26.2.1二次函数y=ax²的图象和性质--教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

课题名称 26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 课型 新授课 教学资源：课件、坐标纸、直尺、铅笔 教学内容解析 内容：二次函数y=ax²的图象画法及性质 《二次函数y=ax²的图象和性质》是在学生学习了二次函数的概念、正比例函数和一次函数的图象与性质的基础上，进一步研究最简单的二次函数的图象和性质。本节课是学生第一次系统研究二次函数，是后续学习二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质的基础，在整个二次函数章节中具有奠基作用。 本节内容通过描点法画出y=ax²的图象，引导学生观察图象特征，归纳抛物线的性质，体会数形结合的数学思想，发展直观想象和逻辑推理的核心素养。 目标与目标解析 单元整体目标： 本章主要学习二次函数的概念、图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，以及用二次函数解决实际问题。二次函数是初中函数学习的重要内容，是后续学习高中函数的基础。 对应课标要求： ①理解二次函数的概念。 ②会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。 ③会用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，掌握二次函数的性质。 ④能用二次函数解决简单的实际问题。 课时目标（核心素养导向）： 1. 【数学抽象】知道二次函数y=ax²的图象是一条抛物线，会用描点法画出y=ax²的图象。 2. 【直观想象】掌握二次函数y=ax²的图象性质：对称轴是y轴，顶点是原点；a>0时开口向上，a<0时开口向下；|a|越大开口越小。 3. 【逻辑推理】经历画图、观察、归纳的过程，体会数形结合的思想方法，能根据图象说出函数的性质。 4. 【数学运算】会用待定系数法求二次函数的解析式，能根据函数值求自变量的值。 课时目标解析： 达成目标1的标志是：学生能独立用描点法画出y=x²的图象，知道二次函数的图象是抛物线。 达成目标2的标志是：学生能根据图象说出抛物线的对称轴、顶点坐标、开口方向，能比较|a|大小与开口大小的关系。 达成目标3的标志是：学生能从图象中归纳出函数的性质，体会数形结合的思想。 达成目标4的标志是：学生能根据已知点的坐标求二次函数的解析式，能代入求值。 学情分析 已有的知识、认知水平： 学生已经学习了正比例函数和一次函数的图象与性质，掌握了描点法画函数图象的基本步骤（列表、描点、连线）。学生已经学习了二次函数的概念，知道二次函数的一般形式。学生具备了一定的画图能力和观察归纳能力。 困惑点或探索点： 学生第一次接触曲线图象，容易和一次函数的直线图象混淆。另外，学生在观察图象归纳性质时，可能抓不住关键特征（如对称轴、顶点、开口方向），需要教师引导。 教学重难点 教学重点：二次函数y=ax²的图象和性质 教学难点：用描点法画二次函数的图象；从图象中归纳函数的性质 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：二次函数是初中函数学习的重要内容，y=ax²是最简单的二次函数，研究它的图象和性质是学习一般二次函数的基础，在整个函数知识体系中具有重要地位。 学什么：会用描点法画y=ax²的图象；掌握y=ax²的图象性质（对称轴、顶点、开口方向、开口大小与|a|的关系）。 怎么学：采用“类比旧知—动手画图—观察归纳—应用巩固”的教学模式。类比一次函数的研究方法，引导学生用描点法画二次函数的图象；通过观察图象特征，归纳抛物线的性质；通过讲练结合，巩固所学知识。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 复习回顾： 问题1：什么是二次函数？它的一般形式是什么？ 问题2：我们是怎样研究一次函数的图象和性质的？ 引入： 一次函数的图象是一条直线，那二次函数的图象是什么形状呢？今天我们就来研究最简单的二次函数y=ax²的图象和性质。 师：我们已经学习了二次函数的概念，大家回忆一下，什么样的函数是二次函数？它的一般形式是什么？ 生：一般地，形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数。 师：很好。那我们之前研究一次函数的时候，是先画图象，再从图象中研究性质。那二次函数的图象是什么形状呢？今天我们就从最简单的二次函数y=ax²开始研究。 师：大家猜一猜，二次函数的图象会是直线吗？ 学生能准确说出二次函数的概念和一般形式 学生能回忆起研究函数的基本方法（图象→性质） 学生对二次函数的图象产生好奇和探究欲望 通过复习二次函数的概念和研究函数的方法，为新课学习做好知识铺垫。通过提出“二次函数图象是什么形状”的问题，激发学生的探究欲望。 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 概念探究 活动一：画y=x²的图象 用描点法画出二次函数y=x²的图象： （1）列表：取自变量x的一些值，算出对应的函数值y； （2）描点：在平面直角坐标系中描出这些点； （3）连线：用平滑曲线连接这些点。 活动二：探究y=ax²的图象性质 观察画出的图象，思考： （1）图象是什么形状？ （2）图象是轴对称图形吗？对称轴是什么？ （3）图象有最高点或最低点吗？坐标是什么？ （4）当a取不同值时，图象有什么变化？ 师：请同学们用描点法在坐标纸上画出y=x²的图象。先列表，再描点，最后连线。 （学生动手画图，教师巡视指导） 师：大家画完后观察一下，y=x²的图象是什么形状？ 生：是一条曲线，有点像抛物线。 师：对！二次函数y=ax²的图象是一条抛物线。 师：大家再观察，这条抛物线是轴对称图形吗？对称轴是什么？ 生：是轴对称图形，对称轴是y轴。 师：图象有最高点或最低点吗？ 生：有最低点，在原点(0,0)。 师：很好！抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。y=x²的顶点是原点(0,0)。 师：如果a>0，开口方向是怎样的？如果a<0呢？ 生：a>0时开口向上，a<0时开口向下。 师：非常好！|a|越大，抛物线的开口越小。 学生能正确用描点法画出y=x²的图象 学生能说出二次函数的图象是抛物线 学生能说出抛物线的对称轴、顶点坐标、开口方向 学生能理解|a|大小与开口大小的关系 通过动手画图，让学生经历描点法画函数图象的过程，直观感受二次函数的图象是抛物线。通过观察图象特征，归纳抛物线的性质，培养学生的观察能力和归纳概括能力，体会数形结合的数学思想。 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 课堂练习 例1：在同一直角坐标系中，画出函数y=2x²和y=½x²的图象，并比较它们的图象有什么异同。 例2：已知二次函数y=ax²的图象经过点A(-2, 8)，求a的值，并判断点B(-1, 4)是否在这个二次函数的图象上。 课堂练习： 1. 抛物线y=-3x²的开口向______，对称轴是______，顶点坐标是______。 答案：下；y轴；(0,0)。解析：a=-3<0，开口向下；y=ax²的对称轴是y轴，顶点是原点(0,0)。 2. 已知抛物线y=ax²经过点(1, 3)，则a=______。 答案：3。解析：把x=1，y=3代入y=ax²，得3=a×1²，所以a=3。 师：我们来看例1。请同学们在坐标纸上画出y=2x²和y=½x²的图象，然后比较它们的异同。 （学生画图，教师巡视） 师：大家观察一下，这两个抛物线有什么相同点和不同点？ 生：相同点是顶点都在原点，对称轴都是y轴，开口都向上。不同点是y=2x²的开口更窄，y=½x²的开口更宽。 师：总结得很好！|a|越大，开口越小。 师：我们来看例2。已知图象经过点A(-2,8)，求a的值。怎么做？ 生：把x=-2，y=8代入y=ax²，得8=a×(-2)²，也就是8=4a，所以a=2。 师：那点B(-1,4)在不在这个图象上呢？ 生：当x=-1时，y=2×(-1)²=2×1=2≠4，所以不在。 师：总结一下：求二次函数解析式用待定系数法，判断点在不在图象上就看坐标满不满足解析式。 学生能正确画出不同a值的二次函数图象 学生能比较不同抛物线的异同 学生能用待定系数法求二次函数的解析式 学生能判断点是否在函数图象上 通过例题和练习，巩固二次函数y=ax²的图象和性质，让学生熟练掌握用描点法画图和待定系数法求解析式的方法，培养学生的运算能力和数形结合思想。 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 反思总结 学生为主体发言总结： 今天我们学习了什么知识？你有哪些收获？ 你还有什么疑问？ 师：这节课快要结束了，请同学们回忆一下，今天我们学习了哪些知识？你有什么收获？ 生1：我们学习了二次函数y=ax²的图象是抛物线。 生2：抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点。 生3：当a>0时开口向上，a<0时开口向下。 生4：|a|越大，开口越小。 师：大家总结得很好。今天我们通过画图、观察、归纳，研究了最简单的二次函数的图象和性质，这种数形结合的方法在今后的学习中会经常用到。 你还有什么疑问吗？ 学生能主动总结本节课所学的主要知识 学生能梳理二次函数图象和性质的要点 学生能提出自己的疑问 通过学生自主总结，梳理本节课所学知识，加深对二次函数y=ax²的图象和性质的理解。培养学生归纳概括的能力和反思意识。 板书设计 26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 一、二次函数的图象 二次函数y=ax²的图象是一条抛物线 二、二次函数y=ax²的性质 1. 对称轴：y轴 2. 顶点：原点(0,0) 3. 开口方向： a>0时，开口向上，顶点是最低点 a<0时，开口向下，顶点是最高点 4. 开口大小：|a|越大，开口越小 三、方法总结 描点法：列表→描点→连线 待定系数法：代入求a 学科网（北京）股份有限公司 $