3.2.1 双曲线及其标准方程 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

数学人教A版（2019）选择性必修第一册 3.2.1　双曲线及其标准方程 同步练习 姓名 ______________　　班级 ______________　　得分 ______________ 一、单项选择题 1． 已知定点 、，动点 满足 ，则点 的轨迹是⁠（　　） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．两条射线 2． 双曲线 的焦点坐标是⁠（　　） A．， B．， C．， D．， 3． 若双曲线 的焦距为 ，则 的值为⁠（　　） A． B． C． D． 4． 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线 上，若 ，则 等于⁠（　　） A． B． C． 或 D． 或 5． 已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，且过点 ，则 的标准方程为⁠（　　） A． B． C． D． 6． 平面内到两定点 、 的距离之差的绝对值等于 的点的轨迹是⁠（　　） A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一个点 7． 若方程 表示焦点在 轴上的双曲线，则实数 的取值范围是⁠（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 8． 已知双曲线 ，则下列说法正确的是⁠（　　） A．， B．焦点坐标为 、 C．焦距为 D． 9． 已知方程 表示双曲线，则⁠（　　） A．实数 的取值范围是 B．该双曲线的焦点在 轴上 C． D．其焦距为 ，与 无关 10． 已知 、，动点 满足 ，则⁠（　　） A．点 的轨迹是双曲线 B．轨迹方程为 C．若 ，则 或 D．轨迹的焦距为 三、填空题 11． 双曲线 的焦点坐标为 ______________，焦距为 __________． 12． 已知双曲线经过两点 、，则该双曲线的标准方程为 ________________． 13． 已知点 是双曲线 右支上一点，、 分别为其左、右焦点，若 ，则 的值为 __________． 四、解答题 14．（本小题满分 10 分）求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在 轴上，，且经过点 ；（5 分） （2）焦点在 轴上，焦距为 ，且经过点 ．（5 分） 15．（本小题满分 10 分）已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，且 经过点 ． （1）求双曲线 的标准方程；（6 分） （2）若点 在双曲线 上，、 分别为 的左、右焦点，且 ，求 的值．（4 分） 16．（本小题满分 12 分）在 中，已知顶点 、，且 ． （1）判断顶点 的轨迹形状，并说明理由；（6 分） （2）求顶点 的轨迹方程．（6 分） 参考答案与解析 答案速查 题型 题号与答案 单项选择题 1．B　2．A　3．A　4．C　5．A　6．B　7．A 多项选择题 8．ABC　9．ABD　10．ABC 填空题 11．、；　　12．　　13． 一、单项选择题 1．答案：B 【解析】 由题意 ，而 ，满足 ，符合双曲线定义中“差的绝对值等于常数 ，且 ”的条件。 但题中给出的是 （不带绝对值），即点 到 的距离恒大于到 的距离，故点 只能落在靠近 的那一支上，所以轨迹是双曲线的一支。 易错提醒：若条件写成 ，轨迹才是完整的双曲线（两支）． 2．答案：A 【解析】 由方程 知 项系数为正，故焦点在 轴上，且 所以 ，焦点坐标为 、． 易错提醒：双曲线中 ，注意与椭圆中 的区别． 3．答案：A 【解析】 双曲线 中 （否则方程不表示焦点在 轴上的双曲线），焦距 ，故 ，． 由 得 ，解得 ． 易错提醒： 是 ，必须满足 ，故 舍去，不能选 C． 4．答案：C 【解析】 双曲线中 ，，故 ，． 由双曲线定义，点 在双曲线上，则 又 ，故 或 ． 检验存在性： · 若 ，则 ，点 在右支上，右支上的点到右焦点的最小距离为 ，而 ，点 存在； · 若 ，则 ，点 在左支上，左支上的点到右焦点的最小距离为 ，而 ，点 存在． 故 或 ，选 C． 5．答案：A 【解析】 椭圆 中 ，，焦点为 、，在 轴上． 故双曲线 的焦点也在 轴上，设其方程为 ，则 ，． 又 经过点 ，代入得 ，即 ，于是 所以 的标准方程为 ． 6．答案：B 【解析】 由题意 ，而距离之差的绝对值 ，此时 ，不满足 ． 当 时，满足条件的点只能落在直线 上，且位于两定点外侧，轨迹是以 、 为端点、分别向外延伸的两条射线． 7．答案：A 【解析】 方程 表示焦点在 轴上的双曲线，需 项的分母为正、 项的分母为负，即 此时方程可化为 ，焦点在 轴上，符合题意． 故 的取值范围为 ． 二、多项选择题 8．答案：ABC 【解析】 由 知 项系数为正，焦点在 轴上，，，即 ，，A 正确； ，，焦点坐标为 、，B 正确； 焦距 ，C 正确； 双曲线中 而非 ，D 错误． 9．答案：ABD 【解析】 方程 表示双曲线，需 ，解得 ，A 正确； 此时 ，，方程可化为 ，焦点在 轴上，B 正确； 此时 ，，故 C 错误； ，，焦距 ，与 无关，D 正确． 10．答案：ABC 【解析】 由题意 ，，且 ，符合双曲线定义，故点 的轨迹是双曲线，A 正确； 由 得 ，由 得 ，故 ，焦点在 轴上，轨迹方程为 ，B 正确； 若 ，则 ，解得 或 ，且两者均满足存在性（，），C 正确； 该轨迹的焦距为 ，而 是实轴长 ，D 错误． 三、填空题 11．答案： 、； 【解析】 由 知 项系数为正，焦点在 轴上，，， 故焦点坐标为 、，焦距 ． 12．答案： 【解析】 由于焦点位置不确定，可设双曲线方程为 ． 代入 、 得 第二式两边同乘 得 ，与第一式的 倍 相减，得 ，即 ； 代回得 ，即 ，． 故方程为 ，即标准方程为 ． 方法归纳：焦点位置不确定时，统一设 ，可避免分类讨论． 13．答案： 【解析】 由 知 ，． 因点 在右支上，故 ，由定义 所以 ． 检验：右支上的点到右焦点的最小距离为 ，，故点 存在． 四、解答题 14．（本小题满分 10 分） （1）解： 焦点在 轴上，，设双曲线的标准方程为 因为点 在双曲线上，代入得 解得 ，即 ． 所以所求双曲线的标准方程为 （2）解： 焦点在 轴上，设双曲线的标准方程为 由焦距为 得 ，即 ，故 ． 因为点 在双曲线上，代入得 ，即 ，于是 所以所求双曲线的标准方程为 15．（本小题满分 10 分） （1）解： 椭圆 中，，，焦点为 、． 故双曲线 的焦点也在 轴上，设其标准方程为 则 又点 在 上，代入得 由①得 ，代入②得 整理得 ，即 解得 或 ． 因为 ，故 舍去，取 ，此时 ． 所以双曲线 的标准方程为 （2）解： 由（1）知 ，故 ． 由双曲线的定义，点 在 上，则 又 ，所以 或 ． 检验存在性：，， · 时，点 在右支上，右支上的点到右焦点的最小距离为 ，，成立； · 时，点 在左支上，左支上的点到右焦点的最小距离为 ，，成立． 故 的值为 或 ． 16．（本小题满分 12 分） （1）解： 在 中，由正弦定理 所以 代入条件 ，得 即 又 ，故 由于 是不含绝对值的常数，且 ，符合双曲线的定义，所以顶点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的一支（靠近焦点 的一支，即左支）． （2）解： 由（1）知，点 的轨迹是焦点为 、 的双曲线，故其中心在原点，焦点在 轴上，且 于是 又 ，即 ，点 离焦点 更近，故点 只能在双曲线的左支上，即 ． 再者，、、 三点构成三角形，点 不能在 轴上，故 ，即 ． 因此顶点 的轨迹方程为 第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学人教A版（2019）选择性必修第一册 3.2.1　双曲线及其标准方程 同步练习 姓名 ______________　　班级 ______________　　得分 ______________ 一、单项选择题 1． 已知定点 、，动点 满足 ，则点 的轨迹是⁠（　　） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．两条射线 2． 双曲线 的焦点坐标是⁠（　　） A．， B．， C．， D．， 3． 若双曲线 的焦距为 ，则 的值为⁠（　　） A． B． C． D． 4． 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线 上，若 ，则 等于⁠（　　） A． B． C． 或 D． 或 5． 已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，且过点 ，则 的标准方程为⁠（　　） A． B． C． D． 6． 平面内到两定点 、 的距离之差的绝对值等于 的点的轨迹是⁠（　　） A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一个点 7． 若方程 表示焦点在 轴上的双曲线，则实数 的取值范围是⁠（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 8． 已知双曲线 ，则下列说法正确的是⁠（　　） A．， B．焦点坐标为 、 C．焦距为 D． 9． 已知方程 表示双曲线，则⁠（　　） A．实数 的取值范围是 B．该双曲线的焦点在 轴上 C． D．其焦距为 ，与 无关 10． 已知 、，动点 满足 ，则⁠（　　） A．点 的轨迹是双曲线 B．轨迹方程为 C．若 ，则 或 D．轨迹的焦距为 三、填空题 11． 双曲线 的焦点坐标为 ______________，焦距为 __________． 12． 已知双曲线经过两点 、，则该双曲线的标准方程为 ________________． 13． 已知点 是双曲线 右支上一点，、 分别为其左、右焦点，若 ，则 的值为 __________． 四、解答题 14．（本小题满分 10 分）求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在 轴上，，且经过点 ；（5 分） （2）焦点在 轴上，焦距为 ，且经过点 ．（5 分） 15．（本小题满分 10 分）已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，且 经过点 ． （1）求双曲线 的标准方程；（6 分） （2）若点 在双曲线 上，、 分别为 的左、右焦点，且 ，求 的值．（4 分） 16．（本小题满分 12 分）在 中，已知顶点 、，且 ． （1）判断顶点 的轨迹形状，并说明理由；（6 分） （2）求顶点 的轨迹方程．（6 分） 第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $