3.2代数式的值（第2课时）（导学案）数学新教材人教版七年级上册

3.2代数式的值 （第2课时） 导学案 1.理解公式的意义，能正确运用常见的几何公式（周长、面积、体积）列出代数式。 2.能根据给定的字母取值，利用公式求出代数式的值，解决实际问题。 3.经历运用公式解决实际问题的过程，发展数学建模能力和应用意识。 学习重点：利用几何公式列出代数式，并代入字母取值求值。 学习难点：正确分析实际问题中的数量关系，将不规则图形或分段计费问题转化为代数式；对结果的实际意义进行合理解释。 第一环节 自主学习 复习回顾 思考：（1）什么是代数式的值？ （2）求代数式的值的步骤是什么？ 创设情景，引入新课 在解决实际问题时，有些同类事物中的数量关系常常可以用公式来描述。例如，在行程问题中，用 表示路程， 表示速度， 表示时间，就可以得到路程公式 。知道 、 的值，就可以利用公式求出 的值。 在小学，我们学习过许多公式，如长方形、正方形、三角形等图形的面积公式，长方体、正方体等图形的体积公式。本节课我们一起来学习如何运用这些公式列出代数式并求值。 新知自研：自研课本第80--81页的内容． 【学法指导】 自研课本P80-81的内容，思考： ●探究一：几何图形中的代数式求值——周长问题 ◆1.问题引入 回顾常见几何公式： 长方形：设长为 、宽为 ，则周长 ； 圆：设半径为 ，则周长 ； 三角形：设底边长为 、高为 ，则面积 ； 圆：设半径为 ，则面积 ； 长方体：设长为 、宽为 、高为 ，则体积 ； 柱体：设底面积为 、高为 ，则体积 ； 圆锥：设底面积为 、高为h，则体积 。 ◆2.新知探究 问题：某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为 ，半圆形弯道的直径为 。 思考：（1）这条跑道由哪几部分组成？如何表示其周长？ 跑道由两段直道和两段 弯道组成；两段弯道合起来正好组成 。 （2）两段直道的总长怎么表示？两段弯道的总长呢？ 列式：两段直道的长为 ；两段弯道组成圆，直径为 ，根据圆的周长公式，弯道总长为 。 【解答】 ◆2.方法总结 解决几何图形周长问题的步骤： ① 分析图形的组成； ② 分别求出 的长度； ③ 相加得到总周长； ④ 代入 计算。 ◆3.例题巩固 题目：如图是由3个完全相同的小长方形拼成的图形，其周长为 ，则一个小长方形的周长为____cm。 ●探究二：几何图形中的代数式求值——面积问题 ◆1.问题引入 教师出示教材探究题：一个三角尺的形状和尺寸如图所示，用代数式表示这个三角尺的面积 。当 ，， 时，求这个三角尺的面积（ 取 ）。 ①思考：三角尺的面积可以看作哪个图形的面积减去哪个图形的面积？ 回答：三角尺的面积 。 三角形的面积为 ，圆的面积为 。 ②独立列式，并尝试代入计算。 【解答】 ◆2.方法总结 解决几何图形面积问题的常用方法： ① 当阴影部分不好直接求出时，可以采用“整体减去 ”的思路得到阴影部分面积； ② 当阴影部分是不规则图形时，可以采用 的思想，将不规则图形的面积转化为 图形的面积的和或差来求解。 ◆3.例题巩固： 题目：如图，学校准备修建一个长为 ，宽为 的长方形休闲区。在左右两边修建半径为 的扇形小广场，图中阴影部分种植花卉。 （1）用含有 的式子表示种植花卉部分的面积：________（结果保留 ）； （2）当 ， 时，求种植花卉部分的面积（ 取 ，结果精确到百分位）。 ●探究三：：实际问题中的代数式求值——生活费用类问题 ◆1.问题引入 生活中许多数量关系也可以用代数式表示。例如工资问题中，日工资往往由“基本工资”和“计件报酬”两部分组成。 题目：小军到某快递公司工作，该公司按日计薪，每日基本工资 元，每送一件快递另加 元。小军每天送 件快递，他一天可拿到的工资是____元。昨天他送了 件快递，可拿到的工资是____元。 【分析】 读题，分析数量关系：日工资 每件快递报酬 。 学生独立列出代数式，并代入 求值。 【解答】 【变式巩固】 某电信公司手机收费有两种方案： 方案一：月租费 元，本地通话费 元/分钟； 方案二：不收月租费，本地通话费 元/分钟。 （1）某用户某月打电话时间为 分钟，方案一收费为 元，方案二收费为 元； （2）若某用户估计一个月打电话时间为 小时，哪种收费方式合算？ 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A. 探讨代数式的值在程序框图、实际问题中的应用。 B. 交流例题已知与所求，理清思路，易错点：按框图步骤逐步代入、不跳步，结果符合情境。 C. 相互检查导学内容完成情况并给出等级评定。 【巩固训练1 几何图形代数式求值】 如图所示，一个长方形区域长为b m，宽为a m，分别以长方形的较短的边为直径作两个半圆，然后在阴影部分种植草坪．用代数式表示草坪区域的周长及面积（用含有π的式子） 【变式1-1】已知长、宽分别为 ， 的长方形的周长为 ，面积为 ，则 的值为（ A ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式1-2】 将一个长方形中剪下两个大小相同的长方形（有关线段的长如图所示），留下一个“工”字型的图形（阴影部分），如图所示。 （1）用含 、 的代数式表示出图形中阴影部分的周长； （2）用含 、 的代数式表示出图形中阴影部分的面积。 【巩固训练2 生活与行程实际应用求值】 某县至2020年以来受持续干旱影响，河道来水偏少，已严重影响生活和生产用水，因此自来水厂从2021年1月1日起推行阶梯水价，引导人们节约用水，调整后的用水价格如下： 如果小明家8月份用水量为30吨，那么小明家8月份的水费为（ ） A．45元　　B．50元　　C．55元　　D．60元 ▲1、常用几何公式 1.长方形周长 2.圆周长： 3.三角形面积： 4.圆面积： 5.长方体体积： 6.柱体体积： 圆锥体积： ▲2、实际问题 → 列 → 代入 → 检验结果 题型一： 列代数式求图形面积的值 1．为创建国家卫生提名城，我县将在锦阳广场修建一个长方形花坛，面向全县人民征集设计方案，我校同学积极参与，如图所示是七（1）班小辰同学设计的得意之作（结果保留）． (1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 2．如图，已知长方形ABCD的宽AB＝6，以B为圆心，AB长为半径画弧与边BC交于点E，连接DE．若CE＝x．（计算结果保留π） （1）用含x的代数式表示图中阴影部分的面积； （2）当x＝4时，求图中阴影部分的面积． 3．四季上东小区，为美化环境，提高居民区生活质量，要建一个居民休闲广场（平面图如图所示），广场中间是一个正方形，边长为x米，以正方形的各边为长建四个长方形长廊（图中阴影部分），长方形的宽为y米，且广场的四角为四个扇形． (1)求该休闲广场的占地面积（用含x、y的式子表示） (2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元，在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩，平均每平方米造价为105元，在四个扇形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元，该工程总造价多少钱？（用含x、y的式子表示） 4．如图是某种窗户的形状（实线为窗框），其上部是半圆形，下部是边长为的四个小正方形． (1)求窗户的面积；（用含的代数式表示，结果保留） (2)求窗框的总长；（用含的代数式表示，结果保留） (3)若，现要给窗户安装玻璃，玻璃每平方米30元，窗框每米25元，窗框的厚度不计，求制作这种窗户的费用．（取3.14，结果精确到1元） 5．已知图1中的书正好可以被图2中的包书纸包好．在图2的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．该书的长为，宽为，厚度为．设用该包书纸包这本书时折进去的宽度为． (1)该包书纸的长为________，宽为________；（用含a的代数式表示） (2)当时，求该包书纸的面积（含阴影部分） 题型二 代数式在规律探索中的运用 6．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有个正方形，第④个图案中有个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，有一些点组成形如四边形的图案，每条“边”(包括顶点)有n个点．当时，这个图形总的点数S为（     ） A．8068 B．8072 C．8076 D．8080 8．用火柴棒按下列方式搭建三角形： (1)填表： 三角形个数 1 2 3 4 … 火柴棒根数 … (2)当三角形的个数为n时，火柴棒的根数为多少？ (3)当时，火柴棒的根数是多少？ 9．如图是一个三角形点阵，从上到下有无数多行，其中第一行、第二行、第三行、第四行、第五行分别有1，3，5，7，9个点，……，如此，按上述规律排列： (1)第6行有 个点，第10行有 个点；第行有 个点； (2)猜想三角形点阵前行的点数的和是多少？（用含的式子表示） 三角形点阵前行的点数的和能否为75？请简要说明理由． 10．用火柴棒按图中的方式摆图形： 按图示规律填空：    图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒的根数 (1)______，______； (2)按照这种方式搭下去，则搭第个图形需要火柴棒的根数为______；（用含的代数式来表示） (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求搭第2022个图形需要的火柴棒的根数． 题型三 代数式在实际问题中求值 11．，两地相距km，甲、乙两人驾车分别以km/h，km/h的速度从地到地，且乙用的时间较少． (1)用代数式表示乙比甲少用的时间； (2)当，，时，求（1）中代数式的值，并说明这个值表示的实际意义． 12．某电信公司手机收费有两种方案． 方案一：月租费36元，本地通话费0.4元/分； 方案二：不收月租费，本地通话费0.6元/分； (1)某用户某月打电话时间为x分，则 方案一收费方式下应支付的费用为______元； 方案二收费方式下应支付的费用为______元； (2)若某用户估计一个月打电话的时间为5小时，你认为哪种收费方式比较合算，为什么？ 13．某市居民生活用水费用由“城市供水费”和“污水处理费”两部分组成，为了鼓励市民节约用水，其中城市供水费按阶梯式计费：一个月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收元；一个月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨2元收费．另外污水处理费一律按每吨元收取． (1)某居民10月份用水6吨，应交水费多少元？11月份用水20吨，应交水费多少元？ (2)若某户某月用水x吨，请你用含有x的代数式表示应交的水费． 14．（24-25七年级下·四川泸州·开学考试）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一套西装送一条领带； 方案二：西装和领带都按定价的付款． (1)若该客户购买西装20套，领带22条，按方案一需付款多少元？按方案二需付款多少元？ (2)若该客户购买西装20套，领带条，按方案一购买需付款多少元？按方案二购买需付款多少元？（用含的代数式表示） 15．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元/度） 不超过50度的部分 0.5 超过50度但不超过200度的部分 0.6 超过200度的部分 0.8 已知小刚家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是______月份，实际用电量为______度； (2)小刚家一月份应交纳电费______元； (3)若小刚家七月用电量为度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含的代数式表示）． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2代数式的值 （第2课时） 导学案 1.理解公式的意义，能正确运用常见的几何公式（周长、面积、体积）列出代数式。 2.能根据给定的字母取值，利用公式求出代数式的值，解决实际问题。 3.经历运用公式解决实际问题的过程，发展数学建模能力和应用意识。 学习重点：利用几何公式列出代数式，并代入字母取值求值。 学习难点：正确分析实际问题中的数量关系，将不规则图形或分段计费问题转化为代数式；对结果的实际意义进行合理解释。 第一环节 自主学习 复习回顾 思考：（1）什么是代数式的值？ 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 （2）求代数式的值的步骤是什么？ ① 写：写出“当……时”，标明字母取值； ② 代：把字母换成对应数值； ③ 算：按照有理数运算顺序计算结果。 创设情景，引入新课 在解决实际问题时，有些同类事物中的数量关系常常可以用公式来描述。例如，在行程问题中，用 表示路程， 表示速度， 表示时间，就可以得到路程公式 。知道 、 的值，就可以利用公式求出 的值。 在小学，我们学习过许多公式，如长方形、正方形、三角形等图形的面积公式，长方体、正方体等图形的体积公式。本节课我们一起来学习如何运用这些公式列出代数式并求值。 新知自研：自研课本第80--81页的内容． 【学法指导】 自研课本P80-81的内容，思考： ●探究一：几何图形中的代数式求值——周长问题 ◆1.问题引入 回顾常见几何公式： 长方形：设长为 、宽为 ，则周长 ； 圆：设半径为 ，则周长 ； 三角形：设底边长为 、高为 ，则面积 ； 圆：设半径为 ，则面积 ； 长方体：设长为 、宽为 、高为 ，则体积 ； 柱体：设底面积为 、高为 ，则体积 ； 圆锥：设底面积为 、高为h，则体积 。 ◆2.新知探究 问题：某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为 ，半圆形弯道的直径为 。 思考：（1）这条跑道由哪几部分组成？如何表示其周长？ 跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成；两段弯道合起来正好组成一个圆。 （2）两段直道的总长怎么表示？两段弯道的总长呢？ 列式：两段直道的长为 ；两段弯道组成圆，直径为 ，根据圆的周长公式，弯道总长为 。 【解答】 （1）两段直道的长为 ；两段弯道组成一个圆，它的直径为 ，周长为 。因此，这条跑道的周长为： （2）当 ，， 取 时： 因此，这条跑道的周长约为 。 ◆2.方法总结 解决几何图形周长问题的步骤： ① 分析图形的组成； ② 分别求出各部分的长度； ③ 相加得到总周长； ④ 代入数值计算。 ◆3.例题巩固 题目：如图是由3个完全相同的小长方形拼成的图形，其周长为 ，则一个小长方形的周长为____cm。 解：设小长方形的长为 ，宽为 。 由题意，拼成图形的周长为 ，可得： 所以： 则一个小长方形的周长为： ●探究二：几何图形中的代数式求值——面积问题 ◆1.问题引入 教师出示教材探究题：一个三角尺的形状和尺寸如图所示，用代数式表示这个三角尺的面积 。当 ，， 时，求这个三角尺的面积（ 取 ）。 ①思考：三角尺的面积可以看作哪个图形的面积减去哪个图形的面积？ 回答：三角尺的面积 三角形的面积 圆的面积。 三角形的面积为 ，圆的面积为 。 ②独立列式，并尝试代入计算。 【解答】 这个三角尺的面积： 当 ，，， 取 时： 因此，这个三角尺的面积是 。 ◆2.方法总结 解决几何图形面积问题的常用方法： ① 当阴影部分不好直接求出时，可以采用“整体减去局部”的思路得到阴影部分面积； ② 当阴影部分是不规则图形时，可以采用转化的思想，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差来求解。 ◆3.例题巩固： 题目：如图，学校准备修建一个长为 ，宽为 的长方形休闲区。在左右两边修建半径为 的扇形小广场，图中阴影部分种植花卉。 （1）用含有 的式子表示种植花卉部分的面积：________（结果保留 ）； （2）当 ， 时，求种植花卉部分的面积（ 取 ，结果精确到百分位）。 【解答】解：（1）因为 ， 两个 圆的面积之和为： 所以种植花卉部分的面积为： （2）当 ， 时： 答案总结：种植花卉部分的面积约为 。 ●探究三：：实际问题中的代数式求值——生活费用类问题 ◆1.问题引入 生活中许多数量关系也可以用代数式表示。例如工资问题中，日工资往往由“基本工资”和“计件报酬”两部分组成。 题目：小军到某快递公司工作，该公司按日计薪，每日基本工资 元，每送一件快递另加 元。小军每天送 件快递，他一天可拿到的工资是____元。昨天他送了 件快递，可拿到的工资是____元。 【分析】 读题，分析数量关系：日工资 基本工资 每件快递报酬 送件数量。 学生独立列出代数式，并代入 求值。 【解答】 小军一天可拿到的工资为： 当 时： 答案总结：小军一天可拿到的工资是 元；昨天送了 件快递，可拿到的工资是 元。 【变式巩固】 某电信公司手机收费有两种方案： 方案一：月租费 元，本地通话费 元/分钟； 方案二：不收月租费，本地通话费 元/分钟。 （1）某用户某月打电话时间为 分钟，方案一收费为 元，方案二收费为 元； （2）若某用户估计一个月打电话时间为 小时，哪种收费方式合算？ 【解答】解： 小时 分钟。 当 时：方案一：（元）；方案二：（元）。 因为 ，所以方案一收费方式比较合算。 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A. 探讨代数式的值在程序框图、实际问题中的应用。 B. 交流例题已知与所求，理清思路，易错点：按框图步骤逐步代入、不跳步，结果符合情境。 C. 相互检查导学内容完成情况并给出等级评定。 【巩固训练1 几何图形代数式求值】 如图所示，一个长方形区域长为b m，宽为a m，分别以长方形的较短的边为直径作两个半圆，然后在阴影部分种植草坪．用代数式表示草坪区域的周长及面积（用含有π的式子） 解： 因为一个长方形区域长为 m，宽为 m，分别以长方形的较短的边为直径作两个半圆，然后在阴影部分种植草坪，所以草坪区域周长为：（） m， 草坪区域面积为：）m2 【变式1-1】已知长、宽分别为 ， 的长方形的周长为 ，面积为 ，则 的值为（ A ） A．　　B．　　C．　　D． 解： 因为长方形的周长为 ，所以 ，即 。 因为面积为 ，所以 。 又因为 ， 所以原式 。 【变式1-2】 将一个长方形中剪下两个大小相同的长方形（有关线段的长如图所示），留下一个“工”字型的图形（阴影部分），如图所示。 （1）用含 、 的代数式表示出图形中阴影部分的周长； （2）用含 、 的代数式表示出图形中阴影部分的面积。 解： （1）由题意可得，阴影部分的周长为：； （2）由题意可得，阴影部分的面积为： 【巩固训练2 生活与行程实际应用求值】 某县至2020年以来受持续干旱影响，河道来水偏少，已严重影响生活和生产用水，因此自来水厂从2021年1月1日起推行阶梯水价，引导人们节约用水，调整后的用水价格如下： 如果小明家8月份用水量为30吨，那么小明家8月份的水费为（ B ） A．45元　　B．50元　　C．55元　　D．60元 解：设用水量为 吨。 当 时，水费为 元； 当 时，水费为： 当 时： ▲1、常用几何公式 1.长方形周长：C=2（） 2.圆周长：C=d=2r 3.三角形面积：S=ah 4.圆面积：S=r² 5.长方体体积：V=abh 6.柱体体积：V=Sh；圆锥体积：V=Sh ▲2、实际问题 → 列代数式 → 代入求值 → 检验结果 题型一： 列代数式求图形面积的值 1．为创建国家卫生提名城，我县将在锦阳广场修建一个长方形花坛，面向全县人民征集设计方案，我校同学积极参与，如图所示是七（1）班小辰同学设计的得意之作（结果保留）． (1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值： （1）利用矩形的面积减去两个扇形的面积即可得到答案； （2）将数字代入（1）的式子中即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， ； （2）解：当，时， ， 答：阴影部分的面积为． 2．如图，已知长方形ABCD的宽AB＝6，以B为圆心，AB长为半径画弧与边BC交于点E，连接DE．若CE＝x．（计算结果保留π） （1）用含x的代数式表示图中阴影部分的面积； （2）当x＝4时，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）3x+36﹣9π； （2）48﹣9π. 【分析】（1）利用面积之间的和差关系，利用S阴影部分＝S长方形﹣S扇形ABE﹣S△CDE，分别用代数式表示各个部分的面积即可； （2）代入计算即可． 【详解】解：（1）设CE＝x，BC＝6+x， ∴S阴影部分＝S长方形﹣S扇形ABE﹣S△CDE ＝6（6+x）π×626x ＝36+6x﹣9π﹣3x ＝3x+36﹣9π； （2）当x＝4时， 原式＝12+36﹣9π ＝48﹣9π. 答：当x＝4时，图中阴影部分的面积为48﹣9π． 【点睛】本题考查代数式求值，理解图形中各个部分面积之间的和差关系是正确解答的前提． 3．四季上东小区，为美化环境，提高居民区生活质量，要建一个居民休闲广场（平面图如图所示），广场中间是一个正方形，边长为x米，以正方形的各边为长建四个长方形长廊（图中阴影部分），长方形的宽为y米，且广场的四角为四个扇形． (1)求该休闲广场的占地面积（用含x、y的式子表示） (2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元，在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩，平均每平方米造价为105元，在四个扇形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元，该工程总造价多少钱？（用含x、y的式子表示） 【答案】(1)平方米 (2)元 【分析】本题主要考查了列代数式，理解题意，是解题的关键． （1）根据正方形面积公式，圆的面积公式，长方形面积公式列出代数式即可； （2）分别求出三个区域的面积，再根据各部分的造价，求出该工程总造价即可． 【详解】（1）解：该休闲广场的占地面积为：平方米； （2）解：该工程总造价为： 元． 4．如图是某种窗户的形状（实线为窗框），其上部是半圆形，下部是边长为的四个小正方形． (1)求窗户的面积；（用含的代数式表示，结果保留） (2)求窗框的总长；（用含的代数式表示，结果保留） (3)若，现要给窗户安装玻璃，玻璃每平方米30元，窗框每米25元，窗框的厚度不计，求制作这种窗户的费用．（取3.14，结果精确到1元） 【答案】(1) (2) (3)546元 【分析】此题考查了列代数式和有理数的混合运算． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，窗户的面积为； （2）， 即窗框的总长为； （3）由题意，得（元） 即制作这种窗户的费用元． 5．已知图1中的书正好可以被图2中的包书纸包好．在图2的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．该书的长为，宽为，厚度为．设用该包书纸包这本书时折进去的宽度为． (1)该包书纸的长为________，宽为________；（用含a的代数式表示） (2)当时，求该包书纸的面积（含阴影部分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据图形信息列式化简，即可作答． （2）把分别代入，，再根据面积进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，该包书纸的长为，宽为， 故答案为：； （2）解：当时， 该包书纸的长为：，宽为：， ∴该包书纸的面积为：， 答：当时，该包书纸的面积（含阴影部分）为． 题型二 代数式在规律探索中的运用 6．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有个正方形，第④个图案中有个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，有理数的计算，能根据所给图形发现正方形的个数依次增加4是解题的关键．根据所给图形，依次求出图案中正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图中正方形的个数为：； 第②个图中正方形的个数为：； 第③个图中正方形的个数为：； ， 所以第个图中正方形的个数为个． 当时， （个， 即第⑨个图中正方形的个数为个． 故选：C． 7．如图，有一些点组成形如四边形的图案，每条“边”(包括顶点)有n个点．当时，这个图形总的点数S为（     ） A．8068 B．8072 C．8076 D．8080 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化类问题，通过图形的变化，归纳总结，找到规律是解答本题的关键． 根据图形的变化，当时，图形总的点数为：，由此得到答案． 【详解】解：第1个图形中，每条边上有2个点，共有个个点， 第2个图形中，每条边上3个点，共有个个点， …， ∴第个图形的点数为：， 当时，这个图形总的点数为． 故选：C ． 8．用火柴棒按下列方式搭建三角形： (1)填表： 三角形个数 1 2 3 4 … 火柴棒根数 … (2)当三角形的个数为n时，火柴棒的根数为多少？ (3)当时，火柴棒的根数是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)当时，火柴棒的根数是2017 【分析】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形，总结出变化的一般规律． （1）根据图形完成表格即可； （2）根据表格中的数据，总结出变化一般规律：依次增加2根火柴棒，即可解答； （3）把代入（1）中得出的代数式，即可解答． 【详解】（1）解：完成表格如下： 三角形个数 1 2 3 4 … 火柴棒根数 3 5 7 9 … （2）解：1个三角形：， 2个三角形：， 3个三角形：， 4个三角形：， …… n个三角形：， ∴当三角形的个数为n时，火柴棒的根数为； （3）解：当时，． ∴当时，火柴棒的根数是2017． 9．如图是一个三角形点阵，从上到下有无数多行，其中第一行、第二行、第三行、第四行、第五行分别有1，3，5，7，9个点，……，如此，按上述规律排列： (1)第6行有 个点，第10行有 个点；第行有 个点； (2)猜想三角形点阵前行的点数的和是多少？（用含的式子表示） 三角形点阵前行的点数的和能否为75？请简要说明理由． 【答案】(1)11，19， (2) 个；不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了数字变化的规律问题，用代数式表示， （1）根据点阵的变化特点得出规律，即可解答； （2）①根据排列得出规律，进而得出代数式；②将数值代入计算即可． 【详解】（1）第一行有1个点； 第二行有个点； 第三行有个点； 第四行有个点； 第6行有个点； 第10行有个点； 第n行有个点； 故答案为：11，19，； （2）前一行有1个点； 前二行点数和是个点； 前三行点数和是个点； 前四行点数和是个点； 前n行的点数和是； ②不能，理由如下： 根据题意可知， 解：n不是整数，所以不能． 10．用火柴棒按图中的方式摆图形： 按图示规律填空：    图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒的根数 (1)______，______； (2)按照这种方式搭下去，则搭第个图形需要火柴棒的根数为______；（用含的代数式来表示） (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求搭第2022个图形需要的火柴棒的根数． 【答案】(1)17；21 (2) (3)8089 【分析】（1）根据所给图形可得a，b的值； （2）根据（1）的结果可得出规律； （3）把n的值代入（2）的规律式中可求值． 【详解】（1）解：（1）由图④可数出火柴棒的根数为17，故可得， 由图①②③④可得图⑤为：， 故； 故答案为：17；21． （2）解：由（1）可得第n个图形需要火柴棒的根数为， 故答案为：； （3）解：将代入中得：． 即第2021个图形需要的火柴棒根数为8089根． 【点睛】此题主要考查了图形的变化类，注意结合图形，发现蕴含的规律，找出解决问题的途径． 题型三 代数式在实际问题中求值 11．，两地相距km，甲、乙两人驾车分别以km/h，km/h的速度从地到地，且乙用的时间较少． (1)用代数式表示乙比甲少用的时间； (2)当，，时，求（1）中代数式的值，并说明这个值表示的实际意义． 【答案】(1) (2)代数式的值为，这个值表示的实际意义是乙比甲早到 【分析】本题考查了代数式，理解题意并列出代数式是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：乙用的时间为：，甲用的时间为：， ∴乙比甲少用的时间为：； （2）解：当，，时， ， 这个值表示的实际意义是乙比甲早到． 12．某电信公司手机收费有两种方案． 方案一：月租费36元，本地通话费0.4元/分； 方案二：不收月租费，本地通话费0.6元/分； (1)某用户某月打电话时间为x分，则 方案一收费方式下应支付的费用为______元； 方案二收费方式下应支付的费用为______元； (2)若某用户估计一个月打电话的时间为5小时，你认为哪种收费方式比较合算，为什么？ 【答案】(1)； (2)方案一收费比较合算，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，代数式的求值，表示费用的时候注意单位的统一，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系； （1）支付的费用单价通话时间月租费，方案一有月租费，单价较低；方案二没有月租费，但单价较高； （2）分别计算两个方案的费用，选择费用较低那个方案即可. 【详解】（1）解：方案一收费方式下应支付的费用为：元 方案二收费方式下应支付的费用为：元 （2）解：当一个月打电话的时间为5小时 5小时300分钟 方案一支付的费用：（元） 方案二支付的费用：（元） ∴方案一收费比较合算 13．某市居民生活用水费用由“城市供水费”和“污水处理费”两部分组成，为了鼓励市民节约用水，其中城市供水费按阶梯式计费：一个月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收元；一个月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨2元收费．另外污水处理费一律按每吨元收取． (1)某居民10月份用水6吨，应交水费多少元？11月份用水20吨，应交水费多少元？ (2)若某户某月用水x吨，请你用含有x的代数式表示应交的水费． 【答案】(1)10月份：元；11月份：48元 (2)时，交元；时，交元 【分析】考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．关系为：应交水费=城市供水费+污水处理费． （1）根据一个月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收元，一个月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨2元收费和污水处理费每吨元，列式计算即可； （2）分两种情况讨论，当时和时，分别根据已知条件列式整理即可． 【详解】（1）（1）10月份：（元） 11月份： （元） （2）当用水量不超过10吨时，水费为（元） 当用水量超过10吨时，水费为 元 14．（24-25七年级下·四川泸州·开学考试）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一套西装送一条领带； 方案二：西装和领带都按定价的付款． (1)若该客户购买西装20套，领带22条，按方案一需付款多少元？按方案二需付款多少元？ (2)若该客户购买西装20套，领带条，按方案一购买需付款多少元？按方案二购买需付款多少元？（用含的代数式表示） 【答案】(1)4080元，4392元 (2)元，元 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，读懂题目信息，理解两种优惠方案的优惠方法是解题的关键． （1）根据两种方案的优惠方法分别列式整理即可； （2）根据两种方案的优惠方法分别列式整理即可． 【详解】（1）解：由题意得，方案一：元， 方案二：元； 答：按方案一需付款4080元，按方案二是4392元． （2）由题意得，方案一：， 方案二：； 即：按方案一购买需付款元，按方案二购买需付款元． 15．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元/度） 不超过50度的部分 0.5 超过50度但不超过200度的部分 0.6 超过200度的部分 0.8 已知小刚家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是______月份，实际用电量为______度； (2)小刚家一月份应交纳电费______元； (3)若小刚家七月用电量为度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含的代数式表示）． 【答案】(1)五，239 (2)91 (3)当时，七月份应交纳的电费为元；当时，七月份应交纳的电费为（元）；当时，七月份应交纳的电费为（元） 【分析】本题考查列代数式、正数和负数，理解题意并掌握正数和负数相反的意义、根据题意列出代数式是解题的关键． （1）比较这些记录的大小，最大的数对应的月份用电量最多，标准该数值就是实际用电量； （2）先计算小刚家一月份的用电量，再根据收费标准计算应缴纳的电费即可； （3）根据收费标准，分别讨论当、、时应交纳的电费即可． 【详解】（1）解：∵， ∴小刚家用电量最多的是五月份，实际用电量为（度）． 故答案为：五，239． （2）解：（度）， （元）， ∴小刚家一月份应交纳电费91元． 故答案为：91． （3）解：当时，七月份应交纳的电费为元； 当时，七月份应交纳的电费为（元）； 当时，七月份应交纳的电费为（元）． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $