精品解析：山东临清市京华中学2026-2027学年第一学期第一次强化训练八年级数学试题

2026－2027学年第一学期第一次强化训练八年级 数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一．选择题（共12小题，36分） 1. 下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】说明一个命题错误只要举反例即可，即满足命题的条件但不满足命题的结论的例子便是举反例，由此即可作出判断． 【详解】选项A的反例不满足命题的条件，不符合；选项B、C满足命题的条件，也满足命题的结论，不符合；选项D满足命题的条件，但不满足命题的结论，故是举反例； 故选：D． 【点睛】本题考查了命题的举反例，了解举反例的含义是关键． 2. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A. SSS B. SAS C. SSA D. ASA 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用．图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出， 所以，依据是ASA． 故选：D． 3. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．，根据“内错角相等，两直线平行”可判断； B．，无法判断； C．，根据“同位角相等，两直线平行”可判断； D．，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判断． 4. 根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：A．已知两边和一边的对角，不能画出唯一的，故该选项符合题意； B．可根据画出唯一的，故该选项不符合题意； C．可根据画出唯一的，故该选项不符合题意； D．可根据画出唯一的，故该选项不符合题意； 故选：A． 5. 下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两条直角边分别相等 B. 斜边和一个锐角分别相等 C. 两个锐角分别相等 D. 斜边和一条直角边分别相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，，，逐项分析即可求解． 【详解】解：A、两条直角边分别相等的两个直角三角形，根据可证明这两个直角三角形是全等三角形，故A选项不符合题意； B、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形，根据可证明这两个直角三角形是全等三角形，故B选项不符合题意； C、两个锐角分别相等的两个直角三角形，不能得出这两个直角三角形是全等三角形，故C选项符合题意； D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形，根据可证明这两个直角三角形是全等三角形，故D选项不符合题意； 故选： C． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查真假命题的判断，解决本题的关键是正确辨析命题的条件与结论． 根据平行线的性质、垂线段最短、垂线的性质等逐项分析即可． 【详解】解：A选项，相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故A是假命题； B选项，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故B是真命题； C选项，两条直线被第三条直线所截，内错角相等的前提是两直线平行，故C是假命题； D选项，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，没有强调“在同一平面内”，故D是假命题． 故选：B． 7. 下列命题中，逆命题是真命题的为（ ） A. 全等三角形的对应边相等 B. 若，则 C. 对顶角相等 D. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 【答案】A 【解析】 【分析】先分别写出每个选项的逆命题，再逐项判断真假即可． 【详解】解：A．原命题的逆命题为“如果两个三角形的三条对应边分别相等，那么这两个三角形全等”，根据全等三角形的判定定理，三边对应相等的三角形全等，∴该逆命题是真命题，符合题意； B．原命题的逆命题为“若，则”，反例：当，时，，但，∴该逆命题是假命题，不符合题意； C．原命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，∵相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角相等但不是对顶角，∴该逆命题是假命题，不符合题意； D．原命题的逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”，反例：∵和的绝对值相等，但，∴该逆命题是假命题，不符合题意． 8. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定， 根据尺规作图的过程可知，，，再根据全等三角形的判定定理得出答案． 【详解】解：由作图过程可知，，， ∴ ∴的依据是． 故选：B． 9. 如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（ ） A. 4或 B. 6 C. 或1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．分两种情况分别计算，①若，②若，即可分别求得． 【详解】解：设点运动的时间为， 由题意知：，，则， 当时，， 即， 解得， 当时，，， 即，， 解得， 故， 解得， 故的值为或， 故选：A． 10. 如图，点分别在上运动（不与重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．知道下列哪个条件①；②；③；④的值，不能求大小的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质与内角和定理，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得，可判断③，再利用三角形外角的性质得到，等量代换可判断②，根据三角形内角和定理及等量代换可判断①和④，即可求解． 【详解】解：∵是的平分线，的反向延长线交的平分线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴③能求出的大小； ∵， ∴， ∴②能求出的大小； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴①能求出的大小，④不能求出的大小； 故选：D． 11. 如图，在R中，∠ABC=90°，以AC为边，作，满足AD=AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE=∠CAD，连接DE．下列结论中正确的有(　　) ①AC⊥DE；②∠ADE=∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE=CE+2BE ． A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】通过延长EB至E＇，使BE=BE＇，连接，构造出全等三角形，再利用全等三角形的性质依次分析，可得出正确的结论是②③④． 【详解】解：如图，延长EB至E＇，使BE=BE＇，连接； ∵∠ABC=90°， ∴AB垂直平分EE＇， ∴AE=AE＇, ∴∠1=∠2，∠3=∠5， ∵∠1=， ∴∠E＇AE=2∠1=∠CAD， ∴∠E＇AC=∠EAD, 又∵AD=AC， ∴， ∴∠5=∠4，∠ADE=∠ACB（即②正确）， ∴∠3=∠4； 当∠6=∠1时，∠4+∠6=∠3+∠1=90°， 此时，∠AME=180°－（∠4+∠6）=90°， 当∠6≠∠1时，∠4+∠6≠∠3+∠1，∠4+∠6≠90°， 此时，∠AME≠90°， ∴①不正确； 若CD∥AB， 则∠7=∠BAC， ∵AD=AC， ∴∠7=∠ADC， ∵∠CAD+∠7+∠ADC=180°， ∴， ∴∠1+∠7=90°， ∴∠2+∠7=90°， ∴∠2+∠BAC=90°， 即∠E＇AC=90°， 由， ∴∠EAD=∠CAE＇=90°，E＇C=DE， ∴AE⊥AD（即③正确），DE=E＇B+BE+CE=2BE+CE（即④正确）； 故正确的为：②③④． 故选B 【点睛】本题综合考查了线段的垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等内容；要求学生能够根据已知条件通过作辅助线构造出全等三角形以及能正确运用全等三角形的性质得到角或线段之间的关系，能进行不同的边或角之间的转换，考查了学生的综合分析和数形结合的能力． 12. 如图，在中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点．下列结论正确的个数有（ ） ①②③④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分， ， ， ，故①正确； ， 又， ， ， ， 在和中 ，故②正确； ， ， 在和中 ， ， ， 故结论③错误； 又∵， ， 故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 二．填空题（共5小题，20分．） 13. 命题“平行于同一条直线的两条直线平行”是______（填“真命题”或“假命题”），并将其改写成“如果那么”的形式______． 【答案】 ①. 真命题 ②. “如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线互相平行” 【解析】 【分析】本题考查了命题，根据平行公理的推论可判断命题的真假，找出命题的题设和结论，再改写成“如果那么”的形式即可，掌握课本基本知识是解题的关键． 【详解】解：命题“平行于同一条直线的两条直线平行”是真命题， 写成“如果那么”的形式是“如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线互相平行”， 故答案为：真命题；“如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线互相平行”． 14. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°． 正确顺序的序号排列为_____． 【答案】③①② 【解析】 【分析】根据反证法的步骤即可判断． 【详解】反证法的步骤是先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 所以，正确的步骤是③①②． 故答案为：③①②． 【点睛】本题考查反证法、记住反证法的把步骤先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 15. 如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠BAE＝80°，则∠EAC的度数为______． 【答案】50° 【解析】 【分析】利用SAS证明△ABC≌△ADC得∠D+∠DCA＝∠B+∠BCA，根据三角形的外角定理推出∠B+∠BCA＝∠CAE，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵AC平分∠DCB， ∴∠BCA＝∠DCA， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SAS）， ∴∠B＝∠D， ∴∠B+∠BCA＝∠D+∠DCA， ∵∠EAC＝∠D+∠DCA， ∴∠B+∠BCA＝∠EAC， ∵∠B+∠BCA＝180°﹣∠BAC＝180°﹣∠BAE﹣∠EAC， ∴∠CAE＝180°﹣∠BAE﹣∠EAC， ∵∠BAE＝80°， ∴∠EAC＝50°， 故答案为：50°． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解此题的关键是利用SAS证明△ABC≌△ADC． 16. 在中，为边上的高，，，则是___________度． 【答案】40或80##80或40 【解析】 【分析】根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解． 【详解】解：根据题意，分三种情况讨论： ①高在三角形内部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； ②高在三角形边上，如图所示： 可知， ， 故此种情况不存在，舍弃； ③高在三角形外部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； 综上所述：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键． 17. 如图，直线，点E，F分别为直线和上的点，点P为两条平行线间的一点，连接和，过点P作的平分线交直线于点G，过点F作，垂足为H，若，则________度． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过点P作，设，求出，，，即可得到答案． 【详解】解：过点P作，如图， 设， ∵过点P作的平分线交直线于点G， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴ 即， ∴， ∴ ∵是的一个外角， ∴， 即 ∵, ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 三．解答题（共7小题．18题6分，19、20题7分，21、22、23题10分，24题14分，共64分．） 18. 尺规作图： 已知，如图，点在的边上． （1）过点作边的垂线； （2）过点作的平行线． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先延长，在及其延长线上找到以点为圆心，大于长度为半径画弧所相交的点，再作这两点间线段的垂直平分线即可． （2）先以点为圆心，任意长度为半径作弧，交及其延长线上两点，再作这两点间线段的垂直平分线即可． 【小问1详解】 延长，以点为圆心，取大于长度为半径画弧，交及其延长线于两个不同点,．分别以,为圆心，取大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，连接与延长线交于点，则即为所求作的边的垂线，图略． 【小问2详解】 以点为圆心，任意长度为半径作弧交及其延长线于点、，再分别以点、为圆心，大于长度为半径作弧相交于点，连接，则即为所求． 19. 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： … （1）请你按照上面4个等式的规律写出第5个等式； （2）请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明你的猜想． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，总结出等式左边的变化规律是解本题的关键． （1）根据规律直接写出第5个等式即可； （2）归纳规律写出第n个等式，检验等式左边等于等式右边恒等，可证明式子成立． 【小问1详解】 解：第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 第5个等式： 故答案为： 【小问2详解】 解：由题意得：第n个等式为， 证明：左边， 右边， ∴左边右边， 即． 20. 请补全下面的证明过程及括号内的相应依据． 如图，点在上，点在上，连接、、，交于点，交于点，如果，，求证：． 证明：∵(已知)，(_____)， ∴( )， ∴(同位角相等，两直线平行)， ∴______(_____)， ∵(______) ∴______(_____)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)． 【答案】对顶角相等，等量代换，，两直线平行，同位角相等，已知，，内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，根据题意，依照平行线的判定和性质，填写上相应的条件和结论，即可． 【详解】证明：已知，对顶角相等， 等量代换， 同位角相等两直线平行， 两直线平行，同位角相等， 已知， 内错角相等，两直线平行， 两直线平行，内错角相等， 等量代换． 故答案为：对顶角相等，等量代换，，两直线平行，同位角相等，已知，，内错角相等，两直线平行． 21. 已知的两边与的两边分别垂直，即，垂足分别为点M和N，试探究： （1）如图1，与的关系是______； （2）如图2，写出与的关系，并说明理由； （3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 【答案】（1） （2） （3）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义，四边形内角和等于求解即可； （2）根据垂直的定义，以及三角形内角和等于，求解即可； （3）综合（1）（2）的结论，写出真命题． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴ 故答案为： 【小问2详解】 解：∵， ∴ 又∵ ∴ 故答案为： 【小问3详解】 解：真命题：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 【点睛】本题考查了真假命题，垂直的高一，对顶角相等，四边形内角和的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 22. 如图，已知中，D为上一点，E为外部一点，交于一点O，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）先证明，再利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，由已知得到，对顶角相等，得到，进而得到，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 23. 十九中趣味数学社的同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合． （1）求证：； （2）求两堵木墙之间的距离． 【答案】（1）证明：由题意得：，，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义得到，进而得到，根据证明即可； （2）根据题意及全等三角形的性质作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图中可得两堵木墙分别由3块、7块小木块垒成． ∴，， ∵， ∴，， ∴， 答：两堵木墙之间的距离为． 24. 【问题背景】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，试探究线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ________________． 【探索延伸】 如图②，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】[初步探索]：； [探索延伸]：结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到，使，连接， ， ，， ， 在和中， ， ∴ ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； [结论运用]：210海里． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案； （2）延长到，使，连接，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案； （3）连接，延长、交于点，可得，再得，继而得到本题答案． 【详解】解：[初步探索]：；理由如下： ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， 在△和△中， ， ∴， ， ， ， 故答案为：； [探索延伸]：略 [结论运用]：如图3，连接，延长、交于点， ， ，， ， ，， 符合探索延伸中的条件， 结论成立， 即海里． 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查全等三角形判定及性质，内角和定理，方向角问题，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年第一学期第一次强化训练八年级 数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一．选择题（共12小题，36分） 1. 下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A. SSS B. SAS C. SSA D. ASA 3. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两条直角边分别相等 B. 斜边和一个锐角分别相等 C. 两个锐角分别相等 D. 斜边和一条直角边分别相等 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 7. 下列命题中，逆命题是真命题的为（ ） A. 全等三角形的对应边相等 B. 若，则 C. 对顶角相等 D. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 8. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（ ） A. 4或 B. 6 C. 或1 D. 4 10. 如图，点分别在上运动（不与重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．知道下列哪个条件①；②；③；④的值，不能求大小的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 11. 如图，在R中，∠ABC=90°，以AC为边，作，满足AD=AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE=∠CAD，连接DE．下列结论中正确的有(　　) ①AC⊥DE；②∠ADE=∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE=CE+2BE ． A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ①②④ 12. 如图，在中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点．下列结论正确的个数有（ ） ①②③④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题（共5小题，20分．） 13. 命题“平行于同一条直线的两条直线平行”是______（填“真命题”或“假命题”），并将其改写成“如果那么”的形式______． 14. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°． 正确顺序的序号排列为_____． 15. 如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠BAE＝80°，则∠EAC的度数为______． 16. 在中，为边上的高，，，则是___________度． 17. 如图，直线，点E，F分别为直线和上的点，点P为两条平行线间的一点，连接和，过点P作的平分线交直线于点G，过点F作，垂足为H，若，则________度． 三．解答题（共7小题．18题6分，19、20题7分，21、22、23题10分，24题14分，共64分．） 18. 尺规作图： 已知，如图，点在的边上． （1）过点作边的垂线； （2）过点作的平行线． 19. 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： … （1）请你按照上面4个等式的规律写出第5个等式； （2）请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明你的猜想． 20. 请补全下面的证明过程及括号内的相应依据． 如图，点在上，点在上，连接、、，交于点，交于点，如果，，求证：． 证明：∵(已知)，(_____)， ∴( )， ∴(同位角相等，两直线平行)， ∴______(_____)， ∵(______) ∴______(_____)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)． 21. 已知的两边与的两边分别垂直，即，垂足分别为点M和N，试探究： （1）如图1，与的关系是______； （2）如图2，写出与的关系，并说明理由； （3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 22. 如图，已知中，D为上一点，E为外部一点，交于一点O，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 十九中趣味数学社的同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合． （1）求证：； （2）求两堵木墙之间的距离． 24. 【问题背景】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，试探究线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ________________． 【探索延伸】 如图②，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $