精品解析：山东济南市历城区山东大学附属中学2026-2027学年八年级上学期数学周末自测5

山东山大基础教育集团 八年级（上）数学周末自测5 建议用时：60 min 一、选择题 1. 有下列6个等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中表示“是的函数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列曲线中，表示是的函数的是（） A. B. C. D. 3. 向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ） A. B. C. D. 4. 下列变化过程中，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（ ） A. 圆的周长随半径的变化而变化 B. 用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化 C. 正方形的面积S随边长的变化而变化 D. 汽车油箱中有汽油，汽车每行驶1千米耗油，那么行驶过程中油箱的剩余油量与行驶路程之间的关系 5. 对于一次函数，下列结论不正确的是（ ） A. 它的图像与轴交于点 B. 随的增大而增大 C. 它的图像经过第一、二、三象限 D. 它的图像与直线平行 6. 若直线与直线的交点在轴上，则的值是（） A. 4 B. C. 2 D. 7. 一次函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 若点、在正比例函数的图象上，且时，则的值可以是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 9. 一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，三点均在直线为常数，，上，且，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题 11. 当时，函数的值为___________ 12. 函数的图象不经过第______象限． 13. 在同一坐标系中，如图所示，一次函数，，，的图象分别为，，，，则，，，的大小关系是______（用“<”连接）． 14. 已知一次函数，当时，的最大值为5，则的值为__________． 15. 把直线向右平移3个单位长度后得到的直线的解析式是___________． 16. 如图，已知a，b，c分别是的三条边长，．我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”、若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是5，则c的值是_______． 三、解答题 17. 已知y与成正比例，且当时，． （1）求出y关于x的函数解析式； （2）当时，求y的值． 18. 某烘焙店需在超市采购5台烤箱和盒烘焙油纸，已知该超市烤箱定价为每台600元，烘焙油纸定价为每盒30元．现超市给出两种促销方案： 方案一：买1台烤箱，赠送4盒烘焙油纸； 方案二：所有商品按定价的九折出售． 根据以上信息，解决下列问题： （1）方案一中实际付款金额（单位：元）与之间的关系式为________； （2）方案二中实际付款金额（单位：元）与之间的关系式为________； （3）当烘焙油纸数量为多少时，两种方案的实际付款金额相同？ 19. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）点与点关于轴对称，求的面积； （2）在（1）的条件下，若点在一次函数的图象上，且在第一象限，，求点的坐标． （3）变式：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，与直线相交于第二象限，交点为点，且点的纵坐标为1． 点为直线上一点，且点在第一象限，若的面积与的面积相等，求直线的函数表达式； （4）在（3）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，，若，求点的坐标． 20. 教材问题重现： 在小颖的实验中，燃烧时间每增加，香可燃烧部分的长度就减少．也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少．为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢？与同伴进行交流． 对于“均匀”变化，下面是深度学习小组通过查阅相关资料和文献搜索后的研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 深度学习小组有关“匀速变化一次函数”的研究报告 研究对象：匀速变化一次函数 研究思路：按“概念——例题——探究”的路径进行研究 研究内容： 【一般概念】设y是x的一次函数，我们取自变量x的取值范围内的两个不同的值，，当到变化时，对应的y的值由到也随之变化，这时我们称比值为y在与之间的平均变化速度，当y在自变量x取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度相同时，我们称y是x的匀速变化一次函数． 【探究活动一】根据匀速变化一次函数的概念，对函数的研究如下： 当时，；当时，．则． 当时，；当时，．则． 因为y在自变量x的取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度是同一个数3，所以y是x的匀速变化一次函数． 【深入探索】通过上述方法可以验证函数为y关于x的匀速变化一次函数，则该函数的平均变化速度刚好等于 ▲ ． 发现结论：若、是函数（k，b为常数，）图象上的两点，则 █ ．我们只需再取图象上两点就可以快速地验证y是不是x的匀速变化一次函数． 任务一： （1）填空：上述材料中的▲= ，█= ． （2）请你应用以上规律直接写出过，两点的直线的平均变化速度 ． 【探究活动二】 深度学习小组继续深入研究直线的平均变化速度问题，得到以下两个正确结论： ①当两条直线平行时，这两条直线的平均变化速度是相等的； ②当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的平均变化速度之积是一个定值． 任务二： （3）如图1，直线与直线垂直于点A，且，，．请求出直线的平均变化速度与直线的平均变化速度之积． （4）发现结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的平均变化速度之积是一个定值，这个定值= ． （5）应用结论：如图2，平面直角坐标系中正方形的顶点，，连接，过点D作直线，则直线l的函数表达式为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东山大基础教育集团 八年级（上）数学周末自测5 建议用时：60 min 一、选择题 1. 有下列6个等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中表示“是的函数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查函数的概念，根据函数的概念，对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，据此判断即可． 【详解】解：在下列6个等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中表示“是的函数有①；③；⑥，共3个． 故选：B． 2. 下列曲线中，表示是的函数的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，据此解答即可． 【详解】解：观察图像可知，A、B、D选项中，均存在作垂直于x轴的直线与图形有两个交点的情况，即一个x值对应两个y值，不符合函数定义； C选项中，对于任意x值，作垂直于x轴的直线与图形只有一个交点，即y值唯一，符合函数定义． 3. 向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断． 【详解】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为B． 故选：B． 4. 下列变化过程中，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（ ） A. 圆的周长随半径的变化而变化 B. 用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化 C. 正方形的面积S随边长的变化而变化 D. 汽车油箱中有汽油，汽车每行驶1千米耗油，那么行驶过程中油箱的剩余油量与行驶路程之间的关系 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数关系的判断． 判断每个选项中的关系是否符合正比例函数定义（k为常数，）即可． 【详解】解：A：，其中为常数，C与r成正比例关系； B：由矩形周长固定为，得，即，不是形式； C：，不是形式； D：，不是形式． 故选：A． 5. 对于一次函数，下列结论不正确的是（ ） A. 它的图像与轴交于点 B. 随的增大而增大 C. 它的图像经过第一、二、三象限 D. 它的图像与直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像的性质，掌握一次函数解析式中各项系数与图像的特点是解题的关键． 根据一次函数解析式得到，一次函数图像经过第一、三、四象限，由此即可求解． 【详解】解：一次函数， 当时，， ∴它的图像与轴交于点，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴一次函数图像经过第一、三、四象限，随的增大而增大，故B选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意； ∵一次函数向上平移6个单位，得到一次函数， ∴它的图像与直线平行，故D选项正确，不符合题意； 故选：C ． 6. 若直线与直线的交点在轴上，则的值是（） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】交点在轴上时纵坐标为，先求直线与轴的交点坐标，再代入第二条直线计算的值． 【详解】解：∵两直线的交点在轴上， ∴交点的纵坐标为． 将代入，得 ， 解得， 即交点坐标为． 将，代入，得 ， 解得． 7. 一次函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数图象经过的象限以及直线与轴的交点位置分别判断即可． 【详解】解：A、直线中，即，直线经过第一、二、三象限，则，故矛盾，错误； B、直线经过第一、二、三象限，则，即，直线经过第二、三、四象限，则，即，两者一致，故正确； C、直线经过第一、二、三象限，则，直线中，则，故矛盾，错误； D、直线中，则，直线经过第一、二、四象限，则，故矛盾，错误． 8. 若点、在正比例函数的图象上，且时，则的值可以是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由与的大小关系判断正比例函数的增减性，确定的取值范围． 【详解】解：∵点、在正比例函数的图象上，且时，， ∴随的增大而减小， ∴， 选项中只有满足． 9. 一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的解为直线与x轴交点横坐标，结合函数图象，得出答案即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴当，， ∴方程的解为． 10. 已知，，三点均在直线为常数，，上，且，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 根据直线方程及已知条件，结合一次函数的单调性及符号性质进行判断． 【详解】解：已知直线为，其中，，故直线从左向右上升，且与y轴交于负半轴，三点，对应， A、若，则，，但可能为正也可能为负，导致符号不确定，乘积未必正，不符合题意； B、若，则和同号，但可能跨过交点，导致符号与相反，乘积未必正，不符合题意； C、若，则，。因，故也为负数，此时，和中，和均为负数，加上，故，即和均为负数，乘积，选项C正确，符合题意； D、若，则，但可能正或负（取决于是否超过），乘积未必正，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 11. 当时，函数的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】将代入函数表达式计算即可得到结果． 【详解】解：把代入函数，可得． 12. 函数的图象不经过第______象限． 【答案】三 【解析】 【详解】解：在一次函数中，，， 此函数的图象经过一，二，四象限，不经过第三象限． 13. 在同一坐标系中，如图所示，一次函数，，，的图象分别为，，，，则，，，的大小关系是______（用“<”连接）． 【答案】k2＜k1＜k4＜k3． 【解析】 【分析】想知道k之间的大小关系，图中又无其他信息，对此我们可以自己找点来近似的估计k值，如可近似估计四条线上的各一个异于（0，0）的点，然后代入求出k1、k2、k3、k4．再比较即可． 【详解】把x=1代入y=k1x，y=k2x，y=k3x，y=k4x中， 根据函数图象可得：y2＜y1＜y4＜y3． ∴k2＜k1＜k4＜k3． 故答案为：k2＜k1＜k4＜k3．． 【点睛】本题考查正比例函数图象及其性质，考查学生对直线y=kx+b这个基本解析式的理解，尤其是对其中两个系数k，b的掌握和理解是解题关键． 14. 已知一次函数，当时，的最大值为5，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知，一次函数随的增大而增大，可得取最大值时对应的值，代入列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数中，随的增大而增大， ∵当时，的最大值为， ∴当时，取得最大值， ∴， 解得． 15. 把直线向右平移3个单位长度后得到的直线的解析式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移．根据“左加右减，上加下减”的规律写出函数解析式并化简即可． 【详解】解：直线向右平移3个单位长度后得到的直线的解析式是， 故答案为：． 16. 如图，已知a，b，c分别是的三条边长，．我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”、若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是5，则c的值是_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据定义，得，得，结合，，代入解答即可． 本题考查了勾股定理，一次函数的新定义，正确理解新定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是5， ∴即，，， ∴， ∴ 解得（舍去）， 故答案为：5． 三、解答题 17. 已知y与成正比例，且当时，． （1）求出y关于x的函数解析式； （2）当时，求y的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入（1）中的函数解析式，求出y的值即可． 【小问1详解】 解：∵y与成正比例， ∴设y关于x的函数解析式为， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y关于x的函数解析式为，即； 【小问2详解】 由（1）知，y关于x的函数解析式为， ∴当时，． 18. 某烘焙店需在超市采购5台烤箱和盒烘焙油纸，已知该超市烤箱定价为每台600元，烘焙油纸定价为每盒30元．现超市给出两种促销方案： 方案一：买1台烤箱，赠送4盒烘焙油纸； 方案二：所有商品按定价的九折出售． 根据以上信息，解决下列问题： （1）方案一中实际付款金额（单位：元）与之间的关系式为________； （2）方案二中实际付款金额（单位：元）与之间的关系式为________； （3）当烘焙油纸数量为多少时，两种方案的实际付款金额相同？ 【答案】（1） （2） （3）当烘焙油纸数量为100盒时，两种方案的实际付款金额相同 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用， （1）根据题意列出函数关系式即可； （2）根据题意列出函数关系式即可； （3）根据（1）（2）的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的烘焙油纸数量即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 故答案为; ； 【小问2详解】 解：由题意得：； 故答案为：， 【小问3详解】 解：由题意得：， 解得：， 故当烘焙油纸数量为100盒时，两种方案的实际付款金额相同． 19. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）点与点关于轴对称，求的面积； （2）在（1）的条件下，若点在一次函数的图象上，且在第一象限，，求点的坐标． （3）变式：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，与直线相交于第二象限，交点为点，且点的纵坐标为1． 点为直线上一点，且点在第一象限，若的面积与的面积相等，求直线的函数表达式； （4）在（3）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） （4）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求出和得到，最后根据计算即可； （2）根据对称得到，则，设，，根据，得到，代入计算即可； （3）先求出，，再根据，得到，设，，根据列方程计算即可； （4）先求出直线解析式为，设，，则，，得到，最后根据列方程计算即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ∴令，则，即；令，解得，即； ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∵点在一次函数的图象上，且在第一象限， ∴设，， ∵， ∴，即， ∴， 解得，此时， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得点的纵坐标为1，且在上， ∴当时，解得， ∴， ∴， ∵的面积与的面积相等，即， ∴， ∵点在一次函数的图象上，且在第一象限， ∴设，， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为，代入得，解得， ∴直线解析式为； 【小问4详解】 解：∵， 同理可得直线解析式为， ∵在（3）的条件下，点为线段上一点， ∴设，， ∵过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，解得，此时； 当时，解得，此时； 综上所述，点的坐标为或． 20. 教材问题重现： 在小颖的实验中，燃烧时间每增加，香可燃烧部分的长度就减少．也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少．为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢？与同伴进行交流． 对于“均匀”变化，下面是深度学习小组通过查阅相关资料和文献搜索后的研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 深度学习小组有关“匀速变化一次函数”的研究报告 研究对象：匀速变化一次函数 研究思路：按“概念——例题——探究”的路径进行研究 研究内容： 【一般概念】设y是x的一次函数，我们取自变量x的取值范围内的两个不同的值，，当到变化时，对应的y的值由到也随之变化，这时我们称比值为y在与之间的平均变化速度，当y在自变量x取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度相同时，我们称y是x的匀速变化一次函数． 【探究活动一】根据匀速变化一次函数的概念，对函数的研究如下： 当时，；当时，．则． 当时，；当时，．则． 因为y在自变量x的取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度是同一个数3，所以y是x的匀速变化一次函数． 【深入探索】通过上述方法可以验证函数为y关于x的匀速变化一次函数，则该函数的平均变化速度刚好等于 ▲ ． 发现结论：若、是函数（k，b为常数，）图象上的两点，则 █ ．我们只需再取图象上两点就可以快速地验证y是不是x的匀速变化一次函数． 任务一： （1）填空：上述材料中的▲= ，█= ． （2）请你应用以上规律直接写出过，两点的直线的平均变化速度 ． 【探究活动二】 深度学习小组继续深入研究直线的平均变化速度问题，得到以下两个正确结论： ①当两条直线平行时，这两条直线的平均变化速度是相等的； ②当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的平均变化速度之积是一个定值． 任务二： （3）如图1，直线与直线垂直于点A，且，，．请求出直线的平均变化速度与直线的平均变化速度之积． （4）发现结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的平均变化速度之积是一个定值，这个定值= ． （5）应用结论：如图2，平面直角坐标系中正方形的顶点，，连接，过点D作直线，则直线l的函数表达式为 ． 【答案】（1），；（2）；（3）；（4）；（5） 【解析】 【分析】（1）明确匀速变化一次函数的定义，即y在自变量x取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度相同，平均变化速度为，根据此定义计算结果即可； （2）根据（1）中的定义来计算即可； （3）先计算的值，再计算的值，最后二者相乘即可得出结果； （4）由（3）可得这个定值为； （5）过点D作轴于点H，根据题意得出，，利用三角形内角和定理得出，利用“”证明，得出，，随即得到点D的坐标，进而计算出的值，再通过直线得到的值并设直线l的函数表达式为，将点D坐标代入直线l的表达式即可求得直线l的解析式． 【详解】解：（1）设函数的两点为，， ∴，， ∴， 同理，当，是函数（k，b为常数，）图象上的两点， 则． 故答案为：3，k． （2）由题可知，， 故答案为：3． （3），， ∴． （4）由（3）可得这个定值为：． 故答案为：． （5）如图，过点D作轴于点H， 在正方形中，，， ∵点，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 设直线l的函数表达式为， 将点D坐标代入得，， ∴， ∴直线l的函数表达式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的概念，平均变化速度的概念，匀速变化一次函数的概念，直线平行与垂直的性质及直线的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $