练案28 第三章 3.2.1 第1课时双曲线及其标准方程-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

√(+)×[（年号）-4x(-号)] -√层4 172 17 54y-0(-号<：<号）设料率为2的直线与箱圆片 y2=1交于点A(x1,y),B(x2,y2),弦AB的中点为M(x,y), 由点差法可知，k=2==号× x1-x2 y1+y2 y x2 即x+4y=0.又椭圆的弦的中点只能在椭圆内，2+ (-）广<1，解得-号<x<专：所求的轨迹方程为+ 4=0(-于<<号)月 16.【解析】（1)由题意知b=15,a+9=34, 解得a=25,b=15. 所以两个丰营国方程分别为京+后-1(：≤0)和行+后 =1(x≥0) (2)设P(x0,t)为矩形在第一象限内的顶点，Q(x1,t)为矩形 在第二象限内的顶点， 则+多1+原山， 可得x=-9o 25 所以内接矩形的面积S=24(-)=2×。=15×34× 2号≤15×34（停+）=50. 当且仅当号=5时，5取最大值510 所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米. 练案[28] 1.B因为方程对应的图形是双曲线，所以(k-5)(1k1-2)> 0,即-5>0，或-5<0， 1-2>0或{61-2<0.解得k>5或-2<6<2 2.D由题意可知2a=10,c=√a2+6=13,解得a=5,b=12, 所以双情线C的方程是路在-1 3.D因为k>1,所以1-k<0,k2-1>0,所以方程(1-k)x2+ y2=2-1所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线. 4.D依题意，IAFI-1AF,I=2a=8,IBFI-IBF,I=2a=8, 所以(IAFI-IAF,I)+(IBF,I-IBF,I)=16,又IAB1=5, IAF2I+IBF2I =16+(IAFI+IBF 1)=16+1ABI =16 +5=21.所以IAF2I+IBF2I+IAB1=21+5=26.即△ABF 的周长是26. ,22 5B设双曲线的标准方程为后-京=1(a>0,6>0),易知c= 5,又：d+公，所以6-5-心，所以号写。=1.因为 y 线段PF,的中点坐标为(0,2)，F(-5,0),所以点P的坐标 —27 为5,4).将(5，)代人双曲线方起，得-写=1，解得 。=1或。=25（含去），所以双曲线的标准方程为子-号 =1. 6.AC若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为三 2-62 b2=-2a2, 1 ,解得{ 1（a>0,6>0),由已知得1-=1，☐ 口=乞‘故双曲 1b2=1, 线的标准方程为 1 -y2=1,即2x2-y2=1.若双曲线的焦点 在y销上，设其标准方程为片-若=1(0>0,6>0)，已知 x2 rb2=2a2, 1 得{11 解得 口=2'故双曲线的标准方程为 La262 =1, 2=1, 2 x2=1,即2y2-x2=1. ra>0. 7.A由题意知0<d2<4, 解得a=1. 4-2=a+2, 8.33在双曲线中，由436=1可得a=8,6=6,c=10,由双 曲线的图形可得，点P到右焦点F,的距离d≥c-a=2.因为 1IPFI-IPF,II=2a=16,1PF,I=17,所以IPF,I= 33(1PF21=1舍去). 云=1椭圆后+云-1的长轴端点为(0，-5).(0,5)， v2 9. 焦点为(0，-3)，(0,3)，因此以(0，-3)，(0,3)为顶点，(0， -5),(0,5)为焦点的双曲线虚半轴长为5-32=4，方程为 10.【解析】由题意得1IPFI-IPF2II=2a, 在△FPF,中，由余弦定理得 cos 60=IPF+IPFFF12 2IPF IIPF2I (IPF-IPF:1)2+21PF 11PF1-11 21PF IIPF,I .'IPF I.IPF,I=4(c2-a)=462. FPFIsin 60 =26.5=52 2 .√362=125,62=12. 由c=2a,c2=a2+b2,得a2=4. 从双音线的标准方程为号后=1 11.B由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F(0,5)和 F2(0,-5),又由椭圆与双曲线的定义可得 PE1+PB,1=14,所以PE1=8 IPF,1=6,又 或 PFI-IPF211 =2, IPF21 =6IPF21=8. IFF2I=10,所以△PFF2为直角三角形，∠FPF2=90°.所 以△PF,6的面积S=号1PR,IPE,1=?×6×8=24 所以读风曲线的标准方程为号一学=引 12.A设过点P的两切线分别与圆切于S,T,则1PM-IPWI= (2)证明：设点P(x,y）, (IPSI +ISMI)-(IPTI +ITNI)ISMI -ITNI =IBMI- Yo Yo IBW1=2=2a,所以曲线为双曲线的右支（不含顶点），a=1, 则6=如+2。-2 ©=3，所以公=8，故P点的轨迹方程为2-。=1(x>1)。 所以k·k2= 2*4 又因为点P(xyo)在双曲线上， 所以至-=1，即后=6-4， 44 所以k1·k=1. 16.【解析】解法一：以0为原点，AB,OD所在直线分别为x 轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 13.256因为PF·PF=0,所以PF1PE,则△PF,F,为 D 直角三角形，所以1p叹+P呢1=12d1=2×号·2c=2c(0 为原点).又a2=1,b2=4,所以c2=a2+b2=5,c=5,所以 1PF+PF1=25.不妨设点P在双曲线的右支上，则PF1 则A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P(5,1), -PF1=2a=2,①：又1PF12+1PF2=1FF12=4c2= 依题意得IIMAI-IMBII=IPAI-IPBI 20,②；联立①②解得1PF1=4,1PF1=2,所以1PF1+ =(2+3)2+12-W/(2-5)2+12 1PF1=6. 14.【解析】因为△MPV的周长为48，且mzPMN=子， =22<IAB1=4. 所以曲线C是以A,B为焦点的双曲线 所以设IPWI=3k,IPMI=4h,则IMNI=5k 则c=2,2a=22, 由3k+4k+5k=48得k=4. 所以a2=2,b2=c2-a2=2. 所以IPW1=12,IPM1=16,IMW1=20 以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标 故台线C的方程为号-号-1 系，如图所示 解法二：同方法一建立平面直角坐标系， 则依题意可得IIMA-IMB1I=IPAI-IPBI<IABI=4. 所以曲线C是以A,B为焦点的双曲线. 跟双苗线的方程为若1(a>0,6>0 「(3)21 设所求双曲线方程为等-卡=1(a>0,6>0 =1, a262 「a=2, 则有 解得 a2+2=4, b2=2, 由IPM1-IPN1=4得2a=4,a=2,a2=4. 由IMW1=20得2c=20,c=10. 款健线C的方程为号-苦-山 所以b2=c2-a2=96, 故所求双曲线方程为号一6=1 2 练案[29] 1.A由题意，根据双曲线的定义及1AF,I=21AF2I=4,可得 15.【解析】(1)由题意知，椭圆的离心率为e=二-2， a =,则a= IAFI-IAF,I=2=2a,解得a=1,因为∠F,AF,=90°，所以 2c, 1F,F212=IAF,12+IAF212=20,即(2C)2=20,即c2=5,又b2 又因为2a+2c=4(2+1), +公=6，则=-心=4，所以双曲线的方程为2-于=1 解得a=22,c=2 2.AF(-5,0),f2(5,0),c=5,IFF2I=10,P℉⊥ 所以=口-心=4，所以麓圆的标准方程为营+千=1， 圆的焦点坐标为（±2,0）. P明m∠R,居=子m∠R号P陈 因为双曲线兰-云=1中4=6，且顶点是该稀圆的食点， =8,IPF21=6,由双曲线的定义可知，IPFI-IPF2I=2= ai bi 2a,.a=1,.b2=c2-a2=25-1=24..双曲线的方程为 —278练案[28] 第三章3.23.2.1[第1课时 双曲线及其标准方程] A组·基础巩固 7.若椭圆好+冷1与双曲线。1有相▣ 1已知方程兰2=1对应的图形是双 的焦点，则a的值为 () A.1 曲线，那么飞的取值范围是 B.1或-2 A.k>5 C1或号 号 B.k>5或-2<k<2 C.k>2或k<-2 8已别P是双前线后-名1上一点，人，人是 D.-2<k<2 双曲线的左、右焦点，且IPFI=17,则IPF2I 2已知双曲线C:-1(0>0,6>0)的a 的值为 右焦点分别是F,(-13,0),F2(13,0),点P在 9以椭圆后+若=1的焦点为顶点，上下顶点为 双曲线C上，且1PF1-1PF,I=10,则双曲线 焦点的双曲线的标准方程为 C的方程是 ( 苦-后1 B. 10,如图所示，已知双线芳-苏=1(a>0,6>0 “125=1 中，c=2a,F1,F2分别为左、右焦点，P为双曲 c4-云-1 D.2 Γ25144=1 线上的点，∠F1PF2=60°，SAFPE,=12V5,求 双曲线的标准方程. 3.设k>1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2= 2-1所表示的曲线是 A.长轴在x轴上的椭圆 B.长轴在y轴上的椭圆 C.焦点在x轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的双曲线 4双前线后-号-1的左，右熊点分别为人，R, 在左支上过点F,的弦AB的长为5，那么 △ABF,的周长是 A.12 B.16 C.21 D.26 5.已知双曲线的一个焦点为F(-5,0),点P 在该双曲线上，线段PF的中点坐标为(0， 2),则该双曲线的标准方程是 4y2=1 B.x2- 4s1 c号号-1 D.y B组·综合运用 32=1 1,韬圆的+-1与双曲线子-4-1有公共 6.(多选)过点(1,1)且=2的双曲线的方程 点P,则P与双曲线两焦点连线构成的三角 是 ( 形的面积为 () A.2x2-y2=1 B.x2-2y2=1 A.48 B.24 C.2y2-x2=1 D.y2-2x2=1 C.243 D.123 182 12.已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C C组·拓展提升 与直线MN切于点B,过M,N与圆C相切的 两直线相交于点P,则P点的轨迹方程为 15如图，卫知椭圆后+ ( =1(a>b>0)的离心率 A2-苔=1x>1) 为号，以该醋圆上的点 Rr-若=>0 和椭圆的左、右焦点F,F2为顶点的三角形 c2-。=1x>0) 圆长为4(2+1)，双曲线-发=1过孩 8 D-6-1>0 椭圆的焦点，且a1=b1,设P为该双曲线上与 焦点不共线的任一点，设直线PF,和PF2的 18设万上分别是双曲线女-千=1的左右焦 直线斜率分别为k,k2 (1)求椭圆和双曲线的标准方程； 点.若点P在双曲线上，且PF·PF,=0,则 (2)证明k1·k2=1. IPF+PF,= ,IPFI+PF= 14.在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN=90°， an∠PMN=子，求以M,N为焦点，焦点在x 轴上且过点P的双曲线方程， 16.如图，在以点0为圆心， IAB1=4为直径的半圆 ADB中，OD⊥AB,P是半 圆弧上一点，∠P0B=30°，A 曲线C是满足IIMAI-IMBII为定值的动点 M的轨迹，且曲线C过点P.建立适当的平面 直角坐标系，求曲线C的方程。 183