2.4用一元二次方程解决问题课后练习题 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

《2.4 用一元二次方程解决问题》课后练习题 苏科版（2024年审定）九年级数学上册·第2章《一元二次方程》 （满分：100分　建议用时：60分钟） 班级：________　姓名：________　得分：________ 注意事项：1. 本卷考查范围：苏科版2024年审定九年级上册第2章《一元二次方程》2.4 用一元二次方程解决问题； 2. 请独立完成，解答过程书写工整、步骤完整；3. 请将解答写在相应题目后的作答区域内。 一、选择题（每小题3分，共18分） 1．某商场一种电器原价每台 5000 元，连续两次降价后每台 3200 元，设平均每次降价的百分率为 x，则所列方程正确的是（　　） A. 5000(1+x)2=3200　B. 5000(1-x)2=3200 C. 5000(1-x)2=1800　D. 5000(1-2x)=3200 2．用一根长为 30 m 的铁丝围成一个矩形，下列面积中一定不能围成的是（　　） A. 56 m2　B. 54 m2 C. 49 m2　D. 60 m2 3．某品牌运动鞋每双进价 40 元、售价 60 元时，每天可售 100 双；经调查，售价每提高 1 元，每天少售 2 双。设售价提高 x 元，要使每天利润达到 2400 元，则可列方程（　　） A. (20+x)(100-2x)=2400　B. (20-x)(100+2x)=2400 C. (60+x)(100-2x)=2400　D. 20×100+40x=2400 4．某矩形场地的面积为 88 m2、长比宽多 3 m，设宽为 x m，列方程 x(x+3)=88，解得 x=-11 和 x=8，下列说法正确的是（　　） A. -11 不是方程 x2+3x-88=0 的根 B. 8 不是方程 x2+3x-88=0 的根 C. -11 和 8 都是方程的根，但 -11 不符合实际 D. -11 和 8 都不是方程的根 5．如图1，一块长方形铁皮长 40 cm、宽 30 cm，四角各剪去一个边长为 x cm 的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒子，盒子的底面积为 600 cm2。则 x 满足的方程是（　　） 图1 A. (40-2x)(30-2x)=600　B. (40-x)(30-x)=600 C. (40-2x)(30-2x)=1200-600　D. 40×30-4x2=600 6．一个矩形相邻两边长分别为 6 cm 和 4 cm，若将它的两边都增加相同的长度 x cm，使新矩形的面积为 48 cm2，则 x 满足的方程是（　　） A. (6+x)(4+x)=48　B. (6+x)(4-x)=48 C. 6×4+2x=48　D. x2+10x+48=0 二、填空题（每小题3分，共18分） 7．某中学 2024 年毕业生 800 人，2026 年毕业生 648 人，设这两年毕业生人数的年平均下降率为 x，则可列方程为____。 8．用 24 m 长的篱笆一面靠墙围成一块矩形菜地，垂直于墙的一边长为 x m，菜地面积为 70 m2，则可列方程为____。 9．某品牌手机 2024 年销量 600 万部，2026 年销量达到 726 万部，则这两年销量的年平均增长率为____。 10．某商店将进价为 30 元的商品按 40 元售出，每天可售 60 件；经调查，售价每降低 1 元，每天多售 10 件。设售价降低 x 元，要使每天利润达到 750 元，则可列方程为____。 11．三个连续正整数的平方和等于 149，则这三个数分别为____。 12．某超市将进价为 8 元的商品按 10 元售出，每天可售 200 件；经调查，售价每提高 1 元，每天少售 20 件。设售价提高 x 元，要使每天利润达到 640 元，可列方程 (2+x)(200-20x)=640，其根为 x=2 和 x=6，若要求售价涨幅尽可能小，则应取 x=____。 三、解答题（第13～18题，共64分） 13．（本题满分8分）一个长方形的周长为 26 cm、面积为 40 cm2，求这个长方形的长和宽。 14．（本题满分10分）某果园苹果病虫害发生率 2024 年为 25%，经生物防治后 2026 年降至 16%，设这两年发生率的年平均下降率为 x。 （1）求 x 的值；（6分） （2）若继续按此下降率，预计 2027 年苹果病虫害发生率约为多少？（4分） 15．（本题满分12分）某商店将进价为 40 元的商品按 60 元售出，平均每天可售出 40 件；经调查，售价每提高 1 元，平均每天少售出 1 件。商店希望通过适当提价使每天利润达到 800 元，售价应定为多少元？ 16．（本题满分10分）如图2，在一块长为 32 m、宽为 20 m 的矩形空地上，修建两条宽度相同且互相垂直的十字形道路，剩余空地面积为 540 m2，求道路的宽。 图2 17．（本题满分12分）一艘货轮从港口 O 出发向正东方向匀速航行，一艘游轮同时从同一港口出发向正北方向匀速航行，货轮每小时航行 24 km，游轮每小时航行 10 km。 （1）设经过 x h 后两船分别到达 A、B 两点，用含 x 的代数式表示 OA、OB 的长；（4分） （2）经过几小时两船相距 52 km？（8分） 18．（本题满分12分）某服装店以每件 120 元的价格购进一批 T 恤，标价 200 元出售，平均每天可售 10 件。为扩大销量，该店决定降价促销，经调查，每降价 10 元，平均每天多售 5 件。要使每天利润达到 1200 元且尽快减少库存，每件应降价多少元？ 参考答案与解析 说明：以下答案与解析由命题教师独立编制，供阅卷与讲评使用；解答题按步骤给分，评分建议可根据实际学情适当调整。 一、选择题 1．答案：B 解析：连续两次降价，每次降价后的价格是降价前的 (1-x) 倍，故两次降价后价格为 5000(1-x)²，由题意 5000(1-x)²=3200。A 是增长率模型，符号错误；C 把降价额作为结果；D 混淆了连续两次降价与一次性降 2x。故选 B。 考点：平均降低率问题的列方程。 2．答案：D 解析：设矩形的一边长为 x m，则另一边长为 (15-x) m，面积为 x(15-x)。令面积为 S，整理得 x²-15x+S=0。A：S=56 时 Δ=225-224=1>0，能围成；B：Δ=9>0，能围成；C：Δ=29>0，能围成；D：S=60 时 Δ=225-240=-15<0，方程无实数根，不能围成。故选 D。 考点：利用根的判别式判断实际问题是否存在。 3．答案：A 解析：售价提高 x 元后，每双利润为 (60+x-40) 元，即 (20+x) 元；每天销量为 (100-2x) 双。由利润=单件利润×销量，得 (20+x)(100-2x)=2400。故选 A。 考点：销售利润问题的列方程。 4．答案：C 解析：把 x=-11 代入 x²+3x-88=0：121-33-88=0，是方程的根；把 x=8 代入：64+24-88=0，也是方程的根。但矩形场地的宽不能为负，故 -11 虽满足方程却不符合实际。故选 C。 考点：方程根的检验与实际意义的取舍。 5．答案：A 解析：剪去小正方形后，盒子的底面长为 (40-2x) cm、宽为 (30-2x) cm，由面积 600，得 (40-2x)(30-2x)=600。B 中只减去一个 x，C、D 均不是底面面积的正确表示。故选 A。 考点：几何图形问题的列方程。 6．答案：A 解析：两边都增加 x cm 后，新矩形的长为 (6+x) cm、宽为 (4+x) cm，由面积 48，得 (6+x)(4+x)=48，即 x²+10x-24=0。故选 A。 考点：矩形边长变化问题的列方程。 二、填空题 7．答案：800(1-x)²=648 解析：两年连续下降，2026 年毕业生人数为 800(1-x)²，由题意 800(1-x)²=648。 考点：平均下降率问题的列方程。 8．答案：x(24-2x)=70 解析：垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的一边长为 (24-2x) m，由面积 70，得 x(24-2x)=70。 考点：篱笆靠墙问题的列方程。 9．答案：10% 解析：设年平均增长率为 x，则 600(1+x)²=726，即 (1+x)²=1.21，开平方得 1+x=1.1（负值舍去），故 x=0.1=10%。 考点：平均增长率问题的求值。 10．答案：(10-x)(60+10x)=750 解析：售价降低 x 元后，每件利润为 (40-x-30) 元，即 (10-x) 元；每天销量为 (60+10x) 件。由利润=单件利润×销量，得 (10-x)(60+10x)=750。 考点：销售降价问题的列方程。 11．答案：6、7、8 解析：设中间的数为 x，则三个数分别为 x-1、x、x+1，由题意 (x-1)²+x²+(x+1)²=149，展开得 3x²+2=149，即 3x²=147，解得 x=±7。三个数为正整数，取 x=7，故这三个数分别为 6、7、8。 考点：连续整数平方和问题。 12．答案：2 解析：解方程 (2+x)(200-20x)=640：展开得 400-40x+200x-20x²=640，整理得 x²-8x+12=0，解得 x=2 或 x=6。要求售价涨幅尽可能小，故取 x=2。 考点：销售利润问题的解与根的取舍。 三、解答题 13．答案：长为 8 cm，宽为 5 cm 解析：设长方形的长为 x cm，则宽为 (13-x) cm。由面积 40，得 x(13-x)=40，整理得 x²-13x+40=0，即 (x-5)(x-8)=0，解得 x=5 或 x=8。长应不小于宽，取 x=8，此时宽为 13-8=5（cm）。答：长方形的长为 8 cm，宽为 5 cm。 考点：由周长与面积列一元二次方程求长宽。 评分建议：设元列式 4 分、解方程 2 分、取舍作答 2 分。 14．答案：（1）20%；（2）12.8% 解析：（1）由题意 25(1-x)²=16，即 (1-x)²=0.64，开平方得 1-x=0.8（负值舍去），解得 x=0.2=20%。（2）2027 年发生率约为 16×(1-0.2)=16×0.8=12.8%。 考点：平均下降率问题的求解与预测。 评分建议：（1）列式 3 分、求解 2 分、结论 1 分；（2）列式 2 分、结果 2 分。 15．答案：售价定为 80 元 解析：设售价定为 x 元，则每件利润为 (x-40) 元，每天销量为 40-(x-60)=(100-x) 件。由利润=单件利润×销量，得 (x-40)(100-x)=800，整理得 x²-140x+4800=0，即 (x-60)(x-80)=0，解得 x=60 或 x=80。题意要求适当提价，故取 x=80。答：售价应定为 80 元。 考点：销售提价问题的列方程与根取舍。 评分建议：设元列式 4 分、整理为一般形式 3 分、解与取舍 3 分、作答 2 分。 16．答案：道路的宽为 2 m 解析：设道路的宽为 x m，则剩余空地可看作长为 (32-x) m、宽为 (20-x) m 的矩形，由面积 540，得 (32-x)(20-x)=540，展开得 640-52x+x²=540，整理得 x²-52x+100=0，即 (x-2)(x-50)=0，解得 x=2 或 x=50。x=50 大于空地的宽 20 m，不符合实际，舍去。答：道路的宽为 2 m。 考点：十字形道路的面积问题。 评分建议：设元列式 4 分、解方程 3 分、取舍 2 分、作答 1 分。 17．答案：（1）OA=24x，OB=10x；（2）经过 2 小时两船相距 52 km 解析：（1）路程=速度×时间，故 OA=24x（km），OB=10x（km）。（2）两船分别向正东、正北方向航行，OA 与 OB 互相垂直。由勾股定理，AB²=OA²+OB²，即 (24x)²+(10x)²=52²，整理得 676x²=2704，即 x²=4，解得 x=2 或 x=-2（时间不能为负，舍去）。答：经过 2 小时两船相距 52 km。 考点：勾股定理与一元二次方程的综合应用。 评分建议：（1）每个代数式 2 分；（2）勾股列式 3 分、整理求解 3 分、取舍作答 2 分。 18．答案：每件应降价 40 元 解析：设每件降价 x 元，则每件利润为 (200-x-120)=(80-x) 元；每降价 10 元多售 5 件，故每天销量为 10+0.5x 件。由利润=单件利润×销量，得 (80-x)(10+0.5x)=1200，展开得 800+40x-10x-0.5x²=1200，整理得 x²-60x+800=0，即 (x-20)(x-40)=0，解得 x=20 或 x=40。要求尽快减少库存，应降价多些、销量大些，取 x=40。答：每件应降价 40 元。 考点：销售降价问题的列方程与根取舍。 评分建议：设元列式 4 分、解方程 4 分、取舍作答 4 分。 附：命题细目表 题号 题型 分值 考查内容 能力要求 难度 对应知识 1 选择题 3 平均降低率列方程 理解 基础 2.4变化率 2 选择题 3 判别式判断能否围成 运用 基础 2.4几何 3 选择题 3 销售提价列方程 运用 中档 2.4销售 4 选择题 3 根的检验与实际意义 理解 基础 2.4验根 5 选择题 3 铁皮剪角列方程 运用 中档 2.4几何 6 选择题 3 边长变化列方程 理解 基础 2.4几何 7 填空题 3 平均下降率列方程 理解 基础 2.4变化率 8 填空题 3 篱笆靠墙列方程 运用 基础 2.4几何 9 填空题 3 平均增长率求值 运用 基础 2.4变化率 10 填空题 3 销售降价列方程 运用 中档 2.4销售 11 填空题 3 连续整数平方和 运用 基础 2.4建模 12 填空题 3 销售利润根取舍 运用 中档 2.4销售 13 解答题 8 周长面积求长宽 综合 基础 2.4几何 14 解答题 10 下降率求解与预测 综合 基础 2.4变化率 15 解答题 12 销售提价求解 综合 中档 2.4销售 16 解答题 10 十字路面积求解 综合 中档 2.4几何 17 解答题 12 勾股行程建模 综合 提高 2.4综合 18 解答题 12 销售降价与库存取舍 综合 中档 2.4销售 难度配比说明（按分值计）：基础题10题共42分，中档题7题共46分，提高题1题共12分，合计100分。知识覆盖说明：本卷紧扣苏科版（2024年审定）九年级上册第2章《一元二次方程》2.4用一元二次方程解决问题，覆盖列方程解应用题的一般步骤（审题找等量关系、设元、列方程、求解、检验根的实际意义并取舍、作答）、平均变化率问题（增长率与下降率模型 a(1±x)²=b）、面积问题（矩形周长面积、篱笆靠墙、铁皮剪角做盒、十字形道路）、销售利润问题（利润=单件利润×销量，含提价与降价两种方向及库存取舍）、连续整数问题、勾股定理与一元二次方程的综合应用，并会用根的判别式判断实际问题是否存在；2.1概念、2.2解法专题与2.3根与系数的关系不纳入本卷。 学科网（北京）股份有限公司 $