2.4用一元二次方程解决问题同步练习2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程实际应用，分层设计从基础建模到综合探究，强化模型意识与应用能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一情境列方程|如矩形面积、传染问题，直接考查等量关系建立，巩固概念理解| |中档|复杂情境建模|如古代问题、增长率问题，需分析数量变化规律，提升推理能力| |提高|综合应用与探究|如动点几何、方案设计问题，结合几何与实际，发展创新意识与实践能力|

2.4用一元二次方程解决问题同步练习 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一个矩形花坛，长比宽多，面积为，则该花坛的长为多少若设该花坛的长为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 2.我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：现请人代买一批椽，这批橡的价钱为文如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱问：文能买多少株椽设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是(    ) A. B. C. D. 3.某人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 4.某社区为改善环境，决定加大绿化投入，四月份绿化投入万元，六月份绿化投入万元，设平均每月绿化投入的增长率为根据题意，可列得方程为(    ) A. B. C. D. 5.某种花卉每盆的盈利与每盆植的株数有一定的关系．当每盆植株时，平均每株的盈利为元；若每盆每多植株，则平均每株的盈利减少元．若要使每盆的盈利达到元，则每盆应多植多少株？设每盆应多植株，则可列方程为  (    ) A. B. C. D. 6.我国古代数学家杨辉的田亩比类乘除捷法中记载：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何其大意是一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，问：它的长比宽多多少步设这块矩形田地的宽为步，根据题意，可列方程为(    ) A. B. C. D. 7.如图，一块长，宽的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为设石子路的宽度为，则下面所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 8.九章算术中记载着这样一个问题：如图，已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走步，乙的速度为每单位时间走步，乙一直向东走，甲先向南走步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：设甲、乙两人从出发到相遇用了个单位时间根据勾股定理可列得方程为． A. B. C. D. 9.如图，在矩形中，，，点从点出发，沿以的速度向点运动同时，点从点出发，沿以的速度向点运动当点运动到点处时，点停止运动当的面积为时，运动时间为(    ) A. B. C. D. 或 二、填空题： 10.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，若一共碰杯次，则参加酒会的人数为          ． 11.某种药品原售价为每盒元，经过连续两次降价后售价为每盒元，则平均每次降价的百分率为          ． 12.一个直角三角形的斜边长是，两条直角边长的和为，如果设其中一条直角边的长为，则另一条直角边的长为，那么可列方程为          ． 13.一根长的铁丝被剪成两段，每段均围成正方形．若两个正方形的面积和为，则这两个正方形的边长分别为          ． 14.如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的个数如：，，，，，若圈出的个数中，最大数与最小数的积为，则这个数的和为          ． 15.如图，小明同学用长、宽的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折起即可损耗不计设剪去的正方形的边长为，则可列出关于的方程为          不必化简． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.某工厂生产的某种产品按质量分为个档次，第档次最低档次的产品一天能生产件，每件利润元，每提高一个档次，每件利润增加元，但一天产量减少件．若生产某档次的产品一天总利润为元，求该产品的质量档次． 17.如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路图中阴影部分小路把种植园分成面积均为的个矩形地块，请你求出小路的宽度． 18.如图，小明打算用总长度为的栅栏围成一个矩形花园，中间用一道与平行的栅栏将花园分成两个大小相同的小矩形花园，花园的一面靠墙，墙长设的长为． 若矩形花园的面积为，求的长． 矩形花园的面积是否有可能达到若可能，求出的值若不可能，请说明理由． 19.刘师傅开了一家商店，今年月份盈利元月份的盈利达到元，且从月份到月份每个月盈利的增长率相同． 求每个月盈利的增长率． 按照这个增长率，请你估计这家商店月份盈利多少元． 20.随着科技的不断进步，人工智能正逐渐渗透到我们的生活和工作中从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，的应用前景广阔且充满无限可能某人工智能科技体验馆在十一假期期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过人，人均费用为元；如果人数超过人，每增加人，人均费用降低元，但人均费用不得低于元． 若有人参加体验活动，人均费用是          元； 某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共元，求参加活动的学生人数． 21.某电商在网上对一款成本为每件元的商品进行销售，如果按每件元的价格销售，那么每天可售出件．通过市场调查发现，每件商品的售价每降低元，日销售量就增加件． 若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件商品的售价应定为多少元？ 张叔叔的线下实体商店也销售同款商品，标价为每件元．为提高市场竞争力，促进线下销售，张叔叔决定对该款商品实行打折销售，使其销售价格不超过中的售价，则该款商品至少需打几折销售？ 参考答案 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13. 和  14.   15.   16. 解：设该产品的质量档次为，且为整数， 根据题意有：， 整理，得：， 解得：，舍， 答：该产品的质量档次为第档次．  17. 解：设小路的宽度为，则块矩形地块可合成长为，宽为的矩形．  根据题意，得，  整理得，  解得，不符合题意，舍去  答：小路的宽度为．  18. 【小题】 由题意，知， 的长为， 的长为． 由题意，知，即，解得． 又，即， ． 由题意，知， 即，整理，得， 解得不合题意，舍去，， 的长为 【小题】 不可能理由如下： 令，整理，得． ， 该方程没有实数根． 矩形花园的面积不可能达到．  19. 【小题】 设每个月盈利的增长率为． 根据题意，得， 解得，不符合题意，舍去． 答：每个月盈利的增长率为 【小题】 元． 答：按照这个增长率，估计这家商店月份盈利元  20. 【小题】 【小题】 解：设参加活动的学生人数为． 由题意，得． 整理，得， 解得，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：参加活动的学生人数为．  21. 【小题】设每件商品的售价定为元，则每件商品的利润为元，日销售量为件．根据题意，得整理，得，解得，商家想尽快销售完该款商品，答：每件商品的售价应定为元  【小题】 设该款商品打折销售．根据题意，得，解得答：该款商品至少需打折销售   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $