30.1.2切线的判定和性质--教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

课题名称 30.1.2 切线的判定和性质 课型 新授课 教学资源：课件、圆规、直尺、三角板 教学内容解析 内容：切线的判定定理和性质定理及其应用 《切线的判定和性质》是在学生学习了直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）的基础上，进一步研究直线与圆相切这种特殊位置关系。本节课是本章的重点内容，既是对直线与圆位置关系研究的深化，又是后续学习三角形内切圆、切线长定理等知识的基础，在整个几何知识体系中具有承上启下的重要作用。 本节内容通过探究切线的判定条件和切线的性质，引导学生经历观察、操作、猜想、证明等数学活动，发展逻辑推理能力和直观想象素养，体会数形结合和转化的数学思想。 目标与目标解析 单元整体目标： 本章主要研究圆的有关性质、直线与圆的位置关系、三角形的内切圆等内容。直线与圆的位置关系是本章的核心内容，包括相离、相切、相交三种位置关系的判定，以及切线的判定和性质。 对应课标要求： ①了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念。 ②探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。 ③了解三角形的内心。 课时目标（核心素养导向）： 1. 【数学抽象】理解切线的判定定理和性质定理的内容，能区分切线的判定与性质的不同条件和结论。 2. 【逻辑推理】经历切线判定定理的探究过程，能运用切线的判定定理和性质定理进行简单的证明和计算。 3. 【直观想象】能画出圆的切线，能识别切线与半径的垂直关系，发展几何直观。 4. 【数学运算】能综合运用勾股定理、切线性质等知识解决与切线有关的计算问题。 课时目标解析： 达成目标1的标志是：学生能准确说出切线的判定定理和性质定理的内容，能说出判定定理的条件和结论分别是什么。 达成目标2的标志是：学生能运用“有交点，连半径，证垂直”或“无交点，作垂直，证半径”的思路证明直线是圆的切线。 达成目标3的标志是：学生能根据切线的性质，得出切线垂直于过切点的半径，进而求出相关线段的长度或角度。 达成目标4的标志是：学生能结合直角三角形、勾股定理等知识，解决与切线有关的综合计算题。 学情分析 已有的知识、认知水平： 学生已经学习了直线与圆的三种位置关系，知道当直线与圆相切时d=r。学生已经掌握了圆的基本性质、勾股定理、直角三角形等知识，具备了一定的观察、操作和推理能力。学生在之前的学习中已经初步接触了几何证明的基本格式和方法。 困惑点或探索点： 学生容易混淆切线的判定定理和性质定理的条件和结论，分不清什么时候用判定、什么时候用性质。另外，学生在证明切线时，不知道什么时候需要“连半径”，什么时候需要“作垂直”，这是本节课的难点。 教学重难点 教学重点：切线的判定定理和性质定理及其应用 教学难点：切线的判定定理和性质定理的灵活运用；证明切线时辅助线的作法 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：切线的判定和性质是直线与圆位置关系的核心内容，是后续学习三角形内切圆、切线长定理等知识的基础，在中考中占有重要地位。 学什么：掌握切线的判定定理和性质定理；能运用定理进行简单的证明和计算；掌握证明切线的两种辅助线作法。 怎么学：采用“复习引入—探究新知—例题精讲—练习巩固—总结提升”的教学模式。通过复习直线与圆相切的条件（d=r），引导学生探究切线的判定条件；通过讲练结合，让学生掌握切线判定和性质的应用方法。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 复习回顾： 问题1：直线与圆有哪几种位置关系？如何判定？ 问题2：当直线与圆相切时，d与r有什么关系？ 引入： 我们已经知道，当圆心到直线的距离d等于半径r时，直线与圆相切。那我们能不能从“角”的角度来判定一条直线是不是圆的切线呢？今天我们就来学习切线的判定和性质。 师：上节课我们学习了直线与圆的位置关系，大家回忆一下，直线与圆有哪几种位置关系？我们是怎么判定的？ 生：相离、相切、相交。通过比较圆心到直线的距离d与半径r的大小来判定：d>r时相离，d=r时相切，d<r时相交。 师：很好。那当直线与圆相切时，这条直线叫做什么？这个公共点叫做什么？ 生：这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。 师：我们已经知道d=r时直线与圆相切。那能不能从“角”的角度，也就是直线与半径的位置关系来判定切线呢？今天我们就来深入研究切线的判定和性质。 学生能准确说出直线与圆的三种位置关系及判定方法 学生能说出切线和切点的概念 学生能从d=r的数量关系联想到角的位置关系 通过复习上节课的内容，为新课学习做好知识铺垫。通过提出“从角的角度判定切线”的问题，激发学生的探究欲望，自然引入新课。 概念探究 活动一：探究切线的判定定理 画一个圆O，半径OA。过半径OA的外端点A，作一条直线l垂直于OA。 思考： （1）圆心O到直线l的距离是多少？ （2）直线l与⊙O的位置关系是什么？为什么？ 活动二：探究切线的性质定理 如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l垂直吗？为什么？ 【配图：切线判定与性质示意图】 师：请同学们在练习本上画一个圆O，再画一条半径OA。然后过点A作一条直线l垂直于OA。 （学生动手画图） 师：大家想一想，圆心O到直线l的距离是多少？为什么？ 生：因为OA垂直于直线l，垂足是A，所以圆心O到直线l的距离就是OA的长度，也就是半径r。 师：非常好！因为d=r，所以直线l与⊙O相切。由此我们可以得到切线的判定定理： 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 师：反过来，如果一条直线是圆的切线，切点是A，那么半径OA与这条直线垂直吗？ 生：垂直。因为如果不垂直，那么圆心到直线的距离就小于半径，直线就会与圆相交，就不是切线了。 师：对！这就是切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 师：大家要注意区分： 判定定理：已知垂直+过半径外端 → 直线是切线（由形判线） 性质定理：已知直线是切线 → 切线垂直于半径（由线推形） 学生能正确画出过圆上一点的切线 学生能说出切线的判定定理和性质定理的内容 学生能区分判定定理和性质定理的条件和结论 学生能理解为什么d=r时直线与圆相切 通过动手画图和探究，引导学生自主发现切线的判定定理和性质定理，经历知识的形成过程。通过对比判定与性质的区别，帮助学生加深理解，避免混淆。 课堂练习 例1：如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。 分析：已知直线AB经过圆上的点C，所以只要连接OC，证明OC⊥AB即可。 例2：如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB。求证：AT是⊙O的切线。 课堂练习： 1. 已知⊙O的半径为5cm，直线l经过⊙O上的点P，且OP⊥l，则直线l与⊙O的位置关系是______。 答案：相切。解析：∵OP是半径，OP⊥l，垂足为P，根据切线的判定定理，直线l是⊙O的切线。 2. 如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=3cm，OP=5cm，则⊙O的半径是______cm。 答案：4。解析：连接OA，∵PA是切线，∴OA⊥PA。在Rt△OAP中，OA=√===4cm。 师：我们来看例1。大家先读题，想一想，要证明AB是⊙O的切线，应该怎么做？ 生：因为直线AB经过圆上的点C，所以连接OC，证明OC垂直于AB就行了。 师：很好！这就是我们证明切线的第一种情况：有交点，连半径，证垂直。 教师板书解题过程： 证明：连接OC。 ∵OA=OB，CA=CB， ∴OC⊥AB（等腰三角形三线合一）。 又∵直线AB经过⊙O上的点C， ∴直线AB是⊙O的切线（切线的判定定理）。 师：我们来看例2。这道题要证明AT是切线，应该怎么做？ 生：因为AB是直径，点A在圆上，所以连接OA（其实OA就是半径），只要证明OA垂直于AT就行了。 师：大家自己在练习本上完成证明，做完后同桌互相检查。 师：总结一下证明切线的两种思路： ①有交点：连半径，证垂直 ②无交点：作垂直，证半径 学生能掌握“有交点，连半径，证垂直”的证明方法 学生能规范书写证明过程 学生能理解切线判定定理的应用条件 通过例题讲解，让学生掌握切线判定定理的应用方法。通过总结两种辅助线作法，帮助学生形成解题思路，提高逻辑推理能力。 反思总结 学生为主体发言总结： 今天我们学习了什么知识？你有哪些收获？ 你还有什么疑问？ 师：这节课快要结束了，请同学们回忆一下，今天我们学习了哪些知识？你有什么收获？ 生1：我们学习了切线的判定定理和性质定理。 生2：切线的判定定理是：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 生3：切线的性质定理是：圆的切线垂直于过切点的半径。 生4：证明切线有两种方法：有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径。 师：大家总结得很好。今天我们学习了切线的判定和性质，大家要注意区分什么时候用判定、什么时候用性质，不要混淆。 你还有什么疑问吗？ 学生能主动总结本节课所学的主要知识 学生能梳理切线判定与性质的区别和联系 学生能提出自己的疑问 通过学生自主总结，梳理本节课所学知识，加深对切线判定和性质的理解。培养学生归纳概括的能力和反思意识。 图1 切线的判定（左）与性质（右）示意图 图2 例1配图（左）、例2配图（右） 板书设计 30.1.2 切线的判定和性质 一、切线的判定定理 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 几何语言：∵OA是半径，OA⊥l，垂足为A ∴直线l是⊙O的切线 二、切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径。 几何语言：∵直线l是⊙O的切线，切点为A ∴OA⊥l 三、证明切线的两种思路 ①有交点：连半径，证垂直 ②无交点：作垂直，证半径 学科网（北京）股份有限公司 $