湖北省孝感市大悟县九年级数学上学期课时作业（人教版九年级上册第26章第二节第二小节）

26.2.2《二次函数的图象和性质》 ——第一课时作业设计 1、 基本信息 教材版本 人教版九年级数学上册 课时内容 26.2.2 二次函数的图象和性质 适用学段 九年级 作业时长 25-30分钟 设计依据 2024人教版九年级数学上册教材、《义务教育数学课程标准（2022年版）》 核心素养 抽象能力、几何直观、运算能力、推理能力、模型观念等核心素养 2、 学情分析 九年级的学生，处于青春期，充满好奇心和求知欲，并系统学习了一次函数，并且掌握了最简二次函数的图象和性质，能够画出基础抛物线，识别开口方向、对称轴和顶点，具备初步的数形分析与运算能力。结合日常课观察，学生思维方式由形象思维发展为抽象思维，抽象概括能力得到了很好的提升，但是其理解能力停留在表面、知识迁移能力较弱、几何直观、建模意识和推理能力还有待加强。 本节课是二次函数平移变换的起始课，既是对最简二次函数的拓展延伸，也为后续学习二次函数的顶点式打下基础，在本单元体系中起到承上启下的作用。为弥补学生练习的不足，本作业引入AI可视化探究任务，帮助学生脱离机械记忆，加深理解。 3、 作业设计理念 本作业立足新课标核心素养导向，遵循单元整体教学思路，结合九年级学生认知特点开展设计。首先依据学生学习水平划分练习梯度，符合因材施教原则，减少机械重复刷题，使每个学生都能有所收获。其次将数形结合贯穿作业全过程，突出数学思想，引导学生通过画图、观察、对比、推理自主归纳规律，拒绝死记硬背结论。最后适度引入AI数字化探究，兼顾学科融合。利用AI动态绘图、命题创编，把抽象的函数变化变得直观可视。 4、 作业目标 1.掌握二次函数 的上下平移规律，可以准确判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性。 2.能够运用数形结合的思想分析问题，完成参数求解、函数值大小比较，初步学会利用二次函数解决简单的生活最值问题。 3.经历作图、观察、对比、归纳的探究过程，提升几何直观、逻辑推理与数学运算能力，建立函数变换的模型观念。 4.培养严谨、主动探究的学习习惯，感受生活中的数学，体会数学知识在现实生活中的应用价值。 5.能够合理使用AI工具开展数学探究，学会甄别、完善工具生成的内容，养成独立思考、不盲目依赖智能工具的学习习惯，发展学生的创新意识等核心素养。 五、作业整体结构 作业按照夯实基础—综合运用—深度探究的逻辑分层设置，逐级提升： 1.基础巩固（全员必做）：落实核心概念，巩固平移规律、基础性质与简单运算，保障全体学生基础知识过关。 2.能力提升（全员必做）：侧重综合运用，训练逻辑说理、参数运算、情境建模，对接考试常见题型，突破课时重难点。 3.拓展探究（选做培优）：开展AI跨学科探究，完成动态观察、规律猜想，供学有余力的学生拓展思维。 六、分层课时作业内容 （一）基础巩固 1. 填空题 （1）二次函数的图象可由抛物线向____平移____个单位得到，图象开口向____，对称轴为____，顶点坐标为________。 （2）抛物线，顶点坐标为________；当x____时，y随x的增大而增大；当x____时，y随x的增大而减小。 2. 作图探究题 在下面网格中构建一个平面直角坐标系，并在同一平面直角坐标系中，规范画出、与的图象，并从开口、对称轴、顶点、增减性四个角度写出三条抛物线的异同点。 开口 对称轴 顶点 增减性 异： 同： 3. 基础计算题 已知二次函数，分别求当 x=-1、x=2 时的函数值。 （2） 能力提升 4. 求参综合题 已知二次函数的图象经过点（1，-1）。 （1）求a的值； （2）写出该抛物线的开口方向、顶点坐标； （3）简述 x>0 时函数的增减变化规律。 5. 数形比大小题 已知点 A（-2，）、B（1，）均在抛物线上，请结合函数性质比较、的大小，并写出完整推理过程。（思考：你还有不同的解法吗？） 6. 生活情境应用题 体育课上，男同学们一起打篮球，铭铭同学每次投三分球的运动轨迹可近似看作二次函数 （x：水平距离/米，y：篮球距离地面的高度/米），请求出篮球距离地面的最大高度。 （三）拓展探究 本部分为探究任务，借助AI工具弥补手绘图象的不足，引导学生从被动做题转向主动观察、猜想、分析和解决问题，实现深度学习。 7. AI可视化对比探究题 几何画板可以生成动态抛物线图象，直观展现参数改变带来的图象变化，请结合本节课知识完成探究： （1）利用几何画板绘制函数图象：对比函数、、，归纳三条抛物线的对称轴与顶点分布特征； （2）利用三条抛物线图象，观察总结常数项 k 的正负、数值大小，对抛物线位置产生怎样的影响？ （3）结合几何画板的动态演示，大胆猜想：连续改变 k 的取值，抛物线会产生怎样的运动变化？ 七、作业参考答案及解析 （一）基础巩固 1.（1）上、3、上、y轴、（0，3） （2）（0，-4）、<0、>0 分析：（1）本题考查二次函数的性质以及二次函数的上下平移，掌握二次函数的性质以及二次函数与的“上加下减”平移规律是解题的关键；（2）本题考查二次函数的顶点坐标以及增减性。 详解：（1）二次函数的图象可由抛物线向上平移3个单位得到，因为a=5>0，所以图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，3）。（2）抛物线，其对称轴为直线x=0，当x=0时，y=-4，所以顶点坐标为（0，-4）；因为a=<0，开口向下，当x<0时（在对称轴左侧），y随x的增大而增大；当x>0时（在对称轴右侧），y随x的增大而减小。 2.  开口 对称轴 顶点 增减性 向上 y轴 （0，0） 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大。 向上 y轴 （0，2） 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大。 向上 y轴 （0，-2） 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大。 相同点：开口向上，对称轴均为y轴，增减性相同，抛物线形状完全相同； 不同点：顶点坐标不同，图象上下位置不同，函数最值不同。 分析：本题考查二次函数的性质和图象，掌握二次函数画图的方法（列表、描点、连线）及其性质是解题的关键。 详解：采用描点法（列表、描点、连线。列表时需注意选取的点要左右对称、选取的点尽可能多，点数越多、图象越准确；连线时需采用光滑的曲线进行连接）画出二次函数、与的图象。其次观察二次函数图象填写表格，根据表格中的信息归纳二次函数、与的异同点。 3. 当x=-1时，y=-1；当x=2时，y=-7。 分析：本题考查二次函数的基础计算能力，掌握二次函数自变量取一个定值时，有且仅有前一个函数值与之对应以及运用代入法求值是解题的关键。 详解：二次函数，当x=-1时，；当x=2时，。 （二）能力提升 4.（1）把点（1，-1）代入解析式，解得：a=-2； （2）抛物线开口向下，顶点坐标为（0，1）； （3）当x>0时，y随x的增大而减小。 分析：本题考查运用代入法求二次函数中待定字母的值以及二次函数的性质，掌握代入法求二次函数中待定字母的值以及二次函数的性质是解题的关键。 详解：（1）因为二次函数的图象经过点（1，-1），所以把点（1，-1）代入解析式，解得：a=-2；（2）由（1）知二次函数解析式为，因为a=-2<0，所以抛物线开口向下，对称轴为直线x=0，当x=0时，y=1，所以顶点坐标为（0，1）；（3)当x>0时（在对称轴右侧），y随x的增大而减小。 5.  抛物线开口向上，对称轴为y轴。 方法一：当x=-2时，=17；当x=1时，=7；所以>。 方法二：A、B两点位于对称轴两侧，A（-2，）点对称点为（2，），抛物线开口向上，当x>0时，y随x的增大而增大。因为2>1，所以>。 方法三：开口向上的抛物线上，点距离对称轴越远，对应的函数值越大。点A到对称轴距离大于点B，因此所以>。 分析：本题考查二次函数的函数值比较大小，掌握二次函数的性质、图象以及二次函数比较大小的方法是解题的关键。 详解：抛物线开口向上，对称轴为y轴。 方法一：代入法（将点A、B的横坐标代入到，求出对应的y值，并比较大小），当x=-2时，=17；当x=1时，=7；所以>。 方法二：对称性＋增减性（先利用二次函数的对称性找出点A或点B的对称点，将两点转换到对称轴同侧，再利用二次函数的增减性比较大小），A、B两点位于对称轴两侧，A（-2，）点对称点为（2，），抛物线开口向上，当x>0时，y随x的增大而增大。因为2>1，所以>。 方法三：距离法（开口向上的抛物线上，点距离对称轴越远，对应的函数值越大；点距离对称轴越近，对应的函数值越小），点A到对称轴距离为2，点B到对称轴的距离为1，点A到对称轴距离大于点B，因此所以>。 6. 抛物线开口向下，顶点（0，3）是图象最高点，因此篮球距离地面的最大高度为3米。 分析：本题考查二次函数的函数的最值问题，掌握二次函数在实数范围内顶点处取最值问题是解题的关键。 详解：对于抛物线，因为a=<0，开口向下，对称轴为y轴，所以当x=0时，y取最大值，最大值为y=3,顶点坐标为(0,3),因此篮球距离地面的最大高度为3米。 （三）拓展探究 7.（1）三条抛物线对称轴均为y轴，顶点都落在y轴上； （2）k>0抛物线向上平移，k<0抛物线向下平移；|k|越大，平移距离越远； （3）猜想：k不断增大，抛物线沿y轴向上移动；k不断减小，抛物线沿y轴向下移动。 分析：本题考查二次函数的图象和性质，借助AI工具可视化绘图，培优学生动手操作能力，学生通过观察图象变化，增强学生学习数学的兴趣，在探索中分析问题、解决问题，增加了数学课堂的趣味性。运用现代科技解决数学问题、培养学生分析问题和解决问题的能力是本题的关键。 详解：（1）观察二次函数图象可知：三条抛物线对称轴均为y轴，顶点为（0，0）（0,1）（0，-4），都在y轴上。 （2）通过改变k值的大小，观察图象可知：当k>0抛物线向上平移，当k<0抛物线向下平移；|k|越大，平移距离越远。 （3）猜想：k不断增大，抛物线沿y轴向上移动；k不断减小，抛物线沿y轴向下移动。 八、多元综合评价 评价维度 评价标准 分值 评价主体 总评 自评 他评 师评 基础知识掌握 平移规律、函数性质掌握准确，无知识性错误 30 作图规范能力 图象绘制标准、关键点准确，对比总结完整 20 运算推理能力 计算精准，推理逻辑严密，解题步骤完整 25 情境建模能力 能结合生活情境，正确运用函数知识解决实际问题 15 AI探究创新能力 数字化探究思路清晰，猜想合理 10 评价说明： 1.总评 90分及以上：基础扎实，思维灵活，数形分析与数字化探究素养突出； 2. 总评70—89分：知识掌握较好，解题思路通顺，存在少量细节疏漏； 3. 总评70分以下：基础概念理解不到位，平移规律、函数性质掌握薄弱，需要针对性巩固订正。 学科网（北京）股份有限公司 $