精品解析：山西临汾市兴国实验学校2025-2026学年上学期九年级第二次质量监测数学试题

2025-2026学年九年级第二次质量监测试卷 九年级数学（华东师大版） （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的判断，根据形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、不含根号，不是二次根式，不符合题意； B、是三次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、无意义，不是二次根式，不符合题意； 故选C． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机正在播放广告 B. 任意一个一元二次方程都有实数根 C. 明年元旦是晴天 D. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、打开电视机正在播放广告，是随机事件，不符合题意； B、任意一个一元二次方程都有实数根，是随机事件，不符合题意； C、明年元旦是晴天，是随机事件，不符合题意； D、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，是必然事件，符合题意； 故选：D． 3. 解一元二次方程，下列配方正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】∵， ∴， ∴（添加一次项系数一半的平方）， ∴． 故选：C． 4. “凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格中，点A，B，C均在格点上．若点，，则点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，根据题中给出的两点坐标建立坐标系即可得出B点坐标． 【详解】解：根据点，，建立直角坐标系如下图： 则， 故选：C． 5. 物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛的高是，蜡烛与凸透镜的距离是，蜡烛的像与凸透镜的距离是，则像的高是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意，证明，可得，即可求出的长度． 【详解】解：根据题意，可得， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 故选B． 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查比的性质，熟练掌握比的性质是解题的关键；利用已知比例，通过代入法或分式运算求解目标表达式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A． 7. 若等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则等腰三角形的周长为（） A. 7 B. 11 C. 7或11 D. 5或6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程、三角形的三边关系及等腰三角形的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法求得等腰三角形的两边分别是5、1是解题的关键． 先解一元二次方程求得等腰三角形的两边分别是5、1，再根据三角形的三边关系分类讨论求解即可． 【详解】解：∵： ∴， ∴或 等腰三角形的两边长为1和5． 若腰为1，底为5，则三边为1,1,5， ∵，不满足三角形三边关系，舍去． 若腰为5，底为1，则三边为5,5,1， ∵，，，均成立． ∴周长为． 故选：B ． 8. 黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，在很多艺术品以及大自然中都能找到它，如图1的希腊雅典帕特农神庙也应用了该比例布局．如图2，当以黄金矩形的宽为边在矩形内部作正方形时，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，矩形的性质，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 先根据黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，计算出矩形的宽，在根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比， ， ， ， 根据矩形的性质得：， , 故选：A 9. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．根据以原点为位似中心，位似比为，点的对应点坐标可能同向或反向，进行计算即可． 【详解】解：以原点为位似中心，位似比为， 点的对应点的坐标为或， 即点的坐标为或． 故选：D． 10. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求角的正弦值，勾股定理，网格中求三角形的面积，根据网格的特点和勾股定理可求出的长和的面积，利用等面积法求出的长，再利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点B作于点D， 由网格的特点和勾股定理可得，，，， ∴，即 ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（共5个小题，每题3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先将化简为，然后与进行合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为： 12. 在英语单词（多项式）中任意选出一个字母，选出的字母为“”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查运用概率公式求概率．根据已知条件找出总的情况数和符合条件的情况数，由概率公式求解即可． 【详解】解：单词中共有10个字母， 其中出现了1次， 故任意选择一个字母恰好是字母“”的概率为：． 故答案为：． 13. 如图，中，P为上的点，请你添加一个条件：____________________，使和相似． 【答案】或或，（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：在和中，； 若两个三角形相似，可添加的条件为： ①，符合两角相等的两个三角形相似； ②，符合两角相等的两个三角形相似； ③，即，符合两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； 故答案为：或或，（答案不唯一）． 14. 如图，在渝中区的劳动技能课程中，小张同学将一张长，宽的矩形纸板，剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分恰好制作成底面积为的有盖的长方体工艺盒，则剪去的正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方程（组）解应用题，读懂题意，建立方程（组）求解是解决问题的关键． 设长方体长为、宽为，则小正方形的边长为，得到方程组，利用代入消元法得到一元二次方程求解得到或（负值舍去），从而求出值，即可得到答案． 【详解】解：设长方体长为、宽为，则小正方形的边长为， ， 由①得③， 将③代入②得， 则， ， 解得或（负值舍去）， 解得， 剪去的正方形的边长为， 故答案为：． 15. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 过点D作交于H，根据平行线分线段成比例定理推出，计算即可． 【详解】解：过点D作交于H， ∴，， ∵D是的中点，，， ∴，， ∴1，4， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算以及特殊角三角函数的计算，熟练掌握根式的计算以及特殊角的三角函数是解题的关键． （1）根据根式的混合计算法则进行计算即可； （2）根据特殊角的三角函数，代入求值即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．……第一步 移项，得．……第二步 任务： （1）小明的解法从第_________步开始出现错误； （2）请用你喜欢的方法解这个方程． 【答案】（1）一 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活的掌握解一元二次方程的方法； （1）两边在同时除以某个式子的时候，不能确定是否为零，则不可以同除； （2）本题的第一步有错，修改过后，把等号右边的式子移到左边，记得变号，再提取公因式即可解． 【小问1详解】 解：第一步错误，在不确定是否为零的情况下，不可以同除． 【小问2详解】 解：方法一：原方程可变形为. 提取公因式，得， 即， 或， ，． 方法二：原方程可变形为. 移项、合并同类项，得. 提取公因式，得. 或， ，． 任选一种方法解答即可． 故，． 18. 山西中考体育选考项目中，考生需从“一分钟跳绳、一分钟仰卧起坐、前掷实心球、坐位体前屈”四个项目中随机选择一项（用、、、依次表示这四个项目）．九年级某班的小辰和小安即将参加该项目测试，上述四个项目中每个项目被选中的可能性相等． （1）小辰选择“一分钟跳绳”的概率是________； （2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择的项目恰好相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的求法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据概率的公式计算即可； （2）根据列表法进行解题． 【小问1详解】 解：由题意知，小辰从四个项目中选择“一分钟跳绳”的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解： 小辰 小安 A B C D A B C D 共有16种机会均等的结果，其中小辰和小安选择的项目相同的结果有4种， ∴（小辰和小安选择的项目相同）． 19. 如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴． （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质； （1）根据，，即可证出结论； （2）根据相似三角形性质得到代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴． 20. 近年来，山西省大力发展文化旅游产业，平遥古城作为世界文化遗产，吸引了大量国内外游客．某纪念品商店专门销售平遥推光漆器工艺品．在十一黄金周期间，该商店第一天接待游客人，第三天接待游客人． （1）设每天接待游客人数的平均增长率为，可列方程为_________． （2）该商店销售一种推光漆器小挂件，每个进价为元，当售价为元时，每天可售出个．经市场调查发现，每个挂件的售价每降低元，每天可多售出个，为了每天盈利元并尽快减少库存，每个挂件应降价多少元？ 【答案】（1） （2）每个挂件应降价元 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，准确理解题意得出方程是解题的关键． （1）结合题意，建立方程即可； （2）设每个挂件降价元，则销售量为件，由题意得，计算求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意， 第二天接待游客人数为， 第三天接待游客人数为， 故可得方程， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设每个挂件降价元，根据题意， 得， 整理得 解得，， 为了尽快减少库存，所以， 答：每个挂件应降价元． 21. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位；参考数据：，，，） 【答案】32m 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点作于点，作于点，先求解，，再证明，再利用锐角的正切可得，从而可得答案. 【详解】解：过点作于点，作于点 由题意得：， 在中， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， 在中. ， 答：该风力发电机塔杆的高度为. 22. 阅读与思考：请认真阅读下面材料，并完成相应任务． 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 已知：如图1，在Rt中，，是斜边上的中线．求证：． 解题思路1： 如图2，延长到点，使，连接． ∵是斜边上的中线 ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形（依据_____________）． …… 我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，小明给出了如下思路． 解题思路2： 如图3，过点作于点垂直平分结论． 任务： （1）解题思路1中“依据”处应填________________； （2）补全解题思路1中剩余的证明过程． （3）请按照小明的解题思路2，写出完整的证明过程． 【答案】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形 （2） 如图2，延长到点，使，连接． ∵是斜边上的中线 ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ， ∴． （3） 证明：过点作于点， ， ， ， ， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ， ， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及判定、矩形的性质及判定以及平行线分线段成比例定理： （1）根据平行四边形的判定定理即可； （2）先证明四边形是矩形，根据直角矩形的性质即可； （3）过点作于点，用平行线分线段成比例定理得到，再根据BD是斜边上的中线得到，由于CE=BE，则可证明． 【小问1详解】 解：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 略． 23. 综合与探究 在数学活动课上，李老师让学生拿出准备好的两个大小不同的等腰直角三角形纸板，通过旋转探究线段之间的关系． 如图，已知和都是等腰直角三角形，，，． 猜想证明： （1）如图1，点在上，点在上，则的值为________，并说明理由． （2）如图2，将绕点旋转，旋转角为，连接，，则（1）中的结论是否成立？并说明理由． 解决问题： （3）如图3，若，，在旋转过程中，旋转角，连接，，，当时，请直接写出的长． 【答案】 （1）∵，， ∴， ∴， ∵都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． （2）结论成立，理由为： ∵， ∴， ∴， 又∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故结论成立． （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由平行线所截线段比例相等可得出，再结合等腰直角三角形的边长比例关系即可得出结果； （2）根据旋转的性质，判断出，又因为，可得，即可证出结论； （3）由（2）可同理证出，可得出的长度，故为等腰三角形，对的位置进行分类讨论，由可得出平分，结合三线合一，得出对应边长，再利用勾股定理，求出的长度，即可求出两种情况下的的长度． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）∵和都是等腰直角三角形，，， ∴，， ，， 由（2）可同理证得， ∵， ∴ ∴， 故为等腰三角形， 当在上方时，延长，交于点，如下图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， 且为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得， ∴； 当在下方时，如图所示； 同理可求出，， 此时； 综上，的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级第二次质量监测试卷 九年级数学（华东师大版） （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机正在播放广告 B. 任意一个一元二次方程都有实数根 C. 明年元旦是晴天 D. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边 3. 解一元二次方程，下列配方正确的是（　　） A. B. C. D. 4. “凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格中，点A，B，C均在格点上．若点，，则点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 5. 物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛的高是，蜡烛与凸透镜的距离是，蜡烛的像与凸透镜的距离是，则像的高是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则等腰三角形的周长为（） A. 7 B. 11 C. 7或11 D. 5或6 8. 黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，在很多艺术品以及大自然中都能找到它，如图1的希腊雅典帕特农神庙也应用了该比例布局．如图2，当以黄金矩形的宽为边在矩形内部作正方形时，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为（　　） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5个小题，每题3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 在英语单词（多项式）中任意选出一个字母，选出的字母为“”的概率是______． 13. 如图，中，P为上的点，请你添加一个条件：____________________，使和相似． 14. 如图，在渝中区的劳动技能课程中，小张同学将一张长，宽的矩形纸板，剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分恰好制作成底面积为的有盖的长方体工艺盒，则剪去的正方形的边长为______． 15. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1） （2） 17. 下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．……第一步 移项，得．……第二步 任务： （1）小明的解法从第_________步开始出现错误； （2）请用你喜欢的方法解这个方程． 18. 山西中考体育选考项目中，考生需从“一分钟跳绳、一分钟仰卧起坐、前掷实心球、坐位体前屈”四个项目中随机选择一项（用、、、依次表示这四个项目）．九年级某班的小辰和小安即将参加该项目测试，上述四个项目中每个项目被选中的可能性相等． （1）小辰选择“一分钟跳绳”的概率是________； （2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择的项目恰好相同的概率． 19. 如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 近年来，山西省大力发展文化旅游产业，平遥古城作为世界文化遗产，吸引了大量国内外游客．某纪念品商店专门销售平遥推光漆器工艺品．在十一黄金周期间，该商店第一天接待游客人，第三天接待游客人． （1）设每天接待游客人数的平均增长率为，可列方程为_________． （2）该商店销售一种推光漆器小挂件，每个进价为元，当售价为元时，每天可售出个．经市场调查发现，每个挂件的售价每降低元，每天可多售出个，为了每天盈利元并尽快减少库存，每个挂件应降价多少元？ 21. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位；参考数据：，，，） 22. 阅读与思考：请认真阅读下面材料，并完成相应任务． 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜边上中线的相关性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 已知：如图1，在Rt中，，是斜边上的中线．求证：． 解题思路1： 如图2，延长到点，使，连接． ∵是斜边上的中线 ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形（依据_____________）． …… 我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，小明给出了如下思路． 解题思路2： 如图3，过点作于点垂直平分结论． 任务： （1）解题思路1中“依据”处应填________________； （2）补全解题思路1中剩余的证明过程． （3）请按照小明的解题思路2，写出完整的证明过程． 23. 综合与探究 在数学活动课上，李老师让学生拿出准备好的两个大小不同的等腰直角三角形纸板，通过旋转探究线段之间的关系． 如图，已知和都是等腰直角三角形，，，． 猜想证明： （1）如图1，点在上，点在上，则的值为________，并说明理由． （2）如图2，将绕点旋转，旋转角为，连接，，则（1）中的结论是否成立？并说明理由． 解决问题： （3）如图3，若，，在旋转过程中，旋转角，连接，，，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $