精品解析：福建泉州市泉港区第二中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试卷

2026年秋季泉港二中高三年段第一次月考数学试卷 命题：庄宗龙 审核： （本试卷共150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列函数中是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. － B. － C. D. 5. 设等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，，均为单位向量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数在区间内的两个零点分别为，（），则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知复数z满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限 C. 将复数z对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数为 D. 若复数z是关于x的方程（其中a，）的一个根，则 10. 已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A. 最大值为 B. 的最小值为 C. 最小值为 D. 最小值为 11. 已知圆，则下列说法正确的有（ ） A. 圆心在曲线上 B. 存在两个不同的实数，使圆过点 C. 存在四个不同的实数，使圆与直线相切 D. 存在两个不同的实数，满足直线平分圆的面积 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为________． 13. 设集合，若集合的所有非空子集的元素之和是64，则______． 14. 已知椭圆：的左焦点为，点在上，点，且，则点到轴的距离为____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在锐角中，内角，，所对的边分别是，，，且. （1）求的大小； （2）若，求的范围. 16. 已知幂函数在上单调递减． （1）求的解析式； （2）若命题：，为假命题，求实数的取值范围； （3）求不等式的解集． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； 18. 从名优秀大四学生中抽选人员分批次到某公司参与实习．每次实习需要同时派送名学生，且每次派送人员均从这人中随机抽选．已知这名优秀大四学生中，人有实习经验，人没有实习经验． （1）求名学生中的“小张”，在这批次实习中恰有两次被抽选到的概率； （2）求第一次抽选到有实习经验学生的人数的分布列及数学期望； （3）设第二次抽选时，选到没有实习经验学生的人数为，判断与的大小，并加以说明． 19. 已知函数. （1）讨论在的单调性； （2）证明：当时，； （3）设，为正数，若点关于直线的对称点在曲线上，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季泉港二中高三年段第一次月考数学试卷 命题：庄宗龙 审核： （本试卷共150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列函数中是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇偶函数定义即可判断每个选项 【详解】对于A，令，其定义域为，且， 所以为偶函数，故A不正确； 对于B，令，其定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故B不正确； 对于A，令，其定义域为，且， 所以为偶函数，故C不正确； 对于A，令，其定义域为，且， 所以为奇函数，故D正确； 故选：D 2. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将函数展开可得，，由二次函数的对称性可推出. 3. 在中，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合，化简得到，对照题设即得的值. 【详解】因为，可得， 所以， 又因为，所以. 故选：D. 4. 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. － B. － C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式可求出结果. 【详解】依题意得，又，所以. 5. 设等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列的前项和的性质即可求解. 【详解】已知等比数列的前项和为，设等比数列的公比为， 根据等比数列的前项和的性质，，，，等构成一个公比为的等比数列， 已知，，则，所以， 所以，即， ，即， 因此，故C正确. 6. 已知平面向量，，均为单位向量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算的模，再利用向量模的三角不等式求解的最小值. 【详解】由题意知，均为单位向量，故，且， ，得，故， ， 对任意平面向量，有，等号成立当且仅当与反向， 令，，，代入得： ， 当与反向时等号成立，故的最小值为. 7. 设函数在区间内的两个零点分别为，（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据零点的定义及余弦函数图象的对称性可得，再根据二倍角公式及同角三角函数平方和为1的关系，即可求出的值. 【详解】令，则，又，为的两个零点，则，， 所以，根据余弦函数图象的对称性可得，与关于对称， 又，则，所以，即， 所以， 又，，则， 所以. 8. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设函数值为y，将原式变形为正弦型函数等式，结合正弦函数的有界性列不等式求解值域. 【详解】设，由于， 故原式可变形为：， 由辅助角公式，左边可整理为， 其中为辅助角，因此有：， 根据正弦函数的有界性，可得：， 两边均为非负数，平方后得：，即得，即， 解得， 即函数的值域为. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知复数z满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限 C. 将复数z对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数为 D. 若复数z是关于x的方程（其中a，）的一个根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得到，据此逐项判断即可． 【详解】解：由复数z满足，得， 所以，故A正确； 复数的共轭复数是，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B正确； 复数对应的点为，绕原点按顺时针方向旋转，得到的点为， 所以所得向量对应的复数应为，故C错误； 由是关于x的方程的一个根，得另一个根为， 所以，解得，所以，故D正确． 10. 已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A. 最大值为 B. 的最小值为 C. 最小值为 D. 最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】题可知，且，利用基本不等式可判断A,D；构造二次函数型可判断B；对两边同时平方，利用基本不等式可判断C. 【详解】因为是正数，且， 所以不等式可知，即，得， 当且仅当，即取得等号， 所以的最大值为，所以A正确； 因为是正数，且， 所以，且， 所以， 当时有最小值为， 所以B正确； ， 当且仅当，即取得等号， 因为，是正数，所以最大值为，故C不正确； 因为， 当且仅当且即时取等号， 此时最小值为，所以D正确． 故选：ABD. 11. 已知圆，则下列说法正确的有（ ） A. 圆心在曲线上 B. 存在两个不同的实数，使圆过点 C. 存在四个不同的实数，使圆与直线相切 D. 存在两个不同的实数，满足直线平分圆的面积 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合指对互化判断A选项，再结合圆与直线的位置关系、函数的单调性以及零点存在性定理等逐一判断选项. 【详解】因为圆，所以圆心为，满足， 所以即，选项A正确； 若圆过点，则， 设函数，其函数图象连续不断，且， ，， 根据零点存在性定理可知方程恰有两个实数根，选项B正确； 若圆与直线相切，则圆心到直线的距离等于半径， 即，化简得，即或者， 令，则，令得 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以方程有唯一解，方程有两个解， 所以存在三个不同的实数，使圆与直线相切，选项错误； 直线平分圆的面积，等价于直线过圆心，即， 令函数，则，令得， 所以在单调递减，在单调递增， 且，， 函数图象连续，由零点存在性定理，共有两个零点， 所以存在两个不同的实数，满足直线平分圆的面积，所以选项正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值， 对求导得，， 于是，所以， 于是， 所以的极小值为． 13. 设集合，若集合的所有非空子集的元素之和是64，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】利用子集的定义求出所有的非空子集，然后计算所有元素之和即可得解． 【详解】易知的非空子集为，，，，，，，，，，，，，，， 则所有非空子集的元素之和为． 故答案为：8． 14. 已知椭圆：的左焦点为，点在上，点，且，则点到轴的距离为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设点，写出向量坐标，利用向量点积公式建立方程；结合椭圆方程消元求出，再代入椭圆求，即为点到轴的距离． 【详解】椭圆：，，，，左焦点． 设，则，， ， 整理得：，由椭圆方程得：， 代入上式得：，整理得， 解得或．又因，则， 将其代入椭圆方程：，解得， 即点到轴的距离为． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在锐角中，内角，，所对的边分别是，，，且. （1）求的大小； （2）若，求的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解； （2）由正弦定理得到，，由诱导公式得到.则，利用两角和差的正弦公式和辅助角公式化简，由为锐角三角形得到的范围，利用正弦函数的图像和性质得到的范围. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得. 即， 因为在中，， 所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为，，结合正弦定理，得. 所以，. 在中，. 所以. 因为为锐角三角形， 所以，解得. 则. 所以. 所以. 16. 已知幂函数在上单调递减． （1）求的解析式； （2）若命题：，为假命题，求实数的取值范围； （3）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性来确定的值，进而得到的解析式； （2）先根据命题的真假性得到其否定命题为真命题，再通过换元法将问题转化为求函数的最值问题； （3）根据幂函数的解析式列出不等式，然后求解不等式. 【小问1详解】 因为是幂函数，所以，解得或； 当时，，在上单调递减，符合题意； 当时，，在上单调递增，不符合题意，舍去； 所以，的解析式为； 【小问2详解】 因为命题“”为假命题，所以其否定“”为真命题； 由（1）知，则，所以在上恒成立，即在上恒成立； 设，在上单调递增； 则，因为在上恒成立，所以，即实数的取值范围是； 【小问3详解】 由，不等式 即为  ，  由“数轴标根法”求得不等式的解集为：. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由两边平方，得. 代入，，得： 由正弦定理边化角： 整理得. 由，得. 在中，故，即. 又，因此. 【小问2详解】 由周长为19，，得. 由余弦定理： ， 代入，， 得： ； 是角平分线， 由面积关系： ， 代入，， 约分化简得， 因此. 18. 从名优秀大四学生中抽选人员分批次到某公司参与实习．每次实习需要同时派送名学生，且每次派送人员均从这人中随机抽选．已知这名优秀大四学生中，人有实习经验，人没有实习经验． （1）求名学生中的“小张”，在这批次实习中恰有两次被抽选到的概率； （2）求第一次抽选到有实习经验学生的人数的分布列及数学期望； （3）设第二次抽选时，选到没有实习经验学生的人数为，判断与的大小，并加以说明． 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2  ； （3）， 由已知事件表示第二次抽到的人都有实习经验， 事件表示第二次抽到名无实习经验、名有实习经验的学生， 由（2），，， 第二次抽选仍从全部人中随机选人，，  若第一次选了个有实习经验的学生，则第一次抽选后没有实习经验的学生数为， 因此， 所以， ，  若第一次选了个有经验的学生，则第一次抽选后没有实习经验的学生数为， 因此​​， 所以 ​ 故. 【解析】 【分析】（1）先确定单次抽选中小张被选中的概率，利用二项分布概率公式计算即可； （2）先确定的所有可能取值，利用超几何分布概率公式计算各取值对应的概率，列出分布列后再根据期望公式计算数学期望； （3）先以第一次抽选到有实习经验学生的人数为条件，分别计算在第一次不同抽选结果下和的条件概率，再利用全概率公式分别求出和，最后比较二者大小. 【小问1详解】 每次从人中选人，小张单次被抽中的概率为 ， 次抽选是独立重复试验， 设这批次实习中小张被抽选到的次数为，则， 因此恰有两次被抽选的概率；​ 【小问2详解】 因为表示第一次抽选的人中，有实习经验的人数， 所以的可能取值为， ，​， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以 ； 【小问3详解】 略. 19. 已知函数. （1）讨论在的单调性； （2）证明：当时，； （3）设，为正数，若点关于直线的对称点在曲线上，证明：. 【答案】（1）在单调递增 （2） 设，则， 设，则， 当时，，单调递增， 故， 故单调递增， 故当时，，即. （3） 因为点关于直线的对称点为，且在上，故. 由（1）可知在单调递增，且由（2）可知， 故. 由可知，等价于. 设， 则. 设， 则当时，， 故当时，单调递增，， 所以当时，，单调递增. 又由（1）及（2）可知，，所以，即. 综上，. 【解析】 【分析】（1）利用函数导数判断函数的单调性； （2）设，结合导数判断函数的单调性证得不等式； （3）根据对称性结合函数的导数证得函数的不等关系； 【小问1详解】 根据题意有. 当时，； 当时，，，故， 所以在单调递增. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $