26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章　二次函数 26.2.1　二次函数 y=ax² 的图象和性质（教学设计） 一、教学目标（核心素养导向） 1．通过画图，了解二次函数 y=ax²（a≠0）的图象是一条抛物线，理解它的顶点为什么是原点、对称轴为什么是 y 轴、开口方向为什么向上（或向下），掌握顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式之间的内在联系，并能运用这些性质解决有关问题； 2．通过对函数图象的观察，掌握二次函数解析式 y=ax²（a≠0）与函数图象之间的联系，学会用“数形结合”的方法解决抛物线的有关问题； 3．在画图、观察、归纳的活动中积累研究函数的基本经验，体会由数到形、再由形悟数的研究路径。 二、教学重点 画出二次函数 y=ax² 的图象，并能根据图象分析其性质。 三、教学难点 用描点法准确画出二次函数的图象。 四、教学过程 活动一：以旧引新，导入新课 【复习导入】 问题：上节课我们从实际问题中又认识了函数家族的一位新成员——二次函数。如果继续研究它，你觉得可以研究二次函数的哪一方面？ 追问1：你是怎么想到的？ 追问2：怎样研究二次函数的图象和性质？ 【参考答案】追问1：一次函数就是先学概念、再学图象和性质，二次函数也可以沿这条路径走。追问2：仿照一次函数的研究方法，先用描点法画出图象，再借助图象观察、归纳性质。（本题为开放式设问，学生回答合理即可。） 【教学建议】 引导学生回忆一次函数的学习流程，通过分层追问，渗透数形结合研究函数的通用方法。 【设计意图】 回顾二次函数的概念，类比一次函数的研究思路，引出本节课图象探究的内容。 活动二：作图探究，建构新知 探究点1　二次函数 y=ax²（a＞0）的图象与性质 问题1：二次函数 y=ax²+bx+c 的定义中，系数 a≠0，那么 b、c 呢？ 【参考答案】b、c 可以取任意实数，也就是说它们可以为 0。 问题2：怎么研究 y=ax²（a≠0）的图象和性质？ 【参考答案】仿照研究一次函数的路径：先取最简形式 y=x²，用描点法画出图象，再由图象归纳性质。 操作与思考：画出 y=x² 的图象，并观察图象的特征。 探究1：从函数解析式研究图象和性质。 (1) 自变量 x 的取值范围是什么？ (2) 函数值 y 的取值范围是什么？ (3) 当 x 取一对相反数时，函数值相等吗？由此可以猜测图象的对称性吗？ 【参考答案】(1) x 取任意实数。(2) y≥0。(3) 相等，例如 x=2 与 x=−2 时函数值都是 4；由此可以猜测图象关于 y 轴对称。 探究2：用“描点法”作图 1．列表：在 y=x² 中自变量 x 可以取任意实数，列表表示几组对应值： x … −3 −2 −1 0 1 2 3 … y=x … 9 4 1 0 1 4 9 … 2．描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点 (x，y)。 3．连线：如图，再用平滑的曲线顺次连接各点，就得到 y=x² 的图象。（能用直线连接吗？） 【参考答案】不能用直线连接，必须用平滑的曲线顺次连接各点。 思考：二次函数 y=x² 的图象有什么特征？（可以从以下几个方面考虑） (1) 你能描述图象的形状吗？ (2) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流。 (3) 当 x＜0 时，随着 x 值的增大，y 的值如何变化？当 x＞0 时呢？ (4) 当 x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？ 【参考答案】(1) 图象是一条开口向上的曲线，叫做抛物线。(2) 是轴对称图形，对称轴是 y 轴，顶点坐标是 (0,0)；例如 (−2,4) 与 (2,4)、(−1,1) 与 (1,1)、(−3,9) 与 (3,9) 都是对称点。(3) 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大。(4) 当 x=0 时 y 最小，最小值为 0；从图象看原点是抛物线的最低点，从解析式看 x²≥0，故 y=x²≥0。 典例精析 例1　在同一直角坐标系中，画出函数 y=x，y=2x 的图象。 思考： (1) 函数 y=½x²，y=2x² 的图象与函数 y=x² 的图象相比，有什么共同点和不同点？ (2) 当 a＞0 时，二次函数 y=ax² 的图象有什么特点？ 【参考答案】(1) 共同点：都是开口向上、对称轴为 y 轴、顶点为原点的抛物线；不同点：开口宽窄不同，|a| 越大开口越小，y=2x² 的图象比 y=x² 窄，y=½x² 的图象比 y=x² 宽。(2) 当 a＞0 时，抛物线 y=ax² 开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是图象的最低点，且 |a| 越大开口越小。 知识要点：对于抛物线 y=ax²（a＞0），抛物线开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a 越大，即 |a| 越大，抛物线的开口越小。 归纳总结 y=ax a＞0 开口方向与大小 开口向上，|a| 越大开口越小 对称性 关于 y 轴对称，对称轴是直线 x=0 顶点与最值 顶点 (0,0)，是最低点，函数有最小值 0 增减性 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 探究点2　二次函数 y=ax²（a＜0）的图象和性质 想一想： (1) 在同一直角坐标系中，画出函数 y=−½x²，y=−x²，y=−2x² 的图象。观察图象，考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？ (2) 当 a＜0 时，二次函数 y=ax² 的图象有什么特点？ 【参考答案】(1) 共同点：都是开口向下、对称轴为 y 轴、顶点为原点的抛物线；不同点：开口宽窄不同，|a| 越大开口越小。(2) 当 a＜0 时，抛物线 y=ax² 开口向下，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是图象的最高点，且 |a| 越大开口越小。 要点归纳：对于抛物线 y=ax²（a＜0），抛物线开口向下，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，即 |a| 越大，抛物线的开口越小。 归纳总结 y=ax a＞0 a＜0 开口方向与大小 开口向上，|a| 越大开口越小 开口向下，|a| 越大开口越小 对称性 对称轴是 y 轴 对称轴是 y 轴 顶点与最值 顶点 (0,0)，最低点，最小值 0 顶点 (0,0)，最高点，最大值 0 增减性 x＜0 时递减，x＞0 时递增 x＜0 时递增，x＞0 时递减 交流讨论：抛物线 y=ax² 与 y=−ax²（a＞0）的关系是什么？ 【参考答案】抛物线 y=ax² 与 y=−ax²（a＞0）关于 x 轴对称：开口方向相反，形状（开口宽窄）完全相同。 y=ax a＞0 a＜0 位置、开口方向 x 轴上方（除顶点），开口向上 x 轴下方（除顶点），开口向下 对称性 关于 y 轴对称 关于 y 轴对称 顶点 (0,0) (0,0) 最值 最小值 0 最大值 0 增减性 x＜0 时递减，x＞0 时递增 x＜0 时递增，x＞0 时递减 对应练习 1．在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：(1) y=3x²；(2) y=−3x²。 2．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着 x 的增大，y 的变化情况：(1) y=4x²；(2) y=−4x²；(3) y=x²；(4) y=−x²。 【参考答案】1．列表、描点、平滑连线即可（作图略）；y=3x² 开口向上，y=−3x² 开口向下，两条抛物线关于 x 轴对称。2．(1) 开口向上，对称轴是 y 轴，顶点 (0,0)；x＜0 时 y 随 x 的增大而减小，x＞0 时 y 随 x 的增大而增大。(2) 开口向下，对称轴是 y 轴，顶点 (0,0)；x＜0 时 y 随 x 的增大而增大，x＞0 时 y 随 x 的增大而减小。(3) 与 (1) 结论相同。(4) 与 (2) 结论相同。 【教学建议】放手让学生自主描点作图，分组对比 a＞0 与 a＜0 的性质差异，重点区分最高点、最低点与增减变化规律。 【设计意图】类比 a＞0 的探究方法，作图对比 a＜0 的三条抛物线，归纳开口向下时的图象特征，再对比正负 a 的异同，完善 y=ax² 的完整性质。 活动三：达标练习，巩固升华 1．函数 y=2x²的图象的开口_______，对称轴是_______，顶点是_______。在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而_______；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而_______。 2．函数 y=−5x² 的图象的开口_______，对称轴是_______，顶点是_______。在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而_______；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而_______。 3．如图，观察函数 y=(k−1)x 的图象，则 k 的取值范围是_______。 4．已知下列二次函数：①y=−x²；②y=x²；③y=15x²；④y=−4x²；⑤y=4x²。 (1) 其中开口向上的是________（填序号）； (2) 其中开口向下且开口最大的是______（填序号）； (3) 有最高点的是_______（填序号）。 5．若抛物线 y=ax²（a≠0）过点 (−1，2)。 (1) 则 a 的值是_______； (2) 对称轴是_______，开口_______； (3) 顶点坐标是_______，顶点是抛物线上的最_______点，抛物线在 x 轴的_______方（除顶点外）； (4) 若 A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂) 在这条抛物线上，且 x₁＜x₂＜0，则 y₁___y₂。 6．已知一次函数 y=ax+b 和二次函数 y=ax，其中 a≠0，b＜0，则下面选项中，图象可能正确的是（　　） 7．如图，二次函数 y=2x 的图象经过点 (0，0)，长方形 ABCD 的顶点 A、B 在 x 轴上，C、D 恰好在二次函数的图象上，B 点的横坐标为 2，求图中阴影部分的面积之和。 【参考答案】1．向上；y 轴（直线 x=0）；(0,0)；减小；增大。2．向下；y 轴（直线 x=0）；(0,0)；增大；减小。3．图象开口向上，所以 k−1＞0，即 k＞1。4．(1) ②③⑤；(2) ①（开口向下的只有①④，|a|=1 最小，开口最大）；(3) ①④。5．(1) 把 (−1,2) 代入得 a=2；(2) y 轴（直线 x=0），向上；(3) (0,0)，低，上；(4) 当 x＜0 时 y 随 x 的增大而减小，所以 y₁＞y₂。6．选 C。逐一分析：A 中抛物线开口向下（a＜0），但直线上升（a＞0），矛盾；B 中抛物线与直线都是上升（a＞0）一致，但直线与 y 轴交于正半轴，即 b＞0，不符合 b＜0；C 中抛物线开口向下（a＜0），直线下降（a＜0）一致，且直线与 y 轴交于负半轴（b＜0），完全符合；D 中抛物线开口向上（a＞0），直线下降（a＜0），矛盾。故选 C。 7．【参考答案】割补对称法：长方形 ABCD 与抛物线 y=2x² 都关于 y 轴对称，所以抛物线左半支下方与矩形之间的阴影面积，恰好等于矩形右半部分中抛物线上方空白部分的面积。把左边阴影“割补”到右边空白处后，阴影总面积恰等于矩形右半部分（O 为原点，宽 OB=2，高 BC=8）的面积，故 S阴影=2×8=16，即阴影部分的面积之和为 16。 【教学建议】 学生独立完成后集中讲评，重点对比 a 正负带来的性质差异，讲清数形结合类题型的分析思路。 【设计意图】 通过分层综合习题，全面巩固开口、对称轴、增减性、参数取值、图象与几何结合等考点，查漏补缺。 活动四：回扣目标，总结作业 【随堂训练】当堂限时完成《练习册》“随堂小练”中与本课时配套的习题，完成后同桌互批。 【课堂总结】课堂最后，师生沿着思维导图一起回顾本节课的内容，并请学生回答以下问题： 1．y=ax 图象的作图步骤是什么？ 2．a 正负分别对应哪些图象性质？ 3．判断开口宽窄、增减性的关键是什么？ 【参考答案】1．列表、描点、用平滑曲线连线。2．a＞0 时开口向上，顶点是最低点，最小值 0，x＜0 递减、x＞0 递增；a＜0 时开口向下，顶点是最高点，最大值 0，x＜0 递增、x＞0 递减。3．关键是看二次项系数 a：开口宽窄看 |a| 的大小，增减性以对称轴（y 轴）为分界，并结合开口方向判断。 【知识结构】 【作业布置】 1．完成教材习题 26.2 中与本节内容对应的题目； 2．完成《同步练习》中本课时的对应训练。 五、板书设计 26.2.1　二次函数 y=ax² 的图象与性质 作图方法：描点法（列表、描点、平滑连线）； 解析式：y=ax（a≠0）； 图象性质对比：a＞0：开口向上，顶点 (0,0) 为最低点，最小值 0，左减右增； a＜0：开口向下，顶点 (0,0) 为最高点，最大值 0，左增右减； 共性：对称轴是 y 轴，|a| 越大开口越小； 拓展：y=ax 与 y=−ax 关于 x 轴对称。 六、教学反思 本节课通过描点作图引导学生探究抛物线，多数学生能掌握基础性质，但容易混淆 a 正负对应的增减性与最值，作图时也常出现用直线连接各点的问题。后续教学中要增加对比表格帮助记忆，示范规范的作图步骤，并针对易错点强化训练。 学科网（北京）股份有限公司 $