1.4 第1课时面积问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

第1章一元二次方程 1.4用一元二次方程解决问题 第1课时面积问题 一阶·基础通关 融通新授知识，奔实双基▲ 1.如图所示为一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成一 个底面积是18cm的无盖长方体纸盒.设剪去的正方形边长为xcm,则x满足的方程是() A.40-4x2=18 B.(8-2x)(5-2x)=18C.40-2(8x+5x)=18D.(8-2x)(5-2x)=9 3m 20m2 (第1题) (第2题) (第3题)》 2.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地的一边减少了2m,另一边减少了3m, 剩余一块面积为20m的矩形空地，则原正方形空地的边长是 () A.10m B.9m C.8m D.7m 3.易错题如图，在宽为20m、长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的道路（图中涂色部分），余下部 分种植草坪.要使草坪的面积为540m,则道路的宽为 m. 4.为解决老小区停车难的问题，社区将一块矩形空地ABCD改造成了一个便民停车场.其布局如 图所示，AD=50m,AB=32m,涂色部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度是xm的 道路.已知铺花砖的面积为880m,求道路的宽是多少米， 单位：m D tx (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能山 5.如图，把小圆形场地的半径增加5得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半 径为 () A.5m B.(5+√2)m C.(5+3√2)m D.(5+5√2)m A D (第5题) (第6题) 6.如图，将边长为12cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得 到△A'B'C'.若两个三角形重叠部分的面积为32cm2,则△ABC移动的距离AA'等于() A.4 cm B.8 cm C.6 cm D.4cm或8cm 13 拔尖特训：数学（苏科版）九年级上 7.李叔叔有一块矩形菜地（长大于宽），面积为180m,他以菜地的宽为一边，在菜地内修了一个宽 为3m的矩形蓄水池，修完后李叔叔发现他的菜地刚好是正方形的，则李叔叔原来的菜地的周长 为 m. 宽←—30m 宽 8.某景区为提升游客体验，计划将一块靠海的矩形观景平台扩建.原平台长为 30m,宽为20m.计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图），玻璃栈道的宽度相同. 20m 已知扩建后的矩形观景平台总面积达到1000m,则玻璃栈道的宽度为 宽 m. (第8题) 9.如图①所示为用总长为400cm的木板制作的矩形置物架，抽象为图②所示的矩形ABCD,该置 物架上面部分是边长为xcm的正方形ABFE,中间部分为矩形EFHG,M,N分别为线段HG, CD的中点，且DG=40cm. (1)置物架ABCD的高AD的长为 cm(用含x的式子表示). (2)当x=45时，EG的长为 cm (3)为了便于放置物品，要求EG的高度不小于18cm.若矩形ABCD的面积为4000cm,求x 的值 M ① ② (第9题) 微专题·围墙问题 1.教材变式题[单门问题]如图，李叔叔想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长为35m) 围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）.当 羊圈的面积为640m时，该羊圈的宽AB为 m. 墙 菜地 D 2m 2m B 区域1 区域2 (第1题) (第2题) 2.[双门问题]已知矩形菜地的一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为50m的篱笆围成.如 图，围成矩形菜地ABCD时，用篱笆（篱笆的宽度忽胳不计）将菜地分隔为两个小矩形区域，用 来种植不同的蔬菜，并在菜地的两侧各留出2宽的进出口（此处不用篱笆）.若矩形菜地 ABCD的面积是240m,则矩形菜地与墙垂直的边AB的长为 m. 14 >“答案与解析”见P6根是1x2.,十，=3(2-@ a-1x1x2= 3(2-a) 1=6.t2=6.a1 -=6,解得a=0.经检 a-1 验，a=0是方程的解..a的值为0.(2)由(1)，得。+ }6a=0则=-1（层-）广-（只+） 22 4=6--40}-=士v而=士2而 X1T X1 x? 12.②④一元三次方程ax3十bx2+cx+d=0(a≠ 0)的三个非零实数根分别x1,x2,x3,.a(x一x1)(x x2)(x-x3)=0.∴.a[x2-(x1十x2）x+x1x2](x- x3)=0,即a.x3-a(x1十x2十x3)x2十a(x1x2十x2x3十 x1xg）x-a1x2xg=0.∴.-a(x1+x2+x3)=b, a(x1x2十x2xg十x1xg）=c,一ax1x2x3=d.∴x1+x2十 、6 d ，x十x西十=合，x1x2=-8 从@正确：上十1十1-十+西 x1 X2 X3 x1X2X3 d 一…④正确 a 1日.(0)：关于：的分式方程号-2的根为非负数， ≥0，且x1解这个分式方程，得生：生少≥ 0,且生≠1，解得6≥-1，且6≠1.又：(2-k)x+ 3mx十(3一k)n=0为一元二次方程，.2一k≠0..k≠2 综上所述，k≥一1，且k≠1，k≠2.(2)成立.理由：由 (1)知，k≥一1，且k≠1，k≠2..k为负整数，·k=一1. ∴.原一元二次方程可化为3x2十3m.x十4=0.∴.x1十 2=-m,x1=3n.:(-k)十x2(2-k)= 4 (x1一k)(x2-k),即x1(x1+1)+x2(x2+1)=(x1十 1)(x2+1),.x+x2+(x1+x2)=x1x2+(x1十x2)+ 1,即x号十x号-x1x2=1.（x1+x2)2-31x2=1. (一mP-3X号n=1,即m-4n=1.n=m③. 4 又：b-4ac=(3m)2-4×3×4n=9m2-48n≥0④ 六把③代人④，得9m-48×”0,营里，得m<4 专题特训二根的判别式及根与系数的关系 1.C记ab+a2=c2①，ab+b2=c2②.由①-②，得a2 b2=0.∴.(a十b)(a-b)=0.a,b互不相等，.a十b= 0.∴.b=-a③.把③代入①，得-a2十a2=c2,∴.c2=0. .c=0.a.x2+bx+c=0,ab≠0，∴.△=b2-4ac= (一a)一4aX0=a2..ab≠0，.∴.a≠0.∴.△>0.∴。原方 程有两个不相等的实数根。 2.(1)根据题意，得△=m2一4X21=m2一81.：m=n十 3,∴.△=(n十3)2-8m=n2-2m+9=(n-1)2+8>0. ∴.该一元二次方程有两个不相等的实数根.(2)根据题 意，得△=m2一8n=0,∴.m2=81.令n=0,则m=0(m,n 的取值不唯一)，此时方程变形为x2=0,∴.x1=x2=0. 3.D根据题意，得x×mx十x+1=0,整理，得mx2+ x十1=0.：关于x的方程【x,x+1】★(m)=0有两个 不相等的实数根，∴.b2一4ac=12一4m·1>0且m≠0，解 得m<4且m≠0. 4.3方程x2十3x十1=0的两个根为a,B,∴.a十 B=-3,3=1.∴.(a+B)2=9,即a2+2a8+B2=9. 6十2E=9,即号+2+是=8：ag>0,“台> g()+·+()=8 易错警示 不会运用整体思想解决问题 解决这类问题时，常常需要将所求代数式看成一个 整体，求得其完全平方的值，再根据代数式值的性质求 得结果。 5.(1)方程a(1一x2)-22bm十c(1十x2)=0整理为一般 形式为(c-a)x2-2W2bx十a十c=0,∴.△=(-22b)2 4(a+c)(c-a)=4(2b2+a2-c2).:a,b,c是Rt△ABC 的三边长，其中c为斜边长，∴.b2十a2一c2=0.∴.2b2+ a2-c2>0..4(2b2十a2-c2)>0..此方程有两个不相 等的实数根.(2)方程的两个根是x1,x2,∴.x1十 2√2b x2= c-a x2=+x=12(+x2)2 2x,=12,即，85-2a十2=12易得6= (c-a)2 c-a a,.8c-a)-2a+2c-12.8c+@_2a+2- (c-a) c-a c-a c一a 12..60cta）-12.c+a=2c-2a.3a=6.6- c-a 8a2.∴.b=2W2a.∴.a:b:c=1:2w2:3. 1.4用一元二次方程解决问题 第1课时面积问题 1.B:剪去的正方形边长为xcm,.长方体纸盒的底 面的长为(8一2x)cm,宽为(5一2x)cm.根据底面积是 18cm即可列出方程为(8一2x)(5一2x)=18. 2.D设原正方形的边长为xm依题意，有(x一3)(x一 2)=20,解得x1=7,x2=一2（不合题意，舍去）.∴.原正方 形的边长为7m. 3.2设道路的宽为xm.种植草坪的部分可合成长为 (32-x)m、宽为(20一x)m的矩形，∴.由题意，得(32一 x)(20一x)=540,解得x1=2,x2=50(不合题意，舍去). ∴.道路的宽为2m. 易错警示 不会运用图形平移性质解决问题而导致错误 解答这类问题时，常常需要对图形中的特殊图形通 过平移、翻折、旋转，使其转化为规则的图形，并挖掘隐 含的等量关系来建立恰当的方程，从而解决问题」 4.由题意，得道路的宽是xm,则停车位可合成长为(50一 2x)m,宽为(32-2x)m的矩形.∴.(50-2x)(32-2x)= 880.整理，得x2一41x十180=0，解得x1=5,x2=36(不符 合题意，舍去).答：道路的宽是5m. 5.D设小圆形场地的半径为xm,则大圆形场地的半径 为(x十5)m根据题意，得π(x+5)2=2xx2,解得x=5十 5√2或x=5-5√2（不合题意，舍去）.∴.小圆形场地的半 径为(5+52)m. 6.D如图，设AA'=xcm,则A'D=(12-x)cm.:'四边 形ABCD是正方形，∴.∠D=90°，AD=CD.∴.∠DAC= 45°.同理，∠B'A'C=45°.，△A'B'C由△ABC沿着AD 方向平移得到，∴.A'B'⊥AD,A'B'DC.∴.∠A'EA=45 .∠B'A'C'=∠A'EA=∠DAC..A'F∥EC,A'E AA'=xcm.,A'E∥CF,.四边形A'ECF为平行四边 形.易得SAp=A'E·A'D..x(12-x)=32,解得 x1=4,x2=8.∴.△ABC移动的距离AA'等于4cm或8cm A A'D F E B'C C (第6题) 7.54由题意，得长减少3，矩形菜地变成正方形菜地 ∴.设矩形菜地的宽为xm,则长为(x十3)m.根据题意，得 x(x十3)=180，解得x1=12,x2=一15（不合题意，舍去）. ∴.x+3=15.∴.这块矩形菜地的长为15m,宽为12m ∴.李叔叔原来的菜地的周长为2×(15+12)=54(m). 8.5设玻璃栈道的宽度为x,则扩建后矩形观景平台 的长为(30十2x)m,宽为(20+x)m.由题意，得(30+ 2x)(20+x)=1000.整理，得x2+35.x-200=0,解得x1= 5,x2=一40（不合题意，舍去）..玻璃栈道的宽度为5m 9.(1)(180一2x).由题意，易得AB=BF=EF=AE= GH=CD=x cm,DG=MN=CH=40 cm,EG=FH, .∴.EG+FH=400-(6x+3×40)=(280-6x)cm. ∴.EG=FH=(140-3x)cm.∴.AD=AE+EG+DG= x+140-3x+40=(180-2x)cm.(2)5.当x=45 时，则AB=BF=EF=AE=GH=CD=45cm.矩形置 物架ABCD是用总长为400cm的木板制作的，.EG+ FH=400-(6×45+3×40)=10(cm)..EG=FH= 5cm.(3)由题意可知，AB=AE=xcm.由(1)可知， AD=(180-2xcm,EG=(140-3x)cm.由题意，得 x(180-2x)=4000.整理，得x2-90z+2000=0,解得 x1=40,x2=50.当x=40时，EG=140-3×40= 20(cm)>18cm,符合题意；当x=50时，EG=140-3× 50=一10(cm),不符合题意，舍去.∴.x的值为40. 一微专题·围墙问题 1.20设矩形ABCD的边AB为xm,则AD=70+ 2-2x=(72-2x)m.由题意，得x(72-2x)=640.整 理，得2x2-72x十640=0，解得x1=16,x2=20.当x= 16时，AB=16m,AD=40m>35m,不符合题意；当x= 20时，AB=20m,AD=32m<35m,符合题意.∴.当羊 圈边AB为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈. 2.10或8设与墙垂直的边AB的长为xm,则与墙平 行的边BC的长是(50+2×2一3a)m.由题意，得 x(50十2×2一3x)=240.整理，得x2一18x+80=0,解 得x1=10,x2=8.当x=10时，50+2×2-3x=54 3×10=24,符合题意；当x=8时，50十2×2-3x=54 3×8=30,符合题意.∴.矩形菜地与墙垂直的边AB的 长为10m或8m. 第2课时百分率问题与几何图形相关问题 1.B利用2021年的亩产量×(1十年平均增长率)2= 2023年的亩产量，即可得出关于x的一元二次方程为 670×(1+x)2=780. 2.A设点P,Q分别从点A,B同时出发，xs后点P,Q 之间的距离为4√2cm,∴.AP=xcm,BQ=2xcm ∴.BP=AB-AP=(6-x)cm.在Rt△PBQ中，BP2+ 0=P0,即(6-x)P+(2)P=(4,解得，=号， x2=2(不合题意，舍去).∴.要使P,Q两点之间的距离为 2 4√2cm,则需要经过5s. 3.24设中间的偶数是x,则另外两个偶数是x一2，x十 2.根据勾股定理，得(x一2)2十x2=(x十2)2，解得x1=8, x2=0(不合题意，舍去.∴这个直角三角形的三边长是 6,8,10..该直角三角形的周长为6十8十10=24.