精品解析：福建省厦门海沧实验中学2025届高三上学期12月月考数学试题

2024-2025学年厦门海沧实验中学高三12月份阶段性考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 2. 在复平面内，复数Z绕原点逆时针旋转得，则复数Z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的几何意义求解即可 【详解】对应的点的坐标为顺时针旋转后坐标为对应的虚数为虚部为 故选：C. 3. 为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩，并制成下面的2×2列联表： 使用手机情况 成绩 合计 及格 不及格 很少 20 5 25 经常 10 15 25 合计 30 20 50 参考公式：，其中. 附表： 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A. 依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关” B. 依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关” C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关” D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关” 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中数据，计算的值，结合临界值表，即可得出结果. 【详解】由题中数据可得，， 所以有99.5%的把握认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”， 即在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”. 所以C错误，D正确； 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”，A错误； 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关”，B错误. 故选：D 4. 在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，点满足，当点在上运动时，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点并利用向量关系得出，代入椭圆方程替换即可得点的轨迹方程. 【详解】根据题意可设点，则， 又点在椭圆上，所以， 易知，由可得， 因此，代入即可得， 整理可得点的轨迹方程为. 故选：A 5. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排含甲、乙的六名航天员开展实验，其中天和核心舱安排三人，剩下的两个实验舱每个实验舱至少安排一人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案有（ ） A. 16种 B. 52种 C. 88种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【分析】先分类讨论应用组合数和排列数计算再应用加法原理求和即可. 【详解】按照甲、乙是否在天和核心舱划分情况： ①甲、乙有且只有一人在天和核心舱，需要在除甲、乙外的四人中选两人去天和核心舱，剩下的三人去剩下的两个实验舱，有种不同的安排方案； ②甲、乙都不在天和核心舱，从甲、乙外的四人中选三人去天和核心舱，再将甲、乙安排去剩下的两个实验舱，且一人去一个实验舱， 剩下一人可以去问天实验舱和梦天实验舱中的任何一个实验舱，有种不同的安排方案. 根据分类加法计数原理，共有种不同的安排方案. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由平方差公式化简已知条件并结合二倍角的余弦公式得，进而得，从而结合二倍角正弦公式即可计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以 ，即， 所以由得， 所以. 故选：A. 7. 已知函数与的图象如图所示，则函数（ ） A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数 D. 在区间上是减函数 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，结合图象判断与的大小关系，从而得出函数的单调性，进而可得出结果. 【详解】由得， 由题中图象可知，当时，，所以，则函数单调递增； 当时，，所以，则函数单调递减； 当时，，所以，则函数单调递增； 当时，，所以，则函数单调递减； 故ACD都错，B正确， 故选：B 8. 如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E为棱的中点，平面内两个动点P，M，分别满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方体的特征结合阿波罗尼斯圆确定M轨迹，根据新定义确定P点轨迹，在平面中利用数形结合的思想及点与圆的位置关系计算即可. 【详解】根据正方体的特征易知平面，平面， 平面，所以， 又，则， 如图建立平面直角坐标系，设， 则，整理得， 即M轨迹为平面上的圆，以为圆心，2为半径； 因为，则P轨迹为以为中心， 一条对角线长4且在纵轴上的正方形， 如上图所示，，易得， 过圆心作的垂线，可知垂线方程为 易得上的垂足，显然在线段上， 而上的垂足，显然H距N远， 则圆心到的距离为， 圆心到H的距离. 故选：A 【点睛】思路点睛：对于曼哈顿距离问题的处理策略关键在于作出正方形框图，即得出P的轨迹为正方形，此外利用阿氏圆的定义确定M轨迹，再数形结合即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（ ） A. 2，n，10成等差数列 B. 各项系数之和为64 C. 展开式中二项式系数最大的项是第3项 D. 展开式中第5项为常数项 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据二项式系数之和求出n的值，再令可求系数和，根据展开式的总项数可得二项式系数最大项，利用展开式的通项公式求第5项. 【详解】由的二项式系数之和为，得，得2，6，10成等差数列，A正确； 令，，则的各项系数之和为64，B正确； 的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C不正确； 的展开式中的第5项为为常数项，D正确. 故选:ABD 10. 如图，抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线了上另一点反射，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 与之间的距离为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用抛物线的光学性质可得，即可计算出B正确；联立直线与抛物线方程可得A正确；由抛物线定义可得C错误，根据与两直线平行可得D正确. 【详解】由抛物线的光学性质可知，直线过抛物线的焦点， 又是水平的，所以可得，因此，即选项B正确； 易知直线的方程为， 联立直线和抛物线，消去可得， 由韦达定理可知，故A正确； 由可得，所以点的坐标为， 利用抛物线定义可知，即C错误； 因为与两直线平行，所以与之间的距离为，即D正确. 故选：ABD 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是（ ） A. 其中一条渐近线的倾斜角为 B. 当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上 C. 为定值 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径求得，即可得渐近线判断A；设出的内切圆与其三边的切点，利用切线的性质得出点横坐标判断B；设点，求出，代入点在双曲线上的条件判断C；利用余弦定理求，并由基本不等式求最小值判断D. 【详解】双曲线，左右焦点为，且渐近线为， 由圆与渐近线相切，且圆心为，半径为1， 所以（负值舍），故渐近线方程为， 其中一条渐近线斜率为，即倾斜角为，A对； 由点为双曲线右支上（异于右顶点），设内切圆与三边切点分别为，如图， 由圆的切线性质知， ，即， 所以，当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上，B错； 设双曲线右支上的动点，则， 又双曲线的渐近线方程为，则为定值，C对； 由A分析，知直线为，倾斜角为，如下图示， 所以，则，结合C项的分析， 故， 当且仅当时等号成立，D对. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：利用双曲线渐近线与圆相切及点线距离公式求参数，确定双曲线方程，综合运用双曲线定义、圆的切线性质、余弦定理、基本不等式知识判断各选项. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正项数列中，，，猜想通项公式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用取倒数，可得为等差数列，即可求解.或者利用列举法，罗列前面的项，通过规律猜想. 【详解】方法一:由得，所以为等差数列，且公差为3，首项为1，故，故， 方法二：由得，， 由此可猜想 故答案为： 13. 若直线是函数的一条切线，则的最小值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】设切点为，求得切线方程，进而可得，进而可求的最小值. 【详解】设切点为，，， 函数的切线方程为， 即， 又直线是函数的一条切线，， 由，得，故，， 联立，， ，当且仅当时取等号. 故答案为： 14. 已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点，且平分，则此椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，求得，由角平分线定理，结合离心率公式计算即可得到所求值. 【详解】如图，由题意可知， 所以， 所以， 因为平分，所以， 解得，所以，所以离心率， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若，且的周长为，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合切化弦可得，利用正余弦定理边化角，可得，即可求得答案； （2）由题意可得，结合（1）即可求出，利用余弦定理求出，进而求得，结合边上的高为，即可求得答案 【小问1详解】 由，可得， 所以， 又由正弦定理和余弦定理，可得， 整理得，所以. 【小问2详解】 由，且的周长为，可得， 又由（1）可知，，即， 所以，联立方程组，解得， 所以， 则， 所以边上的高为. 16. 台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，.现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? （2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，， 【答案】（1）模型②的拟合程度更好 （2）回归方程为，13（百万辆） 【解析】 【分析】（1）利用公式分别求出模型①和②的相关系数，结合相关系数的意义即可判断哪一个模型拟合程度更好； （2）先利用最小二乘法求出关于的回归方程，再令，即可得解.. 【小问1详解】 设模型①和②的相关系数分别为， 由题意可得：， ， 所以，由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好. 【小问2详解】 因为， 又由，， 得， 所以，即回归方程为， 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，底面ABC为等腰三角形，，是AC的中点. （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面的夹角余弦值为，求直线OB与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 如图，连接，菱形中，由得为等边三角形， ∵是AC的中点，∴， ∵平面平面，平面平面平面， ∴平面ABC， ∵平面，∴平面平面ABC. （2） 【解析】 【分析】（1）分析得，面面垂直转化为线面垂直，由线面垂直的性质可证明结论. （2）以为原点建立空间直角坐标系，设，表示各点坐标，计算平面与平面的法向量，利用条件求出的值，根据线面角向量公式求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面ABC， ∵，是AC的中点，∴， 以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ∵，为等边三角形，∴. 设，则， ∴， 设平面法向量，则， 令，得， 设平面法向量，则， 令，可得， ∴，由，解得， ∴. 设直线OB与平面所成角为， ，即直线OB与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数的表达式为. （1）当时，求的单调增区间； （2）若当时，恒成立，求a的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1） （2） （3） 由（2）可知时， 则，取， 则，即； ， 即. 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式，对函数二次求导，判断出函数的单调性即可； （2）分、、三种情况，对函数二次求导，借助函数单调性判断不等式是否成立即可求解； （3）借助（2）中结论，化为，取，得到，两边求和化简即可求解. 【小问1详解】 时，， 则， 令，则， 则在上严格减，上严格增， 则，即在上严格增， 因此函数的增区间为； 【小问2详解】 ， 记，则， 令，解得； 若，则，即时， 在上严格增，，满足要求； 若，则，时， 则在上严格减，故当时，，不满足要求； 若，则，在上严格减， 则，不满足要求； 综上，a的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛： 本体关键在于能够将（2）中结论整理变形并应用到不等式的证明中. 19. 已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设． （1）求抛物线的方程； （2）求证：数列是等差数列，并求、； （3）求的面积． 【答案】（1） （2）方法一：在抛物线上，则，， 过，且斜率为的直线的方程为， 可得， 解得或，所以，可得， 所以数列是以首项为，公差为的等差数列， 所以，； 方法二：因为点、、在抛物线上， 所以，两式相减得：． 所以：可得， 所以数列是以首项为，公差为的等差数列， 所以，. （3） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）方法一：设，则，，将直线的方程与抛物线的方程联立，可得出，可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，再由可得出数列的通项公式； 方法二：由点、、在抛物线上，利用点差法可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，再由可得出数列的通项公式； （3）方法一：求出直线的方程，可求出，并求出点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； 方法二：设，则、，计算出梯形、的面积，由此可得出，即可得出答案. 【小问1详解】 将点的坐标代入抛物线的方程可得，可得， 因此，抛物线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 方法一：，则直线的方程为， 则， 点到直线的距离 ， 故； 方法二： 则直线的方程为，设直线与相交于 令，可得， 则 则 方法三：由（2）知：、、， 设，则、， 则梯形的面积为 ， 即，同理可得， 又梯形的面积为 ， 即，则的面积为： . 【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法： （1）定义法：（常数）数列为等差数列； （2）等差中项法：数列为等差数列； （3）通项公式法：（、为常数，）数列为等差数列. 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年厦门海沧实验中学高三12月份阶段性考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数Z绕原点逆时针旋转得，则复数Z的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩，并制成下面的2×2列联表： 使用手机情况 成绩 合计 及格 不及格 很少 20 5 25 经常 10 15 25 合计 30 20 50 参考公式：，其中. 附表： 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A. 依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关” B. 依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关” C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关” D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关” 4. 在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，点满足，当点在上运动时，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排含甲、乙的六名航天员开展实验，其中天和核心舱安排三人，剩下的两个实验舱每个实验舱至少安排一人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案有（ ） A. 16种 B. 52种 C. 88种 D. 72种 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数与的图象如图所示，则函数（ ） A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数 D. 在区间上是减函数 8. 如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E为棱的中点，平面内两个动点P，M，分别满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（ ） A. 2，n，10成等差数列 B. 各项系数之和为64 C. 展开式中二项式系数最大的项是第3项 D. 展开式中第5项为常数项 10. 如图，抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线了上另一点反射，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 与之间的距离为5 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是（ ） A. 其中一条渐近线的倾斜角为 B. 当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上 C. 为定值 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正项数列中，，，猜想通项公式为_________． 13. 若直线是函数的一条切线，则的最小值为_____. 14. 已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点，且平分，则此椭圆的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若，且的周长为，求边上的高. 16. 台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，.现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? （2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，， 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，底面ABC为等腰三角形，，是AC的中点. （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面的夹角余弦值为，求直线OB与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数的表达式为. （1）当时，求的单调增区间； （2）若当时，恒成立，求a的取值范围； （3）证明：. 19. 已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设． （1）求抛物线的方程； （2）求证：数列是等差数列，并求、； （3）求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $