长，则化简的结果为________. 【答案】/ 【知识点】三角形三边关系的应用、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了三角形的三边关系及二次根式的性质，掌握三角形的三边关系及二次根式的性质是解题的关键． 根据三角形的三边关系确定m的取值范围，根据进行化简即可． 【详解】解：∵6，8，m为三角形的三边长， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（23-24八年级下·江西南昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a，b是因子二次根式，c为因子． (1)请判断和是否为因子二次根式．如果是，求出因子；如果不是，请说明理由． (2)若与是因子二次根式，3为因子，求n的值． 【答案】(1)和是因子二次根式，因子为； (2)． 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． （1）根据因子二次根式的定义进行计算即可； （2）根据因子二次根式的定义得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴和是因子二次根式，因子为； （2）解：由题意，得：， ∴， ∴． 【考点4】勾股定理及其证明（第25-34题） · 在直角三角形中知两边可求第三边，先分清斜边与直角边 · 用逆定理判定直角三角形：验证两短边平方和是否等于最长边平方 · 勾股树、弦图问题常结合面积法与完全平方公式 25．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段检测）刘老师和“数学小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题”：如图在中，，，，分别以的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理求出，再根据图中两个“月牙”即阴影部分的面积等于以为直径的两个半圆面积加上的面积，再减去以为直径的半圆的面积求解即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵图中两个“月牙”即阴影部分的面积等于以为直径的两个半圆面积加上的面积，再减去以为直径的半圆的面积， ∴所求的面积为 ， 故选：A． 26．（23-24八年级下·河南商丘·阶段检测）下面图形中可以用来验证勾股定理的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，用两种不同的方法表示出梯形的面积，可以判断图1可以验证勾股定理；根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理可以判断2可以验证勾股定理． 【详解】解：图1，， ， ， ，故图1可以验证勾股定理； 图2：图形的总面积可以表示为：， 也可以表示为：， ， ，故图2可以验证勾股定理； 图3的条件不充足，不可以验证勾股定理， 综上，图1、图2可以验证勾股定理，共2个， 故选：C． 27．（23-24九年级上·浙江·阶段检测）如图是由6块直角三角形拼成的矩形，其中是四个全等的三角形，则(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质、勾股定理等知识点，用含字母的式子表示出， 是解题的关键． 【详解】解：如图：    设， 是四个全等的三角形 ， ， 故选：C． 28．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，是个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，若用表示直角三角形的两条直角边（），请观察图案，下列式子不正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式，由图可得，，即可判断；进而由完全平方公式可得，即可判断；正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图形可得，，，故正确； ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴，故错误； 故选：． 29．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【详解】解：如图， 由题意得，， ． 30．（23-24八年级下·北京·期中）正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，…按此规律继续下去，则的值为________               　 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形、图形类规律探索 【分析】本题考查图形规律探究，等腰直角三角形、正方形的性质，勾股定理，总结归纳出规律是解题的关键． 根据题意表示出，，的值，找到规律，根据规律计算即可． 【详解】解：由题意可知，面积为的正方形的边长为1，， 面积为的正方形的边长为，， 面积为的正方形的边长为，， 面积为的正方形的边长为，， ． 一般规律为： ，则． 故答案为：． 31．（23-24八年级下·山东临沂·期中）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是和，则第三个数是_______． 【答案】 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数，再根据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当第三个数是直角边时，第三个数； 当第三个数是斜边时，第三个数； ∵三个数是一组勾股数， ∴当第三个数为时，不合题意，舍去， ∴第三个数是， 故答案为：． 32．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，，点在边上，，平分交于点，若，，则的长为__________． 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质．先根据，运用勾股定理列式计算，得，又因为平分交于点E，， ，得，故，即可作答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：5． 33．（24-25八年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，，于点，于点，点为线段上一个动点，点为线段上一动点，当与全等时，的长度为_____． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理．利用勾股定理求得的长，利用等积法求得，，分两种情况讨论，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴； 故答案为：或． 34．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中的度数应为．连接，现测得，，，，．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即的度数是否为）． 【答案】符合标准，理由如下： ，，， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ， 该零件符合标准． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明，即可得出结论． 【详解】略 【考点5】勾股定理的实际应用（第35-37题） · 实际问题先抽象出直角三角形，标注已知边 · 最短路径问题：展开曲面或平移线段后用两点之间线段最短 · 台阶、地毯、折叠问题常构造直角三角形列方程 35．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，有一棱长为的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点到点拉一条捆绑线绳，使线绳经过、、、四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的应用，把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到捆绑线绳的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于两个棱长，另一条直角边长等于个棱长，利用勾股定理可求得，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”解题的关键． 【详解】如图，将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段即为最短路线， 展开后由勾股定理得：， ∴，即有：， 故选：． 36．（25-26八年级上·江西萍乡·阶段检测）如图，在中，，，，若动点P从点A出发，以的速度沿折线运动．设运动时间为，当点P运动到与点A和点B的距离相等的位置时，t的值为______．    【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、与线段有关的动点问题 【分析】本题考查了勾股定理和与线段有关的动点问题，熟练掌握分类讨论的数学思想是解决问题的关键． 根据题意可知，然后分两种情况讨论：当点在上和当点在上，即可求得的值． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得，， 当点在上时，且，    ∴， 即， 解得； 当点在上时，且，    则点为的中点， 此时， 即． ∴当点P运动到与点A和点B的距离相等的位置时，t的值为或． 故答案为：或． 37．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，第一个风筝是鲁班用竹子做的，后来只有皇宫里才有风筝．唐朝以前，风筝一般被看做是用于测量、通信等军事功能的工具，之后风筝的军事功能逐渐消失了，变成了一项娱乐活动．小明自制了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：如图，先测得牵线放风筝的手到地面的距离为；放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线的长度，计算出的长度为．已知点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度． (2)若此时小明手里的余线仅剩，他想要让风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？（小明的位置不变）请运用数学知识说明． 【答案】(1)风筝离地面的垂直高度为 (2)不能成功， 理由：如图，延长到点，使， 此时． 在中，． 根据勾股定理，得． ， 不能成功． 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的应用： （1）过点作，垂足为，利用勾股定理进行求解即可； （2）延长到点，勾股定理求出的长，进行判断即可． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为． 由题意，得． 在中，． 根据勾股定理，得， ． 答：风筝离地面的垂直高度为． （2）略 【考点6】平面直角坐标系与点的坐标（第38-41题） · 由坐标描点、由点写坐标，先看象限符号 · 点到坐标轴距离分别等于纵、横坐标的绝对值 · 坐标规律题：列出前几个点找循环或递推关系 38．（22-23七年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，一个点从出发沿图中路线依次经过，，，…，按此一直运动下去，则的值为（    ） A．1006 B．1007 C．1509 D．1511 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了点坐标规律的探索，解题的关键在于能够准确找到相应的规律进行求解．根据题意可得，，，，，，则，，，，，，，，由此可知当n为偶数时；每四个数中有1个负数，且为每组的第三个数，从开始递减，而，可得，由此求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，，，， ∴，，，，，，，， 由此可知当n为偶数时 ， ∴，， ∵每四个数中有1个负数，且为每组的第三个数，从开始递减， 而， ∴， ∴， 故选：D． 39．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______． (2)按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______； (3)的面积为______ 【答案】(1)，，48 (2)， (3) 【知识点】点坐标规律探索 【分析】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是根据已知点的坐标，总结出点的坐标规律． （1）根据、、的坐标求出的坐标即可，根据、、的坐标求出的坐标即可； （2）根据前几个点的坐标，总结出规律分别求出、的坐标即可； （3）根据三角形面积公式以及、的坐标，求解即可． 【详解】（1）解：、、． 的横坐标为：，纵坐标为：3． 故点的坐标为：． 又、、． 的横坐标为：，纵坐标为：0． 故点的坐标为：． 的面积为 故答案为：，，48； （2）解：由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：， 由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：； 故答案为：，； （3）解：的坐标为：，的坐标为：， 的面积为． 故答案为：． 40．（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，已知． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的2倍，求点P 的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）过点C和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，点F，根据结合各点的坐标求解即可； （2）求出线段的长和的面积，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，点F， ∵， ∴， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴； ∵三角形的面积等于四边形面积的2倍， ∴， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或； 41．（23-24七年级下·江西南昌·阶段检测）已知点，解答下列问题． (1)点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标，直线轴，求出点P的坐标． (3)若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2025 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、已知字母的值 ，求代数式的值、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键． （1）根据轴上的点的纵坐标为0，可得关于的方程，解得的值，再求得点的横坐标即可得出答案． （2）根据平行于x轴的直线的纵坐标相等，可得关于的方程，解得的值，再求得横坐标即可得出答案． （3）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到轴、轴的距离相等，可得关于的方程，解得的值，再代入要求的式子计算即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ， ， ， 点的坐标为； （2）解：点的坐标为，直线轴， ， ， ， 点的坐标为； （3）解：∵点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ∴横纵坐标互为相反数， ， ， ， ∴． ∴的值为． 【考点7】一次函数的概念与图象（第42-51题） · 由k、b的符号判断直线经过的象限与增减性 · 与坐标轴交点：令x=0求y轴交点，令y=0求x轴交点 · 图象平移：上加下减在b，左加右减换x 42．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段检测）若一次函数与，满足，且已知没有意义，则能大致表示这两个函数图象的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的图象、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，一次函数的图象和性质，由没有意义可得，即可得直线与直线相交，再根据可知直线与轴的交点在直线与轴的交点上方，综合各选项即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵没有意义， ∴， ∴直线与直线相交， 又∵， ∴直线与轴的交点在直线与轴的交点上方， 综上各选项，只有选项符合题意， 故选：． 43．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）一次函数，当，的最大值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了求一次函数函数值，一次函数的增减性，掌握系数与增减性的关系是解题关键． 根据解析式可得该函数y随x的增大而减小，则当时取得最大值，求出此时y的值即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴该函数y随x的增大而减小， ∴当时，时取得最大值， 此时， 故选：D． 44．（24-25八年级下·云南昆明·期末）已知一次函数，下列结论错误的是（　　） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．函数图象经过点 C．函数图象可由直线向下平移个单位长度得到 D．若点，在此函数图象上，则 【答案】C 【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数图象平移问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质，平移规律，函数值比较进行分析即可，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、由，， ∴图象经过第一、二、四象限，原选项正确，不符合题意； 、当时，，故图象经过点，原选项正确，不符合题意； 、函数由向上平移个单位得到，而非向下平移，原选项错误，符合题意； 、∵， ∴随增大而减小， ∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 45．（24-25八年级上·全国·期末）若将直线向下平移3个单位长度后得到直线，则下列关于直线说法正确的是（　　） A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于 C．与轴交于 D．随的增大而减小 【答案】D 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】此题主要考查了一次函数图象的平移以及一次函数的性质，正利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 【详解】解：将直线向下平移3个单位长度后得到直线， A、直线经过第二、三、四象限，故本选项错误； B、直线与轴交于，故本选项错误； C、直线与轴交于，故本选项错误； D、直线，随的增大而减小，故本选项正确． 故选：D． 46．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，长方形中，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示．则m为______________． 【答案】 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题是动点问题的函数的综合题，重点考查了动点问题的函数图象，考查了学生观察图象的能力，解题的关键是函数图象对应动点P的位置关系．由图象可知，的长度，当时，，求出的长；当时，，，从而得出a和m的值， 【详解】解：从图象可知，当时，面积不变， 即时，点P从点C运动到点D，且这时速度为每秒2个单位， ∴， ∴， 当时（点P运动到点C），， ∴，即， ∴， ∴长方形的长为6，宽为4， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 47．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）已知，是关于x的函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围是_________________． 【答案】/ 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意可得出y随x的增大而增大，结合一次函数的性质可得出，解之即可得出m的取值范围，牢记“随x的增大而增大；随x的增大而减小”是解题的关键． 【详解】∵两点在一次函数的图象上，且当时，， ∴y随x的增大而增大， ∴， ∴， 即m的取值范围为， 故答案为：． 48．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）若点在直线上，且，都是正整数，则点坐标是______． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、二元一次方程的解 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由点在直线上，则，然后根据题意求二元一次方程组的正整数解即可，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∵，都是正整数， ∴，， ∴点坐标是， 故答案为：． 49．（23-24七年级下·全国·单元测试）一空水池现需注满水，水池深4.9m，现以不变的流量注水，数据如下表．可以推断注满水池所需的时间是_________． 水的深度 0.7 1.4 2.1 2.8 注水时间 0.5 1 1.5 2 【答案】 【知识点】用表格表示变量间的关系、正比例函数的定义 【分析】本题主要考查了正比例函数．熟练掌握表格表示变量间的关系，正比例函数的定义，待定系数法求函数解析式，由函数值求自变量的值，是解决此题的关键． 设，将数对代入，求得，得到，当时，可求得． 【详解】设， 将代入， 得， 解得， ∴， 当时， ， 解得， ∴注满水池所需的时间是． 故答案为：． 50．（22-23八年级下·河南商丘·阶段检测）某班“数学社团”在学习“勾股定理”章节的内容后，自主探索如下问题．如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接．若是等腰三角形，求线段的长． (1)小美利用刚学过的勾股定理，用方程很容易做出了解答，请你帮小美写出解答过程； (2)小聪在学习了一次函数这一章节的内容后，他尝试利用函数的方法探究并解决该问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： ①首先根据点D在边上的不同位置，画出相应图形，测量出线段、的长度，得出下面的表格： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 6 6.1 6.3 6.7 7.2 7.8 a 9.2 10 表格中a的值为______（用最简二次根式表示）； ②然后将的长作为自变量x（），的长作为x的函数，记为y，在下面平面直角坐标系中画出了函数y关于x的图象．依据图象写出该函数的一条性质______； ③小聪分析不用测量的值，因为与满足关系式：______； (3)继续在平面直角坐标系画出小聪所需的函数图象，并结合图形直接写出：当△ABD为等腰三角形时，线段的长度的近似值（精确到0.1）． 【答案】(1) ∵是等腰三角形 ∴， 设，则， 在中，利用勾股定理，可得： 解得． ∴是等腰三角形时，的长为； (2)①；②y随x的增大而增大；③ (3) 由上可知，与的关系为：，在图中画出图像如下所示， 观察图像可知，当为等腰三角形时，线段的长度的近似值为1.8． 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义、画一次函数图象 【分析】（1）设，则，利用勾股定理即可解答； （2）①当时，利用勾股定理求解； ②由图象可直接得到解答； ③由图形可直接得到解答； （3）在坐标系中画出，当时找到的值． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，； ②由图象可得，该函数的一条性质：y随x的增大而增大； ③根据图形可得，∵D在上，， ∴； （3）略 51．（20-21八年级上·上海黄浦·期末）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完成： (1)函数的定义域是_________，函数值的取值范围是_________； (2)下表为与的几组对应值： 1 2 3 4 5 ．．． 0 1 1.41 1.73 2 ．．． 在所给的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (3)结合图象写出该函数的一条性质：________． 【答案】(1)，； (2) 如图所示： (3)随的增大而增大． 【知识点】从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了函数的图象，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键． （1）根据二次根式的性质即可得出结论； （2）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可； （3）根据函数图象即可得出结论． 【详解】（1）解：函数的定义域是，函数的函数值的取值范围是； 故答案为：，； （2）略 （3）解：由图象可得：随的增大而增大．（答案不唯一） 【考点8】一次函数的应用与综合（第52-60题） · 读函数图象：看清横纵轴含义、分段与拐点 · 实际问题先设函数关系式，代入已知点求k、b · 与几何综合时，把点坐标转化为线段长，结合勾股定理 52．（25-26八年级上·陕西西安·期末）正比例函数的一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数和正比例函数的图象可得参数的取值范围，然后进行比较即可． 【详解】解：A.由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数矛盾，不符合题意； B. 由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数矛盾，不符合题意； C. 由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数一致，符合题意； D. 由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数矛盾，不符合题意； 故选：C． 53．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，平面直角坐标系中，，，C为的中点，D在x轴上，若以A，C，D组成的三角形与相似，则D的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】已知两点坐标求两点距离、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查坐标与图形，相似三角形的性质，当A，C，D组成的三角形与相似时，则为直角三角形，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，，C为的中点， ∴， ∴， 当A，C，D组成的三角形与相似时，则为直角三角形， ∴当为直角顶点时，此时轴， ∴， 当为直角顶点时，设：，则：， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故选C． 54．（23-24八年级上·安徽合肥·期末），两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法： ①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是 ②乙出发后追上甲；③甲比乙晚到； ④甲车行驶或，甲，乙两车相距； 其中正确的是（     ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了函数的图象，根据图象可得甲车行驶的速度是，再由甲先出发，乙出发后追上甲，可得到乙车行驶的速度是，故①正确；故②错误；根据图象可得当乙到达地时，甲乙相距，从而得到甲比乙晚到，故③正确；然后分两种情况：当乙车在甲车前，且未到达地时和当乙车到达地后时，可得④正确． 【详解】解：①由图可得，甲车行驶的速度是， ∵甲先出发，乙出发后追上甲， ∴， ∴， 即乙车行驶的速度是，故①正确； ②∵当时，乙出发，当时，乙追上甲， ∴乙出发后追上甲，故②错误； ③由图可得，当乙到达地时，甲乙相距， ∴甲比乙晚到，故③正确； ④由图可得，当乙车在甲车前，且未到达地时，则 解得； 当乙车到达地后时，， 解得， ∴甲车行驶或，甲，乙两车相距，故④正确； 综上所述，①③④正确． 故选：C． 55．（2025·河南濮阳·二模）研究表明，运动后感觉疲劳与体内血乳酸浓度升高有关．运动员未运动时体内血乳酸浓度低于；若运动后降至以下，疲劳基本消除．科研人员根据数据绘制了运动员剧烈运动后体内血乳酸浓度随时间变化的图象．下列叙述正确的是（     ）    图中实线表示采用慢跑活动方式放松时血乳酸浓度的变化情况； 虚线表示采用静坐方式休息时血乳酸浓度的变化情况． A．运动后40分钟时，采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同 B．剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为 C．剧烈运动后，慢跑80分钟才能基本消除疲劳 D．剧烈运动后，慢跑放松有助于快速消除疲劳 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，理解函数图象的意义并从中获取有用的信息是解题的关键．根据函数图象的特征逐项分析即可． 【详解】解：A、由图象知，当时，虚线所在图象高于实线所在的图象，即采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度低于采用静坐方式休息时的血乳酸浓度，故叙述错误； B、由图象知，剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为左右，故叙述错误； C、由图象知，剧烈运动后，慢跑不到40分钟能基本消除疲劳，故叙述错误； D、由图象知，剧烈运动后，慢跑放松相比于静坐方式放松更有助于快速消除疲劳，故叙述正确． 56．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为______元． 【答案】4 【知识点】梯度计价问题、从函数的图象获取信息 【分析】设这件商品每件的原价为a元，当购买的件数x超过10件时，所付的款数，再根据点在一次函数的图象上得，由此解出a即可得出答案． 此题主要考查了一次函数的应用，理解题意，正确的列出，当购买的件数x超过10件时，所付的款数元与件之间的函数关系，读懂函数的图象，并从函数的图象中获取准确的解题信息是解决问题的关键． 【详解】解：设这件商品每件的原价为a元， 当购买的件数x超过10件时，所付的款数， 整理得：， 根据元与件之间的函数关系可知：点在一次函数的图象上， ， 解得： 答：这件商品每件的原价为4元． 故答案为4． 57．（2025·山东济南·一模）虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于虹吸时间x（单位：）的函数图象，如图2所示．当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为______．    【答案】/ 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法求得，再利用甲容器向乙容器注水，始终有，求得，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：当时，， ∵开始时甲容器液面高， ∴， 又∵时，， ∴设， 将代入得，解得， ∴， ∵甲容器向乙容器注水，始终有， ∴， ∴甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，即， ∴， 解得， 故答案为：． 58．（25-26八年级下·广西河池·期末）在矩形中，，，连接，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间秒，的面积为． (1)如图1，点在边上运动时，求关于的函数表达式以及的取值范围； (2)如图2，点在边上运动时，求关于的函数表达式以及的取值范围； (3)在图3中直接画出关于的函数图象，当的面积为4时，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3)，的值为2或 【知识点】一次函数与几何综合、动点问题的函数图象 【分析】（1）利用三角形面积公式求解即可； （2）先利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，最后利用三角形面积公式求解即可； （3）根据（2）中的解析式画出函数图象，当时，令，则，当时，令，则，然后求解即可得出答案． 【详解】（1）解：当点在上运动时， ，； （2）解：在中，， 过作， 由，得， 解得， ，，； （3）解：画图象，略 当在上，，则； 当在上，，则； 综上，的值为2或． 59．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图1，在中，高为，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，结合图形与图象解答： (1)______，______； (2)当在上时，求的最小值； (3)求的长． 【答案】(1)10，9 (2)8 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、动点问题的函数图象 【分析】本题考查了动点运动的函数图象，垂线段最短，勾股定理等知识．从图象中获取正确的信息是解题的关键． （1）观察图象得：当时，点到达点处，当时，点到达点处，即可求解； （2）过作，如图，当与重合时，最小，此时，再由勾股定理求出，即可求解； （3）根据，即可求解． 【详解】（1）解：观察图象得：当时，点到达点处，当时，点到达点处， ∴； 故答案为：10；9 （2）解：过作，如图，当与重合时，最小，此时． 在中，由勾股定理得，． 所以的最小值为8； （3）解：， ． 60．（24-25八年级上·安徽六安·阶段检测）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过10立方米 每立方米2元 超过10立方米 超过的部分每立方米3元 (1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； (2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？ (3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】(1) (2)应交水费14元 (3)该户居民用水12立方米 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据收费方式，分2种情况，列出函数关系式即可； （2）将代入对应的函数解析式进行求解即可； （3）令，求出对应的自变量的值即可． 【详解】（1）解：由题意，当时，， 当时，， ∴； （2）当时，（元）； 答：应交水费14元； （3）∵， ∴， ∴当时，，解得：； 答：该户居民用水12立方米． 💯 课后巩固 复习建议 · 勾股过关：定理与逆定理分清，直角三角形中知二求三要熟练 · 实数过关：平方根、立方根概念辨析清楚，运算注意符号 · 二次根式过关：先化简后合并，分母有理化多练 · 坐标过关：象限符号、点到坐标轴距离、平移规律要记牢 · 函数过关：k、b对图象的影响要会判断，实际问题会建模 【作业1】．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算、求一个数的立方根 【分析】本题考查程序流程图与实数的运算，根据流程图，进行计算即可． 【详解】解：是有理数，是有理数，是无理数，输出， 故选A． 【作业2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）下列各组数据是勾股数的有（   ） ，，； ，，； ，，； ，，； ，，． A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，勾股数，根据勾股数是三个正整数，且满足只需逐一检查每组数据是否均为正整数，并验证是否满足勾股定理即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股数必须为正整数且满足， ∵，，是整数，且， ∴是勾股数，符合题意； ∵，，不是整数， ∴不是勾股数，不符合题意； ∵，，是整数，且， ∴不是勾股数，不符合题意； ∵，，中不是整数， ∴不是勾股数，不符合题意； ∵，，是整数，且， ∴是勾股数，符合题意； 综上可得：只有和是勾股数，共组， 故选：． 【作业3】．（23-24八年级下·湖北恩施·阶段检测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的运算等知识点，根据二次根式的除法法则对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的加法法则对C选项进行判断，根据二次根式的减法法则对D选项进行判断即可，熟练掌握二次根式加减乘除法则进行运算是解决问题的关键． 【详解】A． ，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D． 和不是同类项，不能进行减法运算，所以D选项不符合题意； 故选：B． 【作业4】．（24-25八年级上·上海·期中）若正比例函数的图像在第二、四象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限、正比例函数的性质 【分析】此题考查了正比例函数的性质和点所在象限的特征，根据正比例函数的图像在第二、四象限，，则，根据点所在象限的特征即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数的图像在第二、四象限， ∴， ∴， ∴点在第三象限， 故选：C 【作业5】．（25-26八年级下·山东潍坊·阶段检测）对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向右平移2个单位向下平移4个单位长度得的图象 D．函数值随自变量的增大而减小 【答案】C 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性、一次函数图象平移问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】根据一次函数的性质，函数图象与坐标轴交点的求法，函数图象平移的法则，逐个判断选项即可得到错误结论． 【详解】解：对于一次函数，可得，． A选项：，，函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，A结论正确． B选项：令，则，解得，函数图象与轴的交点坐标是，B结论正确． C选项：根据图象平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的原则，函数向右平移2个单位，向下平移4个单位后，解析式为，化简得，不是，C结论错误． D选项：，函数值随自变量的增大而减小，D结论正确． 【作业6】．（25-26七年级下·广西桂林·期中）如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实数与数轴 【分析】本题主要考查了数轴，利用数轴的特征和圆的周长公式解答即可． 【详解】解：∵直径为单位1的圆的周长为，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点， ∴A点表示的数是． 【作业7】．（2024·安徽淮北·模拟预测）若估算的值在整数n和之间，则n=______． 【答案】4 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查估算无理数的大小．先化简，然后用平方法估算的大小即可． 【详解】解：， 又 即， ， 又 的值在整数n和（n＋1）之间， ． 故答案为：4． 【作业8】．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如果，是2024的两个不相等的平方根，那么__________． 【答案】4048 【知识点】相反数的定义、已知式子的值，求代数式的值、平方根概念理解 【分析】本题考查平方根和相反数的性质、求代数式的值，熟练掌握平方根和相反数的性质是解题的关键． 根据平方根的性质可知、互为相反数，再根据相反数的性质即可求出结果． 【详解】解：∵是2024的两个不相等的平方根， ， 故答案为：4048． 【作业9】．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）______，______，______． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、实数的大小比较、去括号 【分析】本题考查绝对值、无理数的大小比较、去括号法则，先确定出，从而确定，，再根据绝对值的代数意义进行化简；解题的关键是确定，理解：绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，一个负数的绝对值是它的相反数；去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同：如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相反． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ， ． 故答案为：；；． 【作业10】．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 【答案】 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积即可． 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米， 故答案为：． 【作业11】．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，请你在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帥”的坐标为，则“馬”所在点的坐标为______． 【答案】 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，直接利用“帅”位于点，可得原点的位置，进而得出“馬”的坐标． 【详解】解：如图所示：可得“炮”是原点， 则“馬”位于点． 故答案为：． 【作业12】．（24-25九年级上·四川乐山·期末）若，则化简的结果是_____． 【答案】4 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简、整式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值、整式的加减，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，，再化简二次根式和绝对值，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故答案为：4． 【作业13】．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）若点到轴的距离为2，到轴的距离为3，且，则点P的坐标为______． 【答案】或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查点的坐标，点到坐标轴的距离． 由点到轴的距离为2，可得，由点到轴的距离为3，可得，结合，即可得点P的坐标． 【详解】解：∵点到轴的距离为2，到轴的距离为3， ∴，， ∴，， ∵， ∴，或， ∴点P的坐标为或． 故答案为：或． 【作业14】．（24-25八年级下·上海青浦·期末）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于（）的点叫做这个函数图像的“阶方点”．例如：点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”．如果关于的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，那么的值为________． 【答案】或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，新定义，根据题意得到当时，经过或；当时，经过或；计算即可. 【详解】解：∵关于的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个， ∴当时，经过或， ∴或， 解得：（舍去）或； 当时，经过或， ∴或， 解得：（舍去）或； 综上所述，的值为或. 故答案为：或. 【作业15】．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）计算或求x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，立方根的性质： （1）利用算术平方根、立方根的定义分别化简，再合并即可求解； （2）利用立方根的性质，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ， ， ． 【作业16】．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【知识点】无理数整数部分的有关计算、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】（）根据算术平方根的定义求出的值，根据平方根的定义求出的值，根据无理数的估算的值，然后求得的值即可； （）把，，的代入，然后根据平方根的定义即可求解； 本题考查了算术平方根，平方根，无理数的估算，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的平方根是， ∴， ∴， ∵，即，是的整数部分， ∴， ∴，，， （2）解：由（）得：，，， ∴， ∴的平方根为． 【作业17】．（2026·浙江·模拟预测）周末，小钱从家里出发，乘车去书店买书，小钱离家的路程（千米）和所经过的时间（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)求书店离小钱家多少千米． (2)请求出小钱从书店回到家这一段时间内，关于之间的函数关系式，并计算第18分钟时，小钱离家还有多少千米． 【答案】(1)书店离小钱家2千米 (2)第18分钟时，小钱离家还有千米 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）求出当时关于之间的函数关系式，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，书店离小钱家2千米； （2）解：当时，设函数表达式是， 将点代入得： ， 解得， 所以， 当时，． 答：第18分钟时，小钱离家还有千米． 【作业18】．（25-26八年级上·四川内江·期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边的长度为a，b，斜边的长度为c，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH．测得千米，千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）在中，，，，且点D在直线上，，请直接写出的值． 【答案】 （1）梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）千米；（3）的长为10或22 【知识点】用勾股定理解三角形、求一个数的算术平方根、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识，熟知勾股定理是解题的关键． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）分点D在线段上和点D在线段的延长线上两种情况，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1） 略 （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得， ， 解得，即千米， 千米， 答：新路比原路少千米； （3）如图所示，当点D在线段上时， ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 如图所示，当点D在的延长线上时， ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 综上所述，的长为10或22． 【作业19】．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图：某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为，现要为喷泉铺设供水管道和，供水点M在小路上，供水点 M 到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)求喷泉B到小路的最短距离． 【答案】(1)供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为 (2)喷泉B到小路的最短距离为 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理． （1）首先根据勾股定理求出，进而求解即可； （2）过点B作，利用等面积法求解即可． 【详解】（1）∵在中，，， ∴ 在中， ∴， 答：供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为； （2）如图所示，过点B作， ． 答：喷泉B到小路的最短距离为． 【作业20】．（24-25八年级上·山西运城·期末）阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务． 探索函数图像与性质之间的关系图像与性质是函数研究的主要内容，从函数的数量特征和图像的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法.例如，在研究正比例函数的图像与性质时，可以用函数的数量特征解释相应的图像几何特征，分析如下： 图像 图像的几何特征 函数的数量特征    图像经过① 由表达式可知，当时，； 图像经过第②象限 因为，且， 所以当时，，当时，③， 即当时，，同号； 从左往右图像是上升趋势 设点，是该函数图像上的点（其中），所以，， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以，的值随值的增大而④. …… …… 类似地，我们可以用这种思路与方法研究其他函数的图像与性质…… 任务： (1)上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_____________；②_____________；③_____________；④_____________． (2)如下表所示，小华模仿上述材料画出函数的图像．请你帮他写出该函数图象的一条几何特征，及相应函数的数量特征（注：不同水平的答案，得分不同） 图像 图像的几何特征 函数的数量特征    【答案】(1)原点（或）；一、三；；增大 (2)如下表： 图像 图像的几何特征 函数的数量特征 图像经过原点 由表达式可知，当时，； 图像经过第三、四象限 因为，当，， 当时，， 即当时，始终为负数． 在第三象限，图像从左往右是上升趋势 设点，是该函数图像上的两点，其中，所以， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，的值随值的增大而增大． 在第四象限，图像从左往右是下降趋势 设点，是该函数图像上的两点，其中，所以， 因为，所以， 所以 ， 即，所以， 所以，的值随值的增大而减小． 图像关于轴对称 设点，是该函数图像上的两点，其中， 所以，， 因为，所以， 则， 所以，即． 【知识点】从函数的图象获取信息、正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题主要考查正比例一次函数的图像和性质，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． （1）根据函数的图像即可确定函数的性质，填空即可； （2）利用数形结合思想，得出函数的性质和特征即可． 【详解】（1） 图像 图像的几何特征 函数的数量特征 图像经过原点 由表达式可知，当时，； 图像经过第一、三象限 因为，且， 所以当时，，当时，， 即当时，，同号； 从左往右图像是上升趋势 设点，是该函数图像上的点（其中），所以，， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以，的值随值的增大而增大． …… …… 故答案为：原点（或）；一、三；；增大； （2）略 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二·期中综合复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握勾股定理及其逆定理，能熟练用勾股定理求边长、证垂直并解决最短路径问题 · 理解平方根、算术平方根、立方根与无理数概念，熟练进行实数与二次根式的运算 · 掌握平面直角坐标系中点的坐标特征、坐标平移与点到坐标轴的距离 · 理解一次函数与正比例函数的概念，会画图象、掌握图象性质与k、b的几何意义 · 能建立一次函数模型解决实际问题，并进行勾股定理与一次函数的综合运用 📚 知识梳理 ☆ 1.勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即c2=a2+b2 逆定理：若三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，如3、4、5与5、12、13 应用：已知两边求第三边、求最短路径、勾股树与弦图面积问题 概念辨析例题：直角三角形两直角边分别为3和4，求斜边的长 答案：c==5 解析：由勾股定理c2=a2+b2=9+16=25，故c=5 ☆ 2.实数与二次根式 算术平方根：若x2=a（x≥0），则x=；平方根有两个互为相反数，记作± 立方根：若x3=a，则x=∛a，任意实数都有唯一立方根 无理数：无限不循环小数；实数与数轴上的点一一对应 二次根式：（a≥0）；运算时先化简再合并同类二次根式，注意分母有理化 概念辨析例题：计算：+ 答案： 解析：=2，=，=3，合并得2= ☆ 3.位置与坐标 平面直角坐标系：两条互相垂直的数轴，象限按逆时针编号，坐标轴上的点不属于任何象限 各象限符号：第一象限(+,+)、第二(-,+)、第三(-,-)、第四(+,-) 点到坐标轴距离：点P(x,y)到x轴距离为|y|，到y轴距离为|x| 坐标平移：左右平移改变横坐标（左减右加），上下平移改变纵坐标（下减上加） 概念辨析例题：点P(-3,4)到x轴、y轴的距离分别是多少？ 答案：到x轴距离为4，到y轴距离为3 解析：点(x,y)到x轴距离=|y|=4，到y轴距离=|x|=3 ☆ 4.一次函数 概念：形如y=kx+b（k≠0）的函数叫一次函数；当b=0时y=kx叫正比例函数 图象：一次函数图象是一条直线；k决定倾斜方向，b是与y轴交点的纵坐标 性质：k>0时y随x增大而增大；k<0时y随x增大而减小 应用：根据实际问题列函数关系式，用图象与解析式解决行程、计费等问题 概念辨析例题：一次函数y=-2x+4的图象经过哪几个象限？与坐标轴交点坐标是什么？ 答案：经过第一、二、四象限；与x轴交于(2,0)，与y轴交于(0,4) 解析：k=-2<0直线下降，b=4>0与y轴正半轴相交；令y=0得x=2，令x=0得y=4 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 勾股定理 c2=a2+b2 仅适用于直角三角形 逆定理 a2+b2=c2⇒直角三角形 先找最长边验证 平方根与立方根 ±、√[3]{a} 负数没有平方根但有立方根 二次根式 （a≥0） 被开方数非负 点的坐标 P(x,y) 到x轴看|y|、到y轴看|x| 一次函数 y=kx+b（k≠0） k定增减、b定与y轴交点 ⚠️ 核心考点 【考点1】平方根与立方根（第1-5题） · 先判断是求算术平方根、平方根还是立方根，平方根勿忘± · 立方根符号与被开方数一致，负数也有立方根 · 已知平方根求原数：把平方根平方即得原数 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）数(相邻两个1之间的0的个数逐渐加1)，中，无理数的个数为（   ） A．5 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚有一次看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出．请你用有关立方根的知识，逐一确定的位数、各个数位上的数字，可知的值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为______· 4．（24-25八年级上·全国·期中）的平方根是________；的立方根是________；的算术平方根是________． 5．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段检测）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片．   (1)大正方形纸片的边长是___________； (2)若沿着大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为 ，且面积为 【考点2】实数的运算与大小比较（第6-15题） · 实数混合运算顺序：先乘方开方，再乘除，后加减 · 比较大小：作差、作商或借助数轴，无理数可先估算 · 注意零指数幂与负整数指数幂：a0=1（a≠0），a-n= 6．（25-26七年级下·北京大兴·期末）教材上有这样一个探究：把两个边长均为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形．所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________． 7．（2025·重庆开州·二模）一个四位正整数，若满足，且，，则称这个数为“金榜数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则______；若为整数，则满足条件的“金榜数”m的最大值与最小值的差为______． 8．（2022·湖南娄底·模拟预测）公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到 ，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则___________． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： ．（结果保留根号） 10．（24-25七年级下·山西忻州·期末）综合与实践 问题情境：如图1，有一条长为8个单位长度的纸条（宽度忽略不计），半径为1的圆上的一点与纸条上表示数字0的点重合，将圆沿着纸条向右滚动一周，重合点变为点，点表示的数为． (1)的值为 ．（结果保留） (2)求的平方根． (3)“善思小组”将纸条进行如下操作． ①操作一：如图2，将纸条沿表示4的数的点对折，则表示数的点与表示数 的点重合． ②操作二：如图3，在操作一的条件下，将对折的纸条沿着点剪开，如图4，展开后的长为，则点表示的数为 ． 11．（25-26八年级下·河北邢台·期中）计算： (1)； (2)； 12．（25-26七年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)． 13．（24-25八年级上·河北唐山·期末）题目：请把实数，，，，表示在数轴上．粗心的小华做题时只将其中两个无理数对应的点表示在了数轴上，得到一个不完整的数轴，请帮他解决下列问题．    (1)题目的五个实数中，是无理数的有__________； (2)在数轴上把题目中的五个实数对应的位置表示出来，并比较它们的大小（用“”连接起来）． 14．（23-24七年级下·陕西安康·期中）如图，数轴上点A，B表示的数分别为1，，点C在数轴上，且（B，C两点不重合）．设点C表示的数为x． (1)求x的值； (2)求的值． 15．（21-22七年级下·湖北恩施·期中）计算或化简下列各题： (1)； (2)． 【考点3】二次根式的化简与运算（第16-24题） · 先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式 · 分母有理化：分子分母同乘适当的因式化去根号 · 利用=|a|化简，注意字母的取值范围 16．（23-24八年级下·山东滨州·阶段检测）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·山东威海·期末）已知， 则化简二次根式的正确结果是（     ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级下·山东青岛·阶段检测）计算：______． 19．（25-26八年级上·上海·期中）把根号外面的因式移到根号里面，化成最简二次根式，正确的结果是_______． 20．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，则化简的结果为 _____． 21．（八年级数学期末模拟卷（沪科版八下全部）-学易金卷：2024-2025学年初中下学期期末考试卷）已知，则的值保留小数点后两位是______． 22．（2022·河北邯郸·三模）计算________． 23．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若6，8，m为三角形的三边长，则化简的结果为________. 24．（23-24八年级下·江西南昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a，b是因子二次根式，c为因子． (1)请判断和是否为因子二次根式．如果是，求出因子；如果不是，请说明理由． (2)若与是因子二次根式，3为因子，求n的值． 【考点4】勾股定理及其证明（第25-34题） · 在直角三角形中知两边可求第三边，先分清斜边与直角边 · 用逆定理判定直角三角形：验证两短边平方和是否等于最长边平方 · 勾股树、弦图问题常结合面积法与完全平方公式 25．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段检测）刘老师和“数学小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题”：如图在中，，，，分别以的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·河南商丘·阶段检测）下面图形中可以用来验证勾股定理的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 27．（23-24九年级上·浙江·阶段检测）如图是由6块直角三角形拼成的矩形，其中是四个全等的三角形，则(    )    A． B． C． D． 28．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，是个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，若用表示直角三角形的两条直角边（），请观察图案，下列式子不正确的是（       ） A． B． C． D． 29．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 30．（23-24八年级下·北京·期中）正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，…按此规律继续下去，则的值为________               　 31．（23-24八年级下·山东临沂·期中）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是和，则第三个数是_______． 32．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，，点在边上，，平分交于点，若，，则的长为__________． 33．（24-25八年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，，于点，于点，点为线段上一个动点，点为线段上一动点，当与全等时，的长度为_____． 34．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中的度数应为．连接，现测得，，，，．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即的度数是否为）． 【考点5】勾股定理的实际应用（第35-37题） · 实际问题先抽象出直角三角形，标注已知边 · 最短路径问题：展开曲面或平移线段后用两点之间线段最短 · 台阶、地毯、折叠问题常构造直角三角形列方程 35．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，有一棱长为的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点到点拉一条捆绑线绳，使线绳经过、、、四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（    ）． A． B． C． D． 36．（25-26八年级上·江西萍乡·阶段检测）如图，在中，，，，若动点P从点A出发，以的速度沿折线运动．设运动时间为，当点P运动到与点A和点B的距离相等的位置时，t的值为______．    37．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，第一个风筝是鲁班用竹子做的，后来只有皇宫里才有风筝．唐朝以前，风筝一般被看做是用于测量、通信等军事功能的工具，之后风筝的军事功能逐渐消失了，变成了一项娱乐活动．小明自制了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：如图，先测得牵线放风筝的手到地面的距离为；放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线的长度，计算出的长度为．已知点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度． (2)若此时小明手里的余线仅剩，他想要让风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？（小明的位置不变）请运用数学知识说明． 【考点6】平面直角坐标系与点的坐标（第38-41题） · 由坐标描点、由点写坐标，先看象限符号 · 点到坐标轴距离分别等于纵、横坐标的绝对值 · 坐标规律题：列出前几个点找循环或递推关系 38．（22-23七年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，一个点从出发沿图中路线依次经过，，，…，按此一直运动下去，则的值为（    ） A．1006 B．1007 C．1509 D．1511 39．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______． (2)按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______； (3)的面积为______ 40．（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，已知． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的2倍，求点P 的坐标． 41．（23-24七年级下·江西南昌·阶段检测）已知点，解答下列问题． (1)点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标，直线轴，求出点P的坐标． (3)若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求的值． 【考点7】一次函数的概念与图象（第42-51题） · 由k、b的符号判断直线经过的象限与增减性 · 与坐标轴交点：令x=0求y轴交点，令y=0求x轴交点 · 图象平移：上加下减在b，左加右减换x 42．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段检测）若一次函数与，满足，且已知没有意义，则能大致表示这两个函数图象的是（  ） A． B． C． D． 43．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）一次函数，当，的最大值为（   ） A． B． C．1 D．3 44．（24-25八年级下·云南昆明·期末）已知一次函数，下列结论错误的是（　　） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．函数图象经过点 C．函数图象可由直线向下平移个单位长度得到 D．若点，在此函数图象上，则 45．（24-25八年级上·全国·期末）若将直线向下平移3个单位长度后得到直线，则下列关于直线说法正确的是（　　） A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于 C．与轴交于 D．随的增大而减小 46．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，长方形中，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示．则m为______________． 47．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）已知，是关于x的函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围是_________________． 48．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）若点在直线上，且，都是正整数，则点坐标是______． 49．（23-24七年级下·全国·单元测试）一空水池现需注满水，水池深4.9m，现以不变的流量注水，数据如下表．可以推断注满水池所需的时间是_________． 水的深度 0.7 1.4 2.1 2.8 注水时间 0.5 1 1.5 2 50．（22-23八年级下·河南商丘·阶段检测）某班“数学社团”在学习“勾股定理”章节的内容后，自主探索如下问题．如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接．若是等腰三角形，求线段的长． (1)小美利用刚学过的勾股定理，用方程很容易做出了解答，请你帮小美写出解答过程； (2)小聪在学习了一次函数这一章节的内容后，他尝试利用函数的方法探究并解决该问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： ①首先根据点D在边上的不同位置，画出相应图形，测量出线段、的长度，得出下面的表格： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 6 6.1 6.3 6.7 7.2 7.8 a 9.2 10 表格中a的值为______（用最简二次根式表示）； ②然后将的长作为自变量x（），的长作为x的函数，记为y，在下面平面直角坐标系中画出了函数y关于x的图象．依据图象写出该函数的一条性质______； ③小聪分析不用测量的值，因为与满足关系式：______； (3)继续在平面直角坐标系画出小聪所需的函数图象，并结合图形直接写出：当△ABD为等腰三角形时，线段的长度的近似值（精确到0.1）． 51．（20-21八年级上·上海黄浦·期末）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完成： (1)函数的定义域是_________，函数值的取值范围是_________； (2)下表为与的几组对应值： 1 2 3 4 5 ．．． 0 1 1.41 1.73 2 ．．． 在所给的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (3)结合图象写出该函数的一条性质：________． 【考点8】一次函数的应用与综合（第52-60题） · 读函数图象：看清横纵轴含义、分段与拐点 · 实际问题先设函数关系式，代入已知点求k、b · 与几何综合时，把点坐标转化为线段长，结合勾股定理 52．（25-26八年级上·陕西西安·期末）正比例函数的一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 53．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，平面直角坐标系中，，，C为的中点，D在x轴上，若以A，C，D组成的三角形与相似，则D的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D．或 54．（23-24八年级上·安徽合肥·期末），两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法： ①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是 ②乙出发后追上甲；③甲比乙晚到； ④甲车行驶或，甲，乙两车相距； 其中正确的是（     ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 55．（2025·河南濮阳·二模）研究表明，运动后感觉疲劳与体内血乳酸浓度升高有关．运动员未运动时体内血乳酸浓度低于；若运动后降至以下，疲劳基本消除．科研人员根据数据绘制了运动员剧烈运动后体内血乳酸浓度随时间变化的图象．下列叙述正确的是（     ）    图中实线表示采用慢跑活动方式放松时血乳酸浓度的变化情况； 虚线表示采用静坐方式休息时血乳酸浓度的变化情况． A．运动后40分钟时，采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同 B．剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为 C．剧烈运动后，慢跑80分钟才能基本消除疲劳 D．剧烈运动后，慢跑放松有助于快速消除疲劳 56．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为______元． 57．（2025·山东济南·一模）虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于虹吸时间x（单位：）的函数图象，如图2所示．当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为______．    58．（25-26八年级下·广西河池·期末）在矩形中，，，连接，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间秒，的面积为． (1)如图1，点在边上运动时，求关于的函数表达式以及的取值范围； (2)如图2，点在边上运动时，求关于的函数表达式以及的取值范围； (3)在图3中直接画出关于的函数图象，当的面积为4时，求的值． 59．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图1，在中，高为，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，结合图形与图象解答： (1)______，______； (2)当在上时，求的最小值； (3)求的长． 60．（24-25八年级上·安徽六安·阶段检测）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过10立方米 每立方米2元 超过10立方米 超过的部分每立方米3元 (1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； (2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？ (3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？ 💯 课后巩固 复习建议 · 勾股过关：定理与逆定理分清，直角三角形中知二求三要熟练 · 实数过关：平方根、立方根概念辨析清楚，运算注意符号 · 二次根式过关：先化简后合并，分母有理化多练 · 坐标过关：象限符号、点到坐标轴距离、平移规律要记牢 · 函数过关：k、b对图象的影响要会判断，实际问题会建模 【作业1】．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（    ） A． B． C．2 D． 【作业2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）下列各组数据是勾股数的有（   ） ，，； ，，； ，，； ，，； ，，． A．组 B．组 C．组 D．组 【作业3】．（23-24八年级下·湖北恩施·阶段检测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（24-25八年级上·上海·期中）若正比例函数的图像在第二、四象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【作业5】．（25-26八年级下·山东潍坊·阶段检测）对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向右平移2个单位向下平移4个单位长度得的图象 D．函数值随自变量的增大而减小 【作业6】．（25-26七年级下·广西桂林·期中）如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【作业7】．（2024·安徽淮北·模拟预测）若估算的值在整数n和之间，则n=______． 【作业8】．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如果，是2024的两个不相等的平方根，那么__________． 【作业9】．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）______，______，______． 【作业10】．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 【作业11】．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，请你在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帥”的坐标为，则“馬”所在点的坐标为______． 【作业12】．（24-25九年级上·四川乐山·期末）若，则化简的结果是_____． 【作业13】．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）若点到轴的距离为2，到轴的距离为3，且，则点P的坐标为______． 【作业14】．（24-25八年级下·上海青浦·期末）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于（）的点叫做这个函数图像的“阶方点”．例如：点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”．如果关于的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，那么的值为________． 【作业15】．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）计算或求x的值： (1)； (2)． 【作业16】．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【作业17】．（2026·浙江·模拟预测）周末，小钱从家里出发，乘车去书店买书，小钱离家的路程（千米）和所经过的时间（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)求书店离小钱家多少千米． (2)请求出小钱从书店回到家这一段时间内，关于之间的函数关系式，并计算第18分钟时，小钱离家还有多少千米． 【作业18】．（25-26八年级上·四川内江·期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边的长度为a，b，斜边的长度为c，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH．测得千米，千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）在中，，，，且点D在直线上，，请直接写出的值． 【作业19】．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图：某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为，现要为喷泉铺设供水管道和，供水点M在小路上，供水点 M 到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)求喷泉B到小路的最短距离． 【作业20】．（24-25八年级上·山西运城·期末）阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务． 探索函数图像与性质之间的关系图像与性质是函数研究的主要内容，从函数的数量特征和图像的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法.例如，在研究正比例函数的图像与性质时，可以用函数的数量特征解释相应的图像几何特征，分析如下： 图像 图像的几何特征 函数的数量特征    图像经过① 由表达式可知，当时，； 图像经过第②象限 因为，且， 所以当时，，当时，③， 即当时，，同号； 从左往右图像是上升趋势 设点，是该函数图像上的点（其中），所以，， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以，的值随值的增大而④. …… …… 类似地，我们可以用这种思路与方法研究其他函数的图像与性质…… 任务： (1)上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_____________；②_____________；③_____________；④_____________． (2)如下表所示，小华模仿上述材料画出函数的图像．请你帮他写出该函数图象的一条几何特征，及相应函数的数量特征（注：不同水平的答案，得分不同） 图像 图像的几何特征 函数的数量特征    试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $