30.1.2切线的性质与判定教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“切线的判定和性质”核心知识点，通过复习直线与圆的三种位置关系导入，结合思考与反证法推导切线性质定理，再逆向探究引出判定定理，搭建从旧知到新知的学习支架。 此资料以逻辑推理为核心，用反证法推导定理培养推理能力，归纳三种判定方法及辅助线画法提升抽象能力，结合列车车轮、砂轮打磨等生活实例渗透几何直观。例题解析与分层练习助力学生掌握解题方法，教学反思为教师提供针对性改进建议，有效提升课堂效率与学生综合素养。

第一课时30.1.2切线的判定和性质教学设计 一、素养目标 1.理解切线判定与性质定理，掌握两种常用辅助线画法，能完成基础几何证明题； 2.通过定理推导，提升逻辑推理能力，分清判定定理和性质定理的使用条件； 3.学会归纳题型解题方法，能结合圆的知识点综合解题，养成严谨书写证明步骤的习惯. 二、教学重点、难点 重点：理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理. 难点：能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. 三、教学过程 复习导入 在下面三个图中，直线l与圆的三种位置关系分别是 相离 、 相切 、 相交 . 如图，直线l与⊙O相切于点A. 连接O，A两点，得到过切点A的半径OA. 思考 ⊙O的半径OA与过点A的切线l有什么关系？ 如图，设P为直线l上不同于点A的点， 因为直线l与⊙O只有一个公共点A， 所以点P在⊙O外， 从而OP＞OA， 即半径OA是圆心O与直线l上的点的最短连线. 因此，半径OA与直线l垂直. 反证法 证明：假设OA与l不垂直，过点O作OP⊥l，垂足为P. ∴ OP＜OA ∴ l与⊙O相交，与已知条件相矛盾 ∴ 假设不成立，故OA与l垂直 由此得到切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径. 几何符号语言： ∵ 直线l切⊙O于点A ∴ OA⊥l 思考 按上述性质，若⊙O的切线l经过半径OA的外端点A，那么l⊥OA.反过来，如图，若直线l过半径OA的外端点A，且l⊥OA，那么直线l是⊙O的切线吗？ 可以看出，这时圆心O到 直线l的距离就是⊙O的半径， 因而直线l就是⊙O的切线. 由此可以得到切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 几何符号语言： ∵ 直线l切⊙O于点A ∴ OA⊥l 注意：判定定理中的两个条件缺一不可，否则不成立. ①经过半径的外端；②垂直于这条半径. 归纳总结 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切； 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d＝r)时，直线与圆相切； 3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 已知一个圆和圆上一个点，如何过这个点画出圆的切线？ 设圆心为O，圆上已知点为P，如图， ①连接OP并延长； ②以点P为圆心，适当长为半径作弧，交射线OP于点A，B； ③分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点C； ④作直线CP，即为所求作的切线. 例题讲解： 例2 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线. 分析：无切点，则作垂直(OE)，证半径(OE＝OD). 证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA. ∵ ⊙O与AB相切于点D ∴ OD⊥AB 又 △ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点. ∴ AO是∠BAC的平分线 ∴ OE＝OD，即OE是⊙O的半径 这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与⊙O相切. 方法总结 证切线时辅助线的添加方法： (1)有交点，连半径，证垂直； (2)无交点，作垂直，证半径. 有切线时常用辅助线添加方法： 见切点，连半径，得垂直. 切线的其他重要结论： (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 在生活中，有许多直线与圆相切的实例.例如，列车车轮的边沿与铁轨的上沿是相切的，在砂轮上打磨工件时产生的火星是沿着圆的切线飞出的(如图). 四、课堂练习 1.如图，AB是⊙O的直径，∠ABC＝45°，AC＝AB. 求证：AC是⊙O的切线. 2.如图，AB是⊙O的直径，直线l1、l2是⊙O的切线，A、B是切点. l1、l2有怎样的位置关系？证明你的结论. 3.如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，点P为切点.求证AP＝BP. 参考答案： 1、 证明：∵∠ABC=45°，AC=AB，∴∠C=∠ABC=45°， ∴∠BAC=45°。∵AB为直径，∴AC是⊙O的切线. 2、 平行。证明：直线直线l1、l2是⊙O的切线，∴AB┴ l1，AB┴l2∴ l1∥l2 3、 证明：连接OP ∵AB是小圆的切线，P是切点。 ∴OP┴AB。在大圆中，由垂径定理可得AP=BP 五、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 六、教学反思 本节课学习了切线的判定与性质，课堂借助画图实操帮助学生初步认识定理，但不少学生容易混淆判定与性质的使用场景，不会根据题意选择合适辅助线，证明过程逻辑混乱、步骤缺漏较多。课堂变式练习量不足，对基础薄弱学生的单独指导不到位，综合题型解题思路难以打开。后续我将分类整理典型题型，明确两种辅助线的适用情况，增加学生板演纠错环节，细化证明书写要求，辅以分层习题，巩固学生对定理的理解与灵活运用能力。 学科网（北京）股份有限公司 $