精品解析：山西临汾市尧都区临汾一中第一附属学校2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题

九年级数学（华师版） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 6. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，，且矩形的面积为5，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，点是的中点，连接交于点，延长，与的延长线交于点．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 某公司自主研发储能电池，技术不断迭代，成本逐年下降．该款储能电池2024年市场指导价为每台3600元，2026年市场指导价为每台2916元．若设该款储能电池这两年的年平均降价百分率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，．若，则下列说法正确的是（ ） A. 不存在使得成立 B. 的值为或 C. 的值为 D. 的值为 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_____． 12. 已知是方程的一个根，则的值为_______． 13. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 14. 宣纸是我国国家级非物质文化遗产，是中华传统文化中一张亮眼名片．某文具商家以每刀（宣纸单位）100元的价格购进一批宣纸，当销售价格为每刀120元时，每天可以售出20刀．经市场调查发现：每刀宣纸降价2元，平均每天可多售出4刀．现商家计划降价销售，若每刀宣纸降价元，商家平均每天销售宣纸可以盈利432元，则可列方程为________． 15. 如图，将正方形纸片折叠，点的对应点落在边上，点的对应点为点，折痕分别与边，交于点，．若，，则正方形的面积为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）． （2）． 17. 解方程： （1）． （2）． （3）． 18. 如图是2026年10月的日历表，可以用一个方框（阴影框）圈出9个数，若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为105，求这个最小数（请用方程知识解答）． 19. 山区边坡（工程术语）容易发生落石灾害，地质工程师需要开展落石下坠模拟实验，评估边坡安全风险．若忽略空气阻力，石块的下落高度（单位：m）与落地速度（单位：）满足关系式：．某次模拟实验中，测试石块从距离地面的崖边自由坠落． （1）求石块落地时的速度（结果保留根号）． （2）模拟评估标准：若石块落地速度大于，判定为高危落石，会对下方道路造成严重安全威胁．请判断本次实验中的落石是否属于高危落石，并说明理由（参考数据：）． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）证明：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的两个实数根为，，当，求的值． 21. 阅读与思考 下面是小华同学在课外书上看到的关于二次根式的材料，请认真阅读并完成相应的任务． 材料一：分母有理化 分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，使分母变为有理数，这个变形叫作分母有理化．例如，． 材料二：共轭二次根式 若两个含二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． 任务： （1）与是关于的共轭二次根式，则的值为________． （2）计算：． （3）若与是关于18的共轭二次根式，求的值（结果化为最简形式）． 22. 项目式学习 项目主题 制作雨水收集储水箱 项目背景 为推进海绵城市建设，山西多地开展雨水资源化利用工程．综合实践活动小组的同学，准备利用硬塑料板制作长方体雨水收集储水箱，用于收集校园屋面雨水 工具 长为，宽为的长方形硬塑料板，尺子，防水胶 设计方案 方案甲 如图1，在长方形塑料板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体储水箱，箱子的底面是长方形 方案乙 如图2，在长方形塑料板的四个直角处，裁掉四个长均为，宽均为的小长方形，再沿虚线折成如图3所示的一个有盖的长方体储水箱，和两边恰好重合且无重叠部分，箱子的底面是长方形 任务： （1）用含的代数式表示：方案甲制作出的无盖储水箱的底面长为________，底面宽为________． （2）若方案甲制作出的无盖储水箱的底面积为，求裁去小正方形的边长的值． （3）若方案乙制作出的有盖储水箱的底面积为，求裁掉的小长方形的长的值． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在平行四边形中，点是边上的一点，连接，将沿折叠得到，线段的延长线经过点． （1）独立思考：判断与的数量关系，并说明理由． （2）深入探究：如图2，，过点作，交的延长线于点． ①判断与的数量关系，并说明理由． ②若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（华师版） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此列不等式求解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，判断解答即可． 【详解】解：，，被开方数均含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 的被开方数含分母，不是最简二次根式． 的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式的运算法则及二次根式的性质逐一判断即可求解． 【详解】解：A．，原式计算错误，故本选项不符合题意； B．，原式计算正确，故本选项符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算错误，故本选项不符合题意； 4. 一元二次方程配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把常数项移到方程的右边，方程两边再加上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可． 【详解】解： 移项，得：， 配方，得：， 即． 故选：A 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法解一元二次方程的方法．配方法解一元二次方程的方法：将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方． 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设（），则，代入解答即可． 【详解】解：设（），则，代入得． 6. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将各方程化为一元二次方程的一般形式，利用根的判别式判断方程是否有实数根． 【详解】解：A选项：，，∴无实数根． B选项：将移项整理得，，∴有两个不相等的实数根． C选项：将展开整理得，，∴有两个不相等的实数根． D选项：，，∴有两个不相等的实数根． 7. 如图，在矩形中，，且矩形的面积为5，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，根据题意，得，解方程即可． 【详解】解：设，则，根据题意，得， 整理，得， 解得， ∵线段的长不能为负， ∴． 8. 如图，在平行四边形中，点是的中点，连接交于点，延长，与的延长线交于点．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，证明，再证明， 求得，最后用勾股定理，解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴． 9. 某公司自主研发储能电池，技术不断迭代，成本逐年下降．该款储能电池2024年市场指导价为每台3600元，2026年市场指导价为每台2916元．若设该款储能电池这两年的年平均降价百分率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该款储能电池这两年的年平均降价百分率为,2025年的市场指导价为每台元，2026年的市场指导价为每台元，2026年市场指导价为每台2916元，解答即可． 【详解】解：根据题意，得． 10. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，．若，则下列说法正确的是（ ） A. 不存在使得成立 B. 的值为或 C. 的值为 D. 的值为 【答案】D 【解析】 【分析】先利用判别式求出m的取值范围，再结合根与系数的关系和已知条件建立方程求解m的值． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴ ． 整理得，即． 由根与系数的关系，得，． ∵ ， ∴ ． 代入得， 整理得， 解得． ∵ ，不符合题意，舍去， ∴ ． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，利用平方差公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：6． 12. 已知是方程的一个根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根． 根据方程根的定义，将代入求解即可. 【详解】解：将代入方程，得 ，即， 整理得， 解得． 故答案为． 13. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程，若，是它的两个实数根，根据根与系数的关系可得，， 本题中一元二次方程为，可得，，， 代入得，， 将上述结果代入得． 14. 宣纸是我国国家级非物质文化遗产，是中华传统文化中一张亮眼名片．某文具商家以每刀（宣纸单位）100元的价格购进一批宣纸，当销售价格为每刀120元时，每天可以售出20刀．经市场调查发现：每刀宣纸降价2元，平均每天可多售出4刀．现商家计划降价销售，若每刀宣纸降价元，商家平均每天销售宣纸可以盈利432元，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出降价元后每刀宣纸的利润和每天的销售量，再根据总盈利的等量关系列方程． 【详解】解：∵ 每刀宣纸进价为元，原售价为元，现降价元， ∴ 每刀宣纸的利润为元； ∵ 每降价元，平均每天多售出刀， ∴ 降价元后，每天多售出的刀数为刀， ∴ 每天总销售量为刀； ∵ 总盈利为元，总盈利 = 每刀利润 × 总销售量， ∴ 可列方程为． 15. 如图，将正方形纸片折叠，点的对应点落在边上，点的对应点为点，折痕分别与边，交于点，．若，，则正方形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形边长为，利用正方形和折叠的性质可得，，，，即得，设，则，利用勾股定理可得，设，则，连接，又由勾股定理可得，过点作于点，则四边形为矩形，得到，，即得，最后根据勾股定理构建方程求出的值即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，则，， ∵折叠， ，，，，  ，  ，  设，则，  ， 在中，，  ， 整理得，  设，则，  ，  连接，   在中，，  在中，，  ，  整理得，  过点作于点，则四边形为矩形， ，，  ，  在中，，  ，  ，  ，  ，  解得或（不合题意，舍去），  ∴正方形的面积为． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后利用二次根式的加减混合运算解答即可． （2）先算二次根式的乘法，除法，最后算加法，解答即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解方程： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）先移项，提取公因式，利用因式分解法解方程； （2）采用配方法，配方后直接开平方求解； （3）整理成一元二次方程一般形式，使用求根公式计算方程的根． 【小问1详解】 解： 移项，得， 提取公因式，得， 或 ， 解得． 【小问2详解】 解： 移项，得， 配方，两边同加，， ， 直接开平方：， ． 【小问3详解】 解： 整理为一般式：， ， ， ， ． 18. 如图是2026年10月的日历表，可以用一个方框（阴影框）圈出9个数，若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为105，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】5 【解析】 【分析】设这9个数中最小的数为x，根据题意，日历中，同行中相邻数之间差1，同列中相邻数之间差7，得最大数为，根据最小数与最大数的乘积为105，列方程解答即可； 【详解】解：设这9个数中最小的数为x，根据题意，日历中，同行中相邻数之间差1，同列中相邻数之间差7，得最大数为， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 日历中的数字没有负数， 故舍去， 故 故这九个数中最小的数为5． 19. 山区边坡（工程术语）容易发生落石灾害，地质工程师需要开展落石下坠模拟实验，评估边坡安全风险．若忽略空气阻力，石块的下落高度（单位：m）与落地速度（单位：）满足关系式：．某次模拟实验中，测试石块从距离地面的崖边自由坠落． （1）求石块落地时的速度（结果保留根号）． （2）模拟评估标准：若石块落地速度大于，判定为高危落石，会对下方道路造成严重安全威胁．请判断本次实验中的落石是否属于高危落石，并说明理由（参考数据：）． 【答案】（1）石块落地时的速度为． （2）本次实验中的落石不属于高危落石． 理由：由（1）知石块落地速度为， ， ， ， 本次实验中的落石不属于高危落石． 【解析】 【分析】（1）将代入关系式，结合速度的实际意义求解． （2）利用参考数据计算落地速度的近似值，与比较判断． 【小问1详解】 解：由题意得，，代入得 ， ， ． 答：石块落地时的速度为． 【小问2详解】 略 20. 已知关于的一元二次方程． （1）证明：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的两个实数根为，，当，求的值． 【答案】（1）证明：将原方程化为一般形式为 ∵ ∴ 又∵ 对任意实数， ∴ ，即 ∴ 对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）的值为． 【解析】 【分析】（1）先把方程整理成一元二次方程一般形式，计算判别式，根据，证得，得到方程总有两个不相等实数根； （2）根据根与系数的关系写出与，利用恒等式代入等式，解方程求出． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得 ，． ， 代入， ， ． 把，代入： ， ， ， ， ， 解得． 21. 阅读与思考 下面是小华同学在课外书上看到的关于二次根式的材料，请认真阅读并完成相应的任务． 材料一：分母有理化 分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，使分母变为有理数，这个变形叫作分母有理化．例如，． 材料二：共轭二次根式 若两个含二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． 任务： （1）与是关于的共轭二次根式，则的值为________． （2）计算：． （3）若与是关于18的共轭二次根式，求的值（结果化为最简形式）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义，计算两式的乘积即可得到的值． （2）对每个分式进行分母有理化，再通过裂项相消法简化求和计算． （3）根据共轭二次根式的定义列方程，通过移项、分母有理化求解的值． 【小问1详解】 解：由共轭二次根式的定义，两式的乘积为． ； 【小问2详解】 解：对任意正整数，有 ， 则原式； 【小问3详解】 解：由共轭二次根式的定义，得 展开左边，得 移项并整理含的项，得 两边同时除以，分母有理化，得 ． 22. 项目式学习 项目主题 制作雨水收集储水箱 项目背景 为推进海绵城市建设，山西多地开展雨水资源化利用工程．综合实践活动小组的同学，准备利用硬塑料板制作长方体雨水收集储水箱，用于收集校园屋面雨水 工具 长为，宽为的长方形硬塑料板，尺子，防水胶 设计方案 方案甲 如图1，在长方形塑料板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体储水箱，箱子的底面是长方形 方案乙 如图2，在长方形塑料板的四个直角处，裁掉四个长均为，宽均为的小长方形，再沿虚线折成如图3所示的一个有盖的长方体储水箱，和两边恰好重合且无重叠部分，箱子的底面是长方形 任务： （1）用含的代数式表示：方案甲制作出的无盖储水箱的底面长为________，底面宽为________． （2）若方案甲制作出的无盖储水箱的底面积为，求裁去小正方形的边长的值． （3）若方案乙制作出的有盖储水箱的底面积为，求裁掉的小长方形的长的值． 【答案】（1）； （2）裁去小正方形的边长为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据图形结合题意可得结论； （2）根据底面积为列一元二次方程解答即可； （3）根据题意得，，，，，再由底面积为列一元二次方程解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：，； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴不合题意， ∴， 所以，裁去小正方形的边长为； 【小问3详解】 解：如图，根据题意得，，，， ∵和两边恰好重合且无重叠部分， ∴， ∴， ∴， ∵底面积为， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，，舍去， 当时，，符合题意， ∴． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在平行四边形中，点是边上的一点，连接，将沿折叠得到，线段的延长线经过点． （1）独立思考：判断与的数量关系，并说明理由． （2）深入探究：如图2，，过点作，交的延长线于点． ①判断与的数量关系，并说明理由． ②若，，求的长． 【答案】（1）解：与的数量关系为．理由如下： 四边形是平行四边形， ， ， 沿折叠得到，线段的延长线经过点． ， ∴， ， ，， ， ∵ ∴ ∴． （2）①解：．理由如下： 过点A作于点M， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ∵ ∴， ∴， ，， ∴， ∴， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，折叠的性质，三角形外角性质，证明即可． （2）①过点A作于点M，根据平行四边形的性质，平行线的性质，证明，再利用等腰三角形三线合一性质，解答即可． ②设，则，，，利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 ①解：略． ②解：根据（1）得，， ∴． 设，则，，， 四边形是平行四边形， ， 根据勾股定理，得， ， 解得（负的舍去）， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $