北京市第十三中分校诚毅校区 2026-2027学年九年级上学期10月阶段学情自测

2026—2027学年度第一学期学科练习 初三数学试卷 2026.10 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共1页，第Ⅱ卷共5页． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号． 4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师． 第Ⅰ卷 一．选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．将二次函数的图象向右平移个单位．再向下平移个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A． B． C． D． 3．用配方法解方程，方程应变形为（ ） A． B． C． D． 4．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标为 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴交点的坐标是 5．某科技公司在年投入研发资金为万元．年投入研发资金万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 6．已知，是方程的两个实数根，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．设二次函数（，，是常数，），如表列出了、部分对应值 … − − … … − − … 则不等式的解集是（ ） A． B． C． D．或 8．若二次函数的图像与轴有两个交点，坐标分别为，，且，图像上有一点在轴下方，则下列判断正确的是 A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题共8个小题，每题2分，共16分） 9．请写出一个一元二次方程，要求满足下列两个条件：①有两个不相等实数根；②其中有一个根为，这个方程是________ 10．二次函数的图象如图所示，则点在第________象限． 11．如果函数是关于的二次函数，则________． 12．二次函数的图象经过点和，则方程的解为________ 13．点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为________ 14．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是________． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于、两点．若，则点到直线的距离为________． 16．已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过、两点，．有下列结论，其中所有正确结论的序号是________． ①关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而增大； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 三．解答题（本大题共11个小题，17题10分，18—21题每题5分，22—25每题6分，26—27题7分，共计68分） 17．用适当的方法解方程 （1） （2） 18．已知是关于的方程的一个根，求代数式的值． 19．已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设，为方程的两个实数根，且，试求出方程的两个实数根和的值． 20．新学期伊始，小明在宣纸上写了一幅书法作品——厚德载物，作品宽，高，写好后进行了装裱，装裱时左右边衬宽度相等，上下边衬宽度相等，左右边衬与上下边衬宽度之比为，若装裱后作品的面积是原宣纸作品面积的倍，应如何设计四周边衬的宽度？ 21．已知二次函数． （1）补全表格，用五点法画出这个二次函数的图象： … … … … （2）结合图象指出，当时，的取值范围________； （3）当时，结合图象直接写出函数的取值范围________； （4）求函数图象与两坐标轴的交点所围成的三角形的面积． 22．如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 23．小张学习一次函数，二次函数后，决定将函数所学知识、方法迁移应用到其他函数问题解决上，他选择函数（其中为自变量），进行研究，请你帮助小张完成如下学习过程： （1）函数自变量的取值范围是________； （2）当，，时，部分与的对应值数据如下 ①表格中的值为________ … … 时的值 … … 时的值 … … 时的值 … … ②根据表格数据所反映的规律，若点和都在函数的图象上，则________； （3）当时，小张在平面直角坐标系中画出了函数在时的图象，请你参考以上函数相关问题研究的过程，画出该函数在的图象； （4）当________时，关于的方程恰好有个实数根． 24．去年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目，篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．以机器人站立点为原点建立平面直角坐标系，篮球飞行的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足二次函数关系．机器人某次投篮，篮球飞行的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离（米） 竖直高度（米） 挑战者在同样地点投篮，篮球飞行的竖直高度与水平距离近似满足二次函数关系． （1）根据上述数据，直接写出机器人投篮时，篮球飞行的竖直高度的最大值为________米，满足的函数关系是________； （2）若篮球在水平距离米处的竖直高度满足，视为有效投篮，则机器人投篮________（填“有效”或“无效”），挑战者投篮________（填“有效”或“无效”）． 25．在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． （1）若，求的值； （2）若当时，都有，求的取值范围． 26．如图，在中，，，点在边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，连接，交边于点，连接，取线段的中点，在边上取点，使得，连接，． （1）求证：； （2）直接写出的大小，并证明． 27．对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在一点 ，使得，两点间的距离小于或等于，则称为图形的关联点． （1）如图，点，，， ①在点，，中，四边形的关联点是________； ②点在直线上，若为四边形的关联点，求点的横坐标的取值范围； （2）正方形的对角线交点在轴上且边均与坐标轴垂直，边长为，直线与 轴、轴分别交与点，．若线段上的所有点都是正方形的关联点，直接写 出正方形对角线交点横坐标的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $